復變函數測試題包括

復變函數測試題包含復變函數測試題包含29/29復變函數測試題包含第一章復數與復變函數一、選擇題1．當z1i時，z100z75z50的值等于〔〕1i〔A〕i〔B〕i〔C〕1〔D〕12．設復數z知足arc(z2)，arc(z5，那么z〔〕32)6〔A〕13i〔B〕3i〔C〕13i〔D〕31i22223．復數ztani()的三角表示式是〔〕2〔A〕sec[cos()isin()]〔B〕sec[cos(3)isin(3)]2222〔C〕sec[cos(3)isin(3)]〔D〕sec[cos(2)isin()]2224．假定z為非零復數，那么z2z2與2zz的關系是〔〕〔A〕z2z22zz〔B〕z2z22zz〔C〕z2z22zz〔D〕不可以比較大?。担Ox,y為實數，z1x11yi,z2x11yi且有z1z212，那么動點(x,y)的軌跡是〔〕〔A〕圓〔B〕橢圓〔C〕雙曲線〔D〕拋物線６．一個向量順時針旋轉，向右平移３個單位，再向下平移１個單位后對應的復數為313i，那么原向量對應的復數是〔〕〔A〕2〔B〕13i〔C〕3i〔D〕3i７．使得z2z2建立的復數z是〔〕〔A〕不存在的〔B〕獨一的〔C〕純虛數〔D〕實數８．設z為復數，那么方程zz2i的解是〔〕〔A〕3i〔B〕3i〔C〕3i〔D〕3i4444９．知足不等式zi〕z2的所有點z組成的會合是〔i〔A〕有界地區(qū)〔B〕無界地區(qū)〔C〕有界閉地區(qū)〔D〕無界閉地區(qū)10．方程z23i2所代表的曲線是〔〕〔A〕中心為23i，半徑為2的圓周〔B〕中心為23i，半徑為２的圓周〔C〕中心為23i，半徑為2的圓周〔D〕中心為23i，半徑為２的圓周11．以下方程所表示的曲線中，不是圓周的為〔〕〔A〕z12〔B〕z3z34z2〔C〕za1(a1)〔D〕zzazazaac0(c0)1az12．設fzzziz25i，那么f(zz)〔〕()1,123,,12〔A〕44i〔B〕44i〔C〕44i〔D〕44i13．limIm(z)Im(z0)〔〕xx0zz0〔A〕等于i〔B〕等于i〔C〕等于0〔D〕不存在14．函數f(z)u(x,y)iv(x,y)在點z0x0iy0處連續(xù)的充要條件是〔〕〔A〕u(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)〔B〕v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)〔C〕u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)〔〕在(x0,y0)處連續(xù)Du(x,y)v(x,y)15．設zC且zz2z1〕1，那么函數f(z)的最小值為〔z〔A〕3〔B〕2〔C〕1〔D〕1二、填空題1．設z(1i)(2i)(3i)，那么z(3i)(2i)2．設z(23i)(2i)，那么argz3．設z5,arg(zi)3，那么z4(cos5isin5)24．復數isin3的指數表示式為(cos3)25．以方程z6715i的根的對應點為極點的多邊形的面積為６．不等式z2z25所表示的地區(qū)是曲線的內部７．方程2z1i1所表示曲線的直角坐標方程為2(1i)z８．方程z12iz2i所表示的曲線是連續(xù)點和的線段的垂直均分線９．關于映照i，圓周x2(y1)21的像曲線為z10．lim(1z22z4)z1i三、假定復數z知足zz(12i)z(12i)z30，試求z2的取值范圍．四、設a0，在復數集C中解方程z22za.五、設復數zi，試證z是實數的充要條件為z1或IM(z)0.z21六、關于映照1(z1)，求出圓周z4的像.2z七、試證１.z10(z20)的充要條件為z1z2z1z2；z2z10(zj0,kj,k,j1,2,,n))的充要條件為２.z2z1z2znz1z2zn.八、假定limf(z)A0，那么存在0，使適當0zz0時有f(z)1A.xx02xy九、設zxiy，試證zxy.2十、設zxiy，試議論以下函數的連續(xù)性：2xy,z01.f(z)x2y20,z0f(z)x3y,z02.x2y20,z0第二章分析函數一、選擇題：1．函數f(z)3z20處是()在點z〔A〕分析的〔B〕可導的〔C〕不行導的〔D〕既不分析也不行導2．函數f(z)在點z可導是f(z)在點z分析的()〔A〕充分不用要條件〔B〕必需不充分條件〔C〕充分必需條件〔D〕既非充分條件也非必需條件3．以下命題中，正確的選項是()〔A〕設x,y為實數，那么cos(xiy)1〔B〕假定z0是函數f(z)的奇點，那么f(z)在點z0不行導〔C〕假定u,v在地區(qū)D內知足柯西-黎曼方程，那么f(z)uiv在D內分析〔D〕假定f(z)在地區(qū)D內分析，那么if(z)在D內也分析4．以下函數中，為分析函數的是()〔A〕x2y22xyi〔B〕x2xyi〔C〕2(x1)yi(y2x22x)〔D〕x3iy3z05．函數f(z)z2Im(z)在處的導數()〔A〕等于0〔B〕等于1〔C〕等于1〔D〕不存在6．假定函數f(z)x22xyy2i(y2axyx2)在復平面內到處分析，那么實常數a()〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕27．假如f(z)在單位圓z1內到處為零，且f(0)1，那么在z1內f(z)()〔A〕0〔B〕1〔C〕1〔D〕隨意常數8．設函數f(z)在地區(qū)D內有定義，那么以下命題中，正確的選項是〔A〕假定f(z)在D內是一常數，那么f(z)在D內是一常數〔B〕假定Re(f(z))在D內是一常數，那么f(z)在D內是一常數〔C〕假定f(z)與f(z)在D內分析，那么f(z)在D內是一常數〔D〕假定argf(z)在D內是一常數，那么f(z)在D內是一常數9．設f(z)x2iy2，那么f(1i)()〔A〕2〔B〕2i〔C〕1i〔D〕22i10．ii的主值為()〔A〕0〔B〕1〔C〕e2〔D〕e211．ez在復平面上()〔A〕無可導點〔B〕有可導點，但不分析〔C〕有可導點，且在可導點集上分析〔D〕到處分析12．設f(z)sinz，那么以下命題中，不正確的選項是()〔A〕f(z)在復平面上到處分析〔B〕f(z)以2為周期eizeiz〔D〕f(z)是無界的〔C〕f(z)213．設為隨意實數，那么1()〔A〕無定義〔B〕等于1〔C〕是復數，其實部等于1〔D〕是復數，其模等于114．以下數中，為實數的是()〔A〕(1i)3〔B〕cosi〔C〕lni3i〔D〕e215．設是復數，那么()〔A〕z在復平面上到處分析〔B〕z的模為z〔C〕z一般是多值函數〔D〕z的輻角為z的輻角的倍二、填空題1．設f(0)1,f(0)1f(z)1i，那么limzz02．設f(z)uiv在地區(qū)D內是分析的，假如uv是實常數，那么f(z)在D內是3．導函數f(z)uiv在地區(qū)D內分析的充要條件為xx4．設f(z)x3y3ix2y2，那么f(33i)225．假定分析函數f(z)uiv的實部ux2y2，那么f(z)6．函數f(z)zIm(z)Re(z)僅在點z處可導7．設f(z)1z5(1i)z，那么方程f(z)0的所有根為58．復數ii的模為9．Im{ln(34i)}10．方程1ez0的所有解為三、設f(z)u(x,y)iv(x,y)為zxiy的分析函數，假定記zzzzzzzzw．w(z,z)u(,)iv(,)，那么022i22iz四、試證以下函數在z平面上分析，并分別求出其導數1．

f(z)cosxcoshyisinxsinhy;2．

f(z)

ex(xcosy

ysiny)

iex(ycosy

ixsiny);五、設w32zwez0dw,d2w，求dzdz2.六、設f(z)xy2(xiy),z0試證f(z)在原點知足柯西-黎曼方程，但卻不行導.x2y40,z0七、uvx2y2，試確立分析函數f(z)uiv.八、設s和n為平面向量，將s按逆時針方向旋轉即得n.假如f(z)uiv為分析函數，2那么有uv,uv〔與分別表示沿s,n的方導游數〕.snnssn九、假定函數f(z)在上半平面內分析，試證函數f(z)在下半平面內分析.十、解方程sinzicosz4i.第三章復變函數的積分一、選擇題：1．設c為從原點沿y2x至1i的弧段，那么(xiy2)dz()c〔A〕15i〔B〕15i〔C〕15i〔D〕15i666666662．設c為不經過點1與1的正向簡單閉曲線，那么zdz為()c(z1)(z1)2〔A〕i〔B〕i〔C〕0〔D〕(A)(B)(C)都有可能223．設c1:z1為負向，c2:z3正向，那么sin2zdz()cc1c2z〔A〕2i〔B〕0〔C〕2i〔D〕4i4．設c為正向圓周z2，那么coszdz()c(1z)2〔A〕sin1〔B〕sin1〔C〕2isin1〔D〕2isin11z3cos15．設c為正向圓周zz2dz()，那么(12cz)2〔A〕2i(3cos1sin1)〔B〕0〔C〕6icos1〔D〕2isin16．設f(z)ed，此中z4，那么f(i〕()z〔A〕2i〔B〕1〔C〕2i〔D〕17．設f(z)在單連通域B內到處分析且不為零，c為B內任何一條簡單閉曲線，那么積分f(z)2f(z)f(z)dz()cf(z)〔A〕于2i〔B〕等于2i〔C〕等于0〔D〕不可以確立8．設c是從0到1i的直線段，那么積分zezdz〔〕2c〔A〕1e(B)1e(C)1ei(D)1ei2222sin(z)9．設c為正向圓周x2y22x0，那么4dz()z2c1〔A〕2i〔〕2i〔〕02i2210．設c為正向圓周zi1,ai，那么zcoszdz()c(ai)2〔A〕2ie〔B〕2i〔C〕0〔D〕icosie11．設f(z)在地區(qū)D內分析，c為D內任一條正向簡單閉曲線，它的內部全屬于D．假如f(z)在c上的值為2，那么對c內任一點z0,f(z0)()〔A〕等于0〔B〕等于1〔C〕等于2〔D〕不可以確立12．以下命題中，不正確的選項是()〔A〕積分1dz的值與半徑r(r0)的大小沒關zarza〔B〕(x2iy2)dz2此中c為連結i到i的線段,c〔C〕假定在地區(qū)D內有f(z)g(z)，那么在D內g(z)存在且分析〔D〕假定f(z)在0z1內分析，且沿任何圓周c:zr(0r1)的積分等于零，那么f(z)在z0處分析13．設

c

為隨意實常數，那么由調解函數

ux2

y2確立的分析函數

f(z)

uiv

是(

)(A)iz2

c

〔B〕

iz2

ic

〔C〕

z2

c

〔D〕z2

ic14．以下命題中，正確的選項是(〔A〕設v1,v2在地區(qū)D內均為

)

u的共軛調解函數，那么必有

v1

v2〔B〕分析函數的實部是虛部的共軛調解函數〔C〕假定

f(z)

uiv

在地區(qū)

D內分析，那么

u

為D內的調解函數x〔D〕以調解函數為實部與虛部的函數是分析函數15．設v(x,y)在地區(qū)D內為u(x,y)的共軛調解函數，那么以下函數中為D內分析函數的是()〔A〕v(x,y)iu(x,y)〔B〕v(x,y)iu(x,y)〔C〕

u(x,y)

iv(x,y)

〔D〕

ux

i

vx二、填空題1．設c為沿原點z0到點z1i的直線段，那么2zdzc2．設c為正向圓周z41，那么z23z2dzc(z4)2．設sin(2)此中z2，那么3f(z)df(3),2z4．設c為正向圓周z3，那么zzdzcz5z4c(zez．設c為負向圓周，那么6．分析函數在圓心處的值等于它在圓周上的7．設

f(z)在單連通域

B內連續(xù)，且關于

B內任何一條簡單閉曲線

c都有

f(z)dz

0，那c么f(z)在

B

內8．調解函數(x,y)xy的共軛調解函數為9．假定函數u(x,y)x3axy2為某一分析函數的虛部，那么常數a10．設u(x,y)的共軛調解函數為v(x,y)，那么v(x,y)的共軛調解函數為三、計算積分6z1.21)(zdz,此中R0,R1且R2;zR(z2)2.dz．42z2z2z2四、設f(z)在單連通域B內分析，且知足1f(z)1(xB).試證１．在B內到處有f(z)0；２．關于B內隨意一條閉曲線f(z)0c，都有dzf(z)五、設f(z)在圓域zaR內分析，假定maxf(z)M(r)(0rR)，zar那么f(n)(a)n!M(r)(n1,2,).rn六、求積分ezdz，進而證明ecoscos(sin)d.z1z0七、設f(z)在復平面上到處分析且有界，關于隨意給定的兩個復數a,b，試求極限f(z)limdz并由此推證f(a)f(b)〔劉維爾Liouville定理〕.Rb)zR(za)(z八、設f(z)在zR(R1)內分析，且f(0)1,f(0)2，試計算積分(z1)2f(2z)dzz1z22f(ei)d之值.并由此得出cos02九、設f(z)uiv是z的分析函數，證明222242ln(1f(z))ln(1f(z))f(z)x2y2(1f(z)2)2.十、假定uu(x2y2)，試求分析函數f(z)uiv.第四章級數一、選擇題：1．設an(1)nni(n1,2,)，那么liman()n4n〔A〕等于0〔B〕等于1〔C〕等于i〔D〕不存在2．以下級數中，條件收斂的級數為()〔A〕(13i)n〔B〕(34i)nn12n1n!〔C〕in〔D〕(1)ninn1n1n13．以下級數中，絕對收斂的級數為()〔B〕1i(1)nin1n(1n)〔B〕n1[n2n](C)in〔D〕(1)nin2lnn2nnn14．假定冪級數cnzn在z12i處收斂，那么該級數在z2處的斂散性為()n0〔A〕絕對收斂〔B〕條件收斂〔C〕發(fā)散〔D〕不可以確立5．設冪級數cnzn,ncnzn1和cnzn1的收斂半徑分別為R1,R2,R3，那么n0n0n0n1R1,R2,R3之間的關系是()〔A〕R1R2R3〔B〕R1R2R3〔C〕R1R2R3〔D〕R1R2R36．設0q1，那么冪級數qn2zn的收斂半徑R()n0〔A〕q〔B〕1〔C〕qnsin(z)n的收斂半徑R(7．冪級數2)n1n2〔A〕1〔B〕2〔C〕8．冪級數(1)nzn1在z1內的和函數為n0n1

0〔D〕2〔D〕〔A〕ln(1z)〔B〕ln(1z)〔D〕ln1(D)ln11zz19．設函數ez的泰勒睜開式為cnzn，那么冪級數cnzn的收斂半徑R()coszn0n0〔A〕〔B〕1〔C〕〔D〕210．級數111zz2的收斂域是()z2z〔A〕z1〔B〕0z1〔C〕1z〔D〕不存在的11．函數1在z1處的泰勒睜開式為()z2〔A〕(1)nn(z1)n1(z11)〔B〕(1)n1n(z1)n1(z11)n1n1〔C〕n(z1)n1(z11)〔D〕n(z1)n1(z11)n1n112．函數sinz，在z處的泰勒睜開式為()2〔A〕(1)n(z)2n1(z2)n0(2n1)!2〔B〕(1)n(z2)2n(z2)n0(2n)!〔C〕(1)n1(z)2n1(z2)n0(2n1)!2〔D〕(1)n1(z)2n(z2)n0(2n)!213．設f(z)在圓環(huán)域H:R1zz0R2內的洛朗睜開式為cn(zz0)n，c為H內n繞z0的任一條正向簡單閉曲線，那么f(z)dz()c(zz0)2(A)2ic1〔B〕2ic1〔C〕2ic2〔D〕2if(z0)14．假定cn3n(1)n,n0,1,2,，那么雙邊冪級數cnzn的收斂域為()4n,n1,2,n〔A〕1z1〔B〕3z443〔C〕1z〔D〕1z4315．設函數f(z)1在以原點為中心的圓環(huán)內的洛朗睜開式有m個，那么z(z1)(z4)m()〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4二、填空題1．假定冪級數cn(zi)n在zi處發(fā)散，那么該級數在z2處的收斂性n0為．2．設冪級數cnzn與[Re(cn)]zn的收斂半徑分別為R1和R2，那么R1與R2之間的關n0n0系是．3．冪級數(2i)nz2n1的收斂半徑Rn04．設f(z)在地區(qū)D內分析，z0為內的一點，d為z0到D的界限上各點的最短距離，那么當zz0d時，f(z)cn(zz0)n建立，此中cn．n05．函數arctanz在z0處的泰勒睜開式為．6．設冪級數cnzn的收斂半徑為R，那么冪級數(2n1)cnzn的收斂半徑n0n0為．7．雙邊冪級數(1)n12(1)n(1z)n的收斂域為．n1(z2)n1218．函數ezez在0z內洛朗睜開式為．9．設函數cotz在原點的去心鄰域0zR內的洛朗睜開式為ncnzn，那么該洛朗級數收斂域的外半徑R．10．函數1在1zi內的洛朗睜開式為．z(zi)三、假定函數1z2在z0處的泰勒睜開式為anzn，那么稱an為菲波那契(Fibonacci)數1zn0列，試確立an知足的遞推關系式，并明確給出an的表達式．四、試證明1．

ez

1

ez

1ze

z

(z

);2．

(3

e)z

ez

1

(e

1)z

(z

1);f(z)在圓域zR內分析，Snnf(k)(0)zk試證五、設函數k0k!1．Sn(z)1n1zn1d(zrR).2f()zn1ir2．f(z〕Snzn1f()d(zrR)。(z)in1(2rz)六、設冪級數n2zn的和函數，并計算n2之值.n1n12n七、設f(z)anzn(zR1),g(z)bnzn(zR2)，那么對隨意的r(0rR1)，在n0n0zrR2內anbnzn1f()g(z)d。n02ir八、設在zR內分析的函數f(z)有泰勒睜開式f(z)a0a1za2z2anzn試證當0rR時12f(rei2an22n.0)dr2n0九、將函數ln(2z)在0z11內睜開成洛朗級數.z(z1)十、試證在0z內以下睜開式建立：z1cn(zn11e2coscosnd(n0,1,2,).ezc0)此中cnn1zn0第五章留數一、選擇題：1．函數cotz在zi2內的奇點個數為()2z3〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕42．設函數f(z)與g(z)分別以za為天性奇點與m級極點，那么za為函數f(z)g(z)的()〔A〕可去奇點〔B〕天性奇點〔C〕m級極點〔D〕小于m級的極點3．設z1ex2的m級極點，那么m()0為函數z4sinz〔A〕5〔B〕4(C)3〔D〕24．z1是函數(z1)sin1z的()1(A)可去奇點〔B〕一級極點〔C〕一級零點〔D〕天性奇點5．z是函數32zz3的()z2(A)可去奇點〔B〕一級極點〔C〕二級極點〔D〕天性奇點6．設f(z)anzn在zR內分析，k為正整數，那么Res[f(z),0]()n0zk〔A〕ak〔B〕k!ak〔C〕ak1〔D〕(k1)!ak17．設za為分析函數f(z)的m級零點，那么Res[f(z),a]()f(z)(A)mBmCm1〔D〕(m1)〔〕〔〕8．在以下函數中，Res[f(z),0]0的是〔〕〔A〕f(z)ez1z2〔C〕f(z)sinzcoszz9．以下命題中，正確的選項是()〔A〕設f()(zz0)m()zz，極點．

sinz1〔B〕f(z)zz11(D)f(z)1zez(z)在z0點分析，m為自然數，那么z0為f(z)的m級〔B〕假如無量遠點是函數f(z)的可去奇點，那么Res[f(z),]0〔C〕假定z0為偶函數f(z)的一個孤立奇點，那么Res[f(z),0]0〔D〕假定c

f(z)dz0，那么f(z)在c內無奇點10．Res[z3cos2i,]()z〔A〕22〔C〕2〔D〕2i3〔B〕i333111．Res[z2ezi,i]()〔A〕1i〔B〕5156i〔C〕i〔D〕i66612．以下命題中，不正確的選項是()〔A〕假定z0()是f(z)的可去奇點或分析點，那么Res[f(z),z0]0〔B〕假定P(z)與Q(z)在z0分析，z0為Q(z)的一級零點，那么Res[P(z)P(z0),z0]Q(z0)Q(z)〔C〕假定z0為f(z)的m級極點，nm為自然數，那么1dnz0)n1Res[f(z),z0]limn[(zf(z)]n!xx0dz〔D〕假如無量遠點為f(z)的一級極點，那么z0為f(1)的一級極點，并且zRes[f(z),]lim1)zf(z0z13．設n1為正整數，那么1dz()z2zn1(A)0〔B〕2i2i〔D〕2ni〔C〕n14．積分z9dz()3z101z2〔A〕0〔B〕2i〔C〕10〔D〕i515．積分z2sin1dz()z1z〔A〕0〔B〕1〔C〕ii6〔D〕3二、填空題1．設z0為函數z3sinz3的m級零點，那么m．2．函數f(z)1在其孤立奇點zk1(k0,1,2,)處的留數1kcosz2Res[f(z),zk]．3．設函數f(z)exp{z21}，那么Res[f(z),0]z24．設zf(z)．a為函數f(z)的m級極點，那么Res[,a]f(z)5．雙曲正切函數tanhz在其孤立奇點處的留數為．2z6．設f(z)1z2，那么Res[f(z),]．7．設f(z)1cosz，那么Res[f(z),0]．z518．積分z3ezdz．z19．積分1dz．1sinz10．積分xeix2dx．1x三、計算積分zzsinz2dz．1z)1(ez4四、利用留數計算積分d(a0)2sin20a五、利用留數計算積分x2x2410x2dxx9六、利用留數計算以下積分：１．xsinxcos2xdx２．cos(x1)22dx0x1x1七、設a為f(z)的孤立奇點，m為正整數，試證a為f(z)的m級極點的充要條件是lim(za)mf(z)b，此中b0為有限數．za八、設

a

為

f(z)的孤立奇點，試證：假定

f(z)是奇函數，那么

Res[f(z),a]

Res[f(z),

a]；假定f(z)

是偶函數，那么

Res[f(z),a]

Res[f(z),

a]．九、設f(z)以a為簡單極點，且在f(z)1a處的留數為A，證明limf(z)2.za1A十、假定函數(z)在z1上分析，當z為實數時，(z)取實數并且(0)0，f(x,y)表示2tsin(xiy)的虛部，試證明012tcost2f(cos,sin)d(t)(1t1)第一章復數與復變函數一、1．〔B〕2．〔A〕3．〔D〕4．〔C〕５．〔B〕６．〔A〕７．〔D〕８．〔B〕９．〔D〕10．〔C〕11．〔B〕12．〔C〕13．〔D〕14．〔C〕15．〔A〕二、1．22．arctan83．12i16i5．334．e６．z2z25〔或x2y21〕７．x2y21(5)2(3)222８．12i,2i９．Re(w)110．72i2三、[52,52]〔或52z252〕．四、當0a1時解為(11a)i或(1a1)當1a時解為(1a1).u17cosu2v2六、像的參數方程為202．表示w平面上的橢圓1.v15(17)2(15)2sin222十、1．f(z)在復平面除掉原點外連續(xù)，在原點處不連續(xù)；2．f(z)在復平面到處連續(xù).第二章分析函數一、1．〔B〕2．〔B〕3．〔D〕4．〔C〕５．〔A〕６．〔C〕７．〔C〕８．〔C〕９．〔A〕10．〔D〕11．〔A〕12．〔C〕13．〔D〕14．〔B〕15．〔C〕二、填空題1．1i2．常數3．u