工科數學分析第十章課件

代入原方程,得特點：不顯含未知函數y及y,,y(k

1)

.

P(

x)解法：令y(k

)

P

(

n

k

)

.

P,y(

n

)則y(k

1)P

(

n

k

)P(x)的(n-k)階方程

f

(x,P(x),,P

(n

k

1)(x)).

求得P(x),將y(k

)

P(x)連續(xù)積分k次,可得通解.

f

(

x,

y(

k

)

,,

y(

n1)

)一、y(n

)型可降階的高階微分方程

0

的通解.

y(

4

)求方程xy(5)解

P(

x),設y(4)代入原方程

xP

P

0,兩端積分,得解線性方程,得P

C1

x1y(

5

)

P(

x)P

0）即y(4)

C1

x,221

2C

xy

C

,

,120

6

24

5y

C1x5

C2

x3

C3

x2

C x

C

,原方程通解為

y

d1

x

5

d x

3

d x

2

d x

d2

3

45例1則

y

dP

dy

P

dP

,代入原方程得到新函數P(y)的(n

1)階方程原方程通解為1ndy

x

C

,n1

(

y,

C

,

,

C

)特點：右端不顯含自變量x.解法：設y

P(y)y

P

2

d P

P(

dP

)2

,dy2

dy2dy

dx

dy

,1

n1dx求得其解為

dy

P(

y)

(

y,

C

,

,

C

),二、y(n)

f

(y,y',,y(n1)

)

型解

設

y

P(

y),dy則

y

P

dP

,dydy代入原方程得

y

P

dP

P

2

0,

即

P(

y

dP

P

)

0,dy由y

dP

P

01可得

P

C

y,2原方程通解為y

C

eC1

x

.1dx

dy

C

y,例

2

求方程

yy

y2

0

的通解.§4.1-2二階線性微分方程解的結構dxdyP(

x)

Q(

x)

y

f

(

x)d

2

y

二階線性齊次微分方程dx2當f

(x)

0時當

f

(x)

0時二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程1n(

x)

y

P

(

x)

y

f

(

x)n1y(

n)

P

(

x)

y(

n1)

P一、基本概念2階線性微分方程二、線性微分方程的解的結構問題:y

C1

y1

C2

y2一定是通解嗎？1.二階齊次方程解的結構:y

P(

x)

y

Q(

x)

y

0

(1)e

x，ex

,e2

x

線性無關1，cos2

x, sin2

x

線性相關例如當x

(,

)時特別地:y2

(

x)若在I

上有y1

(x)

常數，則函數y1

(x)與y2

(x)在I

上線性無關.例如y

y

0,y1

cos

x,y2

sin

x,1

tan

x

常數,y且y2y

C1

cos

x

C2

sin

x.2.二階非齊次線性方程的解的結構:解的疊加原理三、降階法與常數變易法1.齊次線性方程求線性無關特解---降階法設y1是方程(1)的一個非零特解，令y2

u(x)y1代入(1)式,

得y

u

(2

y

P(

x)

y

)u

(

y

P(

x)

y

Q(

x)

y

)u

0,1

1

1

1

1

1令v

u,則有即

y

u

(2

y

P(

x)

y

)u

0,1

1

11y

2解得

v

1

e

P

(

x

)dx

,y

21

u

1e

P

(

x

)dx

dx2

y

y1

e

P

(

x

)dx

dx,1

y

2公式1齊次方程通解為21y1

e

P

(

x

)dxdx.y

C1

y1

C2

y1y

v

(2

y

P(

x)

y

)v

01

1

1v的一階方程2.非齊次線性方程通解求法---常數變易法(3)設對應齊次方程通解為

y

C1

y1

C2

y2設非齊次方程通解為

y

c1

(

x)

y1

c2

(

x)

y2y

c1(x)

y1

c2(

x)

y2

c1

(

x)

y1

c2

(

x)

y2

設

c1(x)

y1

c2(

x)

y2

0y

c1(x)

y1

c2(

x)

y2

c1

(

x)

y1

c2

(

x)

y2(4)將

y,

y,

y

代入方程(2),

得c1(x)

y1

c2(

x)

y2

c1

(

x)(

y1

P(

x)

y1

Q(

x)

y1

)

c2

(

x)(

y2

P(

x)

y2

Q(

x)

y2

)

f

(

x)c1(x)

y1

c2(

x)

y2

f

(

x)(5)1

1

2

2(4),(5)聯立方程組

c(

x)

y

c

(

x)

y

f

(

x)c1(

x)

y1

c2(

x)

y2

0

0,y2y1

y2設系數行列式

w(

x)

y11w(

x)則c(x)

y2

f

(x),2c

(

x)

y1

f

(

x)

,w(

x)

y2

f

(

x)

dx,積分可得11w(

x)y1

f

(

x)

dx,c

(

x)

C

22w(

x)c

(

x)

C

非齊次方程通解為2

w(

x)y1

f

(

x)

dx.w(

x)y2

f

(

x)

dx

yy

C

y

C

y

y1

1

2

2 1

y

x

1的通解.y

x

11

x

1

x求方程y

x

1

1

x

1

x解1

0,對應齊次方程兩特解分別為y

e

x

,

y

x1

2對應齊方通解為

Y

C1

x

C2e

x

.例

0,x1

x

1

xxy

c1

(

x)

x

c2

(

x)e

x

,設原方程的通解為c(x)，c

(x)應滿足方程組1

21

2c(

x)

e

xc

(

x)

x

11

2

xc(

x)

e

x

c

(

x)

0解得

xc

(

x)

xec(

x)

1212

e

xc

(

x)

x

C

c

(

x)

xe

x

C1

1

2

x2

x

1.原方程的通解為y

C1

x

C2e

x四、小結主要內容線性方程解的結構；線性相關與線性無關；降階法與常數變易法；補充內容觀察特解y

P(

x)

y

Q(

x)

y

0若P(x)

xQ(x)

0,若1

P(x)

Q(x)

0,若1

P(x)

Q(x)

0,特解y

x;特解y

e

x

;特解y

e

x

.§4.3二階常系數齊次線性微分方程一、定義1y(

n)

P

y(

n1)

Pn1

y

Pn

y

f

(

x)n階常系數線性微分方程的標準形式二階常系數齊次線性方程的標準形式y(tǒng)

py

qy

0二階常系數非齊次線性方程的標準形式y(tǒng)

py

qy

f

(

x)二、二階常系數齊次線性方程解法設y

erx

,將其代入上方程,得(r

2

pr

q)erx

0故有r

2

pr

q

0

erx

0,特征方程,2p2

4q

p

特征根

r1,2

-----特征方程法y

py

qy

0

有兩個不相等的實根2p2

p

4q,2p2

p

4q,

r2

y1

e

1

,r

xy2

e

2

,r

x兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為2e

;2r

xy

C1e

C1r

x(

0)特征根為r11一特解為

y

e

r1

x

,1

2r

r

p

,

有兩個相等的實根(

0)得齊次方程的通解為y

(C

1

C2x

)e

;1r

x知

u

0,取u(x)

x,則

y2

xe

,1r

x22設另一特解為

y

u(

x)e1r

x,將y2

，y2

，y2

代入原方程并化簡，u

(2r

p)u

(r

2

pr

q)u

0,1

1

1特征根為r1

i,r2

i,1y

e

(i)x

,2y

e

(i)x

,

有一對共軛復根

(

0)重新組合21

1y

1

(

y

y

)x

e

cos

x,22i2

1y

1

(

y2

y

)x

e

sin

x,得齊次方程的通解為y

ex

(C

cosx

C

sinx).1

2特征根為定義由常系數齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解

特征方程為

4r

4

0

,r

2解得

r1

r2

2

,故所求通解為

y

(C

C

x)e2

x

.1

2例1

求方程y

4

y

4

y

0

的通解.例2

求方程

y

2

y

5

y

0

的通解.解

特征方程為

2r

5

0

,r

2解得

1

2i

,r1，2故所求通解為y

e

x

(C

cos

2

x

C

sin

2

x).1

2三、n

階常系數齊次線性方程解法y

P y

0ny(

n)

P

y(

n1)

P1

n11nn1r

P

0特征方程為rn

P

rn1

P特征方程的根通解中的對應項若是k重根r(C

C

x

C

xk1

)erx0

1

k

1若是k重共軛復根

j[(C

C

x

C xk1

)cosx0

1

k1

(D

D

x

D xk1

)sinx]ex0

1

k1注意n次代數方程有n個根,而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項,且每一項各含一個任意常數.y

C1y1

C2

y2

Cn

yn特征根為r1

1,

r2

r3

i,

r4

r5

i,故所求通解為y

C

e

x

(C

C

x)cos

x

(C

C

x)sin

x.1

2

3

4

5解

特征方程為

r

5

r

4

2r

3

2r

2

r

1

0,(r

1)(r

2

1)2

0,

2

y

y

y

0

的通解.例3

求方程y(

5

)

y(

4

)

2

y(

3

)四、小結二階常系數齊次微分方程求通解的一般步驟:1寫出相應的特征方程;求出特征根;根據特征根的不同情況,得到相應的通解.(見下表)23r

2

pr

q

0y

py

qy

0特征根的情況通解的表達式實根r1

r2實根r1

r2復根r1,2

iy

C1er1

x

C2er2

xy

(C1

C2x)er2

xy

ex(C1

cosx

C2

sin

x)思考題求微分方程

yy

y2

y2

ln

y

的通解.思考題解答

y

0,

ln

y,yy

y2

ln

y,

y

y

yxy

,

y

2

ln

y令z

ln

y則z

z

0,ln

y

ln

y,特征根

1x

x通解1z

C

e2

C

eln

y

C1e

x

C

e

x

.2§4.4二階常系數非齊次線性微分方程二階常系數非齊次線性方程y

py

qy

f

(

x)對應齊次方程

y

py

qy

0,通解結構常見類型y

Y

y*

,f

(

x)

?Pm

(

x)ex

,Pm

(

x)ex

sinx,方法：待定系數法.Pm

(

x)ex

cosx,問題：如何求特解？m一、

f

(

x)

ex

P

(

x)

型設非齊方程特解為

y*

Q(

x)ex

代入原方程Q

(

x)

(2

p)Q(

x)

(2

p(

x)

P

m

(

x)

p

q

0,(1)

若不是特征方程的根，2可設Q(x)

Qm

(x),y*

Q

(

x)ex

;m(2)若是特征方程的單根，2

p

q

0,2

p

0,y*

xQ

(

x)ex

;m可設Q(x)

xQm

(x),(3)若是特征方程的重根

p

q

0,2可設

Q(

x)

x

2Q

(

x),m2

p

0,y*

x

2Q

(

x)ex

.m綜上m*

k

x設

y

x

e

Q

(

x)

,2k

10

不是根是單根,是重根注意上述結論可推廣到n階常系數非齊次線性微分方程（k是重根次數）.特別地

y

py

qy

Aex是特征方程的重根不是特征方程的根2xe

x

,是特征方程的單根

,2A

x

2ex

,2

pAex

,A

p

qy*

解對應齊次方程通解

3r

2

0,r

2特征方程特征根r1

1，r2

2Y

c1e

x

c

e

2

x

,2

2

是單根設

y*

x(

Ax

B)e

2

x

,A

1

2

,B

12代入方程,得2

Ax

B

2

A

x1于是

y*

x(

x

1)e2

x2

C e2

x

x(

1

x

1)e2

x

.12原方程通解為

y

C

ex例1

求方程y

3

y

2

y

xe2

x

的通解.二、f

(x)

ex[P

(x)cosx

P

(x)sinx]型l

nf

(

x)

ex

[P

cosx

Plsinx]ne

ix

e

ix22i利用

公式]

e

x

[P

Pne

ix

e

ixl2

2i

2

2i

Pn

)e(i)

x

(

Pl

Pn

)e(i)x

(

Pl

P(

x)e(

i)x

P

(

x)e(i)

x

,設

y

py

qy

P(

x)e(i)

x

,y*

xk

Q

e(i)x

,1

m則

y

py

qy

P

(

x)e(i)

x

,y*

xk

Q

e(i)

x

,2

mix

Qme

]

y*

xk

ex[Q

eixm

xk

ex

[R(1)

(

x)cosx

R(

2

)

(

x)sinx],m

mm

m其中R(1)(x),R(2)(x)是m次多項式，m

maxl

,n

i不是根

i是單根k

1,0注意上述結論可推廣到n階常系數非齊次線性微分方程.解對應齊方通解作輔助方程

i

是單根,代入上式Y

C1

cos

x

C2

sin

x,y

y

4eix

,故y*

Axeix

,例2

求方程

y

y

4sin

x

的通解.2

Ai

4,

A

2i,

2

x

sin

x

(2

x

cos

x)i,

y*

2ixeix所求非齊方程特解為

y*

2

x

cos

x,

（取虛部）原方程通解為

y

C1

cos

x

C2

sin

x

2

x

cos

x.1求方程y

y

x

cos

2

x

的通解.解

對應齊方通解

Y

C1

cos

x

C2

sin

x,作輔助方程y

y

xe2ix

,

2i

不是特征方程的根

,代入輔助方程

3

A

1設

y*

(

Ax

B)e

2ix

,4

Ai

3B

0

A

1，B

4

i,3

9

y*

(

1

x

4

i)e2ix

,3

9例33所求非齊方程特解為y*

1

x

cos

2x

4

sin

2x,9（取實部）3

91

2原方程通解為

y

C

cos

x

C

sin

x

1

x

cos

2

x

4

sin

2

x.

(

1

x

4

i)(cos

2

x

i

sin

2

x)3

9

1

x

cos

2x

4

sin

2x

(4

cos

2x

1

x

sin

2x)i,3

9

9

3注意Aex

cosx,

Aex

sinx分別是Ae

(i)x

的實部和虛部.求方程y

y

tan

x

的通解.解對應齊方通解

Y

C1

cos

x

C2

sin

x,用常數變易法求非齊方程通解設y

c1

(x)cos

x

c2

(x)sin

x,w(

x)

1,2

2c

(

x)

cos

x

Cc1

(

x)

sin

x

ln

sec

x

tan

x

C1

,原方程通解為y

C1

cos

x

C2

sin

x

cos

x

ln

sec

x

tan

x

.例4三、小結f

(x)

exP

(x),

(可以是復數）my*

xk

exQ

(

x);mf

(

x)

ex

[P

(

x)cosx

P

(

x)sinx],l

ny*

xk

ex[R(1)

(

x)cosx

R(

2)

(

x)sinx];m

m只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取特解的實部或虛部,得原非齊方程特解.(待定系數法)思考題寫出微分方程y

4

y

4

y

6

x2

8e2

x的待定特解的形式.思考題解答設

y

4

y

4

y

6

x的特解為2

*1y2

xy

4

y

4

y

8e設的特解為*2y2

y*1則所求特解為

y*

y*1,2

r

2

4r

4

0

特征根r

2

y*

Ax

2

Bx

C

y*

Dx2e2

x（重根）1

2y*

y*1

y*

Ax22

Bx

C

Dx

2

e

2

x

.§

4.6方程一、

方程nxy

p y

f

(

x)1

n1

p形如xn

y(

n

)

p

xn1

y(

n1)叫

方程.的方程(其中p1

,p2

pn

為常數)特點：各項未知函數導數的階數與乘積因子自變量的方次數相同．解法：

方程是特殊的變系數方程，通過變量代換可化為常系數微分方程.22

dt dt

,dx2

xd

2

y

1

d

2

y

dy