(完整版)數(shù)列難題匯編詳解1

解：1解：—(4n3+13n2+13n)2—cos—nx+1用數(shù)學(xué)歸納法證明ngN時，(2cosx—l)(2cos2x—1)…(2cos2n-i?x—l)=—cosx+1.一、、—cos—x+14cos—x-1一.，、.證明：1)當(dāng)n=1時，左式=2cosx—l,右式二==2cosx—1,即左式二右—cosx+1—cosx+1式，???等式成立.2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即—cos—kx+1(2cosx—1)(2cos2x—1)???2cos2k-1?x—1)=一—cosx+1當(dāng)n=k+1時，左式二(2cosx—l)(2cos2x—l)???2cos2kt?x—1)?(2cos2k?x—1)=—cos—kx+—cos—kx+1—cosx+1(2cos2k?x—1)=4(coskx)—-1—cosx+1”1+cos—?—kx+144?-1——cosx+1—?cos—k+1?x+1=/.n=k+1時等式成立.—cosx+1由1)、2)可知，對ngN時等式成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明32n+2—8n—9(nGN)能被64整除.證明：1)當(dāng)n=1時，32X1+2—8X1—9=64,能被64整除，?n=1時命題成立.2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即32k+2—8k—9(k21)能被64整除，則當(dāng)n=k+1時32(k+1)+2—8(k+1)—9=9?(32k+2—8k—9)+64(k+1)能被64整除,n=k+1時命題成立.由1)、2)可知對一切自然數(shù)32n+2—8n—9能被64整除求實數(shù)a,使下面等式對一切自然數(shù)n都成立：111n—+an++■■■+二—1?—?3—?3?4n(n+1)(n+—)4(n+1)(n+—)1a+1a+11解：當(dāng)n=1時，左式=7,右式二?由二丁解得a=3.64?—?34?—?36下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)a=3時原式對一切自然數(shù)n都成立.n=1時，同上述知等式成立.假設(shè)n=k時，等式成立，即111k—+3k++■■■+=——1?—?3—?3?4k(k+1)(k+—)4(k+1)(k+—)則當(dāng)n=k+1時,左式=11左式=+…+k(k+1)(k+—)+(k+1)(k+—)(k+3)k—+3k1(k+1)(k—+5k+4)(k+1)—+3(k+1)=+==4(k+1)(k+—)(k+1)(k+—)(k+3)4(k+1)(k+—)(k+3)4(k+—)(k+3)?當(dāng)n=k+1時等式成立.由1)、2)可知當(dāng)a=3時，對ngN時等式成立.56.下述證明方法是否是數(shù)學(xué)歸納法？說明理由。證明v'n2+n<n+1(neN).證明：(1)當(dāng)n=l時"12+1<1+1不等式成立；(2)假設(shè)n=k(keN)時不等式成立。即k2+k<k+1則當(dāng)n二k+1時v'(k+1)2+(k+1)=?“2+3k+2<v(k2+3k+2)+(k+2)=、：(k+2)2=(k+1)+1,An=k+1時等式成立，故對一切neN等式成立。解：上述的證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法，因為第二步由n=k推導(dǎo)n=k+1時沒有用到歸納假設(shè)來證明不等式成立。已知數(shù)列｛a｝的通項a=n2+n,試問是否存在常數(shù)p,q,r使等式nn111pn2+qn+r++A+二對一切自然數(shù)n都成立。1+a2+an+a4(n+1)(n+2)12n解：令n=1,2,3,得方程組1_p+q+r1+a241\4p+2q+r<+_1+a2+a48111219p+3q+r++_1+a2+a3+a80123p+q+r_8即<4p+2q+r_22解得p=3,q=5,r=0.9p+3q+r_421113n2+5nTOC\o"1-5"\h\z???++A+_1+a2+an+a4(n+1)(n+2)12n當(dāng)n=1時等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，1113k2+5k即++A+_1+a2+ak+a4(k+1)(k+2)12k1111當(dāng)n=k+1時，++A++1+a2+ak+a(k+1)+a12kk+13k2+5k1=+——4(k+1)(k+2)(k+1)+[(k+1)2+(k+1)]=3(k+1)3+5(k+1)2_3(k+1)2+5(k+1)=4(k+1)(k+2)(k+3^4(k+2)(k+3)即n=k+1時等式成立。由(1),(2)可知對一切自然數(shù)n,等式都成立。已知f(x)=2x+b,設(shè)f(x)=f[f(x)],f(x)=f[f(x)],(n22,neN),求f(x),f(x),1nn-1112猜想f(x)用n表示的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。n解：f(x)=2n+ix+(2n+i-1)bn平面上有n個圓,其中任意兩圓都相交，任意三圓不共點,試推測n個圓把平面分為幾部分?用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.解：n2—n+260.已知數(shù)列8?112?60.已知數(shù)列8?112?32d,A32?528n(2n-1)2(2n+1)2,A,Sn為其前nn項的和,計算得S=8,S=25，S=41,s=?觀察上述結(jié)果，推測出計算S的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證19225349481n明.解：S=解：S=n(2n+1)2觀察下面等式：1=122＋3＋4=9=323＋4＋5=6＋7=25=524＋5＋6＋7＋8＋9＋10=49=72推出由等式提供的一般規(guī)律,用數(shù)學(xué)歸納法證明.解：n+(n+l)+(3n—2)=(2n—l)2求證：對任何自然數(shù)n,n(n+1)…(n+k)1?2?3???k+2?3?4???(k+l)—n(n+l)???(n+k—l)=(k^N).k+1解:(1)當(dāng)n=1時，左邊=1?2?3…k，右邊=1?(1+1)A(1+k一1)(1+k)=1?2?3…k,即等式成立.2)假設(shè)n=l(lWN)時，等式成立，即有1?2?3?k+2?3?4?.?(k+1)——l(l+1)(l+2)..?(l+k—1)=dAk+1那么，當(dāng)n=l＋1時，1?2?3-k+2?3?4???(k+1)——l(l+1)..?(l+k—1)+(l+1)(l+2)..?(l1-(1+1)A(1+k)k+1=k+1=(1+1)(1+2)A(I+k)(/*k*1)=(1+1)[(l+1)+1]A[(l+1)+k]