中考數(shù)學(xué)壓軸題分類思想

..中考數(shù)學(xué)壓軸題分類思想一、耐心填一填——一錘定音1.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分別以A、C為圓心的兩圓相切,點(diǎn)D在圓C內(nèi),點(diǎn)B在圓C外,那么圓A的半徑r的取值范圍是__________________.解析:分⊙A與⊙C內(nèi)切、外切兩種情況.答案:1<r<8或18<r<252.在半徑為1的⊙O中,弦AB、AC分別是3和2,則∠BAC的度數(shù)為_(kāi)_________________.解析:<1>∠BAC=∠CAD-∠BAD=45°-30°=15°.<2>∠BAC=∠CAD+∠BAD=45°+30°=75°.答案:15°或75°3.直角三角形三邊之長(zhǎng)為5、4、m,則此三角形斜邊上的高為_(kāi)____________.解析:5和m都有可能為斜邊.答案:4.若正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形三條邊上,直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為3cm和4cm,則此正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)___________cm.解析:分以下兩種情況討論.答案:5.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為14cm,且一邊長(zhǎng)是4cm,則它的腰長(zhǎng)是_______________.解析:一邊長(zhǎng)為4cm,可能為腰也可能為底.答案:4cm或5cm6.已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分為9和12兩部分,則底邊長(zhǎng)為_(kāi)___________.答案：9或57.要做兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為4、5、6,另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為2,欲使這兩個(gè)三角形相似,三角形框架的另兩邊長(zhǎng)可以是_______________.解析:與2對(duì)應(yīng)的邊中,4、5、6均有可能.答案:8.用一張邊長(zhǎng)分別為10cm、8cm的矩形紙片做圓柱的側(cè)面,所得圓柱的底面半徑為_(kāi)________________<結(jié)果可帶π>.解析:10cm、8cm均有可能為圓柱的高.答案:二、精心選一選——慧眼識(shí)金9.如圖1-3-2,⊙O的直徑為10cm,弦AB為8cm,P是弦AB上一點(diǎn),若OP的長(zhǎng)為整數(shù),則滿足條件的點(diǎn)P有<>圖1-3-2A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)答案：D10.在同一個(gè)平面內(nèi),四條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不能是<>A.2B.3C.4D.5答案：A11.P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似,滿足這樣條件的直線有<>A.1條B.2條C.3條D.4條解析:如圖.答案:C12.如圖1-3-3,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一點(diǎn),AD=12.在AB上取一點(diǎn)E,使A、D、E三點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似,則AE的長(zhǎng)為<>圖1-3-3A.16B.14C.16或14D.16或9解析:<1>.答案:D13.若實(shí)數(shù)a、b滿足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,則的值為<>A.-20B.2C.2或-20D.2或20解析:分a=b,a≠b兩種情況.答案:D14.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A<-2,0>、B<0,4>、C<0,3>,過(guò)點(diǎn)C作直線交x軸于點(diǎn)D,使得以D、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,這樣的直線最多可以作<>A.2條B.3條C.4條D.6條答案：C15.若解方程產(chǎn)生增根,則m的值是<>A.-1或-2B.-1或2C.1或2D.1或-2解析:原式化為x2-2x-m-2=0.原方程有增根,即x=0或x=-1.答案:D16.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,則這個(gè)三角形的外接圓直徑是<>A.5B.10C.5或4D.10或8解析:BC=8有可能是直角邊,也有可能是斜邊.答案:D三、用心做一做——馬到成功17.<2005XX課改中考,21>下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷.閱讀后,請(qǐng)回答下面的問(wèn)題:學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后,張老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問(wèn)題:"已知等腰△ABC的角A等于30°,請(qǐng)你求出其余兩角".同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后,李明同學(xué)舉手講："其余兩角是30°和120°"；王華同學(xué)說(shuō)："其余兩角是75°和75°".還有一些同學(xué)也提出了不同的看法……<1>假如你也在課堂中,你的意見(jiàn)如何?為什么?<2>通過(guò)上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論,你有什么感受?<用一句話表示>分析:此題應(yīng)樹(shù)立分類討論思想,考慮問(wèn)題要全面.答案:<1>上述兩同學(xué)回答的均不全面,應(yīng)該是其余兩角的大小是75°和75°或30°和120°.理由如下:<ⅰ>當(dāng)∠A是頂角時(shí),設(shè)底角是α.∴30°+α+α=180°,α=75°.∴其余兩角是75°和75°.<ⅱ>當(dāng)∠A是底角時(shí),設(shè)頂角是β,∴30°+30°+β=180°,β=120°.∴其余兩角分別是0°和120°.<2>感受中答:有"分類討論""考慮問(wèn)題要全面"等能體現(xiàn)分類討論思想的即可.18.<2006XXXX中考,21>如圖1-3-4,拋物線y=ax2-8ax+12a<a<0>與x軸交于A、B兩點(diǎn)<點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)>,拋物線上另有一點(diǎn)C在第一象限,滿足∠ACB為直角,圖1-3-4<1>求線段OC的長(zhǎng).<2>求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式.<3>在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△BCP為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:<1>由ax2-8ax+12a=0<a<0>得x1=2,x2=6,即OA=2,OB=6.∵△OCA∽△OBC,∴OC2=OA·OB=2×6.∴OC=<-舍去>.∴線段OC的長(zhǎng)為.<2>∵△OCA∽△OBC,∴.設(shè)AC=k,則BC=k.由AC2+BC2=AB2得k2+<k>2=<6-2>2.解得k=2<-2舍去>.∴AC=2,BC==OC.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,∴OD=OB=3.∴CD=.∴C的坐標(biāo)為<3,>.將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得=a<3-2><3-6>,∴a=-.∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=.<3>①當(dāng)P1與O重合時(shí),△BCP1為等腰三角形.∴P1的坐標(biāo)為<0,0>.②當(dāng)P2B=BC時(shí),<P2在B點(diǎn)的左側(cè)>,△BCP2為等腰三角形.∴P2的坐標(biāo)為<6-,0>.③當(dāng)P3為AB的中點(diǎn)時(shí),P3B=P3C,△BCP3∴P3的坐標(biāo)為<4,0>.④當(dāng)BP4=BC時(shí)<P4在B點(diǎn)的右側(cè)>,△BCP4為等腰三角形.∴P4的坐標(biāo)為<6+,0>.∴在x軸上存在點(diǎn)P,使△BCP為等腰三角形,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為<0,0>,<6-,0><4,0>,<6+,0>.19.<2006上海中考,25>已知點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)O在線段AB延長(zhǎng)線上.以點(diǎn)O為圓心,OP為半徑作圓,點(diǎn)C是圓O上的一點(diǎn).圖1-3-5<1>如圖1-3-5,如果AP=2PB,PB=BO.求證:△CAO∽△BCO;<2>如果AP=m<m是常數(shù),且m>1>,BP=1,OP是OA、OB的比例中項(xiàng).當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),求AC∶BC的值<結(jié)果用含m的式子表示>;<3>在<2>的條件下,討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系,并寫(xiě)出相應(yīng)m的取值范圍.<1>證明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,∴AO=2PO.∴.∵PO=CO,∴.∵∠COA=∠BOC,∴△CAO∽△BCO.<2>解:設(shè)OP=x,則OB=x-1,OA=x+m,∵OP是OA、OB的比例中項(xiàng),∴x2=<x-1><x+m>,得x=,即OP=.∴OB=.∵OP是OA、OB的比例中項(xiàng),即.∵OP=OC,∴.設(shè)圓O與線段AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P、點(diǎn)Q不重合時(shí),∵∠AOC=∠COB,∴△CAO∽△BCO.∴;當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P或點(diǎn)Q重合時(shí),可得=m,∴當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),AC∶BC=m.<3>解:由<2>得,AC>BC,且AC-BC=<m-1>BC<m>1>,AC+BC=<m+1>BC,圓B和圓C的圓心距d=BC,顯然BC<<m+1>BC,∴圓B和圓C的位置關(guān)系只可能相交、內(nèi)切或內(nèi)含.當(dāng)圓B與圓C相交時(shí),<m-1>BC<BC<<m+1>BC,得0<m<2.∵m>1,∴1<m<2.當(dāng)圓B與圓C內(nèi)切時(shí),<m-1>BC=BC,得m=2.當(dāng)圓B與圓C內(nèi)含時(shí),BC<<m-1>BC,得m>2.20.我市英山縣某茶廠種植"春蕊牌"綠茶,由歷年來(lái)市場(chǎng)銷售行情知道,從每年的3月25日起的180天內(nèi),綠茶市場(chǎng)銷售單價(jià)y<元>與上市時(shí)間t<天>的關(guān)系可以近似地用如圖1-3-6中的一條折線表示.綠茶的種植除了與氣候、種植技術(shù)有關(guān)外,其種植的成本單價(jià)z<元>與上市時(shí)間t<圖1-3-6圖1-3-7<1>直接寫(xiě)出圖1-3-6中表示的市場(chǎng)銷售單價(jià)y<元>與上市時(shí)間t<天><t>0>的函數(shù)關(guān)系式;<2>求出圖1-3-7中表示的種植成本單價(jià)z<元>與上市時(shí)間t<天><t>0>的函數(shù)關(guān)系式;<3>認(rèn)定市場(chǎng)銷售單價(jià)減去種植成本單價(jià)為純收益單價(jià),問(wèn)何時(shí)上市的綠茶純收益單價(jià)最大?<說(shuō)明:市場(chǎng)銷售單價(jià)和種植成本單價(jià)的單位:元/500克解:<1>依題意,可建立的函數(shù)關(guān)系式為y=<2>由題目已知條件可設(shè)z=a<t-110>2+20.∵圖象過(guò)點(diǎn)<60,>,∴=a<60-110>2+20.∴a=.∴z=<t-110>2+20<t>0>.<3>設(shè)純收益單價(jià)為W元,則W=銷售單價(jià)-成本單價(jià).故W=化簡(jiǎn)得W=①當(dāng)W=-<t-10>2+100<0<t<120>時(shí),有t=10時(shí),W最大,最大值為100;②當(dāng)W=-<t-110>2+60<120≤t<150>時(shí),由圖象知有t=120時(shí),W最大,最大值為;③當(dāng)W=-<t-170>2+56<150≤t≤180>時(shí),有t=170時(shí),W最大,最大值為56.綜上所述,在t=10時(shí),純收益單價(jià)有最大值,最大值為100元.21.<2006XX課改中考,25>如圖1-3-8,在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OABC的邊OA在x軸上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D是BC的中點(diǎn),延長(zhǎng)AD交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.圖1-3-8<1>畫(huà)出△ECD關(guān)于邊CD所在直線為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形△E1CD,并求出點(diǎn)E1的坐標(biāo);<2>求經(jīng)過(guò)C、E1、B三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;<3>請(qǐng)?zhí)角蠼?jīng)過(guò)C、E1、B三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ECD相似.若存在這樣的點(diǎn)P,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在這樣的點(diǎn)P,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:<1>過(guò)點(diǎn)E作EE1⊥CD交BC于F點(diǎn)、交x軸于E1點(diǎn),則E1點(diǎn)為E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).連結(jié)DE1、CE1,則△CE1D為所畫(huà)的三角形.∵△CED∽△OEA,,∴.∵EF、EE1分別是△CED、△OEA的對(duì)應(yīng)高,∴.∴EF=EE1.∴F是EE1的中點(diǎn).∴E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)是E1點(diǎn),△CE1D為△CED關(guān)于CD的對(duì)稱圖形.在Rt△EOE1中,OE1=cos60°×EO=×8=4.∴E1點(diǎn)的坐標(biāo)為<4,0>.<2>∵OABC的高為h=sin60°×4=.過(guò)C作CG⊥OA于G,則OG=2.∴C、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為<2,>、<8,>.∵拋物線過(guò)C、B兩點(diǎn),且CB∥x軸,C、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,∴拋物線的對(duì)稱軸方程為x=5.又∵拋物線過(guò)E1<4,0>,則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A<6,0>.∴可設(shè)拋物線為y=a<x-4><x-6>.∵點(diǎn)C<2,>在拋物線上,∴=a<2-4><2-6>,解得a=.∴y=<x-4><x-6>=.<3>根據(jù)兩個(gè)三角形相似的條件,由于在△ECD中∠ECD=60°,若△BCP與△ECD相似,則△BCP中必有一個(gè)角為60°.下面進(jìn)行分類討論:①當(dāng)P點(diǎn)在直線CB的上方時(shí),由于△PCB中,∠CBP>90°或∠BCP>90°.∴△PCB為鈍角三角形.又∵△ECD為銳角三角形,∴△ECD與△CPB不相似.從而知在直線CB上方的拋物線上不存在點(diǎn)P使△CPB與△ECD相似.②當(dāng)P點(diǎn)在直線CB上時(shí),點(diǎn)P與C點(diǎn)或B點(diǎn)重合,不能構(gòu)成三角形.∴在直線CB上不存在滿足條件的P點(diǎn).③當(dāng)P點(diǎn)在直線CB的下方時(shí),若∠BCP=60°,則P點(diǎn)與E1點(diǎn)重合.此時(shí),∠ECD=∠BCE1,而,∴.∴△BCE1與△ECD不相似.若∠CBP=60°,則P點(diǎn)與A點(diǎn)重合.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,同理可證△BCA與△CED不相似.22.<2006XXXX中考,22>如圖1-3-9,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M在x軸的正半軸上,⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于C、D兩點(diǎn),且C為的中點(diǎn),AE交y軸于G點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)為<-2,0>,AE=8.圖1-3-9<1>求點(diǎn)C的坐標(biāo).<2>連結(jié)MG、BC,求證:MG∥BC.<3>如圖1-3-10,過(guò)點(diǎn)D作⊙M的切線,交x軸于點(diǎn)P.動(dòng)點(diǎn)F在⊙M的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),的比值是否發(fā)生變化,若不變,求出比值;若變化,說(shuō)明變化規(guī)律.圖1-3-1答案：<1>解:方法一:∵直徑AB⊥CD,∴CO=CD.∵,C為的中點(diǎn),∴.∴.∴CD=AE.∴CO=CD=4.∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為<0,4>.方法二:連結(jié)CM,交AE于點(diǎn)N,∵C為的中點(diǎn),M為圓心,∴AN=AE=4,CM⊥AE.∴∠ANM=∠COM=90°.在△ANM和△COM中,∴△ANM≌△COM.∴CO=AN=4.∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為<0,4>.<2>證明:設(shè)半徑AM=CM=r,則OM=r-2.由OC2+OM2=MC2得42+<r-2>2=r2.解得r=5.∵∠AOC=∠ANM=90°,∠EAM=∠MAE,∴△AOG∽△ANM.∴.∵M(jìn)N=OM=3,即.∴OG=.∵.∵∠BOC=∠BOC,∴△GOM∽△COB.∴∠GMO=∠CBO.∴MG∥BC.<說(shuō)明:直接用平行線分線段成比例定理的逆定理不扣分><3>解:連結(jié)DM,則DM⊥PD,DO⊥PM,∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP.∴DM2=MO·MP,DO2=OM·OP,<說(shuō)明:直接使用射影定理不扣分>即42=3·OP.∴OP=.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí),,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí),.當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A、B重合時(shí),連結(jié)OF、PF、MF.∵DM2=MO·MP,∴FM2=MO·MP.∴.∵∠AMF=∠FMA,∴△MFO∽△MPF.∴.∴綜上所述,的比值不變,比值為.23.<2006XX中考,24>在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A<-2,0>和點(diǎn)B<0,>,直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=-,l1與l2相交于點(diǎn)P.⊙C是一個(gè)動(dòng)圓,圓心C在直線l1上運(yùn)動(dòng),設(shè)圓心C的橫坐標(biāo)是a.過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸,垂足是點(diǎn)M.圖1-3-11<1>填空:直線l1的函數(shù)表達(dá)式是________________,交點(diǎn)P的坐標(biāo)是________________,∠EPB的度數(shù)是________________.<2>當(dāng)⊙C和直線l2相切時(shí),請(qǐng)證明點(diǎn)P到直線CM的距離等于⊙C的半徑R,并寫(xiě)出R=3-2時(shí)a的值.<3>當(dāng)⊙C和直線l2不相離時(shí),已知⊙C的半徑R=-2,記四邊形NMOB的面積為S<其中點(diǎn)N是直線CM與l2的交點(diǎn)>.S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:<1>y=P<1,>60°<2>設(shè)⊙C和直線l2相切時(shí)的一種情況如圖甲所示,D是切點(diǎn),連結(jié)CD,則CD⊥PD.過(guò)點(diǎn)P作CM的垂線PG,垂足為G,則Rt△CDP≌Rt△PGC.<∠PCD=∠CPG=30°,CP=PC>所以PG=CD=R.當(dāng)點(diǎn)C在射線PA上,⊙C和直線l2相切時(shí),同理可證.取R=-2時(shí),a=1+R=-1或a=-<R-1>=3-.甲<3>當(dāng)⊙C和直線l2不相離時(shí),由<2>知分兩種情況討論:①如圖乙,當(dāng)0≤a≤-1時(shí),S=.乙當(dāng)a=-=3時(shí)<滿足a≤-1>,S有最大值,此時(shí)S最大值=.②當(dāng)3-≤a<0時(shí),顯然⊙C和直線l2相切,即a=3-時(shí),S最大,此時(shí)S最大值=［］·|3-|=.綜合以上①和②,當(dāng)a=3或a=3-時(shí),存在S的最大值,其最大面積為.24.<2006XXXX中考,26>把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起,使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板A