2021-2022學年湖北省武漢市武昌區(qū)部分學校九年級(上)期中數學試卷(附詳解)

（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）將一元二次方3??2?1=2??化成一般形式二次項系數為正)，二次項系數一次項系數分別( )A.、?2 B.2 C.?1 D.、1下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的( )B. C. D.3. 拋物??=2(??+3)2+5的頂點坐標( )A.(3,5) B.(?3,5) C.(3,?5) D.(?3,?5)用配方法解方??2?4???3=0.下列變形正確的( )A.(???4)2=19 B.(???2)2=7 C.(???2)2=1 D.(??+2)2=7下列方程沒有實數解的( )A.??2=0C.??2????2021=0

B.??2?2??+1=0D.??2+??+1=0要將拋物??=2??2平移后得到拋物??=2??2+4??+5，下列平移方法正確的是( )個單位個單位個單位個單位有一個人患了感冒經過兩輪傳染后總共傳染64人按照這樣的傳染速度經三輪后患了感冒人數( )A.596 B.428 C.512 D.604下列多邊形的所有頂點不一定在同一個圓上的( )三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形9. ??????2+??=3??3+2??2??????6??+的值( )A.2023 B.2027 C.2028第1頁，共26頁

D.20292. ??=??????????=??，點??∠??????△??????????、????、????.下列+????≥≤1?????????；③24 若????==≤√3??2+1????.4 的結論個數( 個．A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11. 點??(??,??)關于原點的對稱點的坐標12. 解方2(???1)2=8，則方程的解. 點1,1)2,23,3??=??2+??+??1，??2，??3的大小關系．14. ????是⊙????⊙??????=∠??????= ．15. 已知關??的二次函??=????2+????+下列結論中一定正確的.(填序即)??????2+????+??=必有兩個不等實數根；②若對任意實數??都有????2+????≤?????(??<0)，則??=2??；③若(????2+????+??2+??+)<??<)??2+??+??=????<??<??；若??2??2+??????+????<0，則方????2+????+??=0必有兩個實數根．. 已知⊙??的直??=2√??為⊙??上一動點??、????分別平分△??????的外角，????與⊙??交于點??.若將????繞??點逆時針旋轉270°，則點??所經歷的路徑長為 .(??為??????)180三、解答題（本大題共8小題，共72.0分）17. 解方程：??2???3=0．第2頁，共26頁18. ????=????=????，∠??????=1∠??????，∠??????=45°．3(1)求證：??，??，??在以??為圓心，????為半徑的圓上；(2)求∠??????的度數．??=??2?2???3．(1)?? … ?1 0 1 2 3 …?? … …當??滿時，函數值大0；(3)當?2<??<2時，??的取值范圍．第3頁，共26頁????????????????????.請用無刻度直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡(用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結果)(1)分別在????、????取點??、??，使????//????，????=1????；2(2)作△??????的角平分線????；(3)在△??????的角平分線????取一點??，使????+????最?。?1. 如圖，??????=√3????，????∠??????，??=30°．(1)當∠??????????????有最大面積？最大面積是多少？當????的長，四邊????????是梯一組對邊平行，另一組對邊不平行四邊)(直接寫答)．第4頁，共26頁????()??的關系為二次函數，銷售情況記錄如表：??123??3976111求????的函數關系式；這批蘋果多少天才能銷售完；20千克？23.【問題背景】如圖1，??為△??????內一點，連????、????.則????+????<????+????．小明考慮到“三角形兩邊之和大于第三邊”，延長????交????于??，就可以證明上面結論．請按小明的思路完成證明過程；【遷移應用】如圖2，在△??????中，∠??????>120°，??為△??????內一點，求證：????+????+????>????+????．【拓展創(chuàng)新】已△??????中===+??=+3??=△??????所在平面內一點，????+????+????的最小值用??的式子表) .(直接出結)第5頁，共26頁24.1??????2????????????????點．且拋物線的對稱??=2，????==3．求拋物線的解析式；??(??,?2)(??)????：??=??1??+??1(切點為??)和????：??=??2??+??2(??為切點)，求??1??2的值；3????3??4分別與(2)中直線????、????平行，??3與??1交于??，??兩點，??4與??1交于??，??兩點，??，??分別為????、????的中點，求點??到直線????的距離??的最大值．第6頁，共26頁第7頁，共26頁答案和解析??【解析】解：∵3??2?1=2??，∴3??2?2???1=0，∴二次項系數和一次項系數分別是3和?2，故選：??．先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次項系數和一次項系數即可．本題考查了一元二次方程的一般形式，多項式的項和單項式的系數等知識點，注意：找多項式項的系數時，帶著前面的符號．??【解析】解：??.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C.D.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：??．根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行判斷，即可得出答案．180度后與原圖重合．??【解析】解：∵??=2(??+3)2+5，∴拋物線頂點坐標為(?3,5)，故選：??．由拋物線的解析式可求得答案．本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在??=??(???第8頁，共26頁?)2+??中，對稱軸為??=?，頂點坐標為(?,??)．??【解析】解：∵??2?4???3=0，∴??2?4??=3，則??2?4??+4=3+4，即(???2)2=7，故選：??．移項后兩邊都加上一次項系數一半的平方即可．本題考查了解一元二次方程?配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關鍵．????2=0=??2=0，故本選項不合題意；B.??2?2??+1=0，∵??2?4????=(?2)2?4×1×1=0，∴此方程有兩個相等的實數根，故本選項不合題意；C.??2????2021=0，∵??2?4????=(?1)2?4×1×(?2021)=8085>0，∴此方程有兩個不相等的實數根，故本選項不合題意；D.??2+??+1=0，∵??2?4????=12?4×1×1=?3<0，∴此方程無解，本選項符合題意．故選：??．逐項解方程或求出根的判別式，根據判別式的符號即可得到結論．系是解決問題的關鍵．??第9頁，共26頁【解析】解：∵??=2??2+4??+5=2(??+1)2+3，∴該拋物線的頂點坐標是(?1,3)，∵拋物線??=2??2的頂點坐標是(0,0)，∴平移的方法可以是：將拋物線??=2??2向左平移1個單位，再向上平移3個單位．故選：??．原拋物線頂點坐標為(0,0)，平移后拋物線頂點坐標為(?1,3)，由此確定平移規(guī)律．本題考查了二次函數圖象與幾何變換．關鍵是將拋物線的平移問題轉化為頂點的平移，尋找平移方法．??【解析】解：設每輪傳染中平均一個人傳染??個人，由題意得：1+??+??(1+??)=64，解得??1=7，??2=?9，∵??>0，∴??2=?9，不合題意，舍去，∴??=7．則第三輪的感冒人數為：(7+1)3=512．故選：??．設第一個人傳染了??人，根據兩輪傳染后共有64人患了感冒；列出方程，求解，然后求出三輪之后患感冒的人數．本題考查了一元二次方程的應用，解答本題的關鍵在于讀懂題意，設出合適的未知數，找出等量關系，列方程求解．??.∵矩形對角線相等且互相平分，∴四個頂點到對角線交點距離相等，∴矩形四個頂點定可在同一個圓上，故選項不符合題意；∵菱形對角線互相平分但不相等，∴四個頂點到對角線交點距離不一定相等，第10頁，共26頁∴菱形四個頂點定不一定在同一個圓上，故選項符合題意；∵正方形對角線相等且互相平分，∴四個頂點到對角線交點距離相等，∴正方形四個頂點定可在同一個圓上，故選項不符合題意；故選：??．根據三點共圓可得三角形的三個頂點在同一個圓上，由于矩形和正方形矩形對角線相等C．此題主要考查了正方形的性質，矩形的性質，菱形的性質，圓的認識，能夠理解四個頂點在同一個圓上的條件是解決本題的關鍵．??【解析】解：∵??、??是一元二次方程??2+???3=0的兩個實數根，∴??2+???3=0，??2+???3=0，∴??2=???+3，??2=???+3，∴??3=??(???+3)=???2+3??=?(???+3)+3??=4???3，∴??3+2??2??????6??+2021=4???3+2(???+3)??????6??+2021=?2(??+??)?????+2024，∵??、??是一元二次方程??2+???3=0的兩個實數根，∴??+??=?1，????=?3，∴原式=?2×(?1)?(?3)+2024=2029．故選：??．先利用一元二次方程解的定義得到??2=???+3，??2=???+3，再用??表示出??3=4???3，則原式化簡為?2(??+??)?????+2024，接著利用根與系數的關系得到??+??=?1，????=?3，然后利用整體代入的方法計算．本題考查了根與系數的關系12??2+??+??=??≠的兩根，則

+

=???，??1??2=??.也考查了一元二次方程的解．1 2 ?? ??第11頁，共26頁??【解析】解：①如圖1，將△??????繞點??逆時針旋轉60°得到△??????′，則△??????′≌△??????，∴????′=????，????′=????，∵∠??????′=60°，∴△????′??是等邊三角形，∴??′??=????，在△????′??中，????′+????>??′??，∴????+????>????，當∠??????=60°，即∠????′??=60°時，??′、??、??三點共線，∴????+????=????，故①正確；②如圖2，過點??作????⊥????于??，則∠??????=90°，∴????=?????sin∠??????，∴??△??????=1?????????=1??????????sin∠??????，2 2∵∠??????≤90°，∴sin∠??????≤1，2∴??△??????≤1?????????，故②正確；2③如圖3，把△??????繞點??順時針旋轉60°得到△??????，連接????，由旋轉得：????=????，∠??????=60°，∴△??????是等邊三角形，4∴??△??????=√3??2，4∵△??????≌△??????(根據旋轉的性質)，∴??△??????=??△??????=1??????????sin∠??????≤1?????????，2 22即??△??????≤1????，2第12頁，共26頁∴??△??????≤??△??????+??△??????≤√3??2+1????，4 2故③正確；綜上所述，正確的結論為3個，錯誤的結論為0個，故選：??．160°是等邊三角形，再運用三角形三邊關系即可判斷①正確；②如圖2，過點??作????⊥????于??，則∠??????=90°，根據??△??????=1?????????=1??????????2 2sin∠??????，即可判斷②正確；③如圖3，把△??????繞點??順時針旋轉60°得到△??????，連接????，由旋轉的性質可證得△??????是等邊三角形，??△??????=√3??2，即可判斷③正確．4本題考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，旋轉變換的性質，三角形面積，解題關鍵是利用旋轉變換構造全等三角形．411.【答案】(???,???)【解析】解：點??(??,??)關于原點的對稱點的坐標為(???,???)．故答案為：(???,???)．根據平面直角坐標系中任意一點??(??,??)，關于原點的對稱點是(???,???)，然后直接作答即可．面直角坐標系的圖形．12.【答案】??1=3，??2=?1【解析】解：(???1)2=4，???1=±2，所以??1=3，??2=?1．故答案為??1=3，??2=?1．先把方程變形為(???1)2=4，然后利用直接開平方法解方程．本題考查了解一元二次方程?直接開平方法：形如??2=??或(????+??)2=??(??≥0)的一第13頁，共26頁元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．13.【答案】??2>??1>??3【解析】解：二次函數??=???2+2??+??的對稱軸為：??=?

22×(?1)

=1，由對稱性得，??1(?1,??1)關于對稱軸對稱的點??的坐標為(3,??1)，∵??=?1<0，∴在對稱軸的右側，即??>1時，??隨??的增大而減小，∵??2(2,??2)，??3(5,??3)，??(3,??1)，∴??2>??1>??3，故答案為：??2>??1>??3．??????1??的坐標，再進行比較即可．軸是關鍵．14.【答案】50°【解析】解：∵????=????，∠??????=40°，∴∠??????=∠??????=40°∴∠??????=180°?40°?40°=100°，∴∠??????=1∠??????=50°，2故答案為：50°．根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠??????的度數，根據圓周角定理計算即可．弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．15.【答案】①②③④．第14頁，共26頁【解析】解：①∵拋物線??=????2+????+??與??軸有兩個不同交點，∴方程????2+????+??=0有兩個不同的實數根，∴??2?4????>0，∴????2+????+??=0有兩個不相等的實數根，故①正確；②∵對任意實??都有????2+????≤?????(??<0)，∴????2+????+??≤?????+??，∴當??=?1時，函數有最大值，∴??=?1，∴???2??

=?1，∴??=2??，故②正確；③∵(????2+????+??)(????2+????+??)<0(??<??)，∴拋物線與??軸的一個交點的橫坐標在??、??之間，∵方程????2+????+??=0有一個根??，∴函數圖象與??軸的一個交點為(??,0)，∴??<??<??，故③正確；④∵??2??2+??????+????<0，∴??(????2+????+??)<0，∴當??>0時，????2+????+??<0；當??<0時，????2+????+??>0，∴????2+????+??=正確；根據二次函數與方程的關系即可判斷①；根據二次函數的性質即可判斷②；根據拋物??③；根據題意，拋物線開口向上，則??=??時，??<=??時，??>0④．本題考查了二次函數圖象和系數的關系，拋物線與??在的交點，根的判別式的應用，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．16.【答案】3??2【解析】解：如圖，設∠??????=??，∵????是⊙??的直徑，∴∠??????=90°，第15頁，共26頁∴∠??E??=??，∠??????=90°???，∵????、????分別平分△??????的外角，∴∠??????=45°，∠??????=45°+1??，2∴∠E????=180°?∠???????∠??????=180°?45°?(45°+1??)=90°?1??，2 2∴∠E????=180°?∠??E???∠E????=180°????(90°?1??)=90°?1??，2 2∴∠E????=∠E????，∴E??=E??，∵E=E，∴∠E????=∠E????=45°，∵∠??E??=90°，∴△????E是等腰直角三角形，∴E??=E??，∴E??=E??=E??，∴點??在半徑為2的⊙E上逆時針旋轉135°，180

=3??，2故答案為：3??．2∠??????=????是⊙??∠??????451∠E????=9012 2????=??=??=??=??，??⊙E135°，再利用弧長公式即可得出答案．本題考查了圓的性質，旋轉變換的性質，角平分線定義，等腰直角三角形性質，弧長公式，點的運動軌跡等，解題關鍵是確定點??的運動軌跡為半徑為2的⊙E上逆時針旋轉135°的圓?。?7.【答案】解：??2????3=0，∵??=1，??=?1，??=?3，△=??2?4????=(?1)2?4×1×(?3)=13>0，∴方程有兩個不等的實數根，第16頁，共26頁∴??=1±√13，2則??1=1√13，??2=1√13．2 2【解析找出方程中二次項系??，一次項系??及常數??，計算出根的判別式，由根的判別式大0，得到方程有解，??，????的值代入求根公式即可求出原方程的解．此題考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程時首先將方程化為一般形式找出二次項系一次項系??及常數當??2 4????≥時代入求根公式來求解．18.【答案】(1)證明：如圖，∵????=????=????，∴點??是△??????的外接圓的圓心，∴??，??，??在以??為圓心，????為半徑的圓上；(2)解：∵∠??????=2∠??????，∠??????=45°，∴∠??????=90°，∵∠??????=1∠??????=30°，3∴∠??????=∠?????? ∠??????=120°，∵????=????，∴∠??????=∠??????=1(180° 120°)=2【解析】(1)根據三角形外接圓的判定解決問題即可；(2)利用圓周角定理求出∠??????=90°，再利用等腰三角形的性質解決問題即可．弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．19.【答案0 3 4 3 0 ??<1 ??>33 <??<5【解析解∵??=??2 2?? ∴當??=1 時，??=當??=0時，??=3(1)；2 2×(1) 3=1 23=0；當??=1時，??=123=4 ；當??=2時，??=443=3 ；1726頁當??=3時，??=9?6?3=0．故答案為：0，?3，?4，?3，0；圖象如圖所示：(2)從圖象看，當??滿足??<?1或??>3時，函數值大于0，故答案為：??<?1或??>3；(3)∵??=??2?2???3，當??=?2時，??=4+4?3=5，當??=2時，??=4?4?3=?3，結合函數圖象當?2<??<2時，??的取值范圍是?3<??<5，故答案為：?3<??<5．求出表格數據，描點連線繪圖即可；觀察函數圖象即可求解；(3)根據函數解析式求出??=?2和??=2時??的值，再結合函數圖象寫出當?2<??<2時，??的取值范圍．本題考查的是拋物線與??軸的交點，主要考查函數圖象上點的坐標特征，關鍵讓學生熟悉函數與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數特征．1，①連接矩形????????的對角線????，交????于??，②格線????與????交于點??，③連接????，第18頁，共26頁則????=1????，2證明：∵四邊形????????是矩形，∴????=????=1????，2∵????//????，????=????，∴????

=????

=1，∴????=????，∴????=1????；2(2)如圖2，①延長????，交半圓于??，②過??、??作射線????，則????平分∠??????，證明：延長????交????于??，∵????是△??????的中位線，∴????//????，∴????

=????

=1，∴????=????，∵????是⊙??的直徑，∴∠??????=90°，∴????=????，∴????平分∠??????；(3)如圖3，第19頁，共26頁設????與????的交點是點??，①連接????并延長交????于??，②連接????交????于??，則點??就是求作的點，證明：∵????垂直平分????，∴????=????，????=????，∴∠??????=∠??????，∠??????=∠??????，∵????=????，∴△??????≌△??????(??????)，∴????=????，????=????，∴????=????，????=????，∴????????，即????????∴????+????????．【解析】(1)矩形????????的對角線互相平分，得出????中點，根據平行線分線段成比例得出????的中點；(1)????//????，結合等腰三角形的“三線合一“，只需得????是等腰三角形的高即可；??????????可．本題考查了矩形性質，平行線分線段成比例定理，線段垂直平分線性質，圓的有關性質，軸對稱性質等知識，解決問題的關鍵是在前問的基礎上層層遞進思考．或2第20頁，共26頁【解析】解：(1)如圖1中，連接????，作直徑????，設????交????于點??．∵????平分∠??????，∴∠??????=∠??????，∴??=??，∴????⊥????，∴????=????=√3(????)，2∵∠??????=2∠??????，∠??????=30°，∴∠??????=60°，∴????=

????

=1，????=2????=1(????)，°2°∴????=2????=2(????)，觀察圖象可知，當點??與??重合時，四邊形????????的面積最大，此時∠??????=90°，最大面積=1?????????=√3(????2)；2(2)如圖2?1中，當????是直徑時，四邊形????????是梯形，此時????//????，????=1．如圖2?2中，當????是直徑時，四邊形????????是梯形，此時????//????，????=2．第21頁，共26頁綜上所述，滿足條件的????的值為1或2．故答案為：1或2．????????.△??，觀察圖象可知，當點??與??重合時，四邊形????????的面積最大；2?????????????2?中，當????是直徑時，四邊形????????是梯形．22.【答案】解：(1)設??與??的函數關系式為??=????2+????+??，??+??+??=39則{4??+2??+??=76，9??+3??+??=111??=?1解得：{??=40，??=0∴??與??的函數關系式為??=???2+40??；(2)由(1)得：??=???2+40??=?(???20)2+400，∵?1<0，∴當??=20時，??最大，最大值為400，答：這批蘋果20天才能銷售完；??千克，由(2)知：庫存原量為400千克，(??+6)天后原本庫存剩余量為：400?[?(??+6)2+40(??+6)]，??天內再次購買的總量為20??，∵兩部分的總量為244千克，第22頁，共26頁∴400+(??+6)2?40(??+6)+20??=244，整理得：??2?8???48=0，解得：??=12或??=?4(舍去)．答：再過12天該品種蘋果庫存量為244千克．【解析】(1)設出二次函數解析式的一般形式，由待定系數法求函數解析式即可；(2)根據函數的性質，當??=?

??時，函數有最大值；2??(3)由(2)知，庫存最大量為400千克，庫存剩余量等于400?(??+6)天的銷售量+??天購進總量，列出方程，解方程即可．本題考查二次函數的應用以及待定系數法求函數解析式，關鍵是找出等量關寫出函數解析式，根據題意求出最大值．23.【答案】5??2【解析】【問題背景】證明：如圖1，延長????交????于點??，在△??????中，????+????>????=????+????，在△??????中，????+????>????，∴????+????+????+????>????+????+????，∴????+????>????+????，即????+????<????+????；【遷移應用】證明：如圖2，將△??????繞點??逆時針旋轉60°得到△??????，連接????，????，????，由旋轉可得：△??????≌△??????，∠??????=∠??????=60°，∴????=????，????=????，????=????，第23頁，共26頁∴△??????是等邊三角形，∴????=????=????，∵∠??????>120°，∴∠??????+∠??????>180°，∴△??????中，????+????>????+????，在??????中，????+????>????，∴????+????+????>????+????，∴????+????+????>????+????；【拓展創(chuàng)新】解：由【問題背景】知，當??為△??????所在平面內一點時，????+????≥????，????+????≥????，????+????≥????，∴????+????+????≥1(????+????+????)，2∵????=??，????=??，????=??，??+??=4??，6??+3??=19??，∴????+????+????最小值為1(??+??+??)=5??，2 2故答案為：5??．2【問題背景】在△??????中和△??????中，分別利用兩邊之和大于第三邊即可證明；【遷移應用】將△??????繞點??逆時針旋轉60°得到△??????，連接????，????，????，可得△??????是等邊三角形，則∠??????+∠??????>180°，則可證明；【拓展創(chuàng)新】由三角形三邊關系可知：????+????+????≥1(????+????+????)，從而解決2問題．本題主要考查了三角形三邊關系，等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質等知識，熟練掌握三角形三邊關系進行轉化是解題的關鍵，有一定的難度．24.【答案】解：(1)∵??△????????=3，????=3，∴1??????????=3，2∴????=2，∵對稱軸為直線??=2，設??(??,0)，??(??,0)，∴???2=2???=1，解得??=1，??=3，∴??(1,0)，??(3,0)，第2