數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想課件

章數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想

節(jié)數(shù)學(xué)美的涵義節(jié)數(shù)學(xué)美的特征退出一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美二、數(shù)學(xué)美的涵義一、簡(jiǎn)單美二、對(duì)稱美三、和諧美四、奇異美章數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想

節(jié)數(shù)學(xué)美的涵義節(jié)數(shù)學(xué)美的特征退出一第三節(jié)

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美

第四節(jié)

數(shù)學(xué)美在中國(guó)的源頭

一、美觀---外在的美二、美好---內(nèi)在的美三、美妙---快樂的美四、完美---

至善至美一、太極八卦---中國(guó)象數(shù)學(xué)的美二、河圖洛書—數(shù)學(xué)形式美的雛形第三節(jié)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美第四節(jié)數(shù)學(xué)美在中國(guó)的源頭一、美第一節(jié)

數(shù)學(xué)美的涵義一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美

古希臘的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯(Proelus)斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！?/p>

古希臘著名學(xué)者畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)對(duì)數(shù)學(xué)有很深的造詣，其中畢氏定理(勾股定理)就是他的杰作,他認(rèn)為“萬物最基本的元素是數(shù)，數(shù)的和諧---這就是美?！狈祷氐谝还?jié)數(shù)學(xué)美的涵義一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美古希臘的哲

龐加萊：“數(shù)學(xué)家們十分重視他們的方法和理論是否十分優(yōu)美，這并非華而不實(shí)的作風(fēng)，那么到底是什么使我們感到一個(gè)解答、一個(gè)證明優(yōu)美呢？那就是各個(gè)部分之間的和諧、對(duì)稱、恰到好處的平穩(wěn)?！?/p>

克萊因：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類靈魂最獨(dú)特的創(chuàng)造。音樂能激發(fā)或撓慰情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！?/p>

高斯：“去尋求一種最美和最簡(jiǎn)潔的證明，乃是吸引我研究的主要?jiǎng)恿??！狈祷佚嫾尤R：“數(shù)學(xué)家們十分重視他們的方法和理論是

數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性和理性的顯現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。它是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心。

二、數(shù)學(xué)美的涵義返回?cái)?shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性和理性的顯現(xiàn)，第二節(jié)數(shù)學(xué)美的特征

一、

簡(jiǎn)單美

簡(jiǎn)單是指數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、方法、邏輯結(jié)構(gòu)和理論體系的簡(jiǎn)單。

1.符號(hào)簡(jiǎn)單符號(hào)是書寫數(shù)學(xué)語(yǔ)言的文字，大數(shù)學(xué)家克萊因說：“符號(hào)常常比發(fā)明它們的數(shù)學(xué)家更能推理”,人們總是探索用簡(jiǎn)單的符號(hào)去表現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)內(nèi)容。例如，微積分學(xué)中的常用符號(hào)：返回第二節(jié)數(shù)學(xué)美的特征一、簡(jiǎn)單美簡(jiǎn)單是指數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、又如，哈密頓微分算子符號(hào)向量場(chǎng)函數(shù)v=v1i+v2j+v3k,

(vi是x,y,z的函數(shù))▽v=()(v1i+v2j+v3k)

返回?cái)?shù)量場(chǎng)函數(shù)u(x,y,z)時(shí)，產(chǎn)生梯度又如，哈密頓微分算子符號(hào)向量場(chǎng)函數(shù)返回?cái)?shù)量場(chǎng)函數(shù)u(x,y,拉普拉斯方程:若用哈密頓算子表示，也十分漂亮、利落:

▽u·▽u=0返回拉普拉斯方程:若用哈密頓算子表示，也十分漂亮、利落:返回在線性方程組表示為AX=B返回在線性方程組表示為在埃及出土的三千六百年前的萊因特紙草上有下面一串符號(hào)用今天的符號(hào)表示即：宋、元時(shí)期我國(guó)也開始了相當(dāng)于現(xiàn)在“方程論”的研究，當(dāng)時(shí)記數(shù)使用的是“算籌”，的記號(hào)來表示二次三項(xiàng)式

412x2－x+136其中x系數(shù)旁邊注以“元”字，常數(shù)項(xiàng)注以“太”字，籌上畫斜線表示“負(fù)數(shù)”。返回在埃及出土的三千六百年前的萊因特紙草上有下面一串符號(hào)用今天的16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家卡當(dāng)、韋達(dá)等人對(duì)方程符號(hào)有了改進(jìn)，直到笛卡爾才第一個(gè)倡用x,y,z表示未知數(shù)。他曾用

xxx－9xx+26－24∝0表示方程

x3－9x2+26－24=0

這個(gè)演變過程就是對(duì)簡(jiǎn)單美的追求過程。返回16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家卡當(dāng)、韋達(dá)等人對(duì)方程符號(hào)有了改進(jìn)，直到笛卡爾

如果要具體寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能，然而用數(shù)學(xué)符號(hào)卻能精確地表示它們。有些數(shù)及其運(yùn)算只有用符號(hào)表示，才能更精確、更完美。例如，圓周率是一個(gè)常數(shù)，1737年歐拉首先倡導(dǎo)用希臘字母π來表示它，且通用全世界；也是歐拉用e表示特殊的無理常數(shù)─歐拉常數(shù)返回如果要具體寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能，然2.形式簡(jiǎn)單

藝術(shù)家們追求的美中，形式美是其中特別重要的內(nèi)容，他們?cè)阡秩久罆r(shí)，常常運(yùn)用不同形式，如泰山的雄偉，華山的險(xiǎn)峻，黃山的奇特，峨眉的秀麗，青海的幽深，滇池的開闊等。數(shù)學(xué)家們也十分注重?cái)?shù)學(xué)的形式美，美國(guó)數(shù)學(xué)家柏克提出了一個(gè)公式

審美度=即人們對(duì)數(shù)學(xué)的審美感受程度，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的秩序成正比，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的復(fù)雜性成反比。因此，按審美度要求，數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式越簡(jiǎn)單就越美。返回2.形式簡(jiǎn)單藝術(shù)家們追求的美中，形式美是其中特別重要的內(nèi)格林公式斯托克斯公式返回格林公式斯托克斯公式返回空間解析幾何中

橢球

橢圓拋物面

它們不僅便于記憶，而且具有形式美。

返回空間解析幾何中橢球橢圓拋物面它們不僅便于記憶，而且具3.語(yǔ)言簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美表現(xiàn)在語(yǔ)言上使人回味無窮。

如“負(fù)負(fù)得正”；“對(duì)頂角相等”；“實(shí)數(shù)集不可數(shù)”；

“角、邊、角”；“邊、角、邊”等。數(shù)列極限

函數(shù)極限

導(dǎo)數(shù)概念

返回3.語(yǔ)言簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美表現(xiàn)在語(yǔ)言上使人回味無窮。如4.方法簡(jiǎn)單

數(shù)學(xué)中的許多簡(jiǎn)單有效的判定定理，形式優(yōu)美的表達(dá)方式，并不是原本固有的，而是經(jīng)過人們長(zhǎng)期比較、篩選的結(jié)果。

例如，對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別，達(dá)朗貝爾判別法(比值法)與柯西判別法(根式法)都是十分簡(jiǎn)單有效的判別法,然而它們都有一個(gè)共同的不足，就是不能判別當(dāng)極限值時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性，于是人們不斷地給出了許多其他形式的判別法。比達(dá)朗貝爾判別法更精細(xì)的是拉貝(Laber)判別法

設(shè)

則當(dāng)r>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；

當(dāng)r<1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。返回4.方法簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)中的許多簡(jiǎn)單有效的判定定理，形式優(yōu)美事實(shí)上，由達(dá)朗貝爾判別法：設(shè)級(jí)數(shù)滿足級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散

不確定收斂；返回事實(shí)上，由達(dá)朗貝爾判別法：設(shè)級(jí)數(shù)滿足級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散不確收斂；發(fā)散；斂散性不確定。

凡是用達(dá)氏法能判別的級(jí)數(shù)斂散性，用拉貝法也能判別，因此，拉貝法比達(dá)氏法更精細(xì)。返回收斂；發(fā)散；斂散性不確定。凡是用達(dá)氏法能判別的比拉貝判別法更精細(xì)的是庫(kù)麥爾(Kummer)判別法,其中{Cn}適合條件:級(jí)數(shù)發(fā)散。

設(shè)則當(dāng)k>0時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)k<0時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。

返回事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，庫(kù)麥爾判別法即為拉貝判別法。比拉貝判別法更精細(xì)的是庫(kù)麥爾(Kummer)判別法,其中{拉格朗日型余項(xiàng)簡(jiǎn)單整齊，易于記憶，使用方便。從審美度而言拉格朗日型余項(xiàng)是最美的，因此受到人們的青睞。

然而，人們?cè)趹?yīng)用泰勒公式時(shí)，最習(xí)慣使用的還是拉格朗日型余項(xiàng)

其中在x與x0

之間。返回

又如，泰勒公式的余項(xiàng)，局部性的有皮亞諾(Peano)余項(xiàng)，整體性的有施諾米爾奇(Schlomilch)─羅赫(Roche)余項(xiàng)，柯西余項(xiàng)和拉格朗日余項(xiàng)等。在整體性余項(xiàng)中，后兩種余項(xiàng)僅是前一種余項(xiàng)的特例。因而，從整體性考慮，前一種余項(xiàng)更完美。

拉格朗日型余項(xiàng)簡(jiǎn)單整齊，易于記憶，使用方便。從審美度而言拉格二、

對(duì)稱美

對(duì)稱是指圖形或數(shù)式的對(duì)稱，概念、命題、法則或結(jié)構(gòu)的對(duì)偶、對(duì)應(yīng)、對(duì)逆等。1.形式對(duì)稱

解析幾何中的標(biāo)準(zhǔn)圖形

返回二、對(duì)稱美對(duì)稱是指圖形或數(shù)式的對(duì)稱，概念、命題、法則代數(shù)中的二項(xiàng)式定理：對(duì)稱行列式:

對(duì)稱矩陣：返回代數(shù)中的二項(xiàng)式定理：對(duì)稱行列式:對(duì)稱矩陣：返微積分中空間曲線L：x=x(t),y=y(t),z=z(t)的切線方程

空間曲面S：F(x,y,z)=0的法線方程

==導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

返回微積分中空間曲線L：x=x(t),y=y(t),2.關(guān)系對(duì)稱

運(yùn)算的對(duì)稱：加與減、乘與除、乘方與開方、指數(shù)與對(duì)數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等；

概念的對(duì)稱：函數(shù)與反函數(shù)、奇與偶、單增與單減、連續(xù)與間斷、收級(jí)與發(fā)散等；

命題的對(duì)稱：嚴(yán)格單減。

返回2.關(guān)系對(duì)稱運(yùn)算的對(duì)稱：加與減、乘與除、乘方與開方“共軛”關(guān)系對(duì)稱性：

共軛無理數(shù)

共軛矩陣

共軛積分返回“共軛”關(guān)系對(duì)稱性：共軛無理數(shù)“對(duì)偶”關(guān)系對(duì)稱性：

集合中的對(duì)偶關(guān)系

線性規(guī)劃中的對(duì)偶關(guān)系

線性規(guī)劃問題：

(*)返回“對(duì)偶”關(guān)系對(duì)稱性：集合中的對(duì)偶關(guān)系線性規(guī)劃中的對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶規(guī)劃問題：

(**)

由對(duì)偶定理知，若線性規(guī)劃問題(*)有最優(yōu)解，則其對(duì)偶規(guī)劃問題(**)也有最優(yōu)解,且兩問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等。反之也成立。返回返回對(duì)偶規(guī)劃問題：(**)由對(duì)偶定理知，若線性規(guī)劃問題3.對(duì)稱美方法的運(yùn)用

對(duì)稱美方法是數(shù)學(xué)中的銳利武器,數(shù)學(xué)家們利用它揭示和發(fā)現(xiàn)了很多數(shù)學(xué)中的奧秘，其中最典型的有麥克斯韋方程、笛沙格定理和伽羅瓦群等，它被著名數(shù)學(xué)家狄拉克(Dirac)稱為“自然科學(xué)時(shí)代新方法的精華”。下面僅以求積分為例，來說明它的妙用。(1)利用積分區(qū)間的對(duì)稱性

利用積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性，簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算，是積分運(yùn)算中最常用的一種方法。

若積分區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，或積分區(qū)間雖然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但被積函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，有時(shí)通過適當(dāng)?shù)膿Q元或拆項(xiàng)等方法也可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱區(qū)間上的積分問題。返回3.對(duì)稱美方法的運(yùn)用對(duì)稱美方法是數(shù)學(xué)中的例1求

(n為自然數(shù))。令,則可將積分化為對(duì)稱區(qū)間。

返回例1求(2)利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性

借助積分中函數(shù)圖象的對(duì)稱性，獲得簡(jiǎn)捷的解題途徑，這是對(duì)稱美方法的又一妙用。

例2設(shè)C為對(duì)稱于坐標(biāo)軸的平面光滑閉曲線，證明

易知積分與路徑無關(guān)。設(shè)D為曲線C圍成的平面閉區(qū)域,則由格林公式返回(2)利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性借助積分中函數(shù)圖象的對(duì)因?yàn)榉e分域D關(guān)于x軸對(duì)稱，又y3

是奇函數(shù)，同理，所以(3)利用輪換對(duì)稱性

根據(jù)研究問題中解析式結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，由一個(gè)結(jié)論迅速地得出相似結(jié)論，這不僅能縮減冗長(zhǎng)繁瑣的計(jì)算或證明過程，而且給人以對(duì)稱美的享受。例3計(jì)算

橢球的外表面。

返回因?yàn)榉e分域D關(guān)于x軸對(duì)稱，又y3是奇函數(shù)，同理，所以(3)作廣義極坐標(biāo)變換

,則

返回作廣義極坐標(biāo)變換,用輪換對(duì)稱法，即得

于是

返回用輪換對(duì)稱法，即得于是返回(4)挖掘潛在的對(duì)稱關(guān)系

有的問題從表面上看，似乎與對(duì)稱無關(guān)。但如果仔細(xì)分析，尋找潛在的對(duì)稱關(guān)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題，就能很快找到突破口,使問題迎刃而解。例4計(jì)算

若直接令,則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。

因?yàn)?/p>

f(x)=在[0,]上的原函數(shù)不是初等函數(shù)，

所以不能用一般定積分的方法來計(jì)算。

返回(4)挖掘潛在的對(duì)稱關(guān)系有的問題從表面上看，似乎與于是尋找有無對(duì)稱點(diǎn),容易發(fā)現(xiàn)

即在區(qū)間[0,]上橫坐標(biāo)關(guān)于的任意兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)x與相應(yīng)的函數(shù)值關(guān)于也對(duì)稱，

故

返回于是尋找有無對(duì)稱點(diǎn),容易發(fā)現(xiàn)即在區(qū)間[0,(5)構(gòu)造對(duì)稱關(guān)系

有些數(shù)學(xué)問題，原來并不具有對(duì)稱性，在解題過程中，如果善于根據(jù)問題的特點(diǎn)，構(gòu)造出某種對(duì)稱關(guān)系，便能使問題很快得到解決。例5計(jì)算其中D為y=1,x=－1所圍成的區(qū)域,f是一連續(xù)函數(shù)。

積分區(qū)域不具有對(duì)稱性，作曲線,

將D分成D1,D2兩部分,返回(5)構(gòu)造對(duì)稱關(guān)系有些數(shù)學(xué)問題，原來并不具有對(duì)稱性于是D1與D2

分別關(guān)于y軸和x軸對(duì)稱。

又因?yàn)槭莤或y的奇函數(shù),所以=0

從上述解題過程中都放射出對(duì)稱美思想的光芒，正如德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾(Weyl)所說：“美和對(duì)稱緊密相關(guān)”。返回于是D1與D2分別關(guān)于y軸和x軸對(duì)稱。又因?yàn)槭莤或y的奇三、和諧美

數(shù)學(xué)中的和諧美是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、部分與整體之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系或共同規(guī)律，從而形成本質(zhì)上的嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一。和諧指事物之間具有勻稱、有序、明確的變化規(guī)律。1.嚴(yán)謹(jǐn)是和諧的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)自然顯現(xiàn)出它的和諧。為了追求嚴(yán)謹(jǐn)，消除數(shù)學(xué)中的不和諧因素，數(shù)學(xué)家們一直在努力。數(shù)學(xué)史上所謂的“數(shù)學(xué)危機(jī)”正是某些數(shù)學(xué)理論不和諧所致。

返回三、和諧美數(shù)學(xué)中的和諧美是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)第一次危機(jī)---無理數(shù)的誕生。

第二次危機(jī)------實(shí)數(shù)理論得以建立,導(dǎo)致集合論的誕生。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)------“羅素悖論”和其它悖論的產(chǎn)生，為了避免悖論，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一種公理系統(tǒng)，后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel)在1921年加以改進(jìn)，形成了目前公認(rèn)的彼此無矛盾的公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱ZF公理系統(tǒng)。函數(shù)的連續(xù)性，是當(dāng)今數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要基本概念，然而它的現(xiàn)代定義的形成，也經(jīng)歷了一個(gè)從不和諧到和諧的漫長(zhǎng)過程。18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為，由一個(gè)單獨(dú)表達(dá)式給出的函數(shù)是連續(xù)的，而由幾個(gè)表達(dá)式給出的函數(shù)是不連續(xù)的。例如,歐拉函數(shù)返回第一次危機(jī)---無理數(shù)的誕生。第二次危機(jī)------實(shí)數(shù)理是不連續(xù)的，而由兩個(gè)分支組成的雙曲線(反比例函數(shù))，因?yàn)樗怯梢粋€(gè)表達(dá)式給出的，就認(rèn)為它是連續(xù)的。19世紀(jì)，傅立葉證明：定義在某個(gè)區(qū)間上的任意函數(shù)可表示成該區(qū)間上的正弦與余弦的無窮級(jí)數(shù)。比如，返回是不連續(xù)的，而由兩個(gè)分支組成的雙曲線(反比例函數(shù))，19世紀(jì)可表示為

這樣一來，上述函數(shù)依照歐拉的見解既不是連續(xù)的，同時(shí)又是連續(xù)的。

1821年，柯西對(duì)“連續(xù)”概念重新敘述，直至1850年魏爾斯特拉斯給出“”形式的定義，才使得“連續(xù)”這一概念有了新的解釋。2.統(tǒng)一是和諧的標(biāo)志

統(tǒng)一是指數(shù)學(xué)中內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、章節(jié)與章節(jié)之間客觀存在的相互聯(lián)系。

返回可表示為這樣一來，上述函數(shù)依照歐拉的見解既不是連續(xù)的解析幾何中,引入極坐標(biāo)之后，橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式平面上的二次曲線方程

由于系數(shù)A,B,C,…,F不同，其形態(tài)萬千，但是歐拉通過坐標(biāo)變換，將它們化為下面九種標(biāo)準(zhǔn)形狀:返回解析幾何中,引入極坐標(biāo)之后，橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式(雙曲線)(兩虛直線相交)(虛橢圓)(橢圓)返回(雙曲線)(兩虛直線相交)(虛橢圓)(橢圓)返(兩重合直線)(兩平行虛直線)(兩平行直線)(拋物線)(兩相交直線)返回(兩重合直線)(兩平行虛直線)(兩平行直線)(拋

在積分學(xué)中，不定積分與定積分是兩個(gè)切然不同的概念，但在微積分基本公式之中得到和諧統(tǒng)一,從而極大地推動(dòng)了微積分的應(yīng)用與發(fā)展。

定積分、重積分、曲線積分和曲面積分，它們表述的實(shí)際意義各不相同，但卻都統(tǒng)一于黎曼積分之中。

各類積分之間都有著內(nèi)在聯(lián)系：返回在積分學(xué)中，不定積分與定積分是兩個(gè)切然不同的概念，但在二重積分三重積分Ⅰ型曲線積分Ⅰ型曲面積分Ⅱ型曲線積分Ⅱ型曲面積分定積分返回二重積分三重積分Ⅰ型曲線積

四、奇異美

奇異指數(shù)學(xué)中的方法、結(jié)論或有關(guān)發(fā)展出乎意料，使人既驚奇又贊賞與折服。

徐利治先生說：“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美?！?/p>

在數(shù)學(xué)史上曾吸引人們廣泛關(guān)注的有“蝴蝶定理”。

1815年，數(shù)學(xué)家奧納首先解決了這個(gè)問題的證明。但由于它優(yōu)美的外形及包含的深刻內(nèi)涵，引起了人們廣泛的興趣，100多年來研究者眾多，給出了不少初等與高等的證明，其中被公認(rèn)為最奇妙的證明是1973年由斯特溫等人給出的。

返回四、奇異美奇異指數(shù)學(xué)中的方法、結(jié)論或有關(guān)發(fā)展出乎證明：由圖所示，圓內(nèi)共有四對(duì)相等的角。

設(shè)

PM=x,MQ=y,AM=MB=a,則有

化簡(jiǎn)得

返回證明：由圖所示，圓內(nèi)共有四對(duì)相等設(shè)PM=x,MQ由相交弦定理知

故有

因x,y都大于0,上式僅在x=y,即PM=MQ時(shí)成立。

上述證明中沒有添加任何輔助線，證明過程簡(jiǎn)明、勻稱，好優(yōu)美漂亮！

返回由相交弦定理知故有因x,y都大于0,上式僅在x=高等數(shù)學(xué)中這種“離經(jīng)叛道”的奇異現(xiàn)象，隨處可見。

比如，人們長(zhǎng)期以為，周期函數(shù)一定存在最小正周期,然而狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)，但不存在最小正周期。

實(shí)數(shù)軸上的有理點(diǎn)與無理點(diǎn)都是處處稠密的，然而無理點(diǎn)卻比有理點(diǎn)多得多。

洛比達(dá)(L’Hospital)法則是求未定式極限的銳利武器,但它對(duì)極限返回高等數(shù)學(xué)中這種“離經(jīng)叛道”的奇異現(xiàn)象，隨處可見。卻無能為力。

在不定積分中，有些看上去非常簡(jiǎn)單的函數(shù)，卻“積”不出來：

在歐拉公式

代入

,得

真叫人拍案叫絕,人們把這5個(gè)常數(shù)戲稱為數(shù)學(xué)中的“五朵金花”。

返回卻無能為力。在不定積分中，有些看上去非常簡(jiǎn)單的函數(shù)

對(duì)于n!,人們長(zhǎng)期認(rèn)為除了表示1,2,3,…,n這n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積外，再?zèng)]有別的意義。但在微積分中根據(jù)嘎瑪函數(shù)Г()的遞推性質(zhì),可以得到n!的分析表達(dá)式

這確實(shí)令人震驚而又感到數(shù)學(xué)魅力無窮。

第二型曲面積分是在雙側(cè)曲面上進(jìn)行的。

那么，單側(cè)曲面又是什么樣子呢？

如果把一條長(zhǎng)的矩形紙帶扭轉(zhuǎn)180o

后，再把兩端粘起來，這就成了僅有一個(gè)側(cè)面的曲面,它通常叫做莫比烏斯帶，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的。

返回對(duì)于n!,人們長(zhǎng)期認(rèn)為除了表示1,2,3,…

莫比烏斯帶有許多有趣的性質(zhì)，比如用不同方式去剪開它，可有不同的結(jié)果：

如果沿著紙帶中線剪開，它仍是一條莫比烏斯帶,只是長(zhǎng)度增加了一倍；

若沿紙帶寬處剪開，它卻成了一個(gè)

扭了兩圈的長(zhǎng)莫比烏斯帶套上一個(gè)小莫比烏斯帶。

兩位美國(guó)學(xué)者在研究莫比烏斯帶制作時(shí)提出過一個(gè)問題：在保證不摺折紙條的前提下，能做成功莫比烏斯帶的紙條的最短長(zhǎng)度是多少？

問題看上去似乎很簡(jiǎn)單，然而回答起來卻是如此困難。兩位美國(guó)人的估計(jì)是：若紙條寬是1,則能做成莫比烏斯帶的最小長(zhǎng)度在之間。

返回莫比烏斯帶有許多有趣的性質(zhì)，比如用不同方式去剪開它，可從圖看出，只要,做成功是沒有問題的。

但它并不是的最小估計(jì),這個(gè)最小估計(jì)至今仍然是一個(gè)未解之“謎”。

有趣的是，這個(gè)在數(shù)學(xué)史上完全由數(shù)學(xué)家構(gòu)想出來的東西，竟進(jìn)入了有機(jī)化學(xué)領(lǐng)域。美國(guó)科羅拉多大學(xué)化學(xué)系的沃爾巴、理查茲和霍爾提萬格，在實(shí)驗(yàn)室第一次合成了形狀和莫比烏斯帶一樣的莫比烏斯分子,他們制造莫比烏斯分子的方法同制作莫比烏斯帶的方法極其相似。

返回從圖看出，只要,做成功是沒有問題的。

數(shù)學(xué)中的奇異現(xiàn)象還有另一種涵義，當(dāng)人們沒有認(rèn)清它而做出錯(cuò)誤的判斷、結(jié)論或給出不盡完美的方法時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)一些“反例”。

后來又有人發(fā)現(xiàn)，存在著黎曼可積而又具有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)。連續(xù)函數(shù)是微積分學(xué)的主要研究對(duì)象,起初，數(shù)學(xué)家們以為“連續(xù)函數(shù)至少在某點(diǎn)處可微”,然而魏爾斯特拉斯卻找到了一個(gè)“處處連續(xù)但處處不可微”的例子。返回?cái)?shù)學(xué)中的奇異現(xiàn)象還有另一種涵義，當(dāng)人們沒有認(rèn)清它而做出第三節(jié)

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美

如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠感受和欣賞數(shù)學(xué)美，張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的美學(xué)教育有以下4個(gè)層次：

美觀、美好、美妙、完美。

返回第三節(jié)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展現(xiàn)數(shù)一、美觀---外在的美

這主要是數(shù)學(xué)對(duì)象以形式上的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔，給人的感官帶來美麗、漂亮的感受。

幾何學(xué)常常帶給人們直觀的美學(xué)形象

返回一、美觀---外在的美這主要是數(shù)學(xué)對(duì)象以形式上的對(duì)2000年，在東京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，日本教師一堂公開課的題目:

在一塊矩形場(chǎng)地上筑一花壇，使其面積為場(chǎng)地的一半，要求設(shè)計(jì)美觀。

美國(guó)教師要求學(xué)生用二次曲線畫“米老鼠”或其它畫作，發(fā)揮學(xué)生用幾何曲線(寫出方程)進(jìn)行美術(shù)創(chuàng)作的想象力。

上海進(jìn)才中學(xué)教研組，他們?cè)谶M(jìn)行立體幾何教學(xué)時(shí)，要求學(xué)生以“柱體”、“臺(tái)體”、“錐體”、“球體”、“圓柱”、“圓錐”等3維幾何圖形，制作一座運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)杯，并要求學(xué)生寫出每個(gè)部件的方程式。

返回2000年，在東京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，日本教師一堂二、美好---內(nèi)在的美

數(shù)學(xué)上的許多東西，只有認(rèn)識(shí)到它的正確性，才能感覺其“美好”。

“美觀”的數(shù)學(xué)對(duì)象,也必須進(jìn)到“美好”的層次。

“圓”從結(jié)構(gòu)上看是極其美觀的。從性質(zhì)上看它也十分美好。任何圓的周長(zhǎng)與直徑之比總是一個(gè)常數(shù)π。π既非有理數(shù)又非代數(shù)數(shù)，是超越數(shù)。這種內(nèi)在的數(shù)學(xué)價(jià)值，展現(xiàn)了“圓”的魅力，引無數(shù)英雄盡折腰。從祖沖之的計(jì)算到今天用計(jì)算機(jī)算到60億位小數(shù)，對(duì)它的研究尚未完結(jié)。返回二、美好---內(nèi)在的美數(shù)學(xué)上的許多東西，只有認(rèn)識(shí)到

不美觀的數(shù)學(xué)對(duì)象是很多的。一個(gè)突出的例子是一元二次方程的求根公式：

這一公式無論從哪方面看都不對(duì)稱、不和諧、不美觀。

但是，當(dāng)我們了解它、運(yùn)用它，就會(huì)感到它的價(jià)值，它的“內(nèi)秀”。這一公式會(huì)告訴我們?cè)S多信息：“士”表示它有2個(gè)根；“a≠0,△=b2一4ac”會(huì)顯示根的數(shù)目及方程的性質(zhì)……,所以，當(dāng)你和它熟悉了，就會(huì)覺得它形式上雖難看，本質(zhì)卻是美好的。正如《巴黎圣母院》中的卡西摩多，外表丑陋而內(nèi)心美好。返回不美觀的數(shù)學(xué)對(duì)象是很多的。一個(gè)突出的例子是一元二次方三、美妙---快樂的美

教師要給學(xué)生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)真理的快樂。

美妙的感覺需要培養(yǎng),例如，三角形的3條高、3條中線、3條內(nèi)角平分線都交于一點(diǎn),這是很美麗、十分美好，同時(shí)令人驚奇的結(jié)論。發(fā)現(xiàn)它會(huì)使人覺得數(shù)學(xué)妙不可言，特別是幾何學(xué)妙極了。那么在教學(xué)時(shí)，先不告訴學(xué)生結(jié)果,讓學(xué)生自己親手作圖，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些一下子看不出來的“真理”。可以想見，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)真理該會(huì)是何等的驚喜。一旦體會(huì)到數(shù)學(xué)的“美妙”,對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生由衷的興趣，也就是順理成章的事了。返回三、美妙---快樂的美教師要給學(xué)生一些創(chuàng)新

每個(gè)喜歡數(shù)字的人，都曾感受到那樣的時(shí)刻：一條輔助線使無從著手的幾何題豁然開朗，一個(gè)技巧使百思不得其解的不等式證明得以通過，

一個(gè)特定的“關(guān)系一映射一反演”方法使原不相干的問題得以解決,這時(shí)的快樂與興奮真是難以形容，也許只有用一個(gè)“妙”字加以概括。

這種美妙的意境，會(huì)使人感到天地造化數(shù)學(xué)之巧妙,數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)字之深邃，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快。達(dá)到這一步，學(xué)生才算真正感受到數(shù)學(xué)美的真諦，被數(shù)學(xué)所吸引，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)。返回每個(gè)喜歡數(shù)字的人，都曾感受到那樣的時(shí)刻：一條輔助線四、完美

-----至善至美

數(shù)學(xué)總是盡力做到至善至美、完美無缺,這也許是數(shù)學(xué)的最高“品質(zhì)”和最高的精神“境界”。

數(shù)學(xué)家通過300余年的努力來證明費(fèi)馬定理，陳景潤(rùn)對(duì)歌德巴赫猜想的苦苦追求,都是追求數(shù)學(xué)“完美”的典型事例。

二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，既有圓錐曲線的優(yōu)美，又有數(shù)形結(jié)合的風(fēng)采;既有啟迪二次型的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)，更有描摹天體運(yùn)動(dòng)的功能,確實(shí)是一件完美的科學(xué)杰作。

返回四、完美-----至善至美數(shù)學(xué)總是盡力做到至善至

數(shù)學(xué)的美學(xué)風(fēng)格，和藝術(shù)風(fēng)格是一脈相承的。徐利治先生早就把數(shù)學(xué)概念和詩(shī)的意境相結(jié)合,如借“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”來描述極限，更是一種高品位的美學(xué)欣賞。愛舍兒的數(shù)學(xué)畫，顯示出濃厚的哲學(xué)意味，而奇異的數(shù)學(xué)分形藝術(shù)則是20世紀(jì)計(jì)算機(jī)技術(shù)的產(chǎn)物。

欣賞數(shù)學(xué)藝術(shù)，如何在課堂教學(xué)中發(fā)掘數(shù)學(xué)的藝術(shù)魅力，在我國(guó)還沒有得到應(yīng)有重視，特別是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中某種過度形式化的趨向，往往掩蓋了數(shù)學(xué)的美麗色彩，遮蔽了數(shù)學(xué)文化光芒，以至喪失了數(shù)學(xué)教學(xué)的美育功能。

把數(shù)學(xué)美的展示真正落實(shí)到課堂上，還有許多工作要做。返回?cái)?shù)學(xué)的美學(xué)風(fēng)格，和藝術(shù)風(fēng)格是一脈相承的。徐利治先生早第四節(jié)

數(shù)學(xué)美在中國(guó)的源頭

數(shù)學(xué)作為一門有組織的、獨(dú)立的、理性的學(xué)科來說，形成于公元前6世紀(jì)至公元前3世紀(jì)的古希臘時(shí)代。

早期的一些古代文明國(guó)家，如中國(guó)、埃及、印度和巴比倫等，數(shù)學(xué)已有了開端和萌芽,我們稱公元前6世紀(jì)以前的這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)為早期數(shù)學(xué)，而人類在早期數(shù)學(xué)中，就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一種朦朧而神秘的數(shù)學(xué)美了，這是為考古學(xué)家和數(shù)學(xué)史家的大量發(fā)現(xiàn)和研究成果所證明了的。

人類關(guān)于數(shù)學(xué)美的觀念，對(duì)于數(shù)學(xué)美的感受、追求、探索以及研究也早在遙遠(yuǎn)的古代就開始了,這里介紹數(shù)學(xué)美在中國(guó)的源頭。返回第四節(jié)數(shù)學(xué)美在中國(guó)的源頭數(shù)學(xué)作為一門有組織的、一、太極八卦---中國(guó)象數(shù)學(xué)的美

中國(guó)，在古代對(duì)于數(shù)學(xué)美的感受與體驗(yàn)，一直可追溯到公元前11世紀(jì)的殷末周初時(shí)期。

傳說“天神”伏羲氏所創(chuàng)造的太極八卦圖，說明我國(guó)古代先人對(duì)于圓形所呈現(xiàn)的美有著自己獨(dú)特的認(rèn)識(shí)。

古希臘的畢達(dá)哥拉斯之所以認(rèn)為“一切平面圖形中最美的是圓形”，其主要原因是由于圓有著無數(shù)條對(duì)稱軸，

顯示出一種絕對(duì)的對(duì)稱與和諧。

返回一、太極八卦---中國(guó)象數(shù)學(xué)的美中國(guó)，在古代對(duì)于數(shù)中國(guó)的太極圖表示出了陰與陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì),黑色的陰和白色的陽(yáng)也呈現(xiàn)出一種對(duì)稱。

但這種對(duì)稱不是以平直單調(diào)的直徑作為對(duì)稱軸，而是以一條S形曲線將大圓均分成兩半。

這一奇妙的分割產(chǎn)生許多意想不到的美的效果：它使得這個(gè)陰與陽(yáng)之間的對(duì)稱不是靜止的，而是若即若離、似合非合，彼此滲透、相互補(bǔ)充。

暗示著無休止的強(qiáng)有力的運(yùn)動(dòng)，并可通過這個(gè)具有動(dòng)態(tài)美的幾何圖形對(duì)事物進(jìn)行抽象，給出宇宙萬物對(duì)立統(tǒng)一運(yùn)動(dòng)的形象模式，告訴我們宇宙美的一種簡(jiǎn)單美妙的組合方式，但又沒有具體指出它們的確切涵義，只道出了一個(gè)“互補(bǔ)性之謎”。其內(nèi)含寓意的深刻，令人贊嘆不已。

返回中國(guó)的太極圖表示出了陰與陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì),黑色的陰和白色的陽(yáng)也“周易”經(jīng)史學(xué)家考證，大約出于公元前11世紀(jì)左右，這是一部具有很強(qiáng)的科學(xué)現(xiàn)實(shí)性和實(shí)用性的古典，是世界公認(rèn)的第一部討論排列組合的著作，可以說是中國(guó)象數(shù)學(xué)的起源。

從數(shù)學(xué)角度看，八卦是世界上最早的二進(jìn)制碼，“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”

其中“極、儀、象、卦”和十進(jìn)制中的“個(gè)、十、百、千”一樣可以看作進(jìn)位制的“權(quán)”。

返回“周易”經(jīng)史學(xué)家考證，大約出于公元前11世紀(jì)左右，這是

八卦僅用兩種基本符號(hào)：

陽(yáng)爻“—”和陰爻“一一”，這與現(xiàn)代二進(jìn)制數(shù)用“l(fā)”和“0’’兩個(gè)符號(hào)來記數(shù)完全一致。

“陽(yáng)爻”與“陰爻”合稱“兩儀”，如果取兩個(gè)為一卦，則這兩個(gè)符號(hào)的排列組合僅有四種，稱為“四象”：太陽(yáng)、少陰、少陽(yáng)、太陰。

如果取三個(gè)為一卦，則這兩個(gè)符號(hào)的排列組合共有八種，稱為“八卦”：乾、坤、震、艮、離、坎、兌、巽。其中乾、震、艮、坎因是奇數(shù)劃而屬陽(yáng)，坤、離、兌、巽因是偶數(shù)劃而屬陰。它們分別對(duì)應(yīng)自然界中主要的八種事物：天、地、雷、山、火、水、澤和風(fēng)。返回八卦僅用兩種基本符號(hào)：陽(yáng)爻“—”和陰爻“一一”，這二、河圖洛書—數(shù)學(xué)形式美的雛形

《周易》上曾提出一種包含數(shù)學(xué)知識(shí)來源于神的說法，原文是“河出圖，洛出書，圣人則之。”其大意是：在伏羲氏時(shí)代，從黃河里跳出一匹龍馬，背著一幅圖，這幅圖隱含了很多天機(jī)，被稱為“河圖”，如圖(a)。在大禹治水時(shí)，洛水出現(xiàn)一只大烏龜，也背著一本包含治理國(guó)家的書，被稱為“洛書”，如圖(b)。這圖和書是圣人一切知識(shí)的源泉。圖(a)圖(b)返回二、河圖洛書—數(shù)學(xué)形式美的雛形《周易》上曾

我們撇開神話的色彩，其實(shí)河圖是由1到10的十個(gè)自然數(shù)的環(huán)形排列圖，是把l、3、5、7、9五個(gè)奇數(shù)和2、4、6、8、10五個(gè)偶數(shù)按照水(北)、火(南)、木(東)、金(西)、土(中)五行方位排列而成的數(shù)字圈。其構(gòu)圖本身就呈現(xiàn)出一種整齊美?！奥鍟睂?duì)數(shù)的結(jié)構(gòu)作了巧妙的再安排，僅用1到9這九個(gè)自然數(shù)排列成一個(gè)正方形，構(gòu)成每一行、每一列以及兩條對(duì)角線上3個(gè)數(shù)的和都是15。顯然，“洛書”是“河圖”的精簡(jiǎn)與升華，由“河圖”到“洛書”標(biāo)志著中華民族古代數(shù)學(xué)文化的飛躍和成熟，是中國(guó)的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)美之源?！奥鍟敝酗@現(xiàn)出一種數(shù)學(xué)形式美的雛形，九個(gè)數(shù)字之間奇偶相異，給人以整齊劃一、均衡對(duì)稱之感。返回我們撇開神話的色彩，其實(shí)河圖是由1到10的

西方古代數(shù)學(xué)家將“洛書”發(fā)展為幻方，并以洛書三階幻方為基礎(chǔ)，使階數(shù)不斷增高，幻方的結(jié)構(gòu)也隨之越來越幻。直至今日，有人仍在研究幻方形成的理論和方法，“洛書”也由此一直被視為大眾數(shù)學(xué)或游戲數(shù)學(xué)。

探究“洛書”的深層意蘊(yùn)，其奇妙結(jié)構(gòu)和演算變化建立了它獨(dú)特的數(shù)學(xué)形象和模式，并為中外數(shù)學(xué)家開創(chuàng)了位置分析、數(shù)字幾何與組合分析的先河。返回西方古代數(shù)學(xué)家將“洛書”發(fā)展為幻方，并以洛結(jié)束謝謝觀賞！結(jié)束謝謝觀賞！章數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想

節(jié)數(shù)學(xué)美的涵義節(jié)數(shù)學(xué)美的特征退出一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美二、數(shù)學(xué)美的涵義一、簡(jiǎn)單美二、對(duì)稱美三、和諧美四、奇異美章數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想

節(jié)數(shù)學(xué)美的涵義節(jié)數(shù)學(xué)美的特征退出一第三節(jié)

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美

第四節(jié)

數(shù)學(xué)美在中國(guó)的源頭

一、美觀---外在的美二、美好---內(nèi)在的美三、美妙---快樂的美四、完美---

至善至美一、太極八卦---中國(guó)象數(shù)學(xué)的美二、河圖洛書—數(shù)學(xué)形式美的雛形第三節(jié)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美第四節(jié)數(shù)學(xué)美在中國(guó)的源頭一、美第一節(jié)

數(shù)學(xué)美的涵義一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美

古希臘的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯(Proelus)斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！?/p>

古希臘著名學(xué)者畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)對(duì)數(shù)學(xué)有很深的造詣，其中畢氏定理(勾股定理)就是他的杰作,他認(rèn)為“萬物最基本的元素是數(shù)，數(shù)的和諧---這就是美?！狈祷氐谝还?jié)數(shù)學(xué)美的涵義一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美古希臘的哲

龐加萊：“數(shù)學(xué)家們十分重視他們的方法和理論是否十分優(yōu)美，這并非華而不實(shí)的作風(fēng)，那么到底是什么使我們感到一個(gè)解答、一個(gè)證明優(yōu)美呢？那就是各個(gè)部分之間的和諧、對(duì)稱、恰到好處的平穩(wěn)?！?/p>

克萊因：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類靈魂最獨(dú)特的創(chuàng)造。音樂能激發(fā)或撓慰情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！?/p>

高斯：“去尋求一種最美和最簡(jiǎn)潔的證明，乃是吸引我研究的主要?jiǎng)恿??！狈祷佚嫾尤R：“數(shù)學(xué)家們十分重視他們的方法和理論是

數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性和理性的顯現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。它是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心。

二、數(shù)學(xué)美的涵義返回?cái)?shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性和理性的顯現(xiàn)，第二節(jié)數(shù)學(xué)美的特征

一、

簡(jiǎn)單美

簡(jiǎn)單是指數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、方法、邏輯結(jié)構(gòu)和理論體系的簡(jiǎn)單。

1.符號(hào)簡(jiǎn)單符號(hào)是書寫數(shù)學(xué)語(yǔ)言的文字，大數(shù)學(xué)家克萊因說：“符號(hào)常常比發(fā)明它們的數(shù)學(xué)家更能推理”,人們總是探索用簡(jiǎn)單的符號(hào)去表現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)內(nèi)容。例如，微積分學(xué)中的常用符號(hào)：返回第二節(jié)數(shù)學(xué)美的特征一、簡(jiǎn)單美簡(jiǎn)單是指數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、又如，哈密頓微分算子符號(hào)向量場(chǎng)函數(shù)v=v1i+v2j+v3k,

(vi是x,y,z的函數(shù))▽v=()(v1i+v2j+v3k)

返回?cái)?shù)量場(chǎng)函數(shù)u(x,y,z)時(shí)，產(chǎn)生梯度又如，哈密頓微分算子符號(hào)向量場(chǎng)函數(shù)返回?cái)?shù)量場(chǎng)函數(shù)u(x,y,拉普拉斯方程:若用哈密頓算子表示，也十分漂亮、利落:

▽u·▽u=0返回拉普拉斯方程:若用哈密頓算子表示，也十分漂亮、利落:返回在線性方程組表示為AX=B返回在線性方程組表示為在埃及出土的三千六百年前的萊因特紙草上有下面一串符號(hào)用今天的符號(hào)表示即：宋、元時(shí)期我國(guó)也開始了相當(dāng)于現(xiàn)在“方程論”的研究，當(dāng)時(shí)記數(shù)使用的是“算籌”，的記號(hào)來表示二次三項(xiàng)式

412x2－x+136其中x系數(shù)旁邊注以“元”字，常數(shù)項(xiàng)注以“太”字，籌上畫斜線表示“負(fù)數(shù)”。返回在埃及出土的三千六百年前的萊因特紙草上有下面一串符號(hào)用今天的16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家卡當(dāng)、韋達(dá)等人對(duì)方程符號(hào)有了改進(jìn)，直到笛卡爾才第一個(gè)倡用x,y,z表示未知數(shù)。他曾用

xxx－9xx+26－24∝0表示方程

x3－9x2+26－24=0

這個(gè)演變過程就是對(duì)簡(jiǎn)單美的追求過程。返回16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家卡當(dāng)、韋達(dá)等人對(duì)方程符號(hào)有了改進(jìn)，直到笛卡爾

如果要具體寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能，然而用數(shù)學(xué)符號(hào)卻能精確地表示它們。有些數(shù)及其運(yùn)算只有用符號(hào)表示，才能更精確、更完美。例如，圓周率是一個(gè)常數(shù)，1737年歐拉首先倡導(dǎo)用希臘字母π來表示它，且通用全世界；也是歐拉用e表示特殊的無理常數(shù)─歐拉常數(shù)返回如果要具體寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能，然2.形式簡(jiǎn)單

藝術(shù)家們追求的美中，形式美是其中特別重要的內(nèi)容，他們?cè)阡秩久罆r(shí)，常常運(yùn)用不同形式，如泰山的雄偉，華山的險(xiǎn)峻，黃山的奇特，峨眉的秀麗，青海的幽深，滇池的開闊等。數(shù)學(xué)家們也十分注重?cái)?shù)學(xué)的形式美，美國(guó)數(shù)學(xué)家柏克提出了一個(gè)公式

審美度=即人們對(duì)數(shù)學(xué)的審美感受程度，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的秩序成正比，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的復(fù)雜性成反比。因此，按審美度要求，數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式越簡(jiǎn)單就越美。返回2.形式簡(jiǎn)單藝術(shù)家們追求的美中，形式美是其中特別重要的內(nèi)格林公式斯托克斯公式返回格林公式斯托克斯公式返回空間解析幾何中

橢球

橢圓拋物面

它們不僅便于記憶，而且具有形式美。

返回空間解析幾何中橢球橢圓拋物面它們不僅便于記憶，而且具3.語(yǔ)言簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美表現(xiàn)在語(yǔ)言上使人回味無窮。

如“負(fù)負(fù)得正”；“對(duì)頂角相等”；“實(shí)數(shù)集不可數(shù)”；

“角、邊、角”；“邊、角、邊”等。數(shù)列極限

函數(shù)極限

導(dǎo)數(shù)概念

返回3.語(yǔ)言簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美表現(xiàn)在語(yǔ)言上使人回味無窮。如4.方法簡(jiǎn)單

數(shù)學(xué)中的許多簡(jiǎn)單有效的判定定理，形式優(yōu)美的表達(dá)方式，并不是原本固有的，而是經(jīng)過人們長(zhǎng)期比較、篩選的結(jié)果。

例如，對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別，達(dá)朗貝爾判別法(比值法)與柯西判別法(根式法)都是十分簡(jiǎn)單有效的判別法,然而它們都有一個(gè)共同的不足，就是不能判別當(dāng)極限值時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性，于是人們不斷地給出了許多其他形式的判別法。比達(dá)朗貝爾判別法更精細(xì)的是拉貝(Laber)判別法

設(shè)

則當(dāng)r>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；

當(dāng)r<1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。返回4.方法簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)中的許多簡(jiǎn)單有效的判定定理，形式優(yōu)美事實(shí)上，由達(dá)朗貝爾判別法：設(shè)級(jí)數(shù)滿足級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散

不確定收斂；返回事實(shí)上，由達(dá)朗貝爾判別法：設(shè)級(jí)數(shù)滿足級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散不確收斂；發(fā)散；斂散性不確定。

凡是用達(dá)氏法能判別的級(jí)數(shù)斂散性，用拉貝法也能判別，因此，拉貝法比達(dá)氏法更精細(xì)。返回收斂；發(fā)散；斂散性不確定。凡是用達(dá)氏法能判別的比拉貝判別法更精細(xì)的是庫(kù)麥爾(Kummer)判別法,其中{Cn}適合條件:級(jí)數(shù)發(fā)散。

設(shè)則當(dāng)k>0時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)k<0時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。

返回事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，庫(kù)麥爾判別法即為拉貝判別法。比拉貝判別法更精細(xì)的是庫(kù)麥爾(Kummer)判別法,其中{拉格朗日型余項(xiàng)簡(jiǎn)單整齊，易于記憶，使用方便。從審美度而言拉格朗日型余項(xiàng)是最美的，因此受到人們的青睞。

然而，人們?cè)趹?yīng)用泰勒公式時(shí)，最習(xí)慣使用的還是拉格朗日型余項(xiàng)

其中在x與x0

之間。返回

又如，泰勒公式的余項(xiàng)，局部性的有皮亞諾(Peano)余項(xiàng)，整體性的有施諾米爾奇(Schlomilch)─羅赫(Roche)余項(xiàng)，柯西余項(xiàng)和拉格朗日余項(xiàng)等。在整體性余項(xiàng)中，后兩種余項(xiàng)僅是前一種余項(xiàng)的特例。因而，從整體性考慮，前一種余項(xiàng)更完美。

拉格朗日型余項(xiàng)簡(jiǎn)單整齊，易于記憶，使用方便。從審美度而言拉格二、

對(duì)稱美

對(duì)稱是指圖形或數(shù)式的對(duì)稱，概念、命題、法則或結(jié)構(gòu)的對(duì)偶、對(duì)應(yīng)、對(duì)逆等。1.形式對(duì)稱

解析幾何中的標(biāo)準(zhǔn)圖形

返回二、對(duì)稱美對(duì)稱是指圖形或數(shù)式的對(duì)稱，概念、命題、法則代數(shù)中的二項(xiàng)式定理：對(duì)稱行列式:

對(duì)稱矩陣：返回代數(shù)中的二項(xiàng)式定理：對(duì)稱行列式:對(duì)稱矩陣：返微積分中空間曲線L：x=x(t),y=y(t),z=z(t)的切線方程

空間曲面S：F(x,y,z)=0的法線方程

==導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

返回微積分中空間曲線L：x=x(t),y=y(t),2.關(guān)系對(duì)稱

運(yùn)算的對(duì)稱：加與減、乘與除、乘方與開方、指數(shù)與對(duì)數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等；

概念的對(duì)稱：函數(shù)與反函數(shù)、奇與偶、單增與單減、連續(xù)與間斷、收級(jí)與發(fā)散等；

命題的對(duì)稱：嚴(yán)格單減。

返回2.關(guān)系對(duì)稱運(yùn)算的對(duì)稱：加與減、乘與除、乘方與開方“共軛”關(guān)系對(duì)稱性：

共軛無理數(shù)

共軛矩陣

共軛積分返回“共軛”關(guān)系對(duì)稱性：共軛無理數(shù)“對(duì)偶”關(guān)系對(duì)稱性：

集合中的對(duì)偶關(guān)系

線性規(guī)劃中的對(duì)偶關(guān)系

線性規(guī)劃問題：

(*)返回“對(duì)偶”關(guān)系對(duì)稱性：集合中的對(duì)偶關(guān)系線性規(guī)劃中的對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶規(guī)劃問題：

(**)

由對(duì)偶定理知，若線性規(guī)劃問題(*)有最優(yōu)解，則其對(duì)偶規(guī)劃問題(**)也有最優(yōu)解,且兩問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等。反之也成立。返回返回對(duì)偶規(guī)劃問題：(**)由對(duì)偶定理知，若線性規(guī)劃問題3.對(duì)稱美方法的運(yùn)用

對(duì)稱美方法是數(shù)學(xué)中的銳利武器,數(shù)學(xué)家們利用它揭示和發(fā)現(xiàn)了很多數(shù)學(xué)中的奧秘，其中最典型的有麥克斯韋方程、笛沙格定理和伽羅瓦群等，它被著名數(shù)學(xué)家狄拉克(Dirac)稱為“自然科學(xué)時(shí)代新方法的精華”。下面僅以求積分為例，來說明它的妙用。(1)利用積分區(qū)間的對(duì)稱性

利用積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性，簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算，是積分運(yùn)算中最常用的一種方法。

若積分區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，或積分區(qū)間雖然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但被積函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，有時(shí)通過適當(dāng)?shù)膿Q元或拆項(xiàng)等方法也可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱區(qū)間上的積分問題。返回3.對(duì)稱美方法的運(yùn)用對(duì)稱美方法是數(shù)學(xué)中的例1求

(n為自然數(shù))。令,則可將積分化為對(duì)稱區(qū)間。

返回例1求(2)利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性

借助積分中函數(shù)圖象的對(duì)稱性，獲得簡(jiǎn)捷的解題途徑，這是對(duì)稱美方法的又一妙用。

例2設(shè)C為對(duì)稱于坐標(biāo)軸的平面光滑閉曲線，證明

易知積分與路徑無關(guān)。設(shè)D為曲線C圍成的平面閉區(qū)域,則由格林公式返回(2)利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性借助積分中函數(shù)圖象的對(duì)因?yàn)榉e分域D關(guān)于x軸對(duì)稱，又y3

是奇函數(shù)，同理，所以(3)利用輪換對(duì)稱性

根據(jù)研究問題中解析式結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，由一個(gè)結(jié)論迅速地得出相似結(jié)論，這不僅能縮減冗長(zhǎng)繁瑣的計(jì)算或證明過程，而且給人以對(duì)稱美的享受。例3計(jì)算

橢球的外表面。

返回因?yàn)榉e分域D關(guān)于x軸對(duì)稱，又y3是奇函數(shù)，同理，所以(3)作廣義極坐標(biāo)變換

,則

返回作廣義極坐標(biāo)變換,用輪換對(duì)稱法，即得

于是

返回用輪換對(duì)稱法，即得于是返回(4)挖掘潛在的對(duì)稱關(guān)系

有的問題從表面上看，似乎與對(duì)稱無關(guān)。但如果仔細(xì)分析，尋找潛在的對(duì)稱關(guān)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題，就能很快找到突破口,使問題迎刃而解。例4計(jì)算

若直接令,則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。

因?yàn)?/p>

f(x)=在[0,]上的原函數(shù)不是初等函數(shù)，

所以不能用一般定積分的方法來計(jì)算。

返回(4)挖掘潛在的對(duì)稱關(guān)系有的問題從表面上看，似乎與于是尋找有無對(duì)稱點(diǎn),容易發(fā)現(xiàn)

即在區(qū)間[0,]上橫坐標(biāo)關(guān)于的任意兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)x與相應(yīng)的函數(shù)值關(guān)于也對(duì)稱，

故

返回于是尋找有無對(duì)稱點(diǎn),容易發(fā)現(xiàn)即在區(qū)間[0,(5)構(gòu)造對(duì)稱關(guān)系

有些數(shù)學(xué)問題，原來并不具有對(duì)稱性，在解題過程中，如果善于根據(jù)問題的特點(diǎn)，構(gòu)造出某種對(duì)稱關(guān)系，便能使問題很快得到解決。例5計(jì)算其中D為y=1,x=－1所圍成的區(qū)域,f是一連續(xù)函數(shù)。

積分區(qū)域不具有對(duì)稱性，作曲線,

將D分成D1,D2兩部分,返回(5)構(gòu)造對(duì)稱關(guān)系有些數(shù)學(xué)問題，原來并不具有對(duì)稱性于是D1與D2

分別關(guān)于y軸和x軸對(duì)稱。

又因?yàn)槭莤或y的奇函數(shù),所以=0

從上述解題過程中都放射出對(duì)稱美思想的光芒，正如德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾(Weyl)所說：“美和對(duì)稱緊密相關(guān)”。返回于是D1與D2分別關(guān)于y軸和x軸對(duì)稱。又因?yàn)槭莤或y的奇三、和諧美

數(shù)學(xué)中的和諧美是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、部分與整體之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系或共同規(guī)律，從而形成本質(zhì)上的嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一。和諧指事物之間具有勻稱、有序、明確的變化規(guī)律。1.嚴(yán)謹(jǐn)是和諧的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)自然顯現(xiàn)出它的和諧。為了追求嚴(yán)謹(jǐn)，消除數(shù)學(xué)中的不和諧因素，數(shù)學(xué)家們一直在努力。數(shù)學(xué)史上所謂的“數(shù)學(xué)危機(jī)”正是某些數(shù)學(xué)理論不和諧所致。

返回三、和諧美數(shù)學(xué)中的和諧美是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)第一次危機(jī)---無理數(shù)的誕生。

第二次危機(jī)------實(shí)數(shù)理論得以建立,導(dǎo)致集合論的誕生。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)------“羅素悖論”和其它悖論的產(chǎn)生，為了避免悖論，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一種公理系統(tǒng)，后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel)在1921年加以改進(jìn)，形成了目前公認(rèn)的彼此無矛盾的公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱ZF公理系統(tǒng)。函數(shù)的連續(xù)性，是當(dāng)今數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要基本概念，然而它的現(xiàn)代定義的形成，也經(jīng)歷了一個(gè)從不和諧到和諧的漫長(zhǎng)過程。18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為，由一個(gè)單獨(dú)表達(dá)式給出的函數(shù)是連續(xù)的，而由幾個(gè)表達(dá)式給出的函數(shù)是不連續(xù)的。例如,歐拉函數(shù)返回第一次危機(jī)---無理數(shù)的誕生。第二次危機(jī)------實(shí)數(shù)理是不連續(xù)的，而由兩個(gè)分支組成的雙曲線(反比例函數(shù))，因?yàn)樗怯梢粋€(gè)表達(dá)式給出的，就認(rèn)為它是連續(xù)的。19世紀(jì)，傅立葉證明：定義在某個(gè)區(qū)間上的任意函數(shù)可表示成該區(qū)間上的正弦與余弦的無窮級(jí)數(shù)。比如，返回是不連續(xù)的，而由兩個(gè)分支組成的雙曲線(反比例函數(shù))，19世紀(jì)可表示為

這樣一來，上述函數(shù)依照歐拉的見解既不是連續(xù)的，同時(shí)又是連續(xù)的。

1821年，柯西對(duì)“連續(xù)”概念重新敘述，直至1850年魏爾斯特拉斯給出“”形式的定義，才使得“連續(xù)”這一概念有了新的解釋。2.統(tǒng)一是和諧的標(biāo)志

統(tǒng)一是指數(shù)學(xué)中內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、章節(jié)與章節(jié)之間客觀存在的相互聯(lián)系。

返回可表示為這樣一來，上述函數(shù)依照歐拉的見解既不是連續(xù)的解析幾何中,引入極坐標(biāo)之后，橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式平面上的二次曲線方程

由于系數(shù)A,B,C,…,F不同，其形態(tài)萬千，但是歐拉通過坐標(biāo)變換，將它們化為下面九種標(biāo)準(zhǔn)形狀:返回解析幾何中,引入極坐標(biāo)之后，橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式(雙曲線)(兩虛直線相交)(虛橢圓)(橢圓)返回(雙曲線)(兩虛直線相交)(虛橢圓)(橢圓)返(兩重合直線)(兩平行虛直線)(兩平行直線)(拋物線)(兩相交直線)返回(兩重合直線)(兩平行虛直線)(兩平行直線)(拋

在積分學(xué)中，不定積分與定積分是兩個(gè)切然不同的概念，但在微積分基本公式之中得到和諧統(tǒng)一,從而極大地推動(dòng)了微積分的應(yīng)用與發(fā)展。

定積分、重積分、曲線積分和曲面積分，它們表述的實(shí)際意義各不相同，但卻都統(tǒng)一于黎曼積分之中。

各類積分之間都有著內(nèi)在聯(lián)系：返回在積分學(xué)中，不定積分與定積分是兩個(gè)切然不同的概念，但在二重積分三重積分Ⅰ型曲線積分Ⅰ型曲面積分Ⅱ型曲線積分Ⅱ型曲面積分定積分返回二重積分三重積分Ⅰ型曲線積

四、奇異美

奇異指數(shù)學(xué)中的方法、結(jié)論或有關(guān)發(fā)展出乎意料，使人既驚奇又贊賞與折服。

徐利治先生說：“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美。”

在數(shù)學(xué)史上曾吸引人們廣泛關(guān)注的有“蝴蝶定理”。

1815年，數(shù)學(xué)家奧納首先解決了這個(gè)問題的證明。但由于它優(yōu)美的外形及包含的深刻內(nèi)涵，引起了人們廣泛的興趣，100多年來研究者眾多，給出了不少初等與高等的證明，其中被公認(rèn)為最奇妙的證明是1973年由斯特溫等人給出的。

返回四、奇異美奇異指數(shù)學(xué)中的方法、結(jié)論或有關(guān)發(fā)展出乎證明：由圖所示，圓內(nèi)共有四對(duì)相等的角。

設(shè)

PM=x,MQ=y,AM=MB=a,則有

化簡(jiǎn)得

返回證明：由圖所示，圓內(nèi)共有四對(duì)相等設(shè)PM=x,MQ由相交弦定理知

故有

因x,y都大于0,上式僅在x=y,即PM=MQ時(shí)成立。

上述證明中沒有添加任何輔助線，證明過程簡(jiǎn)明、勻稱，好優(yōu)美漂亮！

返回由相交弦定理知故有因x,y都大于0,上式僅在x=高等數(shù)學(xué)中這種“離經(jīng)叛道”的奇異現(xiàn)象，隨處可見。

比如，人們長(zhǎng)期以為，周期函數(shù)一定存在最小正周期,然而狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)，但不存在最小正周期。

實(shí)數(shù)軸上的有理點(diǎn)與無理點(diǎn)都是處處稠密的，然而無理點(diǎn)卻比有理點(diǎn)多得多。

洛比達(dá)(L’Hospital)法則是求未定式極限的銳利武器,但它對(duì)極限返回高等數(shù)學(xué)中這種“離經(jīng)叛道”的奇異現(xiàn)象，隨處可見。卻無能為力。

在不定積分中，有些看上去非常簡(jiǎn)單的函數(shù)，卻“積”不出來：

在歐拉公式

代入

,得

真叫人拍案叫絕,人們把這5個(gè)常數(shù)戲稱為數(shù)學(xué)中的“五朵金花”。

返回卻無能為力。在不定積分中，有些看上去非常簡(jiǎn)單的函數(shù)

對(duì)于n!,人們長(zhǎng)期認(rèn)為除了表示1,2,3,…,n這n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積外，再?zèng)]有別的意義。但在微積分中根據(jù)嘎瑪函數(shù)Г()的遞推性質(zhì),可以得到n!的分析表達(dá)式

這確實(shí)令人震驚而又感到數(shù)學(xué)魅力無窮。

第二型曲面積分是在雙側(cè)曲面上進(jìn)行的。

那么，單側(cè)曲面又是什么樣子呢？

如果把一條長(zhǎng)的矩形紙帶扭轉(zhuǎn)180o

后，再把兩端粘起來，這就成了僅有一個(gè)側(cè)面的曲面,它通常叫做莫比烏斯帶，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的。

返回對(duì)于n!,人們長(zhǎng)期認(rèn)為除了表示1,2,3,…

莫比烏斯帶有許多有趣的性質(zhì)，比如用不同方式去剪開它，可有不同的結(jié)果：

如果沿著紙帶中線剪開，它仍是一條莫比烏斯帶,只是長(zhǎng)度增加了一倍；

若沿紙帶寬處剪開，它卻成了一個(gè)

扭了兩圈的長(zhǎng)莫比烏斯帶套上一個(gè)小莫比烏斯帶。

兩位美國(guó)學(xué)者在研究莫比烏斯帶制作時(shí)提出過一個(gè)問題：在保證不摺折紙條的前提下，能做成功莫比烏斯帶的紙條的最短長(zhǎng)度是多少？

問題看上去似乎很簡(jiǎn)單，然而回答起來卻是如此困難。兩位美國(guó)人的估計(jì)是：若紙條寬是1,則能做成莫比烏斯帶的最小長(zhǎng)度在之間。

返回莫比烏斯帶有許多有趣的性質(zhì)，比如用不同方式去剪開它，可從圖看出，只要,做成功是沒有問題的。

但它并不是的最小估計(jì),這個(gè)最小估計(jì)至今仍然是一個(gè)未解之“謎”。

有趣的是，這個(gè)在數(shù)學(xué)史上完全由數(shù)學(xué)家構(gòu)想出來的東西，竟進(jìn)入了有機(jī)化學(xué)領(lǐng)域。美國(guó)科羅拉多大學(xué)化學(xué)系的沃爾巴、理查茲和霍爾提萬格，在實(shí)驗(yàn)室第一次合成了形狀和莫比烏斯帶一樣的莫比烏斯分子,他們制造莫比烏斯分子的方法同制作莫比烏斯帶的方法極其相似。

返回從圖看出，只要,做成功是沒有問題的。

數(shù)學(xué)中的奇異現(xiàn)象還有另一種涵義，當(dāng)人們沒有認(rèn)清它而做出錯(cuò)誤的判斷、結(jié)論或給出不盡完美的方法時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)一些“反例”。

后來又有人發(fā)現(xiàn)，存在著黎曼可積而又具有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)。連續(xù)函數(shù)是微積分學(xué)的主要研究對(duì)象,起初，數(shù)學(xué)家們以為“連續(xù)函數(shù)至少在某點(diǎn)處可微”,然而魏爾斯特拉斯卻找到了一個(gè)“處處連續(xù)但處處不可微”的例子。返回?cái)?shù)學(xué)中的奇異現(xiàn)象還有另一種涵義，當(dāng)人們沒有認(rèn)清它而做出第三節(jié)

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美

如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠感受和欣賞數(shù)學(xué)美，張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的美學(xué)教育有以下4個(gè)層次：

美觀、美好、美妙、完美。

返回第三節(jié)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展現(xiàn)數(shù)一、美觀---外在的美

這主要是數(shù)學(xué)對(duì)象以形式上的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔，給人的感官帶來美麗、漂亮的感受。

幾何學(xué)常常帶給人們直觀的美學(xué)形象

返回一、美觀---外在的美這主要是數(shù)學(xué)對(duì)象以形式上的對(duì)2000年，在東京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，日本教師一堂公開課的題目:

在一塊矩形場(chǎng)地上筑一花壇，使其面積為場(chǎng)地的一半，要求設(shè)計(jì)美觀。

美國(guó)教師要求學(xué)生用二次曲線畫“米老鼠”或其它畫作，發(fā)揮學(xué)生用幾何曲線(寫出方程)進(jìn)行美術(shù)創(chuàng)作的想象力。

上海進(jìn)才中學(xué)教研組，他們?cè)谶M(jìn)行立體幾何教學(xué)時(shí)，要求學(xué)生以“柱體”、“臺(tái)體”、“錐體”、“球體”、“圓柱”、“圓錐”等3維幾何圖形，制作一座運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)杯，并要求學(xué)生寫出每個(gè)部件的方程式。

返回2000年，在東京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，日本教師一堂二、美好---內(nèi)在的美

數(shù)學(xué)上的許多東西，只有認(rèn)識(shí)到它的正確性，才能感覺其“美好”。

“美觀”的數(shù)學(xué)對(duì)象,也必須進(jìn)到“美好”的層次。

“圓”從結(jié)構(gòu)上看是極其美觀的。從性質(zhì)上看它也十分美好。任何圓的周長(zhǎng)與直徑之比總是一個(gè)常數(shù)π。π既非有理數(shù)又非代數(shù)數(shù)，是超越數(shù)。這種內(nèi)在的數(shù)學(xué)價(jià)值，展現(xiàn)了“圓”的魅力，引無數(shù)英雄盡折腰。從祖沖之的計(jì)算到今天用計(jì)算機(jī)算到60億位小數(shù)，對(duì)它的研究尚未完結(jié)。返回二、美好---內(nèi)在的美數(shù)學(xué)上的許多東西，只有認(rèn)識(shí)到

不美觀的數(shù)學(xué)對(duì)象是很多的。一個(gè)突出的例子是一元二次方程的求根公式：

這一公式無論從哪方面看都不對(duì)稱、不和諧、不美觀。

但是，當(dāng)我們了解它、運(yùn)用它，就會(huì)感到它的價(jià)值，它的“內(nèi)秀”。這一公式會(huì)告訴我們?cè)S多信息：“士”表示它有2個(gè)根；“a≠0,△=b2一4ac”會(huì)顯示根的數(shù)目及方程的性質(zhì)……,所以，當(dāng)你和它熟悉了，就會(huì)覺得它形式上雖難看，本質(zhì)卻是美好的。正如《巴黎圣母院》中的卡西摩多，外表丑陋而內(nèi)心美好。返回不美觀的數(shù)學(xué)對(duì)象是很多的。一個(gè)突出的例子是一元二次方三、美妙---快樂的美

教師要給學(xué)生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)真理的快樂。

美妙的感覺需要培養(yǎng),例如，三角形的3條高、3條中線、3條內(nèi)角平分線都交于一點(diǎn),這是很美麗、十分美好，同時(shí)令人驚奇的結(jié)論。發(fā)現(xiàn)它會(huì)使人覺得數(shù)學(xué)妙不可言，特別是幾何學(xué)妙極了。那么在教學(xué)時(shí)，先不告訴學(xué)生結(jié)果,讓學(xué)生自己親手作圖，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些一下子看不出來的“真理”?？梢韵胍?，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)真理該會(huì)是何等的驚喜。一旦體會(huì)到數(shù)學(xué)的“美妙”,對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生由衷的興趣，也就是順理成章的事了。返回三、美妙---快樂的美教師要給學(xué)生一些創(chuàng)新

每個(gè)喜歡數(shù)字的人，都曾感受到那樣的時(shí)刻：一條輔助線使無從著手的幾何題豁然開朗，一個(gè)技巧使百思不得其解的不等式證明得以通過，

一個(gè)特定的“關(guān)系一映射一反演”方法使原不相干的問題得以解決,這時(shí)的快樂與興奮真是難以形容，也許只有用一個(gè)“妙”字加以概括。

這種美妙的意境，會(huì)使人感到天地造化數(shù)學(xué)之巧妙,數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)字之深邃，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快。達(dá)到這一步，學(xué)生才算真正感受到數(shù)學(xué)美的真諦，被數(shù)學(xué)所吸引，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)。返回每個(gè)喜歡數(shù)字的人，都曾感受到那樣的時(shí)刻：一條輔助線四、完美

-----至善至美