課件-線性代數

第五章

特征值與特征向量第一節(jié)

特征值與特征向量第二節(jié)

相似矩陣與矩陣對角化條件第三節(jié)

實對稱矩陣的對角化第一節(jié)

特征值與特征向量—

特征值與特征向量的概念定義

5.1

設

A

為

n

階方陣，若存在數

及

n

維列向量X

0

使AX

X

，則稱

為A

的特征值，X

為A

的屬于特征值

的特征向量。問題：方陣A

的特征值與特征向量是否存在？即滿足AX

X

的n

維列向量X

0

與數

是否存在？存在的話如何求解？二

特征值與特征向量的求法設A

為n

階方陣，

為數，X

為n

維列向量，則AX

X

，

X

0(

A

E)

X

0

，

X

0det(

A

E

)

0即方陣A

的特征值與特征向量的存在取決于是否存在數

滿足det(

A

E

)

0

.定義

5.2

設

n

階方陣

A

(ai

j)nn

，稱

A

E為

A

的特征矩陣，

det(

A

E)

為

A

的特征多項式，

det(

A

E)

0

為

A

的特征方程。其中，det(

A

E)a11

a21an1a12a22

an2a1n

a2nann

1122

(1)n

n

(ann

a

a)n1

A

(1)n

det結論：設A

為n

階方陣，則在復數范圍內，

的n

次方程det(A

E)

0

有n

個根，重根按重數算。即在復數范圍內A

的特征值一定存在，且A

的全體特征值的個數為n

（包括相同的特征值），并一定存在n

維列向量X

0

使(A

E)X

0

，即A的屬于特征值

的特征向量也一定存在。注意：當A

的特征值

為復數時，A

的屬于特征值

的特征向量X

一般為復的n

維列向量。特征值與特征向量的求法：（

1

）設A

為n

階方陣，在復數范圍求出A

的特征方程det(A

E)

0

的n

個根1

,2

,為1

,

2

, ,

n,n

，則A

的全體特征值（

2

）對每個不同的特征值

i，求出線性方程組(

A

E

)

X

0

X

,

X

,i

的基礎解系

i1

i

2Xi,ir

，則A

的屬于特i

i征值

i

的全體特征向量為k1

X

i1

k

2

X

i

2r

k

Xir，其中ik1

,

k2

,,kr

為任意不全為零的常數。例

設4

3

2

2A

2

2

2

42

，求A

的特征值及特征向量.解：det(A

E)

(

2)2

(

5)

，A

的特征值為1

2

2

，3

5

.1

2

2當 時

，(

A

2E

)

X

0的基礎解系為X1

2

1 0

，

X

2T21T

，A

的屬于特征值2

的全體0特征向量為k1X

1

k

2

X

2

，其中k1

,k2

為任意不全為零的常數。2當3

5

時，X3

12

為(A

5E)X

0

的基礎解T系，

A

的屬于特征值

5

的全體特征向量為

k3

X

3

，其中

k

3

0

。三

特征值與特征向量的性質性質

1

方陣

A

的屬于特征值

的特征向量

X1

,

X

2

,Xt,的非零線性組合

X

k1

X1

k2

X

2

kt

Xt于

0

也是A

的屬特征值性質的2特征若向n量階。方陣A

(ai

j

)n

n

的特征值為1

,2

,則有,

n

，det

A

nn

n

i

，i

1

i

aiii

1

i

1n其中a

ii稱為A

的跡，記為tr

(

A

)。i

1性質1

證明：設AXi

Xi

，Xi

0

，(i

1,

2,,t

)，則A(k1

X1

k2

X

2

k1

AX1

k2

AX

2

k1

X1

k2

X

2

(k1

X1

k2

X

2

即當

k1

X1

k2X

2

kt

Xtkt

Xt

)kt

AXtkt

Xtkt

Xt

)

0

時，k1

X1

k2X

2

ktXt

也是A

的屬于特征值

的特征向量。性質

3

若

為方陣

A

的特征值，

X

為

A

的屬于特征值0的特征向量，設多項式f

(x)

a1m

a

x

a

xm

，則矩多0

1

m項式

f

(

A)

a

E

a

A

a

陣m的特征值為f

(

)，且X

為f

(

A)A方陣

的屬于特征值

f

(

)

的特征向量。證：設AX

X

，X

0

，則A2

X

AX

2

X

,f

(

A)

X

(a

E

a

A

0

1a

Am)

Xma

Am

Xm

a

EX

a

AX

0

1

a

X

a

X

0

1m

a

mX0

1

m

(a

a

a

m)

X

f

(

)

X即f

(

)為f

(A)的特征值，X

為f

(A)的屬于f

(

)的特征向量。例

設三階方陣

A

的特征值為1

0

、2

4

、3

3

，B

A2

4

A

8E

，求det

B

.1

2

3解：設

B

的特征值為

、

、2

f

(x)

x

4x

8，

，則1

f

(1)

8

、2

f

(2

)

8

、3

f

(3

)

5因此detB

12

3

8

8

5

320性質

4

方陣

A

的不同特征值對應的特征向量線性無關。即若Ai

i

i

，i

0

(i

1,

2

,,m)，1

,2

,

,m

互i1

2相同，則不,

,,

m性質5設1

,2

,線性無關。,m

為n

階方陣A

的互不相同特征值，對應于

i

的線性無關特征向量為X

i1

,

X

i

2

, ,

X

ir

，

(i

1,

2

, ,

m)則特征向量組X

11

,

X

12

,,X

mr,

X

1r

,

X

21

,

X

22

,1,

X

2

r

，…，X

m1

,

X

m

2

,2m也線性無關。性質4

證明：當m

1時，由1

0

知1

線性無關，結論成立。設m

k

時結論也成立，則當m

k

1時，設方程11

111

1k

11

0k

kk

k

1k

1

0

k

k

k

1k

1k

1

0

k

k

1k

k

1k

1k

1

則k k

1

k

k1

(k

1

1)1

(

)

0即因

線性無關，只有i1

,2

, ,

k

(k

1i

)

0

(i

1,

2

, ,

k)

，又由i

k

1

知

i

0

(i

1,

2

, ,

k

)

，因此

k

1k

1

0

，再由k

1

0

知

k

1

0

，即1,2

,法原理，對任意正整數m

，1

,2

,,k

,k

1

線性無關，由歸納,

m

線性無關。例

設

A

為n階可逆方陣，證明：A

的特征值不為零；若

為A

的特征值，則1

為A1

的特征值。證（1）（反證法）若

0

為A

的特征值，則det(

A

0E)

det

A

0與

A

可逆

，即

A

的特征值不為零；（2）設AX

X

，X

0

，則A1

AX

A1

X

A1

X由

0

知A1

X

1

X

，X

0

，即1為A1

的特征值。第二節(jié)

相似矩陣與矩陣對角化條件—

相似矩陣及其性質定義

5.3

設n

階方陣

A

、

B

，若存在n

階可逆矩陣

P

使P1

AP

B，則稱

A與B相似，記為

A~B，且稱

P為將A變?yōu)?/p>

B

的相似變換矩陣。例如a12aa2

~

a3

1a3

a注意：設n

階方陣A

、B、C

，則有：A

~A若A

~

B

，則B

~A若A

~

B

，B~

C，則A

~

C證明：(1)由A

E

1

AE

知A

~

A若A

~

B

，則存在可逆矩陣P

使P1

AP

B

，因此A

PBP1

P1

1

BP1

，即B

~

A若A

~

B

，B~

C

，則存在可逆矩陣P

、Q

使P1

AP

B

，Q1BQ

C

，即P1

AP

QCQ1

，Q1P1

APQ

C

，因此(PQ)1

A(PQ)

C

，即A

~

C

.相似矩陣的共同特征性質

1

相似矩陣有相同的秩。性質

2

相似矩陣的行列式相等。性質

3

相似矩陣或都可逆或都不可逆，當它們可逆時，它們的逆陣也相似。性質

4

相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值。相似矩陣共同特征的證明：設A

~

B

，則存在可逆矩陣P

使P1

AP

B

，有（1）（2）rankB

rank

(P1

AP)

rankA

.det

B

det(P1

AP)

det(P1

)

det

A

det

P

(det

P)1

det

A

det

P

det

A

.（3）

由det

B

det

A

知A

、B

或都可逆或都不可逆，當它們都可逆時B1

P1

AP1

P1

A1P

，即A1~

B1.（4）det(B

E)

det(P1

AP

E)

det(P1

AP

P1

EP)

det

P1

(

A

E)P

det(P1

)

det(

A

E)

det

P

det(

A

E)

.二矩陣可對角化條件方陣

A

與對角矩陣相似

A

可對角化定理5.1n階方陣

A與對角矩陣

diag

(1

,

2

, ,

n

)A相似的充要條件是

有

n

個線性無關特征向量。即有

n

維列向量1

,

2

, ,

n

線性無關，

且

Ai

i

i

(i

1,

2

, ,

n)

，

使,)，其中P

,

,n

1

2

n1

2P1

AP

diag

(

,

,,。推論1

若

n

階方陣

A

有

n

個互不相同的特征值，則

A

必可對角化。定理5.1證明：因為n

維列向量組

1

,2

,,n

線性無關的充要條件是陣

P矩

1

2n

可逆，所以A

~

diag

(1

,

2

, ,

n

)存在可逆矩陣P

使P1

AP

diag

(1

,2

,,

n)

AP

Pdiag

(1

,

2

, ,

n

)1

2

n1

12

2n

nA

P1

2nA

A

Ai

i

i

(i

1,

2

, ,

n)

(

1

,

2

,無關),n

線性

A

有n

個線性無關特征向量定理

5.

2

設0

為方陣

A

的一個k

重特征值，對應于0

的線性無關特征向量的最大個數為l

，則

k

l

.定理

5.3

方陣

A

與對角矩陣相似的充要條件是

A

的每個特征值對應的線性無關特征向量的最大個數等于該特征值的重數。定理5

3設

n

階方

陣

A

的

全

部

不

同

特

征

值1

2

,

, ,

m

，且為i為det(

A

E)

0

的

ri

(i

1,

2

, ,

m)重根，則A

與對角矩陣相似的充要條件是對于每個i，(A

i

E

)X

0

的基礎解系含ri

(i

1,2,。,m)個向量例

設A

31

51判斷A

能否對角化.解：det(

A

E)

(

4)(

2)A

的特征值為1

4

，2

2

，即A

可對角化。例

設0

1

1 0

A

4

3

0

21判斷A

能否對角化.解：det(

A

E)

(

2)(

1)2

，1T

，1T

，2A

的特征值為1

2

，2

3

1.(

A

2E

)

X

0

的基礎解系為

X1

0

0(

A

E

)

X

0

的基礎解系為

X

2

1即A

不可對角化。例

設4

3

2

2A

2

2

2

42

，判斷A

能否對角化.解：

det(

A

E

)

(

2)2

(

5)

，A

的特征值為1

2

2

，

3

5

，(

A

2E)

X

0

的基礎解系為X1

210T

，

X

2201T

，(A

5E)X

0

的基礎解系為X

3

1A

可對角化，令P

X1

,X

2

,X

3

，有P1

AP

diag

(2

,

2

,

5)2

2T

，第三節(jié)

實對稱矩陣的對角化—

向量內積定

義

5.4R

n

(a1

,

a2

, ,

aTn)設 中

向

量，1

2

n)，稱ni

1T

(b

,b

,

,

bT

a

b

i

i

為

與

的內積，記為

,

，且把定義了內積的向量空間稱為內積空間。內積性質：(1)(2)(

,

)

(

,

)

；(

,

)

(

,

)

(

,

)

，

R(

,

)

(

,

)

(

,

)

；；(3)(4)(

,

)

0

，當且僅當

0

時(

,

)

0n定義

5.5

設

R

中向量T1

2n

(a

,

a

, ,

a)，定義

的長度為(

,

)，記為，即a2

a21

a2

2n

(

,

)

T

向量長度的性質：(1)

0

，當且僅當

0

時

0

；(2)(3)k

k

，

k

R

；；(4)(

,

)

注意：長度為1

的向量稱為單位向量，若

R

n

，

0

，1

則

為單位向量，并稱其為

的單位化向量。定義

5.6

設

,

R

n

，且

0

，

0

，定義

與的夾角為

arccos

,

，

(0

)記為

,，即有cos

,

,

二正交向量組定義5.7設

,

R

n

，若(

,

)

0

，則稱

與

正交。注意：n

維零向量與任意n

維向量正交。定義5.8R

n中一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組。定理5.4正交向量組線性無關。,

m，并設方程

kmm

0證：設正交向量組1,2

,k11

k22

則有(i

,

k11

k22

kmm

)

(

i

,

0)

，

(i

1,

2, ,

m)即k1(

i

,

1

)

k2

(

i

,

2

)

ki(

i

,

i

)

km

(

i

,

m

)

0因為(i

,

j

)

0

(i

j)，所以ki(i

,

i

)

0

，又由

i

0

知(i

,

i

)

0

，所以只有ki

0

(i

1,

2

, ,

m)

，即1

,2,

,m線性無關。正交基

正交向量組組成的基單位正交基

正交基中每個向量都是單位向量例如

R

n

的基本單位向量組1T0)，2e

(1,0

,

,

e

(

0

,

1

,

,T0)，…，,1)Tne

(0,

0,滿足i

je

,

e

01i

ji

j，

(i

,

j

1,

2

,

,n)即e1

,e2

,,en

是R

n

的單位正交基。問題：（1）如何由

r

維內積空間V

(

R

n

的子空間)

的一組基1

,

2

,,

r

構造的單位正交基？V（2）如何把R

n

的正交向量組擴充為R

n

的正交基？定理5.5(設1

,

2

,正交化方法),

r

是r

維內積空間V

的一組基，令1

1

，

221

1

,

1

,

2

1

，…，

11

1

,

,

r

1

r

1

1

,

r

r

1

,

r

r

rr

1則1

,2

,V,r

是的一組正交基。單位化：若

1

,

2

, ,

是

V

的一組正交基，

令

i1i

r(i

1,

2

, ,

r)

，則1

,2

, ,

r是Vi

，的一組單位正交基。定理

5.5(正交化方法)證明：因為

11

i

,

,

,

i1

i1

i1

,

i

i

i

1

1所以i

是1

,

2

,則i1(i

1,

2

,

,r),

i

的線性組合，則i

V

，且i

0

，否由1i1

,

,

1

i

i1

i1

1

i1

i1

0i

,

,

知1

,

2

,

,

i

線性相關，與1

,

2

,,

r

線性無關

.再用數學歸納法證明

1

,

2

, ,

r

兩兩正交.當

r

2

時，(1

,2

)

0

，結論成立.設r

m

時結論也成立，即1

,

2

,,m

兩兩正交，則當r

m

1時，由kk

k

,

k

,

m1

m1m

m1

k

1得

mkik

k

,

,

k

,

m1

m1

ik

1

,

,

m1

i

m1

,

i

i

,

m1

0(i

1,

2

,

,m),

m

都正交，所以

1

,

2

, ,

m

,

m

1

兩兩即m

1

與1

,2

,正交，由歸納法原理，對任意正整數

r，

1

,

2

, ,

r

兩兩正交.因此

1

,

2

, ,

r

線性無關，又因為V

是

r

維內積空間，1

,

2

,所V

以,r

是的一組正交基。x1

2x2

x3

x4

0例

求齊次線性方程組

x

x

x

0

1

2

3的解空間W

的一組正交基，并把它擴充為R

4

的一組單位正交基.解：該齊次線性方程組的一個基礎解系：1

10

1 0T

，

121

01T

，即為W

的一組基，令：1

1，1

21

1

,

,

2

2

1121T1

1

2

，則1

,2

是W

的一組正交基。41

2

34T設

x

x

x

x

R1，，使

2

,

0

,

0，即x1

x3

01

2

3

41

x

x

1

x

x

02

2其一個基礎解系為

1

11T

，令1

11

22

2

，11

11

1 0T

，

0

1

0213

,

,

123T

1

3，則1

,2

,1

,2

是R

4

的一組正交基，令1

1

，21

1

31

2

11

2

，

1

，4221

則1

,

2

,3

,

4

是R

4

的一組單位正交基。三正交矩陣及其性質若n

階實矩陣A

滿足AT

A

E

，則稱A

為正交定義5.9矩陣。A

為正交矩陣

AT

A

E

A1

AT定理

5.6（正交矩陣的構造）

n

階實矩陣

A

為正交矩陣的充要條件是A

的列（行）向量組是R

n

的單位正交基。定理5.6

證明（以列為例）：設A

12n

，則T1

11

22

12

2TTTTT

T

1

1

n

2

2

n

T

n

T

n n

T

n

n

1n

2

1

2A

A

T

T

TTi j

n

n

(

)又E

(

)i

jn

n

，其中i

j

0i

ji

j

，1(i

,

j

1,

2

,

,n)，則A為正交矩陣T

A

A

E

T(

)

(

)i j

n

n i

j

n

n

0

i

jTi

ji

j

(

,

)

i

j1

i

j，(i

,

j

1,

2

,

,n)

1

,

2

,,

n

是R

n

的單位正交基。正交矩陣的性質1若A

為正交矩陣，則A1

也為正交矩陣；若A

、B為同階的正交矩陣，則AB也為正交矩陣；若

A

為正交矩陣，則det

A

1

.23證：（1）

(A1

)1

(AT

)1

A1

T

，A1

為正交矩陣；（2）

(AB)T

(AB)

BT

AT

AB

BT

B

E

，AB

為正交矩陣；（3）1

det

E

det

AT

A

det

AT

det

A

det

A2

，det

A

1定義

5.10

設T

為

n

階正交矩陣，

X

、Y

為

R

n

上的列向量，則稱變換Y

TX

為R

n

上的正交變換。定理5.7（正交矩陣的保形性）設正交變換Y

TX

，若Y1

TX1

，Y2

TX

2

，則有(1)(2)(3)Y1

,

Y2

X1

,

X

2

；Y

XY1

,

Y2

X1

,

X

2

1

2證：(1)

Y

,Y

TX12

121TT

T,

TX

TXTX

X

T

TX1

2

X

T

X

X1

,

X

2

定理5.8（矩陣的QR分解）設A

為n

階滿秩矩陣，則存在

n

階正交矩陣Q

和n

階上三角矩陣R

，使A

QR

.注意：矩陣的QR

分解也可推廣到降秩矩陣.四實對稱矩陣的對角化定理5.9實對稱矩陣的特征值都是實數。證：設A

為n

階實對稱矩陣，AX

X

，X

0

，

為

的共軛復數，X

為X

的共軛復向量，A

為A

的共軛復矩陣，則X

T

AX

X

T

X

X

T

XX

T

AX

X

T

AT

X

AX

T

X

AXT

X

X

T

X

X

T

XT(

)

X

X即

，因為1

0

X

x2nT

0

，所以x

x2nnX

T

X

xnT

x

i

i

ii1

i1

x

x

01x

x

n

1x22xx因此

0，

，即

為實數。實對稱矩陣的不同特征值所對應的實的特征定理5.10向量正交。證：設A

為實對稱矩陣，AX1

1

X1

，AX2

2

X

2

，1

2

，X1

0

，X

2

0

，則

2

122

1

21

2

2

1

212TT

X

,

X

X

X

X

X

X

T

AX

X

T

AT

X1

2

1

1

2TX

X

T

X

AX

1