高等數學課件考點6無窮級數

無窮級數關注微課程，獲取學習考點6.1

常數項級數考點6.2

正項級數考點6.3

交錯級數考點6.4

冪級數

本考點知識點

掃碼免費看

nn1

k

1【基本性質】n

nnn1無窮級數u

收斂，則lim

u

0

【基本概念】(1)無窮級數un

收斂

部分和Sn

uk

收斂(2)

如果|un

|收斂

un

收斂，并稱un

絕對收斂n1

n1

n1考點6.1

級數基本理論n1

n1

(3)如果|un

|丌收斂，但un

收斂，稱un

條件收斂n1

n1n1(1)n12n1,

(1)n1

qn1

,

0

q

1如n1

n但反乊未然，如

1

.看不懂掃這里10考點6.1

級數基本理論【基本公式】常見級數及其斂散性20npn1(1)n,

p

0p-級數

a1

q等比級數

aqn

,

a

0n1當|

q

|

1時，絕對收斂，其和為S

當|

q

|

1時，發(fā)散.當p

1時，絕對收斂當p

1時，條件收斂看不懂掃這里【基本性質】收斂、絕對收斂、條件收斂乊間的關系考點6.1

級數基本理論收斂條件收斂絕對收斂絕對收斂收斂條件收斂看不懂掃這里n1D.2nnu1

50n1

A.kun

(k

0)n1C.B.un100

n1

2nu

n1考查知識點：級數收斂的條件【2011,13】若級數un

收斂，則下列級數中丌收斂的是:答案:D考點6.1

級數基本理論掃碼看解析【2009,13】已知級數(u2n

u2n1

)收斂的，則下列結論成立的是:n1C.

lim

un

=0nn1A.

un必收斂n1B.

un未必收斂n1D.

un發(fā)散考查知識點：級數收斂的條件解題思路：所給條件中，逐項排除法考點6.1

級數基本理論掃碼看解析n1【2005,16】級數un

收斂的充要條件是:1nnnnnnuD.lim

S

存在(其中Sn2n

nnA.

lim

u

=0 B.

lim

un1

r

1C.u

1

u

u

)考查知識點：級數收斂的定義、條件解題思路：只有定義是級數收斂的充要條件考點6.1

級數基本理論掃碼看解析【基本概念】正項級數an

收斂

部分和Sn有界

n1【基本方法】比較審斂法1:

n1

n1n1

n1n1設an，bn為正項級數，an

bn若bn

收斂，則an

也收斂若an

發(fā)散，則bn

也發(fā)散1比較審斂法(1)考點6.2

正項級數n1注：大收

小收；小發(fā)散

大發(fā)散注：常用的丌等式1ln

n

n

n

n(1)

1

,

n

1；

(2)

|

sin

n

|

1

;(3)

|

cos

n

|

1n

n【基本方法】

nnnnan

bn1n1比較審斂法2:

k設

a，b

為正項級數，且lim

n1(1)若0

k

，則bn不an

同斂散；n1若k

0，則an

bn；若k

，則an

bn。1比較審斂法(2)1n1

np(

p

1);i)

i

i)

xn

(|

x

|

1)n1

1

np(

p

1);n1

n1【基本公式】(1)常見收斂級數(2)

常見發(fā)散級數

i)

n1i

i)

xn

(|

x

|

1)n1考點6.2

正項級數注：如果an

bn

,則an

不bn同斂散.2比值審斂法【基本方法】考點6.2

正項級數nn1【基本方法】設

an

為正項級數，且lim

n

an

l(1)若l

1，則an

收斂；n13根值審斂法(2)若l

1，則an

發(fā)散；n1(3)若l

=1，此法無法判斷.考點6.2

正項級數

n【2013,12】正項級數an

的部分和數列{Sn

}(Sn

ai

)有上界是該級數收斂的：n1A.充分必要條件C.必要條件而非充分條件i

1B.

充分條件而非必要條件D.既非充分又非必要條件考查知識點：正項級數收斂的定義、充要條件解題思路：由正項級數收斂的充要條件，直接可得考點6.2

正項級數掃碼看解析【2010,13】下列各級數中發(fā)散的是：113nn1B.

(1)n1n1

n1ln(n

1)n

1n

1

2

n

3

A.n1C.D.(1)n1考查知識點：正項級數斂散性的判別法考點6.2

正項級數掃碼看解析【2007,13】下列各級數發(fā)散的是：1A.sinn321nn1n1n1n1n1ln(n

1)n

1

2

n

3

B.

(1)C.D.(1)n1

考查知識點：正項級數斂散性的判別法解題思路：逐項判斷斂散性考點6.2

正項級數掃碼看解析【2005,17】正項級數nana

,判定liman1nn1

q

1是此正項級數收斂的什么條件？A.充分條件，但非必要條件C.充分必要條件B.必要條件，但非充分條件D.既非充分條件，又非必要條件考點6.2

正項級數考查知識點：正項級數收斂的判別法、充要條件解題思路：由正項級數收斂的比值（根值）判別法，是級數收斂的充分條件，但非必要條件掃碼看解析nnnn1n10,(1)(1)n1n1【基本概念】設uu，則稱u

為交錯級數【基本方法】nn1n1(1)如果交錯級數u

滿足下列兩條：(1)

un單調遞減；(2)

lim

un

0nnn1n1則(1)

u

收斂.考點6.3

交錯級數看不懂掃這里【2012,10】下列級數中，條件收斂的是：nn3n1(1)n(1)n

(1)nn

1n1

n(n

1)n

2A.

n1B.

n1C.

D.(1)n

考查知識點：條件收斂、絕對收斂、交錯級數考點6.3

交錯級數答案：A掃碼看解析的收斂性是：n(1)n【2008,10】級數n1A.絕對收斂

B.

條件收斂

C.

等比級數收斂

D.

發(fā)散考查知識點：條件收斂、絕對收斂、交錯級數考點6.3

交錯級數答案：B看不懂掃這里1收斂半徑nn

0【基本概念】關于(x

x0

)的冪級數:n0a

(

x

x

)na

xnn0關于x的冪級數:nnnlim

|

a

|a【基本理論】設

=lim

an1nn,或

則r

1

為冪級數的收斂半徑.若=0,則r

.考點6.4

冪級數2收斂域【基本性質】設冪級數的收斂半徑為r，則0(1)nn

0

0

r

);a

(

x

x

)

的收斂域為

(

x

r,

xn0(2)nna

x

的收斂域為(r,

r

).n0注：端點收斂不否，需具體分析.考點6.4

冪級數3冪級數展開—林級數xnn0

n!(2)ex

,收斂半徑r

;1nn

0(1)

1

xx

,收斂半徑r

1;2

x注：這些公式要靈活運用.如將

1

【基本方法】常見林展開公式：展開成(1)x的冪級數；(2)x

1的冪級數x2n1,收斂半徑r

;x2n(3) sin

x

n0

(2n

1)!(4) cos

x

n0

(2n)!,收斂半徑r

;考點6.4

冪級數nn【基本性質】在收斂域內具有以下微分和積分性質：n0如果S(x)a

x，則nna

xna

xn1n1(1)

S

(

x)

n

n0=00(2)xxnnanxn1x dx

n

1S(

x)dx

an0n0考點6.4

冪級數(1)nx

=1

xn01

1n

nn01

x；

(2)

(1)

x

，|

x

|

14求和函數【基本方法】靈活利用常見展開公式和冪級數的求導、積分性質等比級數：考點6.4

冪級數1

13n

n

nnnnx

n1n0

n0考查知識點：冪級數收斂半徑n0

32A.

3

x

B.

3

xC.

x

D.n0【2013,17】下列冪級數中，收斂半徑R

3的冪級數是：答案：D考點6.4

冪級數掃碼看解析的林展開正確的是：12【2012,11】當|

x

|

1

時，函數f

(x)1

2xn0

n0A.

(1)n1

(2x)nC.

(1)nB.

(2)n

xn

n0n

n2

x

D.2

xn

nn0n01

t考查知識點：冪級數展開公式解題思路：根據函數不公式的相似性，確定公式

1

t

n

,|t|

1t

2

x1

11

2x

1

t考點6.4

冪級數

(2x)n

,|

2

x

|

1t

2

x

n0n0tn掃碼看解析【2011,14】設冪級數nna

x

的收斂半徑為2,則冪級數n0A.

(2,

2) B.(

2,

4) C.

(0,

4)考查知識點：冪級數收斂半徑、收斂域D.

(4,

0)答案：Cnn1n0na

(

x

2)的收斂區(qū)間是：考點6.4

冪級數掃碼看解析3n

nn0考查知識點：冪級數收斂半徑、收斂域3

34A.

[

2,

4) B.

(

2,

4) C.

(1,1) D.[

1

,

)【2010,14】冪級數

(

x

1)

的收斂域是：

答案：A

n考點6.4

冪級數掃碼看解析【2009,14】函數13

x考查知識點：冪級數展開解題思路：根據函數不公式的相似性，確定公式2xnxn4n1D.

(1)nn0(

x

1)n2n1

1

x

nn0

2n

n0

A.

B.

C.

n0展開成(x

1)的冪級數是：答案：C考點6.4

冪級數掃碼看解析考查知識點：冪級數展開n!n!nne(

x

1)n(

x

1)n(

x

1)n(

x

1)nA.

n0B.

en0C.

n0D.

n0【2008,15】函數e

x

展開成(

x

1)的冪級數是：

答案：B解題思路：根據函數不公式的相似性，確定公式考點6.4

冪級數掃碼看解析x【2007,15】函數1

展開成