第26屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題及詳細(xì)解答

第26屆全國物理比賽決賽試題理論部分及標(biāo)準(zhǔn)答案一、填空題（每題5分，共20分）1.某圓滑曲面由曲線yf(x)繞豎直y軸旋轉(zhuǎn)一周形成，一自然半徑為a、質(zhì)量為m、勁度系數(shù)為k的彈性圓環(huán)置于該曲面之上，能水沉靜止于隨意高度，則曲線方程為。參照答案：yC22(xa)2（C為隨意常數(shù)）。mg2.以下圖的電阻框架為四維空間中的超立方體在三維空間中的投影模型（可視為內(nèi)外兩個(gè)立方體框架，對(duì)應(yīng)極點(diǎn)相互連結(jié)起來），若該結(jié)構(gòu)中每條棱均由電阻R的資料組成，則AB節(jié)點(diǎn)間的等效電阻為。參照答案：7R12500nm的光，它是由5000個(gè)小眼組成的復(fù)眼，小眼3.某種蜜蜂的眼睛能夠看到均勻波長(zhǎng)為一個(gè)個(gè)密集排放在眼睛的整個(gè)表面上，小眼結(jié)構(gòu)很精良，頂部有一個(gè)透光的圓形集光裝置，叫角膜鏡；下邊連著圓錐形的透明晶體，使得外面入射的光芒匯聚到圓錐極點(diǎn)連結(jié)的感光細(xì)胞上（入射進(jìn)入一個(gè)小眼的光芒不會(huì)透過錐壁進(jìn)入其余小眼），進(jìn)而造成一個(gè)“影像點(diǎn)”（像素）；全部小眼的影像點(diǎn)就拼成了一個(gè)完好的像。若將復(fù)眼看作球面圓錐，球面半徑r1.5mm，則蜜蜂小眼角膜鏡的最正確直徑d約為（請(qǐng)給出兩位有效數(shù)字）。參照答案：30m4.開路電壓U0與短路電流ISC是半導(dǎo)體p-n結(jié)光電池的兩個(gè)重要技術(shù)指標(biāo)，試給出二者之間的關(guān)系表達(dá)式：U0=，式中各符號(hào)代表的物理量分別為。參照答案：U0kTISC1，式中e為電子電量的絕對(duì)值，k為波爾茲曼常量，T為絕lnISe對(duì)溫度，IS為p-n結(jié)的反向飽和電流。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題共20分。第1、2題每題填對(duì)均得5分，第3題只需答案在27-30m之間即得5分，不然0分。第4題第一空格占4分，第二空格占1分。二、（15分）天體或微觀系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可借助計(jì)算靈活向模擬軟件直觀顯示。這波及幾何尺寸的按比率縮放。為使顯示的運(yùn)動(dòng)對(duì)縮放后的系統(tǒng)而言是實(shí)質(zhì)可發(fā)生的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也應(yīng)縮放。1.在牛頓力學(xué)框架中，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F(r)中作軌道運(yùn)動(dòng)，且有F(r)kF(r)，k為常數(shù)，r為位矢。若幾何尺寸按比率縮放顯示，確立運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間的縮放率。2.由此證明，行星繞太陽軌道運(yùn)動(dòng)周期的平方與軌道幾何尺寸的立方成正比。參照答案1.設(shè)位矢、時(shí)間縮放分別為r/r,t/t,故速度、加快度知足關(guān)系v/limr/limrvt/0t/t0ta/limv/2limv2v/t/t0tt0縮放前后質(zhì)點(diǎn)均知足牛頓運(yùn)動(dòng)方程，即maF(r)ma/F(r/)利用（2）式及F(r)kF(r)，（4）式化簡(jiǎn)為mak12F(r)比較（3）式，得k122.萬有引力場(chǎng)中，有k2，假想軌道尺寸按

1）(2)(3)(4)（5）（6）/縮放，則周期按

l1

（7）/2

（8）縮放，故有/22l/3l3評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題共15分第一小題占10分，正確得出（6）式得得10分，此中正確得出（第二小題占5分。正確得出（9）式得5分。三、（20分）在水平面上有兩根垂直相交的內(nèi)壁圓滑的連通細(xì)管，管內(nèi)擱置兩個(gè)質(zhì)量均為m、電荷量均為q的同號(hào)帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)A和B。初始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)A至兩管交點(diǎn)O的距離為d，質(zhì)點(diǎn)B位于交點(diǎn)O處，速度相互垂直，方向以下圖，大

5）式得5分。y

（9）小均為u0kq2OBu0A，k為靜電力常量。md求在此后的運(yùn)動(dòng)中，它們之間的最小距du0

x離。參照答案：兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位矢為rrr，記其單位矢量為erABrr所受協(xié)力必然沿運(yùn)動(dòng)方向，即靜電力沿運(yùn)動(dòng)方向的分力，兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程maAkq22(eri)irmaBkq22(erj)j（1）r相減可得makq22er（2）r此中aaBaA為B相關(guān)于A的加快度。（2）式表示，B相關(guān)于A的運(yùn)動(dòng)即力心固定之庫侖勢(shì)場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的m運(yùn)動(dòng)，其電勢(shì)能為：kq2(3)Ur2中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量、能量守恒。此處角動(dòng)量與能量均應(yīng)為B相對(duì)A的運(yùn)動(dòng)的值，可由初始條件定出：Lmdi(uju0i)mdkq2（4）0mdE1m(u0ju0i)2kq22kq2（5）2dd所求量即近力心點(diǎn)到力心的距離rm，該點(diǎn)速度um必與矢徑rmer垂直，故有：mrmummdkq2(6)md1mrum2kq22kq2(7)2rm2d進(jìn)而解得r15d（8）4評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題共20分正確得出（3）式得10分；（4）、（5）、(6)、(7)與(8)各占2分。四、（10分）熱機(jī)和熱泵利用物質(zhì)熱力學(xué)循環(huán)實(shí)現(xiàn)相反功能：前者從高溫處吸熱，將部分熱量轉(zhuǎn)變?yōu)楣?duì)外輸出，其余向低溫處放出；后者依賴外界輸入功，從低溫處吸熱，連同外界做功轉(zhuǎn)變成的熱量一同排向高溫處，按熱力學(xué)第二定律，不論熱機(jī)仍是熱泵，若工作物質(zhì)循環(huán)過程中只與溫度為T1,T2的兩個(gè)熱源接觸，則汲取的熱量Q1,Q2Q1Q20，知足不等式T2T1此中熱量可正可負(fù)，分別表示從熱源吸熱與向熱源放熱。原供暖設(shè)施本來以溫度T0的鍋爐開釋的熱量向房間直接供暖，使室內(nèi)溫度保持恒溫T1,高于戶外溫度T2。為提升能源利用率，擬在利用原有能源的基礎(chǔ)上采納上述機(jī)器改良供暖方案，與直接供暖對(duì)比，能耗降落的理論極限可達(dá)到多少？參照答案：為表述方便，以下熱量均用絕對(duì)值表示。能夠采納熱機(jī)熱泵聯(lián)合供暖方案：利用熱機(jī)從鍋爐汲取熱量，轉(zhuǎn)變?yōu)楣?；此功?qū)動(dòng)熱泵，從戶外吸熱，向室外放熱。熱機(jī)的高溫?zé)嵩村仩t，低溫?zé)嵩纯蛇x室內(nèi)或戶外環(huán)境。以室外為例，設(shè)熱機(jī)從鍋爐吸熱Q0,向室外放熱Q10，則有Q0Q100(1)T0T0熱泵的高、低溫?zé)嵩捶謩e為室內(nèi)、戶外環(huán)境。設(shè)熱泵從戶外吸熱Q2,向室外放熱Q12,則有Q12Q20(2)T1T2經(jīng)過熱機(jī)、熱泵聯(lián)合工作，室內(nèi)獲取的總能量為Q1Q10Q12(3)將（1）、（2）兩式相加，得Q0Q2Q10(4)T0T2T1若熱機(jī)以戶外環(huán)境為低溫?zé)嵩?，同理可得上式。由能量守恒定律給出Q1Q0Q2（5）直接供暖時(shí)，給室內(nèi)供熱Q1,鍋爐所開釋的熱量為Q0/Q1（6）聯(lián)立（4）（5）兩式，可得熱機(jī)熱泵供暖鍋爐開釋的熱量為Q0T0(T1T2)Q1（7）T1(T0T2)能耗降落率為Q0/Q0T2(T0T1)Q0/（8）T1(T0T2)理論極限為上式取等號(hào)。此題共10分，此中（4）式占4分。五、（15分）磁場(chǎng)會(huì)影響電子的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而使存在磁場(chǎng)時(shí)的電流與電壓之間的關(guān)系偏離我們熟習(xí)的歐姆定律，此題研究的問題即為一例。設(shè)xoy平面內(nèi)有密度（單位體積內(nèi)的電子數(shù)）為n的二維電子氣。平面內(nèi)沿x軸方向存在均勻電場(chǎng)EEi（i為軸正方向的單位矢量），垂直于平面的z軸方向存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感覺強(qiáng)度為BBk（k為z軸正方向的單位矢量）。已知平面內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)遇到的散射阻力與速度v成正比，可等效地用一時(shí)間參量描繪為mv，m為電子質(zhì)量，試求在穩(wěn)態(tài)沿x和y方向的電流密度（大小為垂直于電流方向單位長(zhǎng)度的電流）jx和jy，將結(jié)果用電子電荷量絕對(duì)值e、n、m、E、及表示出，eB。m參照答案：列出x和y方向的二維電子的牛頓方程以下：maxeEevyBmvx（1）maymvy（2）evxB在穩(wěn)態(tài)，v不隨時(shí)間變化，電子無加快度，axay0。所以由（2）式得vyvx（3）代入（1）式得vxeE（4）m(122)依據(jù)定義jxnevx（5）jynevy（6）jxne2Em(122)jyne22Em(122)可見在垂直于電場(chǎng)的方向上也產(chǎn)生電流。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題共15分此中（1）式與（2）式各占2分，此中axay0各占2分，（3）式與（4）式各占1分；（5）式（6）式共占3分；（7）式與（8）各占1分。六、（25分）如圖A所示的兩塊平行薄板，由理想導(dǎo)體組成，板間距為d，y方向無窮延長(zhǎng)。兩板間沿垂直于y方向流傳的電磁波沿x正方向以行波形式流傳，其電場(chǎng)可表述為:zxzOyxO圖A圖BE2z2xt)E0sin()sin(zx式中為圓頻次，t為時(shí)間，z,x為待定參量，這類結(jié)構(gòu)的組合能夠制成適用的微波發(fā)射天線，用來取代傳統(tǒng)的巨大拋物面天線，能夠大幅度降低天線成本。1.證明z只好取以下值：z2d,m1,2,3..m2.當(dāng)m=1時(shí)，求z。3.如將一系列板間距相等而長(zhǎng)度不等的理想導(dǎo)體相關(guān)于沿y方向無窮延長(zhǎng)的線狀波源（與紙面交與O點(diǎn)）平行對(duì)稱疊排，板的右端對(duì)齊，面板的長(zhǎng)度有必定的散布（此結(jié)構(gòu)與與紙面訂交的截面圖如圖B所示），則在這一結(jié)構(gòu)的右端可輸出沿x方向流傳的平面電磁波。試給出知足這一要求的板堆在xoz截面內(nèi)左邊邊沿（如圖b所示）所知足的曲線方程。（取m=1，已知波源到板堆左端的水平距離為L(zhǎng)）.參照答案：1．已知兩板間的電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度E為EE0sin(2z)sin(2xt)（1）zx因?yàn)槭抢硐雽?dǎo)體板，當(dāng)z=0和d時(shí)應(yīng)有E=0。進(jìn)而2dm,2d,m1,2,3......（2）zmz2.關(guān)于（1）式描繪的電磁波，能夠經(jīng)過sinsin1[cos()cos()]（3）2表達(dá)為兩列平面電磁波的疊加，EE1E2E11E0cos(2x2zt)（4）2xzE21E0cos(2x2zt)2xz式中兩列電磁波的波長(zhǎng)0都可表達(dá)為1221221（5）2c0xz當(dāng)m=1,z2d,z1(6)(1)22c2d3．所以,x方向的波速vx為vx()xc(7)22c1d以下圖，設(shè)板堆左端任一點(diǎn)P到波源的距離OP=R，OP與水平線的交角為。要使得輸出為沿水平方向的平面波，應(yīng)知足，LRLRcos（8）ccvx由此可得，22RL(11cc（9）)(11cos)ddPzRxO評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題共25分第一小題5分，第二小題10分，第三小題10分；此中（2）式占5分，（5）式占6分，(6)式占4分；（8）式占6分。七、（35分）1.在經(jīng)典的氫原子模型中，電子環(huán)繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)，電子的向心力來自于核電場(chǎng)的作用。但是，經(jīng)典的電磁理論表示電子做加快運(yùn)動(dòng)會(huì)發(fā)射電磁波，其發(fā)射功率可表示為（拉莫爾公式）：Pe2a2，此中a為電子的加快度，c為真空光速，6c30041=8.85410-12Fm-1,電子電荷量絕對(duì)值e=1.60210-19C。若不考慮相對(duì)論效應(yīng)，試估k計(jì)在經(jīng)典模型中氫原子的壽命。（實(shí)驗(yàn)測(cè)得氫原子的聯(lián)合能是EH13.6eV，電子的靜止質(zhì)量m09.1091031kg）2.帶點(diǎn)粒子加快后發(fā)射的電磁波也有重要的應(yīng)用價(jià)值。今世科學(xué)研究中應(yīng)用寬泛的同步輻射即是由以靠近光速運(yùn)動(dòng)的電子在磁場(chǎng)中作曲線運(yùn)動(dòng)改變運(yùn)動(dòng)方向時(shí)所產(chǎn)生的電磁輻射，電子儲(chǔ)存環(huán)是同步輻射光源裝置的核心，儲(chǔ)存環(huán)中的電子束團(tuán)經(jīng)過偏轉(zhuǎn)磁鐵等裝置產(chǎn)生高性能的同步輻射光。上海光源是最近幾年來建成的第三代同步輻射光源，它的部分工作參數(shù)以下：環(huán)內(nèi)電子能量E3.50GeV,電子束團(tuán)流強(qiáng)I300mA，周長(zhǎng)L=432m,單元數(shù)（裝有偏轉(zhuǎn)磁鐵的彎道數(shù)目）N=20，偏轉(zhuǎn)磁鐵磁場(chǎng)的磁感覺強(qiáng)度B=1.27T。使計(jì)算該設(shè)施均勻每個(gè)光口的輻射總功率P0。（在電子靠近光速時(shí)，若動(dòng)量不變，牛頓第二定律仍舊建立，但拉莫爾公式不再合用，相應(yīng)的公式變化為Pe2a24，此中E，E為電子總能量，m0c2為電子的靜止能6c30m0c2量。）3.因?yàn)閮?chǔ)存環(huán)內(nèi)的電子的速度靠近光速，所以同步輻射是一個(gè)沿電子軌道的切線方向的光錐，光錐的半頂角為1，因而可知電子的能量越高，方向性越好。試計(jì)算：上述設(shè)施在輻射方向上某點(diǎn)接遇到的單個(gè)電子產(chǎn)生的輻射連續(xù)時(shí)間T。（此題結(jié)果均請(qǐng)以三位有效數(shù)字表示。）參照解答1：由方程Fma（1）av2（2）rF1e2（3）4r20可推導(dǎo)出電子的總能量為Ue2（4）80r0由條件EH13.6eV推導(dǎo)出氫原子的軌道半徑和運(yùn)動(dòng)速度分別為：r05.291011m（5）v02.19106m/s（6）由拉莫爾公式得初始發(fā)射功率Pe2a2e6（7）6c3963c303m2r040在細(xì)小的時(shí)間間隔t中，輻射使電子的總能量U減少UPt（8）U8e2(r11)e2r（9）0rr80r2此中r為電子軌道半徑的減少許，由此可導(dǎo)出時(shí)間和半徑r的變化方程：t122c302m2r02rA4r2r,（10）e4此中3c302m2。Ae4結(jié)構(gòu)一個(gè)半徑為r0的球體，則4r2r即為距離球心為r的薄球殼的體積，在r0到0的乞降過程中能夠算出球的體積為4r03。對(duì)應(yīng)此題狀況解出電子軌道從r0減少到0所需的3時(shí)間為t42c302m2r03（11）e4代入數(shù)據(jù)，得：1.561011s（12）2：關(guān)于高能電子有vc(1)Emc2(2)av2(3)rFeBc(4)Fma(5)以上條件能夠得出電子的偏轉(zhuǎn)半徑：RE(6)ecB儲(chǔ)藏環(huán)中的電子數(shù)目：QIt(7)nee此中t為電子旋轉(zhuǎn)一圈所花銷的時(shí)間。由（3）式及輻射條件可得每個(gè)電子每圈損失的總能量為（電子在直道上不輻射能量）：e2a24E

2Re24（8）c30R由（7）（8）獲取儲(chǔ)存環(huán)中的電子耗費(fèi)的總功率為：PutalnEneuIe44.34105W(9)t30R出光口的功率為：P0Putal2.17104W(10)N3:在電子軌道上某點(diǎn)的切線方向上的某一點(diǎn)P處察看，察看者只好在一個(gè)很短時(shí)間間隔內(nèi)看到電子發(fā)出的輻射，這段時(shí)間是電子地速度方向改變圓錐頂角（即2）的角度所對(duì)應(yīng)的光到達(dá)接受地點(diǎn)的