第 2 章 平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度2.1狀態(tài)密度函數(shù)和費(fèi)米分布函數(shù)2.2平衡載流子濃度2.3只含一種雜質(zhì)的雜質(zhì)半導(dǎo)體中的載流子濃度2.4補(bǔ)償半導(dǎo)體的載流子濃度2.5費(fèi)米能級(jí)的位置2.6簡(jiǎn)并半導(dǎo)體習(xí)題第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度2.1狀態(tài)密度函數(shù)

要想掌握任何半導(dǎo)體器件的工作原理，推導(dǎo)出它的電流電壓特性，必須首先能計(jì)算出半導(dǎo)體在平衡狀態(tài)下的電子和空穴兩種載流子的濃度，因?yàn)殡娏魇怯奢d流子的定向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的。這就是這一章主要要解決的問(wèn)題。

要想掌握任何半導(dǎo)體器件的工作原理，推導(dǎo)出它的電流

2.1狀態(tài)密度函數(shù)和費(fèi)米分布函數(shù)

晶體中的電子是不可分辨的，而且按照以前學(xué)過(guò)的泡利不相容原理，一個(gè)量子態(tài)上僅允許被一個(gè)電子占據(jù)。因此要計(jì)算載流子的濃度，就等于計(jì)算被電子占據(jù)的量子態(tài)的數(shù)量。要計(jì)算被電子占據(jù)的量子態(tài)的數(shù)量，首先要了解狀態(tài)密度分布的函數(shù)，了解量子態(tài)按能量的分布，即知道在導(dǎo)帶中單位能量間隔dE

內(nèi)有多少量子態(tài)。

2.1狀態(tài)密度函數(shù)和費(fèi)米分布函數(shù)

晶體中的電子是

當(dāng)然這些量子態(tài)上并不是每一個(gè)都有電子，還需要知道載流子在量子態(tài)上的分布概率，將狀態(tài)密度函數(shù)和分布函數(shù)相乘后得到單位能量間隔內(nèi)的電子濃度，在整個(gè)導(dǎo)帶范圍內(nèi)積分后就可以計(jì)算出導(dǎo)帶電子濃度?？昭舛鹊挠?jì)算也是類似的，將狀態(tài)密度函數(shù)和空穴占據(jù)量子態(tài)的概率相乘，再對(duì)整個(gè)價(jià)帶能量范圍積分后可以計(jì)算出價(jià)帶空穴濃度。通過(guò)這樣的方法可以計(jì)算出導(dǎo)帶電子濃度和價(jià)帶空穴濃度。

當(dāng)然這些量子態(tài)上并不是每一個(gè)都有電子，還需要知道載流子在量

2.1.1狀態(tài)密度函數(shù)

狀態(tài)密度的定義是單位體積、單位能量間隔中存在的量子態(tài)數(shù)，其定義式為

為了計(jì)算出狀態(tài)密度，利用了k

空間的狀態(tài)分布，先計(jì)算出k空間的狀態(tài)密度，再計(jì)算出在k

空間能量分布在E~E+dE范圍內(nèi)的體積，二者相乘得到了E~E+dE范圍內(nèi)存在的量子態(tài)數(shù)Z(E)，再代入式(2.1)中計(jì)算得到狀態(tài)密度。

2.1.1狀態(tài)密度函數(shù)

狀態(tài)密度的定義是單位體

之所以在計(jì)算狀態(tài)密度時(shí)要借用k空間，是因?yàn)榱孔討B(tài)在k空間是均勻分布的。假設(shè)由周期性排列的原子構(gòu)成三維的晶體結(jié)構(gòu)，類比于一個(gè)三維的無(wú)限深勢(shì)阱(這個(gè)類比會(huì)引入一定的誤差，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果和推導(dǎo)出的理論函數(shù)不是完全吻合)，在這個(gè)勢(shì)阱中，與一維無(wú)限深勢(shì)阱的結(jié)論類似，

k

只能取分立值。當(dāng)設(shè)晶體的周期是a

時(shí)，

kx

、ky、kz

將均是π/a的整數(shù)倍，即有

之所以在計(jì)算狀態(tài)密度時(shí)要借用k空間，是因?yàn)榱孔討B(tài)在

在式(2.2)中nx

、ny

、nz

均只能為正整數(shù)，則在k空間，kx

、ky

、kz

的值是均勻分布的，圖2.1為二維k

空間量子態(tài)的分布示意圖。在圖中，一個(gè)黑點(diǎn)表示一個(gè)允許的量子態(tài)，量子態(tài)在k

空間中是均勻分布的。從圖2.1中可以看出，相鄰兩個(gè)量子態(tài)的間隔為π/a，因此在k

空間中可以認(rèn)為，每個(gè)允許的k值對(duì)應(yīng)的k

空間體積為

在式(2.2)中nx、ny、nz圖2.1二維k空間量子態(tài)的分布示意圖圖2.1二維k空間量子態(tài)的分布示意圖

既然k

空間中的量子態(tài)是均勻分布的，求出能量在E~E+dE范圍內(nèi)的k

空間體積就可確定k

空間的量子態(tài)密度，當(dāng)能量從E增加至E+dE時(shí)，在k

空間對(duì)應(yīng)的體積增量為1/8×4πk2dk

。其中4πk2dk

是當(dāng)能量從E增加至E+dE時(shí)，在k

空間對(duì)應(yīng)的兩個(gè)球體之間包含的體積；“1/8”是考慮到nx

、ny、nz均只能為正整數(shù)，因此只占用了球體的1/8。結(jié)合式(2.3)中每一個(gè)量子態(tài)占據(jù)的體積，當(dāng)能量從E增加至E+dE時(shí)，在k

空間對(duì)應(yīng)存在的量子態(tài)數(shù)為

式(2.4)中的“2”是考慮到每個(gè)量子態(tài)可以容納兩個(gè)自旋相反的電子而引入的。

既然k空間中的量子態(tài)是均勻分布的，求出能量在E第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

式(2.8)給出了在體積為a3的晶體中能量在E到E+dE之間的量子態(tài)數(shù)，按照狀態(tài)密度的定義，在單位體積、單位能量間隔中的導(dǎo)帶電子的狀態(tài)密度為

需要說(shuō)明的是，式(2.9)只在E≥Ec

時(shí)有效。因此狀態(tài)密度同時(shí)是體積密度和能量密度，是雙重密度函數(shù)，狀態(tài)密度的值和載流子的有效質(zhì)量有關(guān)。

式(2.8)給出了在體積為a3的晶體中能量在

類似地，也可以推出價(jià)帶空穴的狀態(tài)密度函數(shù)，在價(jià)帶的空穴，其E－k關(guān)系為

價(jià)帶的狀態(tài)密度函數(shù)為

同樣，式(2.11)只在E≤Ev時(shí)有效。

類似地，也可以推出價(jià)帶空穴的狀態(tài)密度函數(shù)，在價(jià)帶的空穴

為了能更直觀地看出狀態(tài)密度函數(shù)gc(E)、gv(E)隨E

的變化規(guī)律，在圖2.2中畫(huà)出了gc(E)、gv(E)隨著能量E的變化規(guī)律。在圖2.2中，為了和常用的能帶圖保持一致，將能量E作為縱坐標(biāo)，狀態(tài)密度函數(shù)gc(E)、gv

E)作為橫坐標(biāo)。從圖中可以看出，禁帶中不存在量子態(tài)，狀態(tài)密度函數(shù)為零，與前面的能帶理論的結(jié)果一致。當(dāng)電子有效質(zhì)量和空穴有效質(zhì)量相等時(shí)，

gc

(E)和gv(E)兩支曲線關(guān)于禁帶中央對(duì)稱分布。一般的情況下，電子有效質(zhì)量不等于空穴有效質(zhì)量，因而這兩支曲線也不對(duì)稱。

為了能更直觀地看出狀態(tài)密度函數(shù)gc(E)、圖2.2導(dǎo)帶和價(jià)帶的狀態(tài)密度函數(shù)隨能量E的變化圖2.2導(dǎo)帶和價(jià)帶的狀態(tài)密度函數(shù)隨能量E的變化

[例2.1]當(dāng)室溫T=300K時(shí)，在半導(dǎo)體材料硅中，計(jì)算從Ec

到Ec

+kT之間包含的量子態(tài)總數(shù)。

解:根據(jù)導(dǎo)帶電子的狀態(tài)密度公式

[例2.1]當(dāng)室溫T=300K時(shí)，在半導(dǎo)

2.1.2費(fèi)米狄拉克分布函數(shù)

在求出了狀態(tài)密度函數(shù)后，就明確了在已知能量范圍內(nèi)存在的量子態(tài)數(shù)目，要了解電子在量子態(tài)上的分布情況，還需了解電子在量子態(tài)上的分布概率。因?yàn)檫@是一個(gè)包含大量粒子的系統(tǒng)，沒(méi)辦法掌握其中每個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，只能確定其整體的統(tǒng)計(jì)特征，晶體中的電子是不可分辨的，而且遵循泡利不相容原理，一個(gè)量子態(tài)上僅允許被一個(gè)電子占據(jù)。其統(tǒng)計(jì)特征符合費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)，表達(dá)式為

2.1.2費(fèi)米狄拉克分布函數(shù)

在求出了狀態(tài)密

式中:g

(E

)表示的是單位體積、單位能量間隔的量子態(tài)數(shù)；

N(E)表示的是單位體積、單位能量間隔的粒子數(shù)；

f(

E)為費(fèi)米狄拉克分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱為費(fèi)米分布函數(shù)，它是指在熱平衡狀態(tài)下，能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的概率；

EF

為費(fèi)米能級(jí)。

為了認(rèn)識(shí)費(fèi)米分布函數(shù)，需研究在不同的溫度下

f(E)值的大小與EF

位置的關(guān)系。當(dāng)T=0K時(shí)，根據(jù)式(2.12)f(E)只有0和1兩種取值，當(dāng)E>EF時(shí)，

f(E)=0，當(dāng)E

<EF

時(shí)，f

(E)=1。當(dāng)T=0K時(shí)，

f(E)的變化如圖2.3所示。

式中:g(E)表示的是單位體積、單位能量間隔的量圖2.3T=0K時(shí)，費(fèi)米分布函數(shù)與能量的關(guān)系曲線圖2.3T=0K時(shí)，費(fèi)米分布函數(shù)與能量的關(guān)系曲線

也就是說(shuō)，在絕對(duì)零度時(shí)，能量比費(fèi)米能級(jí)低的量子態(tài)全被電子占據(jù)，而能量比費(fèi)米能級(jí)高的量子態(tài)沒(méi)有電子，全部為空。

隨著溫度的升高，大于絕對(duì)零度后(T>0K)，電子會(huì)獲得一定的能量，向更高能級(jí)躍遷，相應(yīng)的電子在量子態(tài)的分布情況也會(huì)發(fā)生變化。圖2.4是在T>0K時(shí)，費(fèi)米分布函數(shù)隨能量變化的關(guān)系曲線。當(dāng)E=EF

時(shí)，費(fèi)米分布函數(shù)為

也就是說(shuō)，在絕對(duì)零度時(shí)，能量比費(fèi)米能級(jí)低的量子態(tài)全被電

計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，能量為EF

的量子態(tài)被電子占據(jù)的概率為1/2。當(dāng)E>EF

時(shí)，費(fèi)米分布函數(shù)f

(E)<1/2，也就是說(shuō)對(duì)于E>EF

的能級(jí)，其被電子占據(jù)的概率小于其空著的概率，并且隨著E

的增加，電子占據(jù)能量為E

的量子態(tài)的概率指數(shù)式減小。

當(dāng)E<EF

時(shí)，費(fèi)米分布函數(shù)f(E)>1/2，也就是說(shuō)對(duì)于E<EF

的能級(jí)，其被電子占據(jù)的概率大于其空著的概率，并且隨著E

的減小，電子占據(jù)能量為E

的量子態(tài)的概率趨近于1。

計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，能量為EF的量子態(tài)被電子占據(jù)的概率為

通過(guò)上面的描述可以認(rèn)為費(fèi)米能級(jí)是電子占據(jù)能級(jí)水平高低的度量。費(fèi)米能級(jí)低，電子占據(jù)高能級(jí)的概率較低，在高能級(jí)上的電子數(shù)較少；費(fèi)米能級(jí)高，電子占據(jù)高能級(jí)的概率較大，在高能級(jí)上的電子數(shù)較多。

通過(guò)上面的描述可以認(rèn)為費(fèi)米能級(jí)是電子占據(jù)能級(jí)水平高低的

[例2.2]分別計(jì)算在室溫T=300K時(shí)，比費(fèi)米能級(jí)高3

kT

和比費(fèi)米能級(jí)低2kT的量子態(tài)被電子占據(jù)的概率。圖2.4T>0K時(shí)，費(fèi)米分布函數(shù)隨能量變化的關(guān)系曲線

[例2.2]分別計(jì)算在室溫T=300K時(shí)，第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

從計(jì)算結(jié)果可以看出，比費(fèi)米能級(jí)高的量子態(tài)中，電子占據(jù)量子態(tài)的概率遠(yuǎn)小于1，而比費(fèi)米能級(jí)低的量子態(tài)，電子占據(jù)量子態(tài)的概率接近1。因此，也可以認(rèn)為費(fèi)米能級(jí)以上的能級(jí)幾乎全空，而費(fèi)米能級(jí)以下的能級(jí)幾乎全滿。

既然f(E)表示的是電子占據(jù)某個(gè)能量為E的量子態(tài)的概率，則1-f(E)表示某個(gè)能量為E的量子態(tài)空著的概率，也可以說(shuō)是空穴占據(jù)某個(gè)能量為E的量子態(tài)的概率。圖2.5為T(mén)=300K時(shí)，

1-f(E)和f(E)與能量的關(guān)系曲線。

從計(jì)算結(jié)果可以看出，比費(fèi)米能級(jí)高的量子態(tài)中，電子占據(jù)量圖2.5T=300K時(shí)，

1-f(E)(虛線)和f(E)(實(shí)線)與能量的關(guān)系圖2.5T=300K時(shí)，1-f(E)(虛

[例2.3]證明在費(fèi)米能級(jí)以上ΔE

的量子態(tài)被電子占據(jù)的概率和在費(fèi)米能級(jí)以下ΔE的量子態(tài)為空狀態(tài)的概率相等。

解:已知費(fèi)米分布函數(shù)，那么能量為E

的量子態(tài)處于空狀態(tài)的概率為1-f(E)。費(fèi)米能級(jí)以上ΔE

的量子態(tài)被電子占據(jù)的概率為

[例2.3]證明在費(fèi)米能級(jí)以上ΔE的量子態(tài)

而在費(fèi)米能級(jí)以下ΔE

的量子態(tài)處于空狀態(tài)的概率為

上面兩式結(jié)果經(jīng)計(jì)算相等，命題得證。

而在費(fèi)米能級(jí)以下ΔE的量子態(tài)處于空狀態(tài)的概率為

[例2.4]利用MATLAB編程，畫(huà)出費(fèi)米分布函數(shù)在300K、400K及500K三種溫度下在-0.3eV<E-EF<0.3eV之間隨能量的變化曲線，并畫(huà)出1-f(E)在這三種溫度及同樣的能量范圍內(nèi)的變化曲線。

[例2.4]利用MATLAB編程，畫(huà)出費(fèi)米分第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

其計(jì)算后得到的結(jié)果如圖2.6所示，圖中的虛線是300K時(shí)的結(jié)果，實(shí)線是400K時(shí)的結(jié)果，點(diǎn)線是500K時(shí)的結(jié)果。

對(duì)于1-f(E)的計(jì)算，只需在上述程序稍作調(diào)整，得到的結(jié)果如圖2.7所示。

在以后的計(jì)算中，如果滿足E-EF?kT，則費(fèi)米分布函數(shù)可以做下面的近似

其計(jì)算后得到的結(jié)果如圖2.6所示，圖中的虛線是300圖2.6不同溫度下費(fèi)米分布函數(shù)隨能量變化的關(guān)系曲線圖2.6不同溫度下費(fèi)米分布函數(shù)隨能量變化的關(guān)系曲線圖2.7不同溫度下1-f(E)隨能量變化的關(guān)系曲線圖2.7不同溫度下1-f(E)隨能量變化的關(guān)

近似后的函數(shù)形式就是麥克斯韋玻爾茲曼分布函數(shù)，把近似后的函數(shù)稱為麥克斯韋玻爾茲曼近似下的費(fèi)米分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱玻爾茲曼近似，如圖2.8所示。實(shí)際中，為了確定量子態(tài)的能量比費(fèi)米能級(jí)高多少才可以應(yīng)用玻爾茲曼近似，我們做了一個(gè)簡(jiǎn)單的估算。一般來(lái)說(shuō)由于近似而引起的誤差為0~5%即可。在前面的例2.2中，當(dāng)E-EF=3kT時(shí)，費(fèi)米分布函數(shù)計(jì)算的結(jié)果為4.7%，如果采用玻爾茲曼近似下的費(fèi)米分布函數(shù)，把分母的1略去，則計(jì)算的結(jié)果為4.97%，由此引發(fā)的誤差(4.97-4.74)/4.74=4.8%<5%，故一般認(rèn)為E-EF=3kT就滿足了E-EF?kT

的條件。

近似后的函數(shù)形式就是麥克斯韋玻爾茲曼分布函數(shù)，把近似圖2.8費(fèi)米分布函數(shù)與玻爾茲曼近似圖2.8費(fèi)米分布函數(shù)與玻爾茲曼近似

2.2平衡載流子濃度

有了2.1節(jié)中的準(zhǔn)備知識(shí)，計(jì)算平衡半導(dǎo)體的載流子濃度已經(jīng)很容易了。比如要計(jì)算導(dǎo)帶的電子濃度，只需將導(dǎo)帶電子的狀態(tài)密度函數(shù)與費(fèi)米分布函數(shù)相乘，并對(duì)整個(gè)導(dǎo)帶能量范圍進(jìn)行積分即可得到導(dǎo)帶的總電子濃度。類似地，要計(jì)算價(jià)帶的空穴濃度，只需將價(jià)帶空穴的狀態(tài)密度函數(shù)與能量為E的能級(jí)不被電子占據(jù)的概率相乘，并對(duì)整個(gè)價(jià)帶能量范圍積分即可。

2.2平衡載流子濃度

有了2.1節(jié)中的準(zhǔn)備知

在具體計(jì)算之前，先來(lái)看一個(gè)定性的圖示，來(lái)了解半導(dǎo)體中的載流子濃度的大小和費(fèi)米能級(jí)位置之間圖2.9費(fèi)米能級(jí)在不同位置時(shí)，載流子濃度的變化情況

在具體計(jì)算之前，先來(lái)看一個(gè)定性的圖示，來(lái)了解半導(dǎo)體中的圖2.9費(fèi)米能級(jí)在不同位置時(shí)，載流子濃度的變化情況圖2.9費(fèi)米能級(jí)在不同位置時(shí)，載流子濃度的變化情況

當(dāng)假設(shè)導(dǎo)帶電子有效質(zhì)量和價(jià)帶空穴有效質(zhì)量相等時(shí)，

gc

(E)、gv(E)關(guān)于禁帶中央對(duì)稱。在圖2.9第一列的三個(gè)圖中，費(fèi)米能級(jí)位置分別在禁帶上部、禁帶中央和禁帶下部。如圖2.5所示f(E)、1-f(E)是關(guān)于E=EF

對(duì)稱的，因此在圖2.9的第三列f(E)、1-f(E)的位置隨著費(fèi)米能級(jí)位置的移動(dòng)而相應(yīng)發(fā)生整體移動(dòng)，而形貌不發(fā)生變化。圖2.

9的第四列是電子的狀態(tài)密度函數(shù)與費(fèi)米分布函數(shù)相乘并積分后結(jié)果的示意圖，第四列中陰影部分表示導(dǎo)帶電子濃度，而在價(jià)帶頂部附近的曲線下包含的面積則是空穴濃度。

當(dāng)假設(shè)導(dǎo)帶電子有效質(zhì)量和價(jià)帶空穴有效質(zhì)量相等時(shí)，g

從圖2.9中可以看出，當(dāng)費(fèi)米能級(jí)位于禁帶中央時(shí)，

gc(E)、gv(E)及f(E)、1-f(E)都關(guān)于禁帶中央對(duì)稱，導(dǎo)帶電子的數(shù)目和價(jià)帶空穴的數(shù)目是相等的，這與本征半導(dǎo)體的情況是相同的。當(dāng)費(fèi)米能級(jí)位于禁帶上部時(shí)，

gc

(E)和f(E)的重合較多，二者相乘后積分，得到的導(dǎo)帶電子濃度較大。類似地，當(dāng)費(fèi)米能級(jí)位于禁帶的下部時(shí)，

gv

(E)和1-f(E)的重合較多，二者相乘后積分，得到價(jià)帶空穴的濃度較大。

從圖2.9中可以看出，當(dāng)費(fèi)米能級(jí)位于禁帶中央時(shí)，

從圖2.9中還可以看出，當(dāng)假設(shè)電子有效質(zhì)量等于空穴有效質(zhì)量時(shí)，gc(E)、gv(E)關(guān)于禁帶中央對(duì)稱，那么要得到相等的電子濃度和空穴濃度，費(fèi)米能級(jí)必須嚴(yán)格位于禁帶中央。如果兩種載流子的有效質(zhì)量不等，為得到相等的

電子濃度和空穴濃度，則費(fèi)米能級(jí)的位置也要相應(yīng)在禁帶中央發(fā)生移動(dòng)。

在圖2.9中，狀態(tài)密度函數(shù)gc(E)、gv(E)隨能量的變化規(guī)律在三種情況下均保持不變。

從圖2.9中還可以看出，當(dāng)假設(shè)電子有效質(zhì)量等于空穴

2.2.1平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度的公式

下面定量計(jì)算導(dǎo)帶電子濃度和價(jià)帶空穴濃度的表達(dá)式，按照前面的思路，有

2.2.1平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度的公式

下面第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

說(shuō)明：這個(gè)結(jié)果與費(fèi)米能級(jí)位于禁帶上部的情況一樣，定量計(jì)算結(jié)果表明，導(dǎo)帶電子濃度遠(yuǎn)大于價(jià)帶空穴濃度。費(fèi)米能級(jí)在禁帶中雖然移動(dòng)量只有零點(diǎn)幾電子伏特，但這種移動(dòng)引起的載流子濃度的變化是很大的。

說(shuō)明：這個(gè)結(jié)果與費(fèi)米能級(jí)位于禁帶上部的情況一樣，定量計(jì)

2.2.2本征半導(dǎo)體中的載流子濃度

本征半導(dǎo)體是指沒(méi)有摻入其他雜質(zhì)而且也沒(méi)有晶格缺陷的純凈半導(dǎo)體。在本征半導(dǎo)體中，要產(chǎn)生載流子，價(jià)帶的電子吸收外界的能量后，擺脫共價(jià)鍵的束縛，向?qū)кS遷，這個(gè)過(guò)程稱為本征激發(fā)。本征激發(fā)在導(dǎo)帶產(chǎn)生一個(gè)電子，與此同時(shí)在價(jià)帶產(chǎn)生一個(gè)空穴。因此，在本征半導(dǎo)體中，導(dǎo)帶電子和價(jià)帶空穴是成對(duì)產(chǎn)生的，導(dǎo)帶電子濃度和價(jià)帶空穴濃度是相等的。

2.2.2本征半導(dǎo)體中的載流子濃度

本征半導(dǎo)體

通常用下標(biāo)i

來(lái)表示本征半導(dǎo)體的相關(guān)參數(shù)，

ni

、pi

分別表示本征半導(dǎo)體的電子濃度和空穴濃度，由于ni=pi

，可以用ni

或pi

表示本征半導(dǎo)體的載流子濃度，也稱為本征載流子濃度，用EFi表示本征費(fèi)米能級(jí)。根據(jù)式(2.22)和式(2.30)有

通常用下標(biāo)i來(lái)表示本征半導(dǎo)體的相關(guān)參數(shù)，ni

將式(2.31)和式(2.32)相乘，得到

式(2.33)表明，對(duì)于處于平衡狀態(tài)下的本征半導(dǎo)體，本征載流子濃度僅與溫度和半導(dǎo)體的禁帶寬度有關(guān)，而與費(fèi)米能級(jí)無(wú)關(guān)。將式(2.33)取平方根，得到

將式(2.31)和式(2.32)相乘，得到

對(duì)于T=300K下的硅，將其禁帶寬度1.12eV代入到式(2.34)中，計(jì)算出其本征載流子濃度為6.95×109

cm-3，與表2.1中給出的硅在T=300K下本征載流子濃度的測(cè)量值1.5×1010

cm-3有一些差別。這種差別主要來(lái)源于Nc

、Nv

公式中出現(xiàn)的電子有效質(zhì)量m*n

、空穴有效質(zhì)量m*p理論值與實(shí)驗(yàn)值的差別，以及用簡(jiǎn)單的三維無(wú)限深勢(shì)阱模型在計(jì)算狀態(tài)密度時(shí)導(dǎo)致的誤差。在以后的計(jì)算及應(yīng)用的時(shí)候，用到本征載流子濃度時(shí)，選取公認(rèn)值即可。

對(duì)于T=300K下的硅，將其禁帶寬度1.12

[例2.6]請(qǐng)畫(huà)出三種常見(jiàn)的半導(dǎo)體材料，硅、鍺和砷化鎵的本征載流子濃度在200K~600K之間隨溫度變化的曲線。

解：根據(jù)本征載流子濃度的公式

[例2.6]請(qǐng)畫(huà)出三種常見(jiàn)的半導(dǎo)體材料，硅、鍺第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

從圖2.10中可以看出本征載流子濃度強(qiáng)烈的依賴外界溫度的變化，隨著外界溫度的增加而指數(shù)增加。

從圖2.10中可以看出本征載流子濃度圖2.10本征載流子濃度隨溫度變化的曲線圖2.10本征載流子濃度隨溫度變化的曲線

2.2.3載流子濃度的乘積

通過(guò)對(duì)本征載流子濃度的討論，可以發(fā)現(xiàn)本征載流子濃度只和半導(dǎo)體的種類及溫度有關(guān)，可以認(rèn)為它是在已知溫度下半導(dǎo)體材料的一個(gè)重要基本參數(shù)。

將式(2.22)和式(2.30)相乘后，得到

對(duì)于熱平衡狀態(tài)下的半導(dǎo)體有

2.2.3載流子濃度的乘積

通過(guò)對(duì)本征載流子濃

式(2.35)說(shuō)明在某一溫度下的半導(dǎo)體，其導(dǎo)帶電子濃度和價(jià)帶空穴濃度的乘積是一個(gè)常數(shù)。式(2.35)在實(shí)際的計(jì)算中很有用，當(dāng)算出其中一種載流子的濃度后，可以利用式(2.35)計(jì)算出另一種載流子的濃度。但式(2.35)是在式(2.22)和式(2.30)的基礎(chǔ)上得出的結(jié)論，而式(2.22)和式(2.30)成立的前提是滿足玻爾茲曼近似。因此式(2.35)是僅對(duì)滿足玻爾茲曼近似前提下的熱平衡半導(dǎo)體適用的公式。

式(2.35)說(shuō)明在某一溫度下的半導(dǎo)體，其導(dǎo)帶電

可以利用ni

或pi，將載流子濃度n0

或p0

用ni或pi表示，在式(2.22)的指數(shù)項(xiàng)上加上本征費(fèi)米能級(jí)，再減去本征費(fèi)米能級(jí)，其結(jié)果保持不變，即有

可以利用ni或pi，將載流子濃度n0

熱平衡載流子濃度可以表示為

熱平衡載流子濃度可以表示為

2.2.4本征費(fèi)米能級(jí)位置

通過(guò)對(duì)圖2.9(b)中的定性分析，已經(jīng)知道本征半導(dǎo)體的費(fèi)米能級(jí)在禁帶中央附近，下面將通過(guò)嚴(yán)格的推導(dǎo)證明本征半導(dǎo)體費(fèi)米能級(jí)的精確位置。

因?yàn)閚i

=pi，固式(2.31)與式(2.32)相等，即有

2.2.4本征費(fèi)米能級(jí)位置

通過(guò)對(duì)圖2.9

可以將式(2.38)看做關(guān)于本征費(fèi)米能級(jí)EFi

的方程，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)后，進(jìn)行變換，得

將Nc、Nv

的表達(dá)式(2.21)和式(2.29)代入式(2.39)后，得到

可以將式(2.40)變形為

可以將式(2.38)看做關(guān)于本征費(fèi)米能級(jí)EFi的

式(2.41)表明當(dāng)電子有效質(zhì)量和空穴有效質(zhì)量嚴(yán)格相等時(shí)，本征費(fèi)米能級(jí)嚴(yán)格在禁帶中央，如圖2.9(b)所示。當(dāng)電子有效質(zhì)量和空穴有效質(zhì)量不相等時(shí)，導(dǎo)致導(dǎo)帶電子的狀態(tài)密度函數(shù)和價(jià)帶空穴的狀態(tài)密度函數(shù)不對(duì)稱，因此為了使本征電子濃度和本征空穴濃度相等，本征費(fèi)米能級(jí)也相應(yīng)地要在禁帶中央附近發(fā)生移動(dòng)。當(dāng)電子有效質(zhì)量大于空穴有效質(zhì)量時(shí)，式(2.41)右邊的表達(dá)式計(jì)算為負(fù)值，本征費(fèi)米能級(jí)會(huì)低于禁帶中央；當(dāng)空穴有效質(zhì)量大于電子有效質(zhì)量時(shí)，式(2.41)右邊的表達(dá)式計(jì)算為正值，本征費(fèi)米能級(jí)會(huì)高于禁帶中央。實(shí)際中半導(dǎo)體材料的導(dǎo)帶電子有效質(zhì)量和價(jià)帶空穴有效質(zhì)量不相等，嚴(yán)格地說(shuō)，此時(shí)本征費(fèi)米能級(jí)的位置偏離了禁帶中央，但由于種種原因偏離量很小，在以后的計(jì)算和應(yīng)用中，忽略這種偏離，近似認(rèn)為本征費(fèi)米能級(jí)就在禁帶中央。

式(2.41)表明當(dāng)電子有效質(zhì)量和空穴有效質(zhì)量嚴(yán)

2.3只含一種雜質(zhì)的雜質(zhì)半導(dǎo)體中的載流子濃度

在上一節(jié)中，推出了適用于平衡半導(dǎo)體的電子濃度和空穴濃度的一般公式，并討論了本征半導(dǎo)體這種特殊對(duì)象的載流子濃度和費(fèi)米能級(jí)位置。在實(shí)際應(yīng)用中，由于本征半導(dǎo)體對(duì)溫度的變化很敏感而很少用來(lái)制作器件，制造半導(dǎo)體器件的材料一般使用摻雜半導(dǎo)體?？梢哉f(shuō)，摻入定量的特定的雜質(zhì)后才可以真正顯示出半導(dǎo)體的性質(zhì)。在本節(jié)中，將利用上節(jié)中得出的公式計(jì)算雜質(zhì)半導(dǎo)體中的載流子濃度。

2.3只含一種雜質(zhì)的雜質(zhì)半導(dǎo)體中的載流子濃度

在

2.3.1施主雜質(zhì)和受主雜質(zhì)

在實(shí)際中更為常用的是摻雜半導(dǎo)體，半導(dǎo)體真正的性質(zhì)也是在其摻雜后表現(xiàn)出來(lái)的，通過(guò)摻雜這種手段可以有效地改變半導(dǎo)體的電學(xué)特性。與本征半導(dǎo)體相對(duì)應(yīng)，通常將摻雜的半導(dǎo)體稱為非本征半導(dǎo)體。

2.3.1施主雜質(zhì)和受主雜質(zhì)

在實(shí)際中更為常用

以第四族的典型半導(dǎo)體硅為例，它以共價(jià)鍵的方式結(jié)合在一起，圖2.11為硅晶體結(jié)構(gòu)的二維示意圖。從圖2.11中可以看出每個(gè)硅原子周圍都有四個(gè)硅原子，兩兩之間共用一個(gè)電子對(duì)，形成最外層八個(gè)電子的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。假定有一個(gè)第五族的元素磷摻入到硅半導(dǎo)體中，并取代硅的位置(將這種雜質(zhì)稱為替位式雜質(zhì))，則由于磷元素的最外層有五個(gè)電子，因此除了四個(gè)與相鄰的硅原子形成共用電子對(duì)外，還剩余一個(gè)電子，這個(gè)電子仍受到磷原子的束縛，但這種束縛作用和其他四個(gè)電子的共價(jià)鍵束縛相比要弱得多。摻入磷原子后的硅晶體二維示意圖如圖2.12所示。

以第四族的典型半導(dǎo)體硅為例，它以共價(jià)鍵的方式結(jié)合在一起圖2.11硅晶體的共價(jià)鍵二維示意圖圖2.11硅晶體的共價(jià)鍵二維示意圖圖2.12摻入磷原子后的硅晶體二維示意圖圖2.12摻入磷原子后的硅晶體二維示意圖

由于多余出來(lái)的第五個(gè)電子擺脫磷原子的束縛較為容易，只需要很少的能量即可成為自由電子，擺脫磷原子束縛所需的能量稱為施主雜質(zhì)的電離能。這個(gè)電子是由于雜質(zhì)的引入而產(chǎn)生的，稱為施主電子，對(duì)應(yīng)的摻入的磷元素稱為施主雜質(zhì)，電離后的磷原子帶正電，因其受到四個(gè)共價(jià)鍵的束縛而不能移動(dòng)。

上面的這個(gè)過(guò)程也可以從能帶圖的角度解釋，當(dāng)施主雜質(zhì)電離后，成為自由電子，即為導(dǎo)帶中的電子。由此反推，電離前施主原子的能級(jí)位置應(yīng)該在離導(dǎo)帶底部較近的禁帶之中，圖2.13(a)、(b)分別是施主雜質(zhì)電離前和電離后的能帶圖。

由于多余出來(lái)的第五個(gè)電子擺脫磷原子的束縛較為容易，只需圖2.13施主雜質(zhì)的能帶圖圖2.13施主雜質(zhì)的能帶圖

當(dāng)在半導(dǎo)體中摻入施主雜質(zhì)后，施主雜質(zhì)的電離將會(huì)給導(dǎo)帶提供很多電子，但同時(shí)并不產(chǎn)生價(jià)帶空穴。這種半導(dǎo)體中電子濃度大于空穴濃度，稱為N型半導(dǎo)體，其中N表示的是帶負(fù)電的電子，也把N型半導(dǎo)體中的電子稱為多數(shù)載流子，簡(jiǎn)稱多子；

N型半導(dǎo)體中的空穴稱為少數(shù)載流子，簡(jiǎn)稱少子。在表示時(shí)，和施主雜質(zhì)有關(guān)的參量都用“D”來(lái)表示，如圖2.13中用ED

來(lái)表示施主能級(jí)。

當(dāng)假定有一個(gè)第三族的元素硼摻入到半導(dǎo)體硅中成為替位式雜質(zhì)時(shí)，由于硼元素最外層只有三個(gè)電子，因此它只與相鄰的三個(gè)硅原子之間共用電子對(duì)，形成共價(jià)鍵，有一個(gè)應(yīng)該形成共價(jià)鍵的位置是空的，如圖2.14所示。

當(dāng)在半導(dǎo)體中摻入施主雜質(zhì)后，施主雜質(zhì)的電離將會(huì)給導(dǎo)帶提圖2.14摻入硼原子的硅晶體共價(jià)鍵二維示意圖圖2.14摻入硼原子的硅晶體共價(jià)鍵二維示意圖

由于硼原子周圍的一個(gè)共價(jià)鍵是空的，因此這一位置可能吸引其他位置的電子，但其他共價(jià)鍵位置的電子要填入這個(gè)空位，也需要一定的能量，但是這個(gè)能量和共價(jià)鍵中的電子擺脫共價(jià)鍵的束縛所需的能量相比要小得多。圖2.15畫(huà)出了這個(gè)過(guò)程，硼原子周圍的共價(jià)鍵被填滿，與此同時(shí)在其他位置留下空的電子位置。

由于硼原子周圍的一個(gè)共價(jià)鍵是空的，因此這一位置可能吸引圖2.15硼原子電離過(guò)程示意圖圖2.15硼原子電離過(guò)程示意圖

硼原子電離后變成帶負(fù)電的硼離子，由于它受到共價(jià)鍵的束縛因而不能移動(dòng)。在圖2.14中空出來(lái)的電子位置就是在第1章中討論的假想載流子空穴。摻入第三族的元素硼后，它接受價(jià)帶的電子發(fā)生電離，同時(shí)在價(jià)帶產(chǎn)生空穴，通常把這種雜質(zhì)稱為受主雜質(zhì)。受主雜質(zhì)的引入可以在價(jià)帶產(chǎn)生空穴，但同時(shí)并不在導(dǎo)帶產(chǎn)生電子。通常把摻入受主雜質(zhì)的半導(dǎo)體稱為P型半導(dǎo)體，其中P表示帶正電的空穴，

P型半導(dǎo)體中的價(jià)帶空穴比導(dǎo)帶電子多，是多數(shù)載流子，簡(jiǎn)稱多子；

P型半導(dǎo)體中的電子是少數(shù)載流子，簡(jiǎn)稱少子。

硼原子電離后變成帶負(fù)電的硼離子，由于它受到共價(jià)鍵的束縛

與施主雜質(zhì)的分析類似，對(duì)于受主雜質(zhì)，也可以從能帶圖的角度去解釋。價(jià)帶的電子需要很少的能量就可以躍遷到受主雜質(zhì)上，由此反推，受主雜質(zhì)的能級(jí)位置應(yīng)該在禁帶中靠近價(jià)帶頂部的位置，如圖2.16所示。在圖2.16(b)中箭頭表示的是電子的運(yùn)動(dòng)方向，空穴的運(yùn)動(dòng)方向和電子的運(yùn)動(dòng)方向相反。在表示時(shí)，和受主雜質(zhì)有關(guān)的參量都用“A”來(lái)表示，如圖2.16中用EA

來(lái)表示受主能級(jí)。

與施主雜質(zhì)的分析類似，對(duì)于受主雜質(zhì)，也可以從能帶圖的角圖2.16受主雜質(zhì)的能帶圖圖2.16受主雜質(zhì)的能帶圖

在前面討論施主雜質(zhì)和受主雜質(zhì)時(shí)，提到將第五族的磷原子和第三族的硼原子摻入到半導(dǎo)體硅材料中，其施主能級(jí)或受主能級(jí)非?？拷鼘?dǎo)帶底部或價(jià)帶頂部，因此施主雜質(zhì)或受主雜質(zhì)電離所需的能量較小，較容易電離，電離能小。下面利用一個(gè)簡(jiǎn)單的理論模型定量的估算一下雜質(zhì)的電離能，這個(gè)理論模型稱為類氫原子模型。

在前面討論施主雜質(zhì)和受主雜質(zhì)時(shí)，提到將第五族的磷原子和

對(duì)于摻入硅中的磷原子，其中最外層中的四個(gè)電子形成共價(jià)鍵，只留下一個(gè)電子，這個(gè)電子受到磷原子的束縛，圍繞磷原子轉(zhuǎn)動(dòng)。這樣的情況和氫原子核外的一個(gè)電子圍繞原子核運(yùn)動(dòng)的情況很類似，可以用玻爾理論來(lái)估算施主雜質(zhì)或受主雜質(zhì)的電離能。根據(jù)玻爾理論，氫原子核外的電子具有量子化的能量，其表達(dá)式為

對(duì)于摻入硅中的磷原子，其中最外層中的四個(gè)電子形成共價(jià)鍵

當(dāng)n=1時(shí)(對(duì)應(yīng)為基態(tài))對(duì)氫原子計(jì)算得到-13.6eV，因此氫原子的最低能級(jí)電離所需的電離能為13.6eV。當(dāng)把這一結(jié)果應(yīng)用到半導(dǎo)體中施主雜質(zhì)或受主雜質(zhì)時(shí)，需要做兩方面的修正:第一因?yàn)楣街谐霈F(xiàn)了介電常數(shù)，氫原子計(jì)算時(shí)采用的是真空的介電常數(shù)，而不同半導(dǎo)體材料的介電常數(shù)都不同，比如半導(dǎo)體硅的相對(duì)介電常數(shù)為11.7，應(yīng)該根據(jù)計(jì)算的半導(dǎo)體材料的介電常數(shù)進(jìn)行修正；第二因?yàn)楣街谐霈F(xiàn)了電子的質(zhì)量，而在半導(dǎo)體中需要根據(jù)雜質(zhì)是施主雜質(zhì)或受主雜質(zhì)而將其變?yōu)殡娮佑行з|(zhì)量或空穴有效質(zhì)量。

當(dāng)n=1時(shí)(對(duì)應(yīng)為基態(tài))對(duì)氫原子計(jì)算得到-13

經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)修正后，將施主雜質(zhì)的電離能用ΔED表示，其值為E

c-ED

，則有

類似地，受主雜質(zhì)的電離能ΔEA=EA-Ev

可以表示為

經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)修正后，將施主雜質(zhì)的電離能用ΔED表

用上面的類氫原子模型對(duì)半導(dǎo)體硅中摻入的施主雜質(zhì)估算出其電離能為0.0258eV，表2.2中列出了在半導(dǎo)體硅和鍺中，幾種施主雜質(zhì)和受主雜質(zhì)的電離能，可以看出電離能的數(shù)值和禁帶寬度相比是很小的，而不同的材料和不同載流子的有效質(zhì)量導(dǎo)致表中的每個(gè)電離能都不同，但表中的電離能與前面的類氫原子模型估算的數(shù)量級(jí)相同。通常把電離能比半導(dǎo)體的禁帶寬度小得多的這種雜質(zhì)稱為淺施主雜質(zhì)或淺受主雜質(zhì)。

用上面的類氫原子模型對(duì)半導(dǎo)體硅中摻入的施主雜質(zhì)估算出其第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

2.3.2施主雜質(zhì)能級(jí)上的電子和受主雜質(zhì)能級(jí)上的空穴

在上一節(jié)中討論了純凈的半導(dǎo)體也就是本征半導(dǎo)體的載流子濃度，其導(dǎo)帶電子濃度和價(jià)帶空穴濃度相等。當(dāng)半導(dǎo)體中引入施主雜質(zhì)或者受主雜質(zhì)時(shí)，其變?yōu)镹型半導(dǎo)體或P型半導(dǎo)體，其多子為電子或空穴，通常將摻入雜質(zhì)(施主雜質(zhì)或受主雜質(zhì))的半導(dǎo)體統(tǒng)稱為非本征半導(dǎo)體，這一節(jié)里將要討論如何求解只含一種雜質(zhì)的非本征半導(dǎo)體的載流子濃度。

在2.1節(jié)中引入了費(fèi)米分布函數(shù)，用它來(lái)描述某一量子態(tài)被電子占據(jù)的概率。類似地，在這一節(jié)中將討論施主雜質(zhì)能級(jí)被電子占據(jù)的概率和受主雜質(zhì)能級(jí)被空穴占據(jù)的概率。

2.3.2施主雜質(zhì)能級(jí)上的電子和受主雜質(zhì)能級(jí)上的空

與費(fèi)米分布函數(shù)的引入類似，這里直接給出電子占據(jù)施主雜質(zhì)能級(jí)的概率函數(shù)為

類似地，空穴占據(jù)受主雜質(zhì)能級(jí)的概率函數(shù)為

與費(fèi)米分布函數(shù)的引入類似，這里直接給出電子占據(jù)施主雜質(zhì)

施主雜質(zhì)的濃度用ND

表示，受主雜質(zhì)的濃度用NA

表示，則ND

就是施主雜質(zhì)的量子態(tài)密度，

NA

就是受主雜質(zhì)的量子態(tài)密度，則有

施主雜質(zhì)的濃度用ND表示，受主雜質(zhì)的濃度用N第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

式(2.46)和式(2.47)中：

pA

表示占據(jù)受主雜質(zhì)能級(jí)的空穴濃度；N-A表示電離的受主雜質(zhì)濃度。從式(2.44)~式(2.47)可以看出，雜質(zhì)能級(jí)相對(duì)于費(fèi)米能級(jí)的分布情況決定了雜質(zhì)電離的情況。從式(2.42)中可以看出若滿足ED-EF?kT，則式(2.44)近似等于零，表明施主雜質(zhì)完全電離；若滿足EF-ED?kT，則式(2.44)近似等于ND

，表明施主雜質(zhì)完全沒(méi)有電離。對(duì)于淺施主雜質(zhì)而言，因?yàn)镋D

非?？拷鼘?dǎo)帶底部Ec，要滿足EF-ED?kT，只能是在絕對(duì)零度時(shí)。類似地，若

EF-EA?kT，則式(2.46)近似等于零，表明受主雜質(zhì)完全電離；若滿足EA-EF?kT，則式(2.46)近似等于NA

，表明受主雜質(zhì)完全沒(méi)有電離。在絕對(duì)零度和完全電離時(shí)半導(dǎo)體的能帶圖分別如圖2.17和圖2.18所示。

式(2.46)和式(2.47)中：pA表示圖2.17在絕對(duì)零度時(shí)半導(dǎo)體的能帶圖圖2.17在絕對(duì)零度時(shí)半導(dǎo)體的能帶圖圖2.18完全電離時(shí)半導(dǎo)體的能帶圖圖2.18完全電離時(shí)半導(dǎo)體的能帶圖

2.3.3電中性條件

接下來(lái)討論半導(dǎo)體中的摻雜濃度和載流子濃度之間的關(guān)系。在熱平衡條件下，考慮均勻摻雜的半導(dǎo)體，其內(nèi)部是電中性的，不存在凈電荷。所謂電中性條件，是指在均勻摻雜的熱平衡半導(dǎo)體內(nèi)部所存在的所有帶正電的電荷密度等于所有帶負(fù)電的電荷密度。電中性條件將半導(dǎo)體中的摻雜濃度和載流子濃度聯(lián)系起來(lái)?，F(xiàn)在考慮一種半導(dǎo)體，其中摻入一種施主雜質(zhì)，一種受主雜質(zhì)，其滿足的電中性條件為

2.3.3電中性條件

接下來(lái)討論半導(dǎo)體中的摻雜

式中：N-A

、N+D分別表示電離的受主雜質(zhì)濃度和電離的施主雜質(zhì)濃度；

n0

、p0

分別表示平衡時(shí)的電子濃度和空穴濃度。若假設(shè)半導(dǎo)體中摻入m

種施主雜質(zhì)和p

種受主雜質(zhì)，則更一般的電中性條件表示為

式中：N-A、N+D分別表示電離的受主雜質(zhì)濃度和電離

下面先考慮最簡(jiǎn)單的情況，只摻入一種施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體，來(lái)討論已知摻雜濃度如何求出熱平衡的載流子濃度。

對(duì)于只摻入一種施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體，其電中性條件簡(jiǎn)化為

下面先考慮最簡(jiǎn)單的情況，只摻入一種施主雜質(zhì)的N型半

式(2.50)理解起來(lái)更容易一些，等式左邊表示單位體積中的正電荷，它是由空穴和電離的施主雜質(zhì)濃度共同決定的，等式的右邊是單位體積中的負(fù)電荷，完全為導(dǎo)帶的電子濃度。也可將式(2.50)理解為，導(dǎo)帶電子有兩方面來(lái)源，一個(gè)是來(lái)源于雜質(zhì)電離(式(2.50)中的N+D)，另一個(gè)來(lái)源于本征激發(fā)(式(2.50)中的p0

)，如圖2.19所示。將前面推導(dǎo)出的n0

、p0

、N+D的表達(dá)式代入式(2.50)，得到

式(2.50)理解起來(lái)更容易一些，等式左邊表示單位體積圖2.19在N型半導(dǎo)體中，雜質(zhì)電離和本征激發(fā)圖2.19在N型半導(dǎo)體中，雜質(zhì)電離和本征激發(fā)

可以將式(2.51)看做一個(gè)關(guān)于費(fèi)米能級(jí)EF

的方程，如果可以從式(2.51)中解出EF

，再代入到n0

、p0

的表達(dá)式中，就可以得到N型半導(dǎo)體的載流子濃度了。但仔細(xì)觀察式(2.51)后發(fā)現(xiàn)，要想嚴(yán)格求解式(2.51)還是比較困難的。為了簡(jiǎn)化運(yùn)算起見(jiàn)，下面按溫度分區(qū)域，在不同的區(qū)域中進(jìn)行不同的簡(jiǎn)化，求出載流子濃度。

可以將式(2.51)看做一個(gè)關(guān)于費(fèi)米能級(jí)EF

1.低溫弱電離區(qū)

低溫弱電離區(qū)的溫度非常低，不僅本征激發(fā)產(chǎn)生的載流子濃度近似為零，而且施主雜質(zhì)也僅有少量能發(fā)生電離，則電中性條件簡(jiǎn)化為

即

1.低溫弱電離區(qū)

低溫弱電離區(qū)的溫度非常低，不僅

假設(shè)滿足EF-ED?kT時(shí)，可對(duì)式(2.53)等式右邊的表達(dá)式近似，將分母中1略去，并從式(2.53)中求解出費(fèi)米能級(jí)的表達(dá)式，為

這個(gè)費(fèi)米能級(jí)的公式與圖2.17中T=0K的費(fèi)米能級(jí)的位置是一致的。

假設(shè)滿足EF-ED?kT時(shí)，可對(duì)式(

2.中間電離區(qū)

中間電離區(qū)的溫度與低溫弱電離區(qū)時(shí)的相比溫度增加，但溫度還是很低。和低溫弱電離區(qū)相比，這一區(qū)域中的施主雜質(zhì)電離比例有提高，本征激發(fā)產(chǎn)生的載流子濃度仍近似為零，因此這一區(qū)域簡(jiǎn)化后的電中性條件仍為式(2.52)。

2.中間電離區(qū)

中間電離區(qū)的溫度與低溫弱電離區(qū)時(shí)

3.完全電離區(qū)

隨著溫度的升高，本征激發(fā)產(chǎn)生的載流子濃度仍近似為零，但摻入的施主雜質(zhì)完全電離，則電中性條件簡(jiǎn)化為

即

3.完全電離區(qū)

隨著溫度的升高，本征激發(fā)產(chǎn)生的載

從式(2.55)中可以反推出費(fèi)米能級(jí)的表達(dá)式

從式(2.54)可以看出，此時(shí)N型半導(dǎo)體的載流子濃度只由摻雜濃度決定，而與溫度無(wú)關(guān)。

從式(2.55)中可以反推出費(fèi)米能級(jí)的表達(dá)式

4.過(guò)渡區(qū)

隨著溫度進(jìn)一步升高，雜質(zhì)完全電離的同時(shí)，已經(jīng)不能忽略本征激發(fā)產(chǎn)生的本征載流子濃度，則電中性條件近似為

將式(2.35)變形為

4.過(guò)渡區(qū)

隨著溫度進(jìn)一步升高，雜質(zhì)完全電離的同

代入到式(2.57)中，得到

解式(2.58)得到

在式(2.59)中，其解也可以取負(fù)號(hào)，但為了保證計(jì)算得到的電子濃度為正值，故式(2.58)的解只取正號(hào)。

代入到式(2.57)中，得到

解式(2.58)

5.本征激發(fā)區(qū)

繼續(xù)升高溫度，由于本征載流子濃度隨著溫度的增加而迅速增加，本征激發(fā)產(chǎn)生的載流子濃度遠(yuǎn)大于雜質(zhì)電離產(chǎn)生的載流子濃度，因此在這個(gè)溫度區(qū)間內(nèi)電中性條件簡(jiǎn)化為

5.本征激發(fā)區(qū)

繼續(xù)升高溫度，由于本征載流子濃度

需要說(shuō)明的是，對(duì)于任何摻入施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體隨著溫度的變化都存在以上五個(gè)區(qū)域，但對(duì)于不同摻雜濃度的半導(dǎo)體，其對(duì)應(yīng)每個(gè)區(qū)域的溫度范圍并不相同，這和半導(dǎo)體的摻雜濃度有關(guān)。因此進(jìn)入本征激發(fā)區(qū)的溫度也不相同。雜質(zhì)濃度越高，進(jìn)入本征激發(fā)區(qū)的溫度也相應(yīng)越高。

圖2.20為某一施主摻雜濃度下的N型半導(dǎo)體的導(dǎo)帶電子濃度隨溫度變化的曲線示意圖，在圖中可以清楚地看出，上面討論的四個(gè)區(qū)域的存在(因?yàn)榈蜏厝蹼婋x區(qū)和中間電離區(qū)無(wú)法區(qū)分，可以看做一個(gè)區(qū))。從圖2.20中還可以看出，在本征激發(fā)區(qū)時(shí)，電子濃度隨溫度也呈指數(shù)式增加，與本征載流子濃度隨溫度的變化趨于一致(圖中的虛線)。

需要說(shuō)明的是，對(duì)于任何摻入施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體隨著圖2.20只摻入一種施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體的電子濃度與溫度的關(guān)系圖2.20只摻入一種施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體的電子濃度

最后要強(qiáng)調(diào)的是，在圖2.20中表示的只是在某一摻雜濃度下按溫度分區(qū)的情況，當(dāng)摻雜濃度不同時(shí)，對(duì)于各個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的溫度范圍也要做相應(yīng)的調(diào)整。一般來(lái)說(shuō)，摻雜濃度越大，進(jìn)入下一個(gè)溫度區(qū)域所需要的溫度也越高。由于在實(shí)際中半導(dǎo)體器件的工作溫度都高于低溫區(qū)對(duì)應(yīng)的溫度范圍，因此在實(shí)際中主要考慮后三個(gè)區(qū)域。對(duì)于完全電離區(qū)、過(guò)渡區(qū)和本征激發(fā)區(qū)，式(2.57)是它們共同滿足的電中性條件，因此在計(jì)算載流子濃度時(shí)，可以先不判斷半導(dǎo)體的情況屬于哪個(gè)區(qū)域，而統(tǒng)一都利用式(2.59)計(jì)算。

最后要強(qiáng)調(diào)的是，在圖2.20中表示的只是在某一摻雜第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

說(shuō)明：從計(jì)算的結(jié)果可以看出，半導(dǎo)體的載流子濃度就等于摻入的施主雜質(zhì)濃度，屬于完全電離區(qū)。從摻雜濃度ND

=1×1015

cm-3

和T=300K下本征載流子濃度ni=1.5×1010cm-3之間相差5個(gè)數(shù)量級(jí)也可以看出，電子濃度由摻雜濃度決定。從導(dǎo)帶電子和價(jià)帶空穴的濃度值對(duì)比可以看出，導(dǎo)帶電子濃度比價(jià)帶空穴濃度大很多數(shù)量級(jí)。

圖2.21是前面討論的四個(gè)溫度區(qū)域中相應(yīng)的雜質(zhì)電離和本征激發(fā)的示意圖，從圖2.21(a)中的雜質(zhì)部分電離，到圖2.21(b)中的雜質(zhì)完全電離，再到圖2.21(c)中的雜質(zhì)完全電離并考慮本征激發(fā)，最后到圖2.21(d)中的忽略雜質(zhì)電離只考慮本征激發(fā)。與前面定量的討論結(jié)果一致。

說(shuō)明：從計(jì)算的結(jié)果可以看出，半導(dǎo)體的載流子濃度就等于摻圖2.21只摻入一種施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體的雜質(zhì)電離和本征激發(fā)的情況圖2.21只摻入一種施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體的雜質(zhì)電離第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

與前面N型半導(dǎo)體的討論類似，由于實(shí)際半導(dǎo)體器件的工作溫度均大于低溫區(qū)的溫度，對(duì)于P型半導(dǎo)體后三個(gè)區(qū)域都滿足式(2.64)這個(gè)電中性條件，因此在實(shí)際計(jì)算價(jià)帶空穴濃度時(shí)，可以不用先判斷半導(dǎo)體屬于哪個(gè)區(qū)域，而直接利用式(2.65)計(jì)算。

與前面N型半導(dǎo)體的討論類似，由于實(shí)際半導(dǎo)體器件的工第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

說(shuō)明:從計(jì)算的結(jié)果可以看出，半導(dǎo)體的價(jià)帶空穴濃度既有摻入的受主雜質(zhì)的貢獻(xiàn)，也有本征激發(fā)的載流子的貢獻(xiàn)，屬于過(guò)渡區(qū)。從摻雜濃度NA

=4×1013cm-3和T=300K下本征載流子濃度ni=2.4×1013

cm-3對(duì)比，二者數(shù)值相當(dāng)，不能忽略任一方，也可以看出空穴濃度由受主雜質(zhì)濃度和本征載流子濃度共同決定。從導(dǎo)帶電子和價(jià)帶空穴的濃度值對(duì)比可以看出，此時(shí)導(dǎo)帶電子濃度和價(jià)帶空穴濃度相差不大。

說(shuō)明:從計(jì)算的結(jié)果可以看出，半導(dǎo)體的價(jià)帶空穴濃度既有摻

2.4補(bǔ)償半導(dǎo)體的載流子濃度

在上一節(jié)中已經(jīng)討論了只含一種雜質(zhì)的雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度的計(jì)算，在上一節(jié)的基礎(chǔ)上，這一節(jié)將討論更為復(fù)雜的補(bǔ)償半導(dǎo)體的載流子濃度的計(jì)算。所謂補(bǔ)償半導(dǎo)體，是指在半導(dǎo)體中既含有施主雜質(zhì)，又含有受主雜質(zhì)的半導(dǎo)體。在事先已經(jīng)摻入施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體中摻入受主雜質(zhì)，或是在事先已經(jīng)摻入受主雜質(zhì)的P型半導(dǎo)體中摻入施主雜質(zhì)都可以形成補(bǔ)償半導(dǎo)體。

2.4補(bǔ)償半導(dǎo)體的載流子濃度

在上一節(jié)中已經(jīng)討論

根據(jù)補(bǔ)償半導(dǎo)體中摻入的兩種雜質(zhì)的大小關(guān)系可以對(duì)其進(jìn)行分類，如果N

A>ND

，則稱為P型補(bǔ)償半導(dǎo)體；如果ND>NA

，則稱為N型補(bǔ)償半導(dǎo)體。也可將NA-ND

或ND-NA稱為有效的受主雜質(zhì)濃度或有效的施主雜質(zhì)濃度；如果NA=ND

，則稱為完全補(bǔ)償半導(dǎo)體，完全補(bǔ)償半導(dǎo)體的載流子濃度與本征半導(dǎo)體一樣。

根據(jù)上一節(jié)討論的經(jīng)驗(yàn)，先從電中性條件入手，對(duì)于補(bǔ)償半導(dǎo)體，其電中性條件為式(2.48)，即

根據(jù)補(bǔ)償半導(dǎo)體中摻入的兩種雜質(zhì)的大小關(guān)系可以對(duì)其進(jìn)行分

由于實(shí)際中半導(dǎo)體器件的使用溫度高于低溫區(qū)，因此對(duì)于后三個(gè)區(qū)域(完全電離區(qū)、過(guò)渡區(qū)和本征激發(fā)區(qū))來(lái)說(shuō)，雜質(zhì)均已完全電離，式(2.48)可以簡(jiǎn)化為

對(duì)N型補(bǔ)償半導(dǎo)體和P型補(bǔ)償半導(dǎo)體分別討論。對(duì)于N型補(bǔ)償半導(dǎo)體，因?yàn)镹D>NA

，在式(2.67)中用n2i/n0

表示p0

，得到

由于實(shí)際中半導(dǎo)體器件的使用溫度高于低溫區(qū)，因此對(duì)于后三

將式(2.68)兩邊同乘以n0

，得到

解二次方程式(2.69)，并只取正號(hào)，確保電子濃度為正值，其結(jié)果為

式(2.70)只用來(lái)計(jì)算ND>NA

的N

型補(bǔ)償半導(dǎo)體的多數(shù)載流子電子的濃度。在式(2.70)中令NA=0，則簡(jiǎn)化為只含一種施主雜質(zhì)的N

型半導(dǎo)體，簡(jiǎn)化后的形式與式(2.59)一致。

將式(2.68)兩邊同乘以n0，得到

解二次

類似地，可以討論NA

>ND的P型補(bǔ)償半導(dǎo)體，在式(2.67)中用n2i/

p0

表示n0

，得到

解式(2.71)得到

式(2.72)只用來(lái)計(jì)算NA

>ND的P型補(bǔ)償半導(dǎo)體的多數(shù)載流子空穴的濃度。在式(2.72)中令ND=0，則簡(jiǎn)化為只含一種受主雜質(zhì)的P型半導(dǎo)體，簡(jiǎn)化后的形式與式(2.65)一致。

類似地，可以討論NA>ND的P型補(bǔ)償半導(dǎo)第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

說(shuō)明:從計(jì)算結(jié)果可以看出，該P(yáng)型補(bǔ)償半導(dǎo)體在此溫度下屬于完全電離區(qū)，多子濃度等于補(bǔ)償后有效的受主雜質(zhì)濃度，即NA-ND

。

利用式(2.70)和式(2.72)也可以把目前討論的含一種施主雜質(zhì)和一種受主雜質(zhì)的補(bǔ)償半導(dǎo)體結(jié)果推廣至含m種施主雜質(zhì)和p種受主雜質(zhì)的補(bǔ)償半導(dǎo)體，在這里就不再講述了。

說(shuō)明:從計(jì)算結(jié)果可以看出，該P(yáng)型補(bǔ)償半導(dǎo)體在此溫度

2.5費(fèi)米能級(jí)的位置

在前面的討論中，確定了本征費(fèi)米能級(jí)的位置由式(2.40)決定。在這一節(jié)中將分別討論N型半導(dǎo)體和P型半導(dǎo)體的費(fèi)米能級(jí)的有關(guān)問(wèn)題。

2.5費(fèi)米能級(jí)的位置

在前面的討論中，確定了本征

對(duì)于處于完全電離區(qū)的只含一種施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體而言滿足式(2.55)，即

從式(2.55)中得到

還可以利用式(2.36)得到

對(duì)于處于完全電離區(qū)的只含一種施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體而

因?yàn)樵诔貤l件下非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體通常滿足ni<ND<Nc

，從式(2.73)和式(2.74)中可以看出，只含一種施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體的費(fèi)米能級(jí)高于本征費(fèi)米能級(jí)，低于導(dǎo)帶底部，處于禁帶上部。也可以將式(2.73)和式(2.74)的結(jié)果推廣至N型補(bǔ)償半導(dǎo)體，只需將兩式中的ND

用ND-NA

代替即可。

因?yàn)樵诔貤l件下非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體通常滿足ni<N

類似地，對(duì)于處于完全電離區(qū)只含一種受主雜質(zhì)的P型半導(dǎo)體而言滿足式(2.63)，即

從式(2.63)中得到

還可以利用式(2.37)得到

類似地，對(duì)于處于完全電離區(qū)只含一種受主雜質(zhì)的P型半

同樣，在常溫條件下非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體通常滿足ni<NA<Nv

，從式(2.75)和式(2.76)中可以看出，只含一種受主雜質(zhì)的P型半導(dǎo)體的費(fèi)米能級(jí)低于本征費(fèi)米能級(jí)，高于價(jià)帶頂部，處于禁帶下部。也可以將式(2.75)和式(2.76)的結(jié)果推廣至P型補(bǔ)償半導(dǎo)體，只需將兩式中的NA

用NA-ND

代替即可。

從式(2.73)~式(2.76)中可以看出，

N

型半導(dǎo)體和P

型半導(dǎo)體的費(fèi)米能級(jí)主要受溫度和摻雜濃度的影響。

同樣，在常溫條件下非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體通常滿足ni<N第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

計(jì)算得到的曲線如圖2.22所示。圖2.22硅的費(fèi)米能級(jí)隨摻雜濃度的變化曲線上

計(jì)算得到的曲線如圖2.22所示。圖2.22硅的費(fèi)

圖2.22中實(shí)線表示摻入施主雜質(zhì)后N型半導(dǎo)體的費(fèi)米能級(jí)隨著摻雜濃度ND

的變化，虛線表示摻入受主雜質(zhì)后P型半導(dǎo)體的費(fèi)米能級(jí)隨著摻雜濃度NA

的變化。

圖2.22中實(shí)線表示摻入施主雜質(zhì)后N型半導(dǎo)體的圖2.23費(fèi)米能級(jí)位置隨摻雜濃度和溫度變化的關(guān)系圖2.23費(fèi)米能級(jí)位置隨摻雜濃度和溫度變化的關(guān)系

結(jié)果表明，費(fèi)米能級(jí)隨著摻雜濃度的增加而向禁帶兩邊移動(dòng)。從式(2.73)~式(2.76)中可以看出，費(fèi)米能級(jí)同時(shí)也隨著溫度的變化而變化。隨著溫度的升高，不管是N型半導(dǎo)體還是P型半導(dǎo)體其費(fèi)米能級(jí)都向禁帶中央靠攏，這樣的結(jié)果也與半導(dǎo)體在溫度最高的本征激發(fā)區(qū)中的行為是一致的，因?yàn)闈M足n0=p0

，故費(fèi)米能級(jí)也趨近于本征費(fèi)米能級(jí)，即禁帶中央。圖2.23中將溫度和摻雜濃度對(duì)費(fèi)米能級(jí)的影響畫(huà)在一張圖中。

結(jié)果表明，費(fèi)米能級(jí)隨著摻雜濃度的增加而向禁帶兩邊移動(dòng)。

隨著費(fèi)米能級(jí)的位置在禁帶中由靠近價(jià)帶頂部變?yōu)榭拷鼘?dǎo)帶底部，半導(dǎo)體的導(dǎo)電類型經(jīng)歷強(qiáng)P型、弱P型、本征型、弱N型、強(qiáng)N型的變化，其能帶圖及載流子分布的示意圖如圖2.24所示。

隨著費(fèi)米能級(jí)的位置在禁帶中由靠近價(jià)帶頂部變?yōu)榭拷鼘?dǎo)帶底圖2.24能帶圖及載流子分布示意圖圖2.24能帶圖及載流子分布示意圖

費(fèi)米能級(jí)的位置可以同時(shí)反映半導(dǎo)體的摻雜情況和導(dǎo)電類型。當(dāng)費(fèi)米能級(jí)在禁帶上部時(shí)，為N型半導(dǎo)體，摻入的施主雜質(zhì)越多，費(fèi)米能級(jí)的位置越高，越接近導(dǎo)帶底部。當(dāng)費(fèi)米能級(jí)的位置在禁帶下部時(shí)，為P型半導(dǎo)體，摻入的受主雜質(zhì)越多，費(fèi)米能級(jí)的位置越低，越接近價(jià)帶頂部。當(dāng)費(fèi)米能級(jí)的位置在禁帶中央時(shí)，為本征半導(dǎo)體。

費(fèi)米能級(jí)的位置可以同時(shí)反映半導(dǎo)體的摻雜情況和導(dǎo)電類型。

從圖2.24(a)中可以看出，在強(qiáng)P型中，費(fèi)米能級(jí)的位置在靠近價(jià)帶頂處，此時(shí)導(dǎo)帶僅有少量電子，而價(jià)帶則有大量空穴，表明此時(shí)費(fèi)米能級(jí)較低，導(dǎo)帶和價(jià)帶中電子占據(jù)較高能級(jí)的概率小，導(dǎo)帶和價(jià)帶中較高能級(jí)上的電子數(shù)量少。圖2.24(b)弱P型和圖2.24(a)強(qiáng)P型相比，費(fèi)米能級(jí)的位置向上移動(dòng)，相應(yīng)的導(dǎo)帶和價(jià)帶中電子占據(jù)較高能級(jí)的概率增加，導(dǎo)帶和價(jià)帶中較高能級(jí)上的電子數(shù)量增加。

從圖2.24(a)中可以看出，在強(qiáng)P型中，

圖2.24(c)中，費(fèi)米能級(jí)位于禁帶中央，導(dǎo)帶和價(jià)帶的載

流子數(shù)相等，導(dǎo)帶和價(jià)帶中較高能級(jí)上的電子數(shù)量與圖2.

24(a)、(b)相比增加。在圖2.24(d)弱N型中，費(fèi)米能級(jí)位置進(jìn)一步提升，導(dǎo)帶和價(jià)帶中的電子進(jìn)一步增多了。在圖2.24(e)強(qiáng)N型中，費(fèi)米能級(jí)位置最高，導(dǎo)帶和價(jià)帶中的電子最多。從圖2.24中可以看出，費(fèi)米能級(jí)的位置標(biāo)志電子占據(jù)能級(jí)水平高低的度量，與前面的討論一致。

圖2.24(c)中，費(fèi)米能級(jí)位于禁帶中央，導(dǎo)帶和價(jià)

[例2.11]在T=300K時(shí)的本征硅材料，要使其費(fèi)米能級(jí)位于導(dǎo)帶底下方0.3eV處，需摻入的雜質(zhì)濃度是多少?如果將本征硅材料換為摻入NA

=1×1015cm-3的P型硅，需摻入的雜質(zhì)濃度又是多少?

解:根據(jù)費(fèi)米能級(jí)與導(dǎo)帶底之間距離的公式

將其變形為

[例2.11]在T=300K時(shí)的本征硅材料第2章平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度課件

最后，證明一個(gè)關(guān)于費(fèi)米能級(jí)的重要結(jié)論，這個(gè)結(jié)論在后面章節(jié)的很多地方都會(huì)用到。這一重要結(jié)論是針對(duì)一個(gè)處于熱平衡狀態(tài)的半導(dǎo)體，其費(fèi)米能級(jí)的位置是恒定不變的。為了證明這個(gè)結(jié)論，考慮兩種半導(dǎo)體材料，即半導(dǎo)體A和半導(dǎo)體B，它們兩個(gè)在各自獨(dú)立時(shí)，費(fèi)米能級(jí)位置不相同。假設(shè)半導(dǎo)體A的費(fèi)米能級(jí)高，相應(yīng)的電子占據(jù)能級(jí)的情況如圖2.25(a)所示，半導(dǎo)體B的費(fèi)米能級(jí)低，相應(yīng)的電子占據(jù)能級(jí)的情況如圖2.25(b)所示。

最后，證明一個(gè)關(guān)于費(fèi)米能級(jí)的重要結(jié)論，這個(gè)結(jié)論在后面章

當(dāng)半導(dǎo)體A和半導(dǎo)體B緊密接觸后，因?yàn)樵诎雽?dǎo)體A中的較高能級(jí)上的電子數(shù)多，電子將從半導(dǎo)體A流向半導(dǎo)體B，如圖2.25(c)所示，直到達(dá)到熱平衡狀態(tài)，二者具有相同的費(fèi)米能級(jí)，如圖2.21(d)所示。在平衡時(shí)，凈電流為零，也就是說(shuō)單位時(shí)間內(nèi)有多少電子從半導(dǎo)體A流向半導(dǎo)體B，那么單位時(shí)間內(nèi)就有相同數(shù)量的電子從半導(dǎo)體B流向半導(dǎo)體A。

當(dāng)半導(dǎo)體A和半導(dǎo)體B緊密接觸后，因?yàn)樵诎雽?dǎo)體A中

對(duì)于處于圖2.25(d)狀態(tài)的系統(tǒng)，設(shè)半導(dǎo)體A中的狀態(tài)密度函數(shù)為gA(E)，電子占據(jù)量子態(tài)的概率密度函數(shù)為fA(E)，則在能量為E的量子態(tài)上的電子數(shù)為gA(E)fA(E)。類似地，設(shè)半導(dǎo)體B中的狀態(tài)密度函數(shù)為gB(E)，電子占據(jù)量子態(tài)的概率密度函數(shù)為fB(E)，則在能量為E的量子態(tài)上的電子數(shù)為gB(E)fB(E)。當(dāng)電子要從半導(dǎo)體A向半導(dǎo)體B轉(zhuǎn)移時(shí)，要滿足兩個(gè)條件，一方面半導(dǎo)體A中要有一些處于較高能級(jí)的電子，另一方面半導(dǎo)體B中要有相應(yīng)的空狀態(tài)去接受半導(dǎo)體A中轉(zhuǎn)移來(lái)的電子，因此在能量范圍為dE

的區(qū)間內(nèi)從半導(dǎo)體A向半導(dǎo)體B轉(zhuǎn)移的載流子數(shù)nA→B為

對(duì)于處于圖2.25(d)狀態(tài)的系統(tǒng)，設(shè)半導(dǎo)體

式(2.77)中，

C為常數(shù)。類似地，在能量范圍為dE

的區(qū)間內(nèi)從半導(dǎo)體B向半導(dǎo)體A轉(zhuǎn)移的載流子數(shù)nB→A為

在平衡狀態(tài)時(shí)，應(yīng)有

即

式(2.77)中，C為常數(shù)。類似地，在能量范圍為

式(2.83)的結(jié)論與圖2.25(d)的結(jié)果是一致的，證明了結(jié)論:一個(gè)處于熱平衡狀態(tài)的半導(dǎo)體，其費(fèi)米能級(jí)的位置是恒定不變的，即在一個(gè)平衡半導(dǎo)體的系統(tǒng)中，費(fèi)米能級(jí)處處相等。

式(2.83)的結(jié)論與圖2.25圖2.25材料A和材料B達(dá)到熱平衡狀態(tài)的示意圖圖2.25材料A和材料B達(dá)到熱平衡狀態(tài)的示意圖

2.6簡(jiǎn)并半導(dǎo)體

前面討論的式(2.22)和(2.30)是在玻爾茲曼近似成立的前提下推導(dǎo)出的熱平衡載流子的公式。由2.5節(jié)中的討論結(jié)果，我們知道對(duì)于N型半導(dǎo)體，摻入的施主雜質(zhì)越多，費(fèi)米能級(jí)越靠近導(dǎo)帶底部。在式(2.73)中，由于一般ND<Nc

，故費(fèi)米能級(jí)仍在禁帶之中，當(dāng)ND>Nc時(shí)，費(fèi)米能級(jí)可以超過(guò)導(dǎo)帶底部，進(jìn)入導(dǎo)帶。對(duì)于P型半導(dǎo)體，也是類似地，摻入的受主雜質(zhì)越多，費(fèi)米能級(jí)越靠近價(jià)帶頂部。

2.6簡(jiǎn)并半導(dǎo)體

前面討論的式(2.22)和

在式(2.75)中，由于一般NA<Nv

，故費(fèi)米能級(jí)仍在禁帶之中，當(dāng)

NA>Nv

時(shí)，費(fèi)米能級(jí)可以低于價(jià)帶頂部，進(jìn)入價(jià)帶。在這種情況下，由于摻雜濃度很大，導(dǎo)致導(dǎo)帶電子或價(jià)帶空穴的濃度增加，費(fèi)米能級(jí)進(jìn)入導(dǎo)帶或價(jià)帶內(nèi)，前面假設(shè)的f(E)滿足玻爾茲曼假設(shè)成立的前提E-EF?kT已不再滿足，同樣，

1-f(E)滿足玻爾茲曼假設(shè)成立的前提EF-Ev?kT也已不再滿足。在計(jì)算載流子濃度時(shí)，不能再應(yīng)用玻爾茲曼近似，必須直接用費(fèi)米分布函數(shù)來(lái)計(jì)算熱平衡載流子的濃度。

在式(2.75)中，由于一般NA<Nv，故

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于N型半導(dǎo)體，根據(jù)費(fèi)米能級(jí)與導(dǎo)帶底部的位置關(guān)系，可以將半導(dǎo)體分為非簡(jiǎn)并、弱簡(jiǎn)并和簡(jiǎn)并三種情況，即

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于N型半導(dǎo)體，根據(jù)費(fèi)米能級(jí)與導(dǎo)帶底部的

當(dāng)摻入的雜質(zhì)濃度較小(與Nv

、Nc相比)時(shí)，稱為非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體。相應(yīng)的，當(dāng)摻入的雜質(zhì)濃度較大(比Nv、Nc大)時(shí)，稱為簡(jiǎn)并半導(dǎo)體，鑒于二者之間的稱為弱簡(jiǎn)并半導(dǎo)體。N型簡(jiǎn)并半導(dǎo)體和P型簡(jiǎn)并半導(dǎo)體的能帶圖如圖2.26所示。

當(dāng)摻入的雜質(zhì)濃度較小(與Nv、Nc相比)時(shí)圖2.26簡(jiǎn)并半導(dǎo)體的能帶圖圖2.26簡(jiǎn)并半導(dǎo)體的能帶圖

圖2.27費(fèi)米積分與ηF的關(guān)系曲線圖2.27費(fèi)米積分與η