邏輯代數(shù)的基本知識(shí)

邏輯代數(shù)的基本知識(shí)邏輯代數(shù)的基本知識(shí)邏輯代數(shù)的基本知識(shí)xxx公司邏輯代數(shù)的基本知識(shí)文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度邏輯代數(shù)的基本知識(shí)1.邏輯代數(shù)的基本定律根據(jù)邏輯變量和邏輯運(yùn)算的基本定義，可得出邏輯代數(shù)的基本定律。①交換律：A+B =B+A，A?B=B?A；②結(jié)合律：A+(B+C) =(A+B)+C，A?(B?C)=(A?B)?C；③分配律:A?(B+C)=A?B+A?C，A+B?C=(A+B)?(A+C)；④互非定律:A+A =l，A?A=0；，；⑤重疊定律（同一定律）：A ?A=A，A+A=A；⑥反演定律(摩根定律）：A ?B=A+B9A+B=A?B，；⑦還原定律:2.邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則（1）代入規(guī)則在邏輯函數(shù)表達(dá)式中凡是出現(xiàn)某變量的地方都用另一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立，這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。例如，已知A+AB=A，將等式中所有出現(xiàn)A的地方都以函數(shù)(C+D)代替則等式仍然成立，即（C+D)+(C+D)B=C+D。（2）反演規(guī)則對(duì)于任意的Y邏輯式，若將其中所有的“?”換成“+”換成“?”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原函數(shù)Y的反函數(shù)，運(yùn)用它可以簡(jiǎn)便地求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：要注意運(yùn)算符號(hào)的優(yōu)先順序，不應(yīng)改變?cè)降倪\(yùn)算順序。例：應(yīng)寫為證：不屬于單變量上的非號(hào)應(yīng)保留不變。例：則則（3）對(duì)偶規(guī)則對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)，如果將其表達(dá)式Y(jié)中所有的算符“?”換成“+”換成“?”，常量“0”換成換成“0”，而變量保持不變，則得出的邏輯函數(shù)式就是Y的對(duì)偶式，記為Y’。例如：若Y=A?(B+C)，則Y'=A+B?C；若兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。使用對(duì)偶規(guī)則時(shí)，同樣要注意運(yùn)算符號(hào)的先后順序和不是一個(gè)變量上的“非”號(hào)應(yīng)保持不變。3.邏輯代數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)可以用邏輯真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖、卡諾圖、波形圖等方法來表示。（1）真值表以表格的形式反映輸入邏輯變量的取值組合與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。它的特點(diǎn)是直觀、明了，特別是在把一個(gè)實(shí)際邏輯問題抽象為數(shù)學(xué)問題時(shí)，使用真值表最為方便。因此，在進(jìn)行數(shù)字電路的邏輯設(shè)計(jì)時(shí)，首先就是根據(jù)設(shè)計(jì)要求，列出真值表。（2）函數(shù)表達(dá)式用與、或、非等邏輯運(yùn)算表示邏輯函數(shù)中各個(gè)變量之間邏輯關(guān)系的代數(shù)式，叫做函數(shù)表達(dá)式或邏輯表達(dá)式。這種表示方法書寫簡(jiǎn)潔、方便，其主要優(yōu)點(diǎn)是便于利用邏輯代數(shù)的公式和定理進(jìn)行運(yùn)算、變換。它的缺點(diǎn)是不如真值表直觀，尤其是在邏輯函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，難以直接從變量取值看出函數(shù)的值。（3）邏輯圖邏輯圖是指用邏輯圖形符號(hào)來表示邏輯函數(shù)與變量之間的邏輯關(guān)系。一般圖形符號(hào)都有相應(yīng)的電路器件，所以邏輯圖也叫邏輯電路圖，它比較接近工程實(shí)際。（4）卡諾圖卡諾圖實(shí)際上是真值表的另一種表示形式，我們將在下面邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)部分中詳細(xì)介紹。（5）波形圖波形圖是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值的高、低電平所構(gòu)成的圖形。【例】已知函數(shù)的邏輯表達(dá)式為Y=B+C。要求：（1)列出相應(yīng)的真值表；（2)已知輸入波形，畫出輸出波形；（3)畫出邏輯圖。【解】①將A，B，C的所有組合代入邏輯表達(dá)式計(jì)算，得到真值表如表5-6所示。②根據(jù)真值表，畫出例的輸出波形，如圖5-13所示。根據(jù)邏輯表達(dá)式，畫出邏輯圖如圖5-14所示。圖5-13例波形圖 圖5-14邏輯圖表5-6例真值表4.邏輯代數(shù)的化簡(jiǎn)同一邏輯函數(shù)可以寫成不同的邏輯式，而這些邏輯式的繁簡(jiǎn)程度又相差甚遠(yuǎn)。邏輯形式越簡(jiǎn)單，它所表示的邏輯關(guān)系就越明顯，同時(shí)也有利于用最少的電子器件實(shí)現(xiàn)這個(gè)邏輯關(guān)系。因此，經(jīng)常需要通過化簡(jiǎn)的手段來找出邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式。（1）邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式化簡(jiǎn)的形式一般稱為與或邏輯式，最簡(jiǎn)與或邏輯式的標(biāo)準(zhǔn)如下：①邏輯函數(shù)式中乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）的個(gè)數(shù)最少；②每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量數(shù)最少。（2）邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法1）并項(xiàng)法利用公式，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量。例如：吸收法利用公式A+AB=A及AB+AC+BC=AB+AC，消去多余乘積項(xiàng)。例如：配項(xiàng)法利用公式A+A=1，給某個(gè)乘積項(xiàng)配項(xiàng)，以達(dá)到進(jìn)一步簡(jiǎn)化。例1.例2.5.卡諾圖化簡(jiǎn)法（1）最小項(xiàng)1）最小項(xiàng)的定義對(duì)于N個(gè)變量，如果P是一個(gè)含有N個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而在P中每一個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，那么就稱P是N個(gè)變量的一個(gè)最小項(xiàng)。因?yàn)槊總€(gè)變量都有以原變量和反變量?jī)煞N可能的形式出現(xiàn)，所以N個(gè)變量有個(gè)最小項(xiàng)。最小項(xiàng)的性質(zhì)P24表-16列出了三個(gè)變量的全部最小項(xiàng)真值表。由表可以看出最小項(xiàng)具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1：每個(gè)最小項(xiàng)僅有一組變量的取值會(huì)使它的值為“1”，而其他變量取值都使它的值為“0”。性質(zhì)2：任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積恒為“0”。性質(zhì)3：全部最小項(xiàng)之和恒為“1”。由函數(shù)的真值可以很容易地寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式，此外，利用邏輯代數(shù)的定律、公式，可以將任何邏輯函數(shù)式展開或變換成標(biāo)準(zhǔn)與或式。例：例：3）最小項(xiàng)編號(hào)及表達(dá)式為便于表示，要對(duì)最小項(xiàng)進(jìn)行編號(hào)。編號(hào)的方法是：把與最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號(hào)。在標(biāo)準(zhǔn)與或式中，常用最小項(xiàng)的編號(hào)來表示最小項(xiàng)。如：常寫成或（2）邏輯函數(shù)的卡諾圖表達(dá)法1）邏輯變量卡諾圖卡諾圖是指按相鄰性原則排列的最小項(xiàng)的方格圖，也叫最小項(xiàng)方格圖，它將最小項(xiàng)按一定的規(guī)則排列成方格陣列。根據(jù)變量的數(shù)目N，則應(yīng)有個(gè)小方格，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)?？ㄖZ圖中將N個(gè)變量分成行變量和列變量?jī)山M，行變量和列變量的取值，決定了小方格的編號(hào)，也即最小項(xiàng)的編號(hào)。行、列變量的取值順序一定要按格雷碼排列。P26列出了二變量、三變量和四變量的卡諾圖?？ㄖZ圖的特點(diǎn)是形象地表達(dá)了各個(gè)最小項(xiàng)之間在邏輯上的相鄰性。圖中任何幾何位置相鄰的最小項(xiàng)，在邏輯上也是相鄰的。所謂邏輯相鄰，是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)是互補(bǔ)的，而其余的變量都相同，所謂幾何相鄰，不僅包括卡諾圖中相接小方格的相鄰，方格間還具有對(duì)稱相鄰性。對(duì)稱相鄰性是指以方格陣列的水平或垂直中心線為對(duì)稱軸，彼此對(duì)稱的小方格間也是相鄰的?？ㄖZ圖的主要缺點(diǎn)是隨著變量數(shù)目的增加，圖形迅速?gòu)?fù)雜化，當(dāng)邏輯變量在五個(gè)以上時(shí)，很少使用卡諾圖。邏輯函數(shù)卡諾圖用卡諾圖表示邏輯函數(shù)就是將函數(shù)真值表或表達(dá)式等的值填入卡諾圖中。可根據(jù)真值表或標(biāo)準(zhǔn)與或式畫卡諾圖，也可根據(jù)一般邏輯式畫卡諾圖。若已知的是一般的邏輯函數(shù)表達(dá)式，則首先將函數(shù)表達(dá)式變換成與或表達(dá)式，然后利用直接觀察法填卡諾圖。觀察法的原理是：在邏輯函數(shù)與或表達(dá)式中，凡是乘積項(xiàng)，只要有一個(gè)變量因子為0時(shí)，該乘積項(xiàng)為0；只有乘積項(xiàng)所有因子都為1時(shí)，該乘積項(xiàng)為1。如果乘積項(xiàng)沒有包含全部變量，無論所缺變量為1或者為0，只要乘積項(xiàng)現(xiàn)有變量滿足乘積項(xiàng)為1的條件，該乘積項(xiàng)即為1。例1：可寫成例2：（3）邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法1）合并最小項(xiàng)的規(guī)律根據(jù)公式AB+AB=A或知，兩邏輯上相鄰的最小項(xiàng)之和或以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量；四個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，并消去兩個(gè)變量。卡諾圖上能夠合并的相鄰最小項(xiàng)必須是2的整次冪。用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)一般可分為三步進(jìn)行：首先是畫出函數(shù)的卡諾圖；然后是圈1合并最小項(xiàng)；最后根據(jù)方格圈寫出最簡(jiǎn)與或式。在圈1合并最小項(xiàng)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：圈數(shù)盡可能少；圈盡可能大；卡諾圖中所有“1”都要被圈，且每個(gè)“1”可以多次被圈；每個(gè)圈中至少要有一個(gè)“1”只圈1次。一般來說，合并最小項(xiàng)圈1的順序是先圈沒有相鄰項(xiàng)的1格，再圈兩格組、四格組、八格組……。兩點(diǎn)說明：①在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個(gè)是最簡(jiǎn)的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。例：1②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡(jiǎn)形式。即一個(gè)函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式不是唯一的。如圖16.具有約束條件的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)（1）約束、約束條件、約束項(xiàng)在實(shí)際的邏輯問題中，決定某一邏輯函數(shù)的各個(gè)變量之間，往往具有一定的制約關(guān)系。這種制約關(guān)系稱為約束。例如，設(shè)在十字路口的交通信號(hào)燈，綠燈亮表示可通行，黃燈亮表示車輛停，紅燈亮表示不通行。如果用邏輯變量A、B、C分別代表綠、黃、紅燈，并設(shè)燈亮為1，燈滅為0；用Y代表是否停車，設(shè)停車為1，通行為0。則Y的狀態(tài)是由A、B、C產(chǎn)狀態(tài)決定的，即Y是A、B、C是函數(shù)。在這一函數(shù)關(guān)系中，三個(gè)變量之間存在著嚴(yán)格的制約關(guān)系。因?yàn)橥ǔ２辉试S兩種以上的燈同時(shí)亮。如果用邏輯表達(dá)式表示上述約束關(guān)系，有：AB=0BC=0AC=0或AB+BC+AC=0通常把反映約束關(guān)系的這個(gè)值恒等于0的條件等式稱為約束條件。將等式展開成最小項(xiàng)表達(dá)式，則有由最小項(xiàng)性質(zhì)可知，只有對(duì)應(yīng)的變量取值組合出現(xiàn)時(shí)，其值才為1。約束條件中包含的最小項(xiàng)的值恒為0，不能為1，所以對(duì)應(yīng)的變量取值組合不會(huì)出現(xiàn)。這種不會(huì)出現(xiàn)的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)。約束項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一般用Х表示。它表示約束項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量取值組合不會(huì)出現(xiàn)，而函數(shù)值可以認(rèn)為是任意的。約束項(xiàng)可寫為：（2）具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)約束項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，既或看作0，也可看作1。當(dāng)把某約束項(xiàng)看作0時(shí)，表示邏輯函數(shù)中就不包括該約束項(xiàng)，如果是看作1，則說明函數(shù)式中包含了該約束項(xiàng)，但因其所對(duì)應(yīng)的變量取值組合不會(huì)出現(xiàn)，也就是說加上該項(xiàng)等于加0，函數(shù)值不會(huì)受影響。例：以下無正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。

толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжныиспользоватьсявкоммерческихцелях.

Forpersonaluseonlyinst