二元函數(shù)微積分學初教案

教師教嚎教師： 課程：數(shù)學班級： 教學時數(shù)：2第周星期 第節(jié) 授課方法 引導式章節(jié)、課題 第12章二元函數(shù)微積分學初步12.1二元函數(shù)的概念目的要求”1、掌握平面點集和區(qū)域、鄰域等概念2、掌握二元函數(shù)的概念及求定義域我學重點二元函數(shù)的概念教學難點區(qū)域、鄰域等概念教具」常規(guī)教學刁題或實驗習題12-1(2)課后記錄通過與一元函數(shù)的比較、聯(lián)系，較好地掌握了二元函數(shù)的概念。共頁前言：在前面的章節(jié)中，我們討論的是一元函數(shù)的有關性質、應用等；一元函數(shù)描述的僅僅是一個變量與另一個變量之間的對應關系。但是在許多實際問題中，常常會遇到描述多個變量與一個變量之間的對應關系的問題，反映到數(shù)學上，就是多元函數(shù)。一元函數(shù)的多數(shù)概念和理論都能夠相應地推廣到多元函數(shù)上來，因此，本章將在一元函數(shù)微分學的基礎匕著重討論二元函數(shù)微分學的概念、計算方法及某些應用。多元函數(shù)平面點集和區(qū)域.平面點集是指平面上滿足某個條件？的一切點構成的集合例1平面上以原點為中心，以1為半徑的圓的內(nèi)部就是一個平面點集（圖7-1）,它可以寫TOC\o"1-5"\h\z成 i\E=｛（x,y）lx2+y2<1｝/ 、有平面解析幾何知道，平面上的兩個點4（西,乃）、 >8（々,乃）之間的距離P（A,8）是用公式（圖7-1）0（4,8）=/區(qū)一/）2+（月一為）2計算的,有了距離公式，我們也可以引入平面上某點的鄰域的概念。.鄰域以點外（乙,汽）為中心，以5>0為半徑的圓的內(nèi)部點的全體，即集合｛（x,y）Iyl（x-x0）2+（y-y0）2<5｝叫做點外（飛,汽）的b鄰域，并稱點用為鄰域的中心S為鄰域的半徑。（圖7-2）（圖7-2）有了鄰域的概念，就可以定義點集的內(nèi)點、外點及界點。.（1）內(nèi)點設有點集E和屬于E的一點與，如果有點外的一個鄰域，此鄰域內(nèi)的點都屬于E,則稱與為點集E的內(nèi)點

設有點集E和不屬于E的一點不，如果存在外的一個鄰域，此鄰域內(nèi)的點都不屬于E,則稱點外為點集E的外點(3)界]設有點集E和一點A,4可屬于E,也可以不屬于E,如果4的任何一個鄰域內(nèi)既有屬于E的點又有不屬于E的點，則稱A為點集E的界點，點集E的界點的全體，稱為點集E的邊界。例2平面點集E={(x,y)14<x2+y2<16},則/+y2=4^x2+y2=16所圍成的圓環(huán)的內(nèi)部是E的內(nèi)點，小圓內(nèi)部及大圓外部的點是E的外點，圓周*2+,2=4與r+/=16都是E的邊界點(如圖7-6).(1)開集如果一個點集E的每一個點都是內(nèi)點，則稱它為開集。(2)開區(qū)域

如果對于開集E中任意兩點尸?、尸2都有E中的折線把這兩點連結起來，則稱這樣的開組數(shù)值時，變量Z按照某種特定的對應關系/,總有唯一的確定的值與之對應，則稱變量Z是x,y的二元函數(shù)，記為：集稱為開區(qū)域(如圖7-7)(3)閉區(qū)域集稱為開區(qū)域(如圖7-7)(3)閉區(qū)域開區(qū)域E加上E的邊界，稱為閉區(qū)域(如圖7-8)。(4)有界區(qū)域、無界區(qū)域如果區(qū)域E可以包含在以原點為中心的某一個圓內(nèi)無界區(qū)域。例3平面點集Et={(x,y)lx2+y2<1})&={(X,y)l/+y2>]}是無界區(qū)域。T (圖7-6)7.1.2二元函數(shù)的概念開區(qū)域與閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域。，則稱它為有界區(qū)域，否則，就稱為曷有界區(qū)域，而平面點集-----、、/*、 _—一、.一一一一(圖7-7)定義：設有三個變量x,y,z如果當變量x,y在一定的平面區(qū)域范圍。內(nèi)任意取定一z=/(x,y),其中x,y稱為自變量，z稱為因變量。自變量x,y的取值范圍。稱為函數(shù)的定義域，因變量z的取值范圍稱為函數(shù)的值域。二元函數(shù)在點(%0,打)的對應的Z的值稱為二元函數(shù)點(%,打)的函數(shù)值，記為：/(X。，〉。)，Z一或加。,")尸九例7設z=[=ln(x+y),求z|(|j)解:2(1.D解:2(1.DIn(l+l)=ln2類似地，可以定義三元函數(shù)〃=/(x,y,z)以及〃元函數(shù)y=/(七,》2，*3…，二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。同一元函數(shù)一樣，定義域和對應規(guī)則是二元函數(shù)的兩個要素。如果在寫函數(shù)時沒有注明函數(shù)的定義域，那么，二元函數(shù)的定義域仍然是指使函數(shù)有意義的一切點組成的平面點集。下面列舉幾個二元函數(shù)的例子，討論它們的定義域。例8求下列函數(shù)的定義域。，并化出。的圖形：11 ,,(1)z=—： 7 <2)z=, =+ln(x-+y--2)/+/ ^-x2-y2(3)z=arcsin—4-arcsin—5 4解：(1)因為要使函數(shù)Z=f~~5?有意義，應有：/+y2這就是函數(shù)的定義域，即在平面上除去原點(0,0)外的部分，或表示為O={(x,y)l/+y2#0}(如圖7一10)(圖7-10)A

(圖7-10)(2)要使函數(shù)2=/ 1 =+111(/+V(2)要使函數(shù)2=^9-x2-y29-x29-x2-y2>0

x2+y2-4>0,即4<》2+y2<9,所以函數(shù)Z的定義域為:D={(x,y)l-程。小結:作業(yè):教師:D={(x,y)l-程。小結:作業(yè):教師:課程：數(shù)學班級:教學時數(shù)：2-5<x<5 ,?)(如圖7-12)-4<y<4在討論一元函數(shù)時，由于建立了函數(shù)與平面曲線之間的聯(lián)系，使我們能夠比較直觀地討論?些問題，現(xiàn)在考察二元函數(shù)的圖形，由于二元函數(shù)有三個變量，所以平面直角坐標系是不夠用的，而需要空間直角坐標系才能表示出函數(shù)z=/(x,y)的圖形。設函數(shù)z=/(x,y)的圖在平面區(qū)域。上有定義，Oxyz為空間直角坐標系。在區(qū)域。內(nèi)任取一點M(x,y),求出相應的函數(shù)值z，于是得到空間直角坐標系中的一點P(x,y,z)，(如圖7-13所示)。當點M跑定義域。時，對應的點P(x,y,z)的軌跡一般來說就構成空間的一個曲面。這就是說，對于二元函數(shù)，它的幾何圖形可以用空間坐標系中的一個曲面來表示,而定義域0恰好就是這個曲面在xOy平面上的投影。因此有時也把z=/(x,y)叫做曲面方1、平面點集和區(qū)域、鄰域等概念2、二元函數(shù)的概念習題12-1(2)師教案

第周星期 第節(jié) 授課方法 講授章節(jié)、課題 第九章二元函數(shù)微積分學初步 12.1二元函數(shù)的概念目的要求”1、掌握二元函數(shù)的極限的概念.理解二重極限和二次極限區(qū)別.掌握二元連續(xù)函數(shù)的概念及其在有界閉區(qū)域上的性質孜學重點二元函數(shù)的極限的概念教學難點二重極限和二次極限區(qū)別教具」常規(guī)教學刁題或實驗習題12-1(3,4)課后記錄聯(lián)系一元函數(shù)的極限的求法，求某些二元函數(shù)的極限。共頁復習：1、平面點集和區(qū)域、鄰域等概念2、二元函數(shù)的概念一、二元函數(shù)的極限定義：設函數(shù)z=/(x,y)在點與(Xo，y())的某一鄰域內(nèi)有定義,P(x,y)該鄰域內(nèi)異于

R的任意一點,如果點P以任何方式趨近于與時，函數(shù)的對■應值/(尤,y)趨近于?個確定的常數(shù)A，則稱A是函數(shù)z=/(尤,y)當xf yf兒時的極限(又稱二重極限)，記作limf(x,limf(x,y)=A或XTX。)f0這里應該注意，/(x,y)趨近于［)(%,%)是指點P與點外的距離趨于零，如果記:P(P,Po)=yl(x-x0)2+(y-y0)2因而0(P,4)->0也與|x-x0|r0,|y-y0|r。等價。求證：職f(x,y)=0y-?O,5,i, 譙〃、求證：職f(x,y)=0y-?O例1設/(3)=恒+y2 '0x=y=O證因為|/(x,y)-0|= -0=下土山引冰W+Nx十yx十y所以，當X和y趨近于o時，必有/(x,y)趨近于0,故得U%f(x,y)=05-?0例2設/(x,y)=(x+y)sin—sin—,求證lim/(x,y)=0xy ；^o證因為\f(x,y)-0|=|x+y|sin-sin-<|x|+|y|,所以當x和y都趨近于。時，必有/(x,y)趨近于0,故得1,用f(x,y)=0例3設/(%月=4犬+%求證1即/(尤,丁)=6。y-+2證因為|/(x,y)-6|=|4x+y-^=|(4x-4)+y-2|<4|x-l|+|y-2|.所以，當x-l,y—2時，必有/(x,y)趨近于6,故得也P/(X，V)=需要注意的是在二元函數(shù)得極限定義中，點尸必須以任何方式趨向于外，例如可以沿任何直線，也可以沿任何曲線趨于不，而/(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)A。對一元函數(shù)極限來說，P僅需沿著X軸趨向于4而對于二元函數(shù)，如果P沿不同的方向或路線趨近于8時,所得的極限值不同，那么二重極限也就不存在。1r.x,y不同時為0例4/(x,y)=-^x2+y2x=y=OIo'當點P沿直線y=mx趨近于原點(0,0)時，有,. 、x-mxmx2 inf(x,y)=- = z~~7t ,x2+(mx)(l+m)x2l+m~因此，沿直線y=mx趨近于原點(0,0)時，/(x,y)趨近于一個與m有關的常數(shù)，它隨直線的斜率m的變化而不同，所以二重極限lim/(x,y)不存在。二.二重極限和二次極限對二元函數(shù)還有一種極限，其自變量x與y是先后相繼地趨于各自極限與和光，這種極限叫做二次極限，它不同于二重極限，但與二重極限有著密切的關系。定義：對二元函數(shù)/(x,y),先將y固定，視為x的函數(shù)，再求xfx°的極限，得極限函數(shù)F(y),然后令yf 若有極限A,則這個極限就稱為二次極限，記為limlimf(x,y)=A,y-?y0xtxo類似地可定義另一二次極限limlimf(x,y)=BXT%y->y0由上述定義可知，二次極限limlim/(x,y)=A和limlim/(x,y)=3的特點是x、y分先后變化且相繼趨于各自的極限X。、先，因而/(X,y)在先后相繼二次求極限的過程中都只是一個一元函數(shù)。例5求;二1加由士空T—t(x+y)?加lim1加/y+孫2_|jm /_2_2-__：-21T(x+y)2=T(_]+田2—(_1+2)2―一°

對于二次極限，應注意以下幾點：1)在求極限過程中，不能隨便變換求極限的次序,否則可能要造成錯誤。2 2iimlimx-y+尤+y-DyT)limX對于二次極限，應注意以下幾點：1)在求極限過程中，不能隨便變換求極限的次序,否則可能要造成錯誤。2 2iimlimx-y+尤+y-DyT)limX+X _lim\->0 -x->0(l+x)=lo2 2lim? +y-但 —x+y2-y+y=；%(y-D=-ix?y->0o 2 2二limiimx—y+r+VV—)0r^Ofx+y例7已知f(x,y)=ysin—(x0)limHm v\=limlimx-X))T)J(X，y)-j0,t)ysinL譬0=0Xlimhm x__lim1加.i

ysmlimhm x__lim1加2)二重極限與二次極限關系較為復雜，一般不能由一種極限的存在去斷定另一種極限是否存在。例8函數(shù)/(x,y)=的兩個二次極限均存在:_J"*2 .y->0U—Ulim"imX〉_limr\_rjx->0v->0 7―x->0U_J"*2 .y->0U—Ux+y但這個函數(shù)在(0,0)點的二重極限不存在例12設/(x,y)=ysin'(xH0)。由于ysin—<所以當xf0,y-0時，必有/(x,y)趨近于0,故二重極限為limysin^=0。-0Jy-?0但由例112討論知道二次極限:Iim,im.V->0y->0不過，在一定的條件下，二重極限和二次極限還是有密切聯(lián)系的，這就是下面的定理:定理若/(x,y)的二重極限存在：［螞，f。,y)=AyTy。且對任一y,存在關于X的單重極限尸(四二:二與f(x,y)則二次極限售入⑴二口…/(%,y)存在且等于二重極限。即lim ..［加_o/U,yXyo_o/(x,y)=Ay->yo在上述定理中，只要把條件“對任一y,存在關于X得單重極限f(y)=lim/(九,y)”改成:“對任一X,存在關于y的單重極限。(％)=；二為f(x,y)”，則有l(wèi)im..lim"a，y)U%，y)=A。y-%上述定理結論表明，只要二重極限存在，并且能夠求出相應的二重極限，則二重極限就等于這個二次極限，這就是說，我們可以求二重極限的問題轉化為計算二次極限的問題。解在例前面例題中，我們已經(jīng)證明這個二重極限是存在的，而關于變量x(或y)的單重極限明顯存在，故可把二重極限化為二次極限來計算，limx2y x2vio—5 7=limlim—~~~=limO=0例23求lim(4x+y)。x—>!>->2解在例14中已證明這個二重極限存在，且關于變量y(或x)的單堇極限明顯也是存在的,故lim(4x+y)=limlim(4x+y)=lim(4x+2)=6xtI x-My->2 xtIy—>2三.二元連續(xù)函數(shù)的概念及其在有界閉區(qū)域上的性質有了函數(shù)極限的概念，很容易建立函數(shù)連續(xù)性的概念。定義：設函數(shù)/(x,y)在點〃0(%,打)及其附近有定義，且limf(x,y)=f(x0,y0)則稱函數(shù)f(x,y)在點(%,%)連續(xù)。XTR例24討論函數(shù)Xy x,y不同為0/(x,y)=/+2 ： 在原點的連續(xù)性。[0解在例15中已證lim/(x,y)=O又/(0,0)=0,故lim/(x,y)=/(0,0),x->0 xtOy->0 y->0因此，函數(shù)/(x,y)在原點連接。定義： 如果函數(shù)/(x,y)在區(qū)域D上每一點都連續(xù)，則稱它在區(qū)域D上連續(xù)多元連續(xù)函數(shù)也有與一元連續(xù)函數(shù)類似的性質，這里我們不加證明把多元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的性質敘述如下：最大最小值定理若函數(shù)/(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且它取到兩個不同的函數(shù)值,則它一定能取到這兩個函數(shù)值之間的一切值。推論(零點存在定理) 函數(shù)/(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且它取到的兩不同函數(shù)值中，一個大于零，另一個小于零，則至少存在一點使/C，y)=O。有界性定理若函數(shù)/(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。小結：一、二元函數(shù)的極限二.二重極限和二次極限三.二元連續(xù)函數(shù)的概念及其在有界閉區(qū)域上的性質作業(yè)：習題12-1(3,4)教師教案教師：課程：數(shù)學班級：教學時數(shù)：2第周星期AA- -44-第 節(jié)授課方法講授與自主學習結合章節(jié)、課題第九章二元函數(shù)微積分學初步12.2偏導數(shù)

目的要求”1、掌握偏導數(shù)的概念2、會求函數(shù)的偏導數(shù)3、理解偏導數(shù)的幾何意義積學重點會求函數(shù)的偏導數(shù)教學難點求函數(shù)的偏導數(shù)教具一常規(guī)教學刁題或實驗習題12-2(2)課后記錄學生學習積極性較高，氣氛活躍。共頁復習：1、二元函數(shù)的極限.二重極限和二次極限.二元連續(xù)函數(shù)的概念及其在有界閉區(qū)域上的性質前言：在一元函數(shù)微分學中，我們已經(jīng)知道，函數(shù)y=/(x)的導數(shù)(變化率)是研究函數(shù)的重要工具，它是一個十分重要的概念。多元函數(shù)也具有類似的概念。如果將多元函數(shù)除某個自變量外，其余的自變量都看作常數(shù)，則多元函數(shù)就成為關于該自變量的一元函數(shù)，它的導數(shù)，就是所謂的多元函數(shù)關于該自變量的偏導數(shù)問題。1、偏導數(shù)的概念定義：設函數(shù)z=/（x,y）在點。（A,九）的某個鄰域內(nèi)有定義，當y固定在為而x在與處給一個增量Ax時（其中點（y（）,Xo+Ax）在鄰域內(nèi)），相應地有函數(shù)關于x的增量（我們稱其為關于x的偏增量）"=/（尤o+-，為）一/（%,%）。A7如果當Arf0時，式子上的極限存在，即:若媽萼=螞"“°"史―）存在，則稱此極限是函數(shù)z=/?y）在點P（x0,yo）處對x的偏導數(shù)，記作：坐■xr或gx-x，或人（/,先）或4廠*Ryx~x°分丫x~x° “x、”，u， xx-x0產(chǎn)九 尸將 y=y。類似地，將無固定在x0,而在先處給一個增量Ay時，相應地有函數(shù)關于y的增量=f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0)存在，則稱此極限是函數(shù)Aya>-^oAy Ay—>0若極限lim-=lim存在，則稱此極限是函數(shù)Aya>-^oAy Ay—>0z=/（x,y）在點尸（的,％））處對y的偏導數(shù)，記作：$e0或?x=x?,或力（/，y。）或引1，TOC\o"1-5"\h\z?y=>'o ?y=>o y=>o如果函數(shù)z=/（x,y）在區(qū)域。內(nèi)每一點（x,y）處都存在偏導數(shù)人（x,y）、fy（x,y）,則這兩個偏導數(shù)本身也是定義在區(qū)域。上的函數(shù)，故稱它們?yōu)楹瘮?shù)z=/（x,y）的偏導函數(shù)，簡稱為偏導數(shù)，記作：dz df—5X— ；q或，（x,y）ox ox,或看；或/yEy）

偏導數(shù)的概念可以推廣到二元函數(shù)以上的多元函數(shù)，我們不再一一贅述。2、偏導數(shù)的求法由偏導數(shù)的定義可知，求多元函數(shù)對某一個自變量的偏導數(shù)時，只需將其它自變量看成常數(shù)，用一元函數(shù)求導法則即可求出。因而，求多元函數(shù)的偏導數(shù)可以按照一元函數(shù)的求導法則和求導公式進行。例1求Z=/y2+x+2y+l的偏導數(shù)包，曳。dxdy解：對x求偏導數(shù)，把y看成常數(shù)，得生=2xy2+i：dx對y求偏導數(shù)，把x看成常數(shù)，得包=2x^+2.dx例2求z=ln）的偏導數(shù)生，—。xdxdy解：—=--（-^-）=-1 （把y看成常數(shù)）dxyxxTOC\o"1-5"\h\zX1 1-= - （把X看成常數(shù)）dyyxy例3設〃=J/+y2+、2,求證:2 力11、2 1(—)+(—)+(—)=1dxdydz證明：?=2啟+；2+J'+，+z)=2& 1du同理，得里=②2y[x2 2 2+y+zd+T'S+ddu次2ylx2z z_2yjx2+y22z z_2yjx2+y2+z2u代入等式左邊，得:2 2 22 2 2x+y+z=1：2 'U所以，有:

(包)2+(曳>+(%2=］。oxoyoz例4以知理想氣體的氣態(tài)方程為PV=AT（R是不為0的常數(shù)），證明dPdV8VdT證明由尸=dPdV8VdT證明由尸="工p/RdPdVdTj， , * dVSTdPdT,—=—1dP有——=■RTdVV_^dVR有二~=一；dTP士打V有"Z-二一。dPRRTR_V2PVRT1—= =-1。RPV這個例子說明：偏導數(shù)空dx這個例子說明：偏導數(shù)空dxSz .學的記號是一個整體，不能看成是&與&或及與②的商。oyxy例5設xy例5設g(x,y)=(x2+y2,+y2H0；一，求g；(0,0)，g；(0,0)。0; x2+y2=0;解g；(0,0)=Um,(0+Ax,0)-g(0?0)=1.m0-0解g；(0,0)=UmAvA—oAxAv同理可求得：g；.（0,0）=0o于是函數(shù)g（x,y）在點（0,0）處存在兩個偏導數(shù)。但是,當函數(shù)沿著直線八'向點曲。）靠近時’當函數(shù)沿著直線八'向點曲。）靠近時’有則8（2）=吧心71y（。,。），所以y->0y->0函數(shù)在點（0,0）處不連續(xù)，本例說明：多元函數(shù)的偏導數(shù)存在，并不能保證函數(shù)在該點連續(xù)，這與一元函數(shù)有本質的區(qū)別。3、偏導數(shù)的幾何意義二元函數(shù)z=/（x,y）在點P（與廣。）處有著明顯的幾何意義：在空間直角坐標系中，設二元函數(shù)z=/（x,y）的圖象是一個曲面S,則函數(shù)z與平面y=汽相交的曲線。于是/；（%,%）就是導數(shù)/：（%,打）實際上就是一元函數(shù)z=/（尤,%）與平面y=汽相交的曲線。于是/；（%,%）就是\z=f（x,y）曲線《 ,在點（尤0，方，/（飛，%）處的切線的斜率。Iy=%Z=fixy）（如圖7-17）。同理，偏導數(shù)/；（%,光）就是1 在點的切線的斜x=x0率。小結：1、偏導數(shù)的概念2、偏導數(shù)的求法3、偏導數(shù)的幾何意義教師教教師：課程：數(shù)學班級：教學時數(shù)：2第周星期第節(jié) 授課方法講授與練習結合作業(yè)：習題12-2（2）第周星期第節(jié) 授課方法講授與練習結合第周星期 第節(jié)授課方法講授與練習結合章節(jié)、課題第九章二元函數(shù)微積分學初步 12.2偏導數(shù)目的要求掌握高階偏導數(shù)的定義及求法

積學重點高階偏導數(shù)的定義及求法教學難點高階偏導數(shù)的定義及求法教具一常規(guī)教學刁題或實驗習題12-2(4)課后記錄進一步熟練高階偏導數(shù)的求法。共頁前言：1、偏導數(shù)的概念2、偏導數(shù)的求法3、偏導數(shù)的幾何意義高階偏導數(shù)Qz Qz函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)舁=ox oy一般來說仍然是x,y的函數(shù)，如果這兩個函數(shù)關于x,y的偏導數(shù)也存在，則稱它們的偏導數(shù)為z=/(x,y)的二階偏導數(shù)依照對變量不同的求導次序，二階偏導數(shù)有下列四個：其中/；,(%,y)與(x,y)稱為二階混合偏導數(shù)。類似地，可以定義三階，四階……n階偏導數(shù)。二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)。而/；(x,y)與f；(x,y)稱為z=/(x,y)的一階偏導數(shù)。例6求函數(shù)z=3x、3+sin盯+7的二階偏導數(shù)。z及￡ 3. &n22.解：一=oxy+ycosxy,—=9xy4-xcosxy.dx dy次aa3， 、 (3 2?—=—(oxy4-ycosAy)=oy*—ysinxy;dxdx"a?zez3, 、io2. =一(oxy4-ycosAy)=18xy+cosxy-Aysinxy;dxdydy———=一(9x2y2+xycosxy)=18xy2+cosxy—xysinxy\dydxdxd~Z5 22 2?=—(9xy4-xcosxy)=18xy-i-cosxy-xsinxy;上例中兩個二階混合導數(shù)相等，即dxdydydx三=亙幺不是偶然的，事實上，二階混合偏導數(shù)在在連續(xù)的條件下，與求導次序無dxdydydx關。于是我們得到如下的定理：定理：設函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域。內(nèi)連續(xù)，并且存在一階偏導數(shù)及二階混合偏導數(shù)與/＞：(x,y)，如果在某點(尤0，%)e。，這兩個混合偏導數(shù)連續(xù)，則必有：

例7設乙=arctan）,試求

例7設乙=arctan）,試求

xd2zd2

dxdy，dydxdz1 1=d_y=x2+y2-y-2y=V

dxdydyx2+y2(x2+y2)2 (x2+y2)2d2zdxx2+y2-x-2xy2-x2dxdydxx2+y2(x2+y2)2 (x2+y2)2例8驗證函數(shù)z=lnji+y2滿足方程+dx2dy2證z=ln(x2+y2)；dz12xxd2zx2+y2-x-2xy2-x2dx~2'<2+y2-<2+y2，彭-一-(jr2+y2)2 -(X2+j2)2dz_12y_y _x2+y2_y.2y_x2_y2dx2x2+y2x2+y2'dy2(x2+y2)2 (x2+y2)2d2z82zy2-x2x2-y2 z-T ——— T -0小2 力2 (J+y2)2，+y2)2小結：高階偏導數(shù)作業(yè)：習題12-2(5)教師教嚎教師： 課程：數(shù)學班級： 教學時數(shù)：2第周星期 第節(jié)授課方法講授與練習結合章節(jié)、課題第九章二元函數(shù)微積分學初步12.3全微分目的要求必1、掌握全微分的概念，會求全微分2、函數(shù)在某一點處可微與連續(xù)關系3、理解可微的充分條件4、掌握全微分在近似計算中的應用以學重點全微分的概念及全微分求法

教學難點全微分的概念，全微分在近似計算中的應用。教H-常規(guī)教學<|題或實驗習題12-3(5)課后記錄進一步理解微分概念，加強應用。共頁前言：我們已知，一元函數(shù)y=/(x)在點x=x0處可微分，是指如果函數(shù)在x=x0處的增量Ay可以表示成Ay=4Ax+o(Ax)其中。(Ax)是Ax的高階無窮小，即［im"~-=0>那么AAr函數(shù)y=/(x)在x=X。的微ajoZ分,記為：dy=f\xQ)dx1、全微分的概念如果二元函數(shù)z=f(x,y)在點(%0，汽)處的全增量&可以表示為：Az=AAx+BAy+。(夕)其中A,8與Ar,Ay無關，。(夕)是。=｝以尸+(與產(chǎn)的高階無窮小,即lim姐=。，"—>0P則稱二元函數(shù)z=/(x,y)在點(乙,%)處可微分，其中4Ax+BAy稱為函數(shù)z=/(x,y)在點(x()，M))處的全微分，記為此,即dz=4Ax+8Ay。

如果函數(shù)z=/(x,y)在點(%,汽)處存在全微分dz=4"+8Ay。那么A=?與8=?呢？下面的定理回答了這個問題：定理如果函數(shù)2=/(x,y)在點(須),九)處可微，則函數(shù)z=/(x,y)在點(%,先)處的偏導/毒存在而且A*o_/毒存在而且A*o_&（%%）'~~dy（x。％）證明因為函數(shù)z=/(x,y)在點(與，打)處可微，所以其全增量可以表示為:Az=AAx+B\y+。（2）其中，A,B與Ar,Ay無關，lim幽=°，"TOP上式對任意的都成立，則當Ay=0時也成立，這時全增量轉化偏增量AXZ=f(x0+Ax,y0)-f(x0,y0)=AAx+o(p),而夕=|Ax|兩端同除以Ar得4s=A+幺^,AxAxArZ 。(夕)、A-O(p).因而hm^7=hm(A+-^7)=A+hm^r=AAr->0 Ar->0 ^tORn人dz即：A=—dx(*M)同理可證8=， 由此可知，當z=/(x,y)在點(％,打)處可微時，必有dx5%)dz——\(rv\垃~1 ,、Ay3x,(0)0)dy(*。)'。)3z?dz.像一兀函數(shù)一樣，規(guī)定Ax=dx,Ay=dy則dz=—|(JCoV()),t/x+—dy,(Wo)如果函數(shù)z=/(x,y)在區(qū)域。內(nèi)每一點都可微，則稱函數(shù)z=/(x,y)在區(qū)域O內(nèi)可微。2、函數(shù)在某一點處可微與連續(xù)關系定理：如果函數(shù)z=/(x,y)在點(與，打)處可微，則函數(shù)z=/(x,y)在點(/，打)處連續(xù)。證明由函數(shù)z=/(x,y)在點*0，%)處可微，可得Az=AAx+BAy+o(p),其中l(wèi)im￥=。p-?oP所以limAz=lim(A-+8Ay)+limo(p)=°AxtO AxtO p->0Ay->0 Ay->0即：函數(shù)z=/（x,y）在點（%,汽）處連續(xù)定理也告訴我們，如果z=/*,y）在點（%,打）處不連續(xù)，則/（x,y）在（％,光）處不可微。一元函數(shù)中，可微與可導是等價的，但在多元函數(shù)里，這個結論并不成立，例如：由第-1+2工。二節(jié)的例子知道g（x,y）=?/+/， ,在點（0,0）處的兩個偏導數(shù)存在，但是[0,x2+y2=0g（x,y）在點（0,0）處不連續(xù)，由定理可知g（x,y）在點（0,0）處不可微，因此兩個偏導數(shù)存在只是函數(shù)可微的必要條件，那么，全微分存在的充分條件是什么呢？3、可微的充分條件定理（可微的充分條件）如果函數(shù)z=/（x,y）在點（/，兒）的某一領域內(nèi)偏導數(shù)絲，掙oxdy連續(xù)，則函數(shù)z=/（x,y）在點（%,汽）處可微，（證明略）常見的二元函數(shù)一般都滿足定理的條件，從而它們都是可微函數(shù)，二元函數(shù)全微分的概念可以類似地推廣到二元以上函數(shù)，例如三元函數(shù)〃=/（x,y,z）如果三個偏導數(shù)合”學連續(xù)，則它可微且全微分為dxdydz.du.du.du.du=—dx+—ay4-—azdxdydz例1求函數(shù)z=2在點（2,1）處當Ar=0.1,Ay=—0.1時的全增量與全微分。X解：全增量加=上±&-2=上囚?一」=一0.071。x+Axx2+0.12因為含心.=一點|。,1）=_；=旬-25,=—|(2i)=—=0.5.xl(2J)2所以全微dz/|(2j4+/j)Ay=-0.25x0.1+0.5x(-0.1)=-0.075.例2求函數(shù)Z= 的全微分dz。解因為—=2yx2＞，-1,—=2x2yInx,dx dy所以dz=2yx2y~ldx+2x2y\nxdy.例3求函數(shù)w=/+sin2+arcfgX的全微分2y解因為dudu1yzduy—=2x,—=-cos -,—= —,dxdy2 2y+z'dzy+z所以du=2xdx+（—cos- d--）dyH—--dz.Az2 2y+z'y+z4、全微分在近似計算中的應用由于函數(shù)Z=/（x,y）在點（x。,%）處的全微分與全增量之差。（夕）是p的高階無窮小,所以當|叔|、|Ay|很小時，常用全微分dz代替全增量Az：△z?dz,即?fx（X0+Jo）+fy（X0>Jo）^- （7T）所以/(x0+Ax,y0+Ay)-/(x0,y0)

工f(X。，%)-+f'x(%,y0)△%/(x0+Ax,y0+Ay)a/(Xo,%)+￡(%,%)+f；(x()，%).令x=/+Ax,y=%+△》.得函數(shù)值得近似公式：f(x,y)?f(x0,y0)+f-(x0+y0)-(x-x0)+f'y(x0,y0)-(y-y0) (7—2)例4計算7(1.01)3+(1.98)3的近似值解把J(1.01)3+(1.98)3看成是函數(shù)z=Jx3+V在x=1.01,y=1.98處的值/(Xo+汽)=Jr+2*=3.力(尤0，%)力(尤0，%)=3x22^x3+y3x=l尸2矛=1尸2=2.利用公式(7-)得7(1.01)3+(1.98)3?3+1(1.01-1)+2(1.98-2)=2.97.例5設圓錐得底半徑r由30厘米增加到30.1厘米，高h由60厘米減少到512.5厘米，試求體積變化得近似值。解圓錐體積計算公式為：V=—7JT~h,

3取“=30,%=60,則=0.1,Ah=-0.5,因為dV2,Wr=30=~^r=30=1200萬，TOC\o"1-5"\h\zor 3/i=60 /i=60SV 1 2r=3O=-^X3。=300乃,°”h=60 3 h=60山公式(7一)得AV=1200%x0.1+3001(一0.5)=-30%(厘米3)工-94.3(厘米3)

即體枳減少約124.3厘米3。小結：1、全微分的概念2、函數(shù)在某一點處可微與連續(xù)關系3、可微的充分條件4、全微分在近似計算中的應用作業(yè):習題12-3(1)教師教案教師：課程：數(shù)學班級：教學時數(shù)：2第周星期 第節(jié) 授課方法講授與練習結合**、果新 第九章二元函數(shù)微積分學初步早R'怵型 12.4二元復合函數(shù)及隱函數(shù)求導法則目的要求41、掌握二元復合函數(shù)求導法則2、掌握隱函數(shù)的求導法則積學重點1、掌握二元復合函數(shù)求導法則2、掌握隱函數(shù)的求導法則教學難點掌握二元復合函數(shù)及隱函數(shù)求導法則教具常規(guī)教學刁題或實驗習題12-4(2,4)課后記錄加強練習，熟練掌握二元復合函數(shù)及隱函數(shù)求導法則共頁復習：1、全微分的概念2、函數(shù)在某一點處可微與連續(xù)關系3、可微的充分條件4、全微分在近似計算中的應用前言：在第三章里，我們學過一元函數(shù)的復合函數(shù)求導法則，如果函數(shù)y=/(”)對〃可導、U=夕(X)對X可導，則—==f(M)-(P(X).dxdudx下面我們討論多元函數(shù)的復合函數(shù)求導問題：1、二元復合函數(shù)求導法則設函數(shù)Z= 通過中間變量〃=夕(尤,>)及"=〃(x,y)而成為x,y的復合函數(shù)，z=f［0(x,y)M(x,y)］。定理：設〃=Q(x,y)和.v=材(》.>)在點(x.y)存在偏導數(shù)，z=/(““)在對應點(〃,v)處有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=/@(x,y),〃(x,y)］在點(x,y)的偏導數(shù)存在，且有求導公式dz dzdu dzdvdz dzdu dzdv .—= 1 ,—= F (7-3)dx dudx dvdxdy dudy dvdy從定理看出，多元復合函數(shù)求偏導數(shù)的關鍵是弄清中間變量，自變量以及它們之間的關系。為了形象地表達它們之間的關系，可以畫出復合關系圖，式(7-2)的復合關系圖(如圖7?18)(圖7?18)由復合關系圖可以寫出求導公式，在求z對x的偏導數(shù)時，只要從z開始，按圖7-18中的路線找出到達x的所有路徑，每一條路徑即為公式的一項，項與項相加，而每一項就是一條路徑中各復合步驟所得導數(shù)的連乘積。例1設z=e"cost/,”=x-2y,v=孫,求一,一dxdy解函數(shù)z的復合關系見圖7-18,由圖寫出公式：dzdzdudzdvdzdzdudzdv— + _. + dxdudxdvdxdydudydvdymadzv.dzvdu.dundvdv因為——=—esinw,—=ecost/;——=1,——=—2,—=y,—=xdu dy dxdydxdy所以一=-evsinw-1+evcoswy—ye-cos(x-2y)-esin(x-2y),dx—=-evsinw?(-2)+"cosu-x=2exysin(x-2y)+xexycos(x-2y)如果z=/(〃?)，而〃=,則復合函數(shù)z=的偏導數(shù)為dz__dzdudzdvdz_dzdvdxdudxdvdxdydvdyTOC\o"1-5"\h\z這時，z,〃，匕之間的關系為(圖7?112) ,X例2設z=(x+2y廣，求紇生 (圖7-1⑵dxdy )解：引入中間變量〃=x+2y,v=x,則2=〃"由復合函數(shù)鏈式求導法則(如圖7-112)dzdzdu dzdvdz dzdv?—= + = dxdudxdvdxdy dvdy屁什dzidzv.dududv此時一=vu,—=uInw,—=L—=2,=1du dv dxdydx

因此，，=Vuv-l+uv\nu=x(x+2y)1+(x+2y)xln(x+2y)dx匕==2Nx+2y)*T特別地，如果z=/(w,v),而〃=(p(x),v=y/(x),則復合函數(shù)z=/［夕(x),〃(x)］就是x的一元函數(shù)，這時z對x的導數(shù)稱為全導數(shù)，即：(圖7-20)dz_dzdu+改dydxdxdxdydx(圖7-20)這時，冗之間的關系(如圖7-20). dz例3設2=X‘，x=sinr,y=cost,求一。dt解：由公式蟲=當也+器也有：dxoxdxdydx—=yx'Tcosr+xvlnx-(—sin?) =yx>~|cosz-x'sinrlnxdt定理可以推廣到中間變量和自變量不是兩個的情形。利用復合關系圖也可以類似地寫出求導公式。例如設2=f{u,v,(o),u=(p［x,y),v=i//(x,y),a)(x,y),(圖7-21)則復合函數(shù)z=f[(p(x,y),y),a)(x,y)J的復合關系圖如圖7-21所示。(圖7-21)由圖可以寫出公式：TOC\o"1-5"\h\zdz dz du dzdv dz do)—=--+—,+--—dx du dx dvdx dco dxdz dz du dzdv dz dco—= + + dy du dy dvdy dco dydFdFdF例4設尸=/(x,盯，町z),計算不一,二,二-oxoyoz解：令“=x,v=孫0=;cyz，于是尸=/(〃,VM)并用力',月J；分別代替理，笠，笠有dudvoz(如圖7?21)：dFdfdudfdvdfdco,,1， ,，大一二三-w+ww+w--z-=力+%?y+73?丹dxdudxdvdxdcodx=f；?x=f；?x+f；?xzdFdfdudfdvdfdco rt—=— +— +— =f；?xydz dudzdvdzdcodz2、隱函數(shù)的求導法則一元隱函數(shù)的求導公式在3.4節(jié)中，我們學過一元隱函數(shù)求導法，但沒有給出一般的求導公式?，F(xiàn)根據(jù)復合函數(shù)的求導法，給出一元隱函數(shù)的求導公式。設方程尸(x.y)=0確定了函數(shù)y=y(x),將它代入方程成為恒等式F[x.y(x)]=0上式左端看作是X的一個復合函數(shù)，兩端對X求導得更=F；+.蟲=odx dx若工'#0則得一元隱函數(shù)的求導公式生=-與dxFy例5.設//一/一,4=]6求空dx解令/(工〉)=//一/一、4=16則F；=2xy2-4一,耳=2/y-4y3dy_F；_2xy2-4x3_21-町？dx~一元~~2x2y-4y3~x2y-2y3讀者可以用一元函數(shù)的方法求出同樣的結果。，二元隱函數(shù)的求導公式設方程F(x,y,z)=0確定了隱函數(shù)Z=/(x,y)且F；,F；,F!連續(xù)，F(xiàn)；H0。將z=f(x,y)代入方程F(x,y,z)=0得恒等式尸[x,yJ(x,y)]=0對上式兩端分別關于x、y求偏導，得：—=F；+F；—=0,—=F；+F!—=0,因為K'hO,所以有二元隱函數(shù)的求導dx dxdyydy八43z F；dz Fy公式：—=—^，—=~ox F,oy F_例6.設2,=必求電，包dxdy一戶”解：令尸(x,y,z)=z*-歹,則尸；=z*lnz,P： 尸；=xz*t一戶”由二元隱函數(shù)求導公式，有包=上=z'lnzdxF；xzx~'-y"Iny包== z尸dyF':xzx'x-yz\ny例7.設/+y2+z2=2乂求白dx2解：令尸(國K%)=/+/+3一2%則F；=2x-2=2(x-\),F!=2z1 (-l)-z-(l-x)-^--z-(l-x)~~~-TOC\o"1-5"\h\z0z_ dr z_c2l八 2 2dxz z zz2+(l-x)2

[3Hzdz例8.設尸(x-y,y-z)=0確定了隱函數(shù)z=z(x.y)求證＜+k=1dxdy證：設〃=x-yj=y-z則尸(〃#)=0產(chǎn)，=F'包+尸，=_尸'0=_尸，+F'yu vv uvdxF；F；：dyF；小結：1、二元復合函數(shù)求導法則2、隱函數(shù)的求導法則

作業(yè)：習題12-4(3,4,5)教師教嚎教師：課程：數(shù)學班級： 教學時數(shù)：2第周星期 第節(jié) 授課方法講授與練習結合上、申. 第九章二元函數(shù)微積分學初步早干'課題 12.5二元函數(shù)的極值目的要求據(jù)1、掌握二元函數(shù)的極值的定義、極值的必要條件、極值存在的充分條件2、會求二元函數(shù)的極值我學重點會求二元函數(shù)的極值教學難點極值的必要條件、極值存在的充分條件教具一常規(guī)教學刁題或實驗習題12-4(1)

課后記錄通過與一元函數(shù)的對比，理解二元極值的必要條件、極值存在的充分條件。共頁復習：1、二元復合函數(shù)求導法則2、隱函數(shù)的求導法則前言：在前面的第四章中，我們曾經(jīng)應用導數(shù)求一元函數(shù)的極值和最值問題，類似地，我們也可以用偏導數(shù)求二元函數(shù)的極值。1、二元函數(shù)的極值的定義定義：設函數(shù)z=/（x,y）在點（%0,為）的某個鄰域內(nèi)有定義，對■于該鄰域內(nèi)任何異于（見,%）的點（x,y），如果都有/1（x,y）4（（xo，y（））則稱函數(shù)/（x,y）在點（%,%）有極大值/（%,汽）；反之，若成立則稱函數(shù)在點（/，%）有極小值/（%,九），使函數(shù)取極值的點（尤。,%）稱為函數(shù)的極值點。同一元函數(shù)一樣，在上述定義中仍要注意：一是極值點一定是區(qū)域的內(nèi)點，而不是邊界點。二是不等式/（蒼丫）4〃/，%））（或f（x,y）N/（Xo，yo））也只在（飛,?。┠硞€鄰域的局部范圍內(nèi)成立，不要求在函數(shù)整個定義域上成立。例1函數(shù)2=/（%,）0=/+）?2在點（0,0）處有極小值0,因為對于（0,0）點周圍的任何點（x,y）H（0,0）,恒有/（x,y）>7（0,0）=0。從函數(shù)圖形上看，（0,0）點所對應的原點（0,0,0）是開口朝上的旋轉拋物面的頂點（圖7-22）。例2 函數(shù)z=/（x,y）=j4_x2_y2在點（0,0）處有極大值2,因為對于點（0,0）周圍任何點（x,y）=（0,0）恒有f（x,y）<f（x0,y0）=2,這從函數(shù)圖象也可看出,此時點（0,0,2）是以原點為球心，半徑為2的上半球面的頂點（圖7-23）。（圖7-22）（圖7-23）（圖7-22）（圖7-23）上面兩個例子，由于函數(shù)比較簡單，所以利用極值定義就能判斷函數(shù)在何處取極值。2、極值的必要條件定理1（極值的必要條件）設函數(shù)z=/（x,y）在點。。，丫。）可微分（或存在偏導數(shù)）.且在點（尤0，%）處有極值，則在該點的偏導數(shù)必為零，即f ffx（X0，%）=fy（-^o，%）=。。將滿足，（x0,y0）=fy（%,先）=0的點（%，光）稱為函數(shù)/（x,y）的駐點，與一元函數(shù)類似，駐點不一定是極值點，那么在什么條件下，駐點是極值點呢？3、極值存在的充分條件定理2（極值存在的充分條件）設函數(shù)z=/（x,y）在點（%,打）的某個鄰域內(nèi)連續(xù)具有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又工（%,丫（））=0，fy（xo,yo）=O〃 ff ff記入（“0，%）=4，fry（%0,為）=8,fyy（x0,y0）=C,則（1）當B'-ACvO時，在點（與,光）處取極值，且當A<0時取到極大值，A>0時取到極小值：（2）當82-AC>0時，（%,九）不是極值點：（3）當B2-AC=0時，函數(shù)2=/。,>）在點（%,為）可能有極值，也可能沒有極值。（即（%,光）是否為極值點需進一步用其他方法判斷）。由定理1和定理2,求二元函數(shù)/（x,y）極值的步驟如下：1）根據(jù)函數(shù)極值存在的必要條件，求出可能的極值點（稱為駐點）；即求解方程組fxU,y）=0fy（x,y）=Q2）對于每一個駐點（x0,汽），求/（x,y）的二階導數(shù)A、B、Co3）由函數(shù)極值存在的充分條件，依據(jù)B?-AC的符號，確定（%,打）是否為極值點，若B2-AC<0,必為極值點，且A<0時為極大值，A>0時為極小值，若82-AC>0

不是極值點；若臺2一AC=0不能確定是否為極值點。4)計算函數(shù)/(x,y)對應于極值點(%,光)的函數(shù)值/(x0,y0)?例3求函數(shù)/(x,y)=4(x-y)-x2-y2的極值。解解方程組<f：=4-2x=°得駐點段？,”—？。(x,y)=-4-2y=。因為A=/?W(2-2)=-2<0,C=￡*”(2,-2)=—2<0,8=/二'(2,-2)=0,因此，對點(2,-2),82-AC=T<0,故(2,-2)為極值點，又由于A<0,故(2,-2)為極大值點，其極大值為/(2,-2)=4(2+2)-22-(-2)2=8。例4求函數(shù)/(x,y)二肛(。一工一y) 。工0的極值。解解方程組,[=￡4—)-孫=。得卜?；虿?。或或」3fy=x(a-x-y)-xy=0U-0(y=a=0\y=~即駐點為(0,0),(0,a),(-,-)033ft ff "因為fu=_2y,/yy=-2x,fg=a-x-y+(-y)-x=a-2x-2y對于(0,0)點：A=0,C=0,B=a,B2-AC=a2>0無極值;對于(0,對于(0,〃)點：A=0,C=-2a,B=-a,B~-AC=a2>0無極值;對于(a,0)對于(a,0)點：A=0 ,C=—a,對于(@,@)點：A=--a,C=--a

33 3 3B=—a,B~—AC—ci>0無極值；B2一AC=q2<0故在(g，W)處取得極值:嗎，/aa aa 13嗎，/—,—(a )=—a33 33 27且當a>0時，A<0,則/(1,1)是極大值:、當a<0時，A>0,則/(三，］)是極小值。小結：1、二元函數(shù)的極值的定義、極值的必要條件、極值存在的充分條件2、如何求二元函數(shù)的極值

作業(yè)：習題12-5(1)教師教案教師： 課程：數(shù)學班級： 教學時數(shù)：2第周星期 第節(jié) 授課方法講授與練習結合音斗、史面 第九章二元函數(shù)微積分學初步早吊、課就 12.5二元函數(shù)的極值目的要求j會求不同情況下的二元函數(shù)的最大值與最小值。以學重點求不同情況下的二元函數(shù)的最大值與最小值。教學難點求不同情況下的二元函數(shù)的最大值與最小值。教具」常規(guī)教學刁題或實驗習題12-4(2,3)課后記錄通過應用，激發(fā)同學們的學習興趣。復習：二元函數(shù)的極值的定義、極值的必要條件、極值存在的充分條件最大值和最小值在工程技術分析中，常常要求我們求出一個多元函數(shù)在某一區(qū)域的最大值或最小值，和一元函數(shù)一樣，若點a0，%)是函數(shù)Z=/(x,y)在區(qū)域D上的最大(小)值點，是指對于趨于D上的一切點(x,y)都滿足不等式f(x,y)<f(x0,y0) (f(x,y)>f(x0,y0)),多元函數(shù)的最大(小)值是整體性概念，而極值是局部性概念，兩者是有所區(qū)別的。如果函數(shù)Z=f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則必能在D上達到最大值和最小值。具體求最大(小)值點的方法與一元函數(shù)事的情形基本上一樣。如果我們假定下面所討論的函數(shù)Z=/(x,y)在區(qū)域D上有偏導數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)部達到的最大(小)值點必是極值點，當然也是駐點，依次，求函數(shù)z=/(x,y)在閉區(qū)域D上的最大(小)值可照如下步驟進行：1)解方程組.，J,(x,y)=0。求出駐點，并計算函數(shù)在這些點上的函數(shù)值；(x,y)=O2)求出函數(shù)/(x,y)在區(qū)域D的邊界上的最大(小)值，一般區(qū)域D的邊界是一條或幾條曲線所圍成的，而當二元函數(shù)限制在邊界上時就成為一個一元函數(shù)，故在這一步可用求一元函數(shù)最大(小)值的方法來做：3)將在1)和2)中得到的各點的函數(shù)值進行比較，最大(小)者即為最大(小)值。如果區(qū)域D是開區(qū)域，可將駐點的函數(shù)值與函數(shù)趨于邊界的極限值比較，若趨向邊界的極限值存在且比該趨于內(nèi)的最大值還大(或比最小值還小)，則此區(qū)域內(nèi)無最大值(或最小值)。若區(qū)域內(nèi)無極大值，則無最大值；若區(qū)域內(nèi)無極小值，則無最小值，也就不存在與邊界上的函數(shù)值相比較的問題，在解決實際問題時，往往根據(jù)問題的性質，已能判斷它是在趨于內(nèi)部而不是在邊界上取得最大值和最小值，那就只需做1)、3)即可。特別，如果函數(shù)在D的內(nèi)部有唯一的一個駐點，而根據(jù)實際問題的性質又可判定它是存在最大值或最小值的，則此駐點就是所求的最大值或最小值點。例5求函數(shù)f(x,y)=xy^\-x2-y2在區(qū)域D= y)|x2+y2<l,x>0,y>o｝內(nèi)的最大值。解求函數(shù)/(x,y)的一階偏導數(shù)，并令其等于零得

A(x,y)=A(x,y)=yy]\-x2-y2--=fy(尤,y)=y^-x2-y2x2y=o2 2x-y=02 2■x-y在區(qū)域D的內(nèi)部，故22=—<1,說明點(由于x>0,y>0,故可化為[2x2+y2=\[x在區(qū)域D的內(nèi)部，故22=—<1,說明點(解之得x=y=丁^o因為(7=)一+(是D是D內(nèi)的唯一駐點。易見這個函數(shù)在D內(nèi)是可微的，起最大值只可能在D內(nèi)的駐點和邊界上達到。因此，只要比較所有這些點上的函數(shù)值：在這唯一駐點在邊界一在這唯一駐點在邊界一+y2=1上：f(x,y)=0在另外二條邊界x=0或y=0上：f(x,y)—>0 (當x—>0或y—>0時)。經(jīng)比較,可見駐點是最大值點,該函數(shù)的最大值為一經(jīng)比較,可見駐點是最大值點,該函數(shù)的最大值為一1。3V3例6研究函數(shù)/(x,y)=^x2-xy+y2+3x的最小值與最大值解易見該函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)，故由方程組工(x,y)=x-y+3=0fy(x,y)=-x+2y=0解得唯一的一個駐點(-6,-3)。又因為4=f?(-6,-3)=1,B=fxy(-6,-3)=-1,C=/vv.(-6,-3)=2,B2-AC=l-lx2=-l<0,fiA>0,所以(-6,-3)是極小值點，極小值為/(-6,-3)=1(-6)2-(-6)(-3)+(-3)3+3(-6)=-9由于函數(shù)定義域為整個平面，當點(x,y)遠離原點(0,0)趨于無窮遠時，將會出現(xiàn)了(x,y)趨于正無窮大的情況，而不出現(xiàn)趨于負無窮大的情況。例如，固定y,令xf+oo,則/(x,y)->+oo,因此函數(shù)不可能有最大值?，F(xiàn)在函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一駐點(-6,-3),且是極小值，故也是函數(shù)的最小值點，其最小值為-12。例7.要制造一個無蓋的長方體水槽，已知它的底部造價為每平方米18元，側面造價為每平方米6元，設計的總造價為216元，問如何選取的尺寸，才能使水槽容積最大？解：設水槽的長、寬、高分別為x、y、z，則容積為U= (x>0,y>0,z>0)由題設知18xy+6(2xz+2yz)=216即3盯+2z(x+y)=36(1)36-3xy(1)2(x+y)代入V=xyz中，得二元函數(shù)V=352孫一丁「2x+y求丫對x,y的偏導數(shù)：dV_3(12y-2xy,2)(x+y)-(l2xy-x2y2)dx2 (x+y)2W_3g-2x2y)a+y)-gy-X2y2)dy2 (x+y)2dV dV令蕓=o,箸=0,得方程組dx dy(12y-2xy2)(x+y)-(12xy-x2y2)=0(12x-2x2y)(x+y)-(l2xy-x2y2)=0解之得：x=2,y=2。再代入(1)式中得z=3山問題的實際意義得知，函數(shù)V(x,y)在x>0,y>0時確有最大值，又因為V=V(x,y)只有一個駐點，所以取長為2米，寬為2米，高為3米時，水槽的容積最大。小結：如何求最大值和最小值作業(yè)：習題12-5(2,3)教師教案教師：課程：數(shù)學班級：教學時數(shù)：2第周星期 第節(jié)授課方法講授與練習結合

**、里朝 第九章二元函數(shù)微積分學初步早下、珠電 12.6二重積分的概念與性質目的要求"1＞理解二重積分的定義2、掌握二重積分的性質取學重點二重積分的定義教學難點二重積分的定義教具一常規(guī)教學刁題或實驗習題12-5(2,3)課后記錄讓學生通過實例，更好地理解二重積分的定義共頁前言：在一元函數(shù)積分學中已知，定積分是某種確定形式的和式極限，這種和式極限的概念推廣到定義在平面區(qū)域。上去，便得到二元函數(shù)的積分的概念。這就是我們要討論的積分問題。本節(jié)主要介紹二重積分概念、性質、計算方法及應用。二重積分的概念與性質（一）引入二重積分概念的實例.曲頂柱體的體積設有一立體，它的底是X。y面上的閉區(qū)域D,它的側面是通過D的邊界點與z軸平行于的柱面，它的頂面是以連續(xù)函數(shù)2=/(x,y)所表示的曲面，這樣的立體稱為曲頂柱體，這高度/(x,y)是變量，因此它的體積不能按此法定義和計算，可用與定積分概念中求曲邊梯形面積類似的思想和方法來解決。 (圖7-24)我們把區(qū)域。分成若干個小區(qū)域，由于/(x,y)在。上連續(xù)，因此它在每個小區(qū)域上的變化就很小，因而，可以用相應的平頂柱體的體枳近似代替每個小區(qū)域上的小曲頂柱體的體積，而且區(qū)域。分割得越細，近似值的精度就越高。于是通過求和、取極限就能算得整個曲頂柱體的體積，具體作法如下：任意分割把區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域……，卜3,分別以這些小閉區(qū)域為底，以過她們的邊界曲線且平行于Z軸的柱面為側面作小曲頂柱體這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個小曲頂柱體，(見圖7-24),顯然所求體積就是這n個小曲頂柱體體積的和。取近似值用Ao；表示第i個小區(qū)域，同時也表示第i個小區(qū)域的面積。當這些小閉區(qū)域的直徑?很小時，由于/(x,y)連續(xù)，對同一個小閉區(qū)域來說，/(x,y)變化很小，這時小曲頂柱體的體積可近似看作小平頂柱體的體積。在每個小區(qū)域△巧的內(nèi)部或邊界上任取一點?，7)，以/?,外)為高，以為底的小平頂柱體的體積為了?，切心?= n).我們用它近似代替第i個小曲頂柱體的體積。求和這n個小平頂柱體體積相加，得到n個小平頂柱體體積之和1=1可以認為是整個曲頂柱體體積的近似值。取極限將區(qū)域。無限分割，令n個小閉區(qū)域的直徑中的最大值(記作4)趨于零,當〃一+00,且/lfO時，如果式子f存在極限，則稱這個極限值就是<=|曲頂柱體的體積，用V表示，即v=limf/?,/）Acr,LoT.平面薄片的質量設有一平面薄片占有孫平面上的區(qū)域。（如圖7-25）,它的面密度為O上的連續(xù)函數(shù)TOC\o"1-5"\h\z〃（x,y）,求該平面薄片的質量。 f/ ）我們知道，對于質量均勻的薄片，該薄片的 （ /質量m=面密度x薄片面積，現(xiàn)在，由于薄片 1 ,的面密度〃（x,y）是。上的變量，因而不能用（圖725）上述公式，于是我們可仿照求曲頂柱體的思想方法求得，具體作法如下：分割把薄片（即區(qū)域D）任意分成n個小閉區(qū)域△/，△4，△%……，△?,用表示第i個小區(qū)域的面積。近似在每個小區(qū)域的內(nèi)部或邊界上任取一點（。,切），以〃（。，7）小?近似代替第i個小區(qū)域的薄片的質量：求和將〃個小區(qū)域的薄片的近似質量想加，得到即薄片的質量"~Z〃?，7）△5；1=1取極限當〃f8,/lf0時，若f〃（多，7）八巧存在極限，則稱此極限值就是薄片1=1的質量。即：加=!畫2〃（。，7）八5A->0/=，（-）二重積分的定義定義：設二元函數(shù)z=/（居y）在有界閉區(qū)域。上連續(xù)，將區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域???△2 , Acrn（i=l,2,3,…并以表示第i個小區(qū)域的面積,在kb]的內(nèi)部或邊界上任取一點(。,7)，作和f,力讓6,令2是小區(qū)域＞巴中直徑/=1的最大者，如果當〃-00,4-0時，和式￡/(配795存在極限，則稱此極限為函數(shù)

i=\z=/(x,y)在區(qū)域。上的二重積分，記為：JJ/(x,y)dcr，即D\\f(x,y)da=lim力&,%)軻。d 工其中/(x,y)稱為被積函數(shù)，/(x,y)dcr稱為被積表達式，dtr稱為面積微元，。稱為積分區(qū)域，JJ稱為二重積分符號。這時，也稱函數(shù)在O上可積。對于二重積分的概念，我們作以下幾點說明：(1)可以證明，當/(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)時，它的二重積分一定存在。今后我們討論的二元函數(shù)/(x,y)都假定在D上是連續(xù)的，因而二重積分一定存在。(2)當/(x,y)在區(qū)域D上二重積分存在時，其值與區(qū)域D的分割無關，因此我們選取便于計算的分割方法，如取兩邊平行于坐標軸的矩形作為小區(qū)域，則=(如圖7-26所示)，相應的二重積分就表示為jjf(x,y)dxdy。D(3)二重積分的幾何意義很明顯，當/(x,y)20時，二重積分JJ/(x,y0cr表示曲頂柱D體的體積；特別地，/(x,y)三1時，Jj7(x,yWcr表示積分區(qū)域D的面積

D(三)二重積分的性質二重積分具有與定積分完全類似的性質。以下假設函數(shù)均可積。性質1被積函數(shù)中的常數(shù)因子可提到積分號外來，即y)dcr=Ky)d(y。D D性質2被積函數(shù)的代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和，即“JJ"(x，y)土g(x,y)]db=Jj/(x,y)Jcr±JJg(x,y)dcr。D D D性質3如果區(qū)域D被連續(xù)曲線分成3,。2(如圖7-27所示)則有JJ7（X,y）db=JJ/（x,y）d（T+y）d（T。TOC\o"1-5"\h\zD Di D2性質4如果在區(qū)域D上，f（x,y）<g（x,y）,則JJf（尤,y）d（y<JJg（x,y）da.D D特別地,因為一|/。,了）|4/（乂月</（乂>0],所以有JJ/（x,y）db<y）|t/cr.D D性質5設M,m是/（x,y）在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值，b為區(qū)域D的面積，則mcf<jj/（x,y）Jcr<McroD此不等式稱為二重積分的估值不等式。性質6（二重積分的中值定理）設函數(shù)/（x,y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，。是區(qū)域D的面積，則在D上至少存在一點（虞〃），使下式成立：JJ7（x，y）db=/（g,〃）crD中值定理的幾何意義，以D為底，以7=/（占了）20為曲頂?shù)那斨w的體積等于同底的、高為/C，〃）的平頂柱體的體積。小結：1、二重積分的定義2、二重積分的性質教師教嚎教師：課程：數(shù)學班級： 教學時數(shù)：2第周星期第節(jié)授課方法講授與練習結合章節(jié)、課題第九章二元函數(shù)微積分學初步12.7二重積分的計算

目的要求”通過元素分析法，將二重積分的計算轉化為二次積分。積學重點將二重積分的計算轉化為二次積分教學難點確定積分次序，確定上下限。教具一常規(guī)教學刁題