微積分06 第6講常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法課件

高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第六講常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法腳本編寫(xiě)、教案制作：劉楚中彭亞新鄧愛(ài)珍劉開(kāi)宇孟益民高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)1第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本章學(xué)習(xí)要求：第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本章學(xué)習(xí)要求：2第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第五節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第五節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一3常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件比較判別法達(dá)朗貝爾比值判別法柯西根值判別法一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件比較判別法達(dá)朗貝爾51.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義若級(jí)數(shù)則稱(chēng)之為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定義實(shí)質(zhì)上應(yīng)是非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義若級(jí)數(shù)則稱(chēng)之為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定義實(shí)質(zhì)上應(yīng)62.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù){Sn}有界.定理正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增加的單調(diào)有界的數(shù)列必有極限理由在某極限過(guò)程中有極限的量必界2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù){Sn}有界.定理7級(jí)數(shù)是否收斂？該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),又有(n=1,2,…)故當(dāng)n1時(shí),有即其部分和數(shù)列{Sn}有界,從而,級(jí)數(shù)解例1級(jí)數(shù)是否收斂？該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),又有(n=1,2,83.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法且0unvn(n=1,2,…)大收小收,小發(fā)大發(fā).3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法且0unv9記0unvn

(n=1,2,…)

0SnGn證(1)記0unvn(n=1,10記0unvn

(n=1,2,…)

0SnGn證(2)記0unvn(n=1,11判斷級(jí)數(shù)的斂散性.(0<x<3)由于又由等比級(jí)數(shù)的斂散性可知：原級(jí)數(shù)收斂.解例2判斷級(jí)數(shù)的斂散性.(0<x<3)由于又由等12討論P(yáng)

級(jí)數(shù)(p>0)的斂散性.當(dāng)p＝1時(shí),P

級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù):它是發(fā)散的.當(dāng)0<p<1時(shí),有由比較判別法,P級(jí)數(shù)此時(shí)是發(fā)散的.解例3討論P(yáng)級(jí)數(shù)(p>0)的斂散性.當(dāng)p＝1時(shí),13當(dāng)p>1時(shí),按1,2,22,23,…,2n,…項(xiàng)而對(duì)P

級(jí)數(shù)加括號(hào),不影響其斂散性：當(dāng)p>1時(shí),按1,2,22,23,…,14…………15故當(dāng)p>1時(shí),P級(jí)數(shù)收斂.綜上所述:當(dāng)p>1時(shí),P級(jí)數(shù)收斂.

當(dāng)p1時(shí),P級(jí)數(shù)發(fā)散.故當(dāng)p>1時(shí),P級(jí)數(shù)收斂.綜上所述:當(dāng)164.比較判別法的極限形式4.比較判別法的極限形式17由于(0<<+)故>0,N>0,當(dāng)n>N時(shí),不妨取運(yùn)用比較判別法可知,具有相同的斂散性.證(1)

當(dāng)0<<+時(shí),由于(0<<+)故>0,18由于(=0)取=1時(shí),N>0,當(dāng)n>N時(shí),故由比較判別法,當(dāng)=0時(shí),證(2)由于(=0)取=1時(shí),N>0,19由于(=)M>0(不妨取M>1),即由比較判別法,證(3)故N>0,當(dāng)n>N時(shí),當(dāng)=時(shí),0vn<un由于(=)M>0(不妨取M>20判別級(jí)數(shù)的斂散性(a>0為常數(shù)).因?yàn)?即=1為常數(shù))又是調(diào)和級(jí)數(shù),它是發(fā)散的,發(fā)散.解原級(jí)數(shù)故例4判別級(jí)數(shù)的斂散性(a>0為常數(shù)).因?yàn)?即21解由比較判別法及P級(jí)數(shù)的收斂性可知：例5解由比較判別法及P級(jí)數(shù)的收斂性可知：例5225.達(dá)朗貝爾比值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(2)>1(包括=)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)=1時(shí),不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.利用級(jí)數(shù)本身來(lái)進(jìn)行判別.5.達(dá)朗貝爾比值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(23判別級(jí)數(shù)的斂散性,其中,x0為常數(shù).即=x2,由達(dá)朗貝爾判別法：解記則需要討論x的取值范圍例6判別級(jí)數(shù)的斂散性,其中,x0為常數(shù).即=24當(dāng)0<|x|<1時(shí),<1,級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)|x|>1時(shí),>1,級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)|x|=1時(shí),=1,但原級(jí)數(shù)此時(shí)為這是n=2的P

級(jí)數(shù),是收斂的.綜上所述,當(dāng)0<|x|1時(shí),原級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)|x|>1時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)0<|x|<1時(shí),<1,級(jí)25解這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù):單調(diào)增加有上界,以e為極限.例7解這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù):單調(diào)增加有上界,以e為極限.26由達(dá)朗貝爾比值判別法知該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得利用級(jí)數(shù)知識(shí)求某些數(shù)列得極限.例8解由達(dá)朗貝爾比值判別法知該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.由級(jí)數(shù)收斂的必要條27達(dá)朗貝爾(D’AiemberJeanLeRond)是法國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。達(dá)朗貝爾是私生子，出生后被母親遺棄在巴黎一教堂附近，被一憲兵發(fā)現(xiàn)，臨時(shí)用該教堂的名字作為嬰兒的名字。后被生父找回，寄養(yǎng)在一工匠家里。達(dá)朗貝爾少年時(shí)就讀于一個(gè)教會(huì)學(xué)校，對(duì)數(shù)學(xué)特別感興趣。達(dá)朗貝爾沒(méi)有受過(guò)正規(guī)的大學(xué)教育，靠自學(xué)掌握了牛頓等大科學(xué)家的著作。1741年24歲的達(dá)朗貝爾因研究工作出色進(jìn)入法國(guó)科學(xué)院工作。1754年成為法國(guó)科學(xué)院終身院士。達(dá)朗貝爾(D’AiemberJeanL28達(dá)朗貝爾在力學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科都有卓著的建樹(shù)。達(dá)朗貝爾的研究工作偏向于應(yīng)用。1743年提出了被稱(chēng)之為達(dá)朗貝爾原理的“作用于一個(gè)物體的外力與動(dòng)力的反作用之和為零”的研究結(jié)果。達(dá)朗貝爾建立了將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為精力學(xué)問(wèn)題的一般方法。1747年在研究弦振動(dòng)問(wèn)題時(shí)得到了一維波動(dòng)方程的通解，被稱(chēng)為達(dá)朗貝爾解。1752年首先用微分方程表示場(chǎng)。達(dá)朗貝爾終身未婚。1776年由于工作不順利，加之好友勒皮納斯小姐去世，使他陷入極度悲傷和失望中。達(dá)朗貝爾去世后，由于他反宗教的表現(xiàn)，巴黎市政府拒絕為他舉行葬禮。達(dá)朗貝爾在力學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科都有卓著的296.柯西根值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(2)>1(包括=)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)=1時(shí),不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.6.柯西根值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(30解例10解例1031判別的斂散性.(x>0,a>0為常數(shù))記解即當(dāng)x>a時(shí),當(dāng)0<x<a時(shí),當(dāng)x=a時(shí),=1,但故此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散.（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）例11判別的斂散性.(x>0,a>0為常數(shù))記32當(dāng)0<x<a時(shí),原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)xa時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上所述,當(dāng)0<x<a時(shí),原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)xa33二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性交錯(cuò)級(jí)數(shù)是各項(xiàng)正負(fù)相間的一種級(jí)數(shù),或其中,un0(n=1,2,…).它的一般形式為定義二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性交錯(cuò)級(jí)數(shù)是各項(xiàng)34(萊布尼茲判別法)滿(mǎn)足條件:(1)(2)unun+1

(n=1,2,…)

則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,且其和S的值小于u1.(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)定理若交錯(cuò)級(jí)數(shù)(單調(diào)減少)(萊布尼茲判別法)滿(mǎn)足條件:(1)(2)unun350(由已知條件)證明的關(guān)鍵在于它的極限是否存在？只需證級(jí)數(shù)部分和Sn當(dāng)n時(shí)極限存在.0(由已知條件)證明的關(guān)鍵在于它的極限是否存在？只需證36證1)取交錯(cuò)級(jí)前2m項(xiàng)之和由條件(2)：得S2m及由極限存在準(zhǔn)則：unun+1,un0,證1)取交錯(cuò)級(jí)前2m項(xiàng)之和由條件(2)：得S2372)取交錯(cuò)級(jí)數(shù)的前2m+1項(xiàng)之和由條件1):綜上所述,有2)取交錯(cuò)級(jí)數(shù)的前2m+1項(xiàng)之和由條件1):綜上38討論級(jí)數(shù)的斂散性.這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)：又由萊布尼茲判別法,該級(jí)數(shù)是收斂.解例12討論級(jí)數(shù)的斂散性.這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)：又由萊布尼茲判別法,39解由萊布尼茨判別法,原級(jí)數(shù)收斂.例13解由萊布尼茨判別法,原級(jí)數(shù)收斂.例1340微積分學(xué)的創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)大師

萊布尼茨Friedrich.Leibniz(1646~1716年)微積分學(xué)的創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)大師萊布尼茨Friedr41萊布尼茨（Leibniz）萊布尼茨(1646~1716年)是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學(xué)家。他研究法律，在答辯了關(guān)于邏輯的論文后，得到哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。1666年以論文《論組合的藝術(shù)》獲得阿爾特道夫大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，同時(shí)獲得該校的教授席位。1671年，他制造了他的計(jì)算機(jī)。1672年3月作為梅因茲的選帝侯大使，政治出差導(dǎo)巴黎。這次訪(fǎng)問(wèn)使他同數(shù)學(xué)家和科學(xué)家有了接觸，激起了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣?？梢哉f(shuō)，在此之前（1672年前）萊布尼茨基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)。萊布尼茨（Leibniz）萊布尼茨421673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，促使他更加深入地鉆研數(shù)學(xué)。雖然萊布尼茨靠做外交官生活，卷入各種政治活動(dòng)，但他的科學(xué)研究工作領(lǐng)域是廣泛的，他的業(yè)余生活的活動(dòng)范圍是龐大的。除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家，他在邏輯學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面做了重要工作。雖然他的教授席位是法學(xué)的，但他在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面的著作被列于世界上曾產(chǎn)生過(guò)的最優(yōu)秀的著作中。他用通信保持和人們的接觸，最遠(yuǎn)的到錫蘭（Ceylon）和中國(guó)。1673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家43他于1669年提議建立德國(guó)科學(xué)院，從事對(duì)人類(lèi)有益的力學(xué)中的發(fā)明和化學(xué)、生理學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)（1700年柏林科學(xué)院成立）。萊布尼茨從1684年開(kāi)始發(fā)表論文，但他的許多成果以及他的思想的發(fā)展，實(shí)際上都包含在他從1673年起寫(xiě)的，但從未發(fā)表過(guò)的成百的筆記本中。從這些筆記本中人們可以看到，他從一個(gè)課題跳到另一個(gè)課題，并隨著他的思想的發(fā)展而改變他所用的記號(hào)。有些是它在研究格雷戈里、費(fèi)馬、帕斯卡、巴羅的書(shū)和文章時(shí)，或是試圖將他們的思想納入自己處理微積分的方式時(shí)所出現(xiàn)的簡(jiǎn)單思想。他于1669年提議建立德國(guó)科學(xué)院，從事對(duì)人類(lèi)441714年萊布尼茨寫(xiě)了《微分學(xué)的歷史和起源》，在這本書(shū)中，他給出了一些關(guān)于自己思想發(fā)展的記載，由于他出書(shū)的目的是為了澄清當(dāng)時(shí)加于他的剽竊罪名，所以他可能不自覺(jué)地歪曲了關(guān)于他的思想來(lái)源的記載。不管他的筆記本多么混亂，都揭示了一個(gè)最偉大的才智，怎樣為了達(dá)到理解和創(chuàng)造而奮斗。特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識(shí)到，微分與積分（看作是和）必定是相反的過(guò)程；1676年6月23日的手稿中，他意識(shí)到求切線(xiàn)的最好方法是求dy/dx，其中dy，dx是變量的差，dy/dx是差的商。萊布尼茨的工作，雖然富于啟發(fā)性而且意義深遠(yuǎn)，但它是十分零亂不全的，以致幾乎不能理解。幸好貝努利兄弟將他的文章大大加工，并做了大量的發(fā)展工作。1716年，他無(wú)聲無(wú)息地死去。1714年萊布尼茨寫(xiě)了《微分學(xué)的歷史和起源》452.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性(1)級(jí)數(shù)的絕對(duì)斂和條件收斂定義2.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性(1)級(jí)數(shù)的絕對(duì)斂和條件收斂定義46定理(即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必定收斂)證un|un|從而定理(即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必定收斂)證un47(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(2)>1(包括=)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)=1時(shí),不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.定理(達(dá)朗貝爾判別法)(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(2)>48解由P

級(jí)數(shù)的斂散性：即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.判別級(jí)數(shù)的斂散性.例14解由P級(jí)數(shù)的斂散性：即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.判別級(jí)數(shù)的斂散性49記解判別的斂散性,其中,x1為常數(shù).例15記解判別的斂散性,其中,x1為常數(shù).例1550當(dāng)|x|<1時(shí),=|x|<1,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)|x|>1時(shí),=1,此時(shí)不能判斷其斂散性.由達(dá)朗貝爾判別法：但|x|>1時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)|x|<1時(shí),=|x|<1,51級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂?解由調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性可知,故發(fā)散.例16級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂?解由調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性可知,故發(fā)散.例1652但原級(jí)數(shù)是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),且滿(mǎn)足：故原級(jí)數(shù)是條件收斂,不是絕對(duì)收斂的.由萊布尼茲判別法可知,該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.但原級(jí)數(shù)是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),且滿(mǎn)足：故原級(jí)數(shù)是條件收斂,53(2)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.任意交換絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)中各項(xiàng)的位置,其斂散性不變,其和也不變.性質(zhì)2.兩個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的積仍是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù),且其和等于原來(lái)兩個(gè)級(jí)數(shù)的和之積.(2)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.任意交換絕對(duì)收斂54(3)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)判別法(狄利克雷判別法)定理其中,M>0為與n無(wú)關(guān)的常數(shù),單調(diào)遞減趨于零部分和有界(3)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)判別法(狄利克雷判別法)定理55判別級(jí)數(shù)的斂散性,其中,x2k,kZ.解單調(diào)遞減趨于零例17判別級(jí)數(shù)的斂散性,其中,x2k,k56又又57而x2k,kZ,于是且故由狄利克雷判別法,(x2k,kZ)收斂.而x2k,kZ,于是且故由狄利克雷判58高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第六講常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法腳本編寫(xiě)、教案制作：劉楚中彭亞新鄧愛(ài)珍劉開(kāi)宇孟益民高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)59第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本章學(xué)習(xí)要求：第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本章學(xué)習(xí)要求：60第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第五節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第五節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一61常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)62一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件比較判別法達(dá)朗貝爾比值判別法柯西根值判別法一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件比較判別法達(dá)朗貝爾631.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義若級(jí)數(shù)則稱(chēng)之為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定義實(shí)質(zhì)上應(yīng)是非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義若級(jí)數(shù)則稱(chēng)之為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定義實(shí)質(zhì)上應(yīng)642.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù){Sn}有界.定理正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增加的單調(diào)有界的數(shù)列必有極限理由在某極限過(guò)程中有極限的量必界2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù){Sn}有界.定理65級(jí)數(shù)是否收斂？該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),又有(n=1,2,…)故當(dāng)n1時(shí),有即其部分和數(shù)列{Sn}有界,從而,級(jí)數(shù)解例1級(jí)數(shù)是否收斂？該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),又有(n=1,2,663.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法且0unvn(n=1,2,…)大收小收,小發(fā)大發(fā).3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法且0unv67記0unvn

(n=1,2,…)

0SnGn證(1)記0unvn(n=1,68記0unvn

(n=1,2,…)

0SnGn證(2)記0unvn(n=1,69判斷級(jí)數(shù)的斂散性.(0<x<3)由于又由等比級(jí)數(shù)的斂散性可知：原級(jí)數(shù)收斂.解例2判斷級(jí)數(shù)的斂散性.(0<x<3)由于又由等70討論P(yáng)

級(jí)數(shù)(p>0)的斂散性.當(dāng)p＝1時(shí),P

級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù):它是發(fā)散的.當(dāng)0<p<1時(shí),有由比較判別法,P級(jí)數(shù)此時(shí)是發(fā)散的.解例3討論P(yáng)級(jí)數(shù)(p>0)的斂散性.當(dāng)p＝1時(shí),71當(dāng)p>1時(shí),按1,2,22,23,…,2n,…項(xiàng)而對(duì)P

級(jí)數(shù)加括號(hào),不影響其斂散性：當(dāng)p>1時(shí),按1,2,22,23,…,72…………73故當(dāng)p>1時(shí),P級(jí)數(shù)收斂.綜上所述:當(dāng)p>1時(shí),P級(jí)數(shù)收斂.

當(dāng)p1時(shí),P級(jí)數(shù)發(fā)散.故當(dāng)p>1時(shí),P級(jí)數(shù)收斂.綜上所述:當(dāng)744.比較判別法的極限形式4.比較判別法的極限形式75由于(0<<+)故>0,N>0,當(dāng)n>N時(shí),不妨取運(yùn)用比較判別法可知,具有相同的斂散性.證(1)

當(dāng)0<<+時(shí),由于(0<<+)故>0,76由于(=0)取=1時(shí),N>0,當(dāng)n>N時(shí),故由比較判別法,當(dāng)=0時(shí),證(2)由于(=0)取=1時(shí),N>0,77由于(=)M>0(不妨取M>1),即由比較判別法,證(3)故N>0,當(dāng)n>N時(shí),當(dāng)=時(shí),0vn<un由于(=)M>0(不妨取M>78判別級(jí)數(shù)的斂散性(a>0為常數(shù)).因?yàn)?即=1為常數(shù))又是調(diào)和級(jí)數(shù),它是發(fā)散的,發(fā)散.解原級(jí)數(shù)故例4判別級(jí)數(shù)的斂散性(a>0為常數(shù)).因?yàn)?即79解由比較判別法及P級(jí)數(shù)的收斂性可知：例5解由比較判別法及P級(jí)數(shù)的收斂性可知：例5805.達(dá)朗貝爾比值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(2)>1(包括=)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)=1時(shí),不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.利用級(jí)數(shù)本身來(lái)進(jìn)行判別.5.達(dá)朗貝爾比值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(81判別級(jí)數(shù)的斂散性,其中,x0為常數(shù).即=x2,由達(dá)朗貝爾判別法：解記則需要討論x的取值范圍例6判別級(jí)數(shù)的斂散性,其中,x0為常數(shù).即=82當(dāng)0<|x|<1時(shí),<1,級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)|x|>1時(shí),>1,級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)|x|=1時(shí),=1,但原級(jí)數(shù)此時(shí)為這是n=2的P

級(jí)數(shù),是收斂的.綜上所述,當(dāng)0<|x|1時(shí),原級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)|x|>1時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)0<|x|<1時(shí),<1,級(jí)83解這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù):單調(diào)增加有上界,以e為極限.例7解這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù):單調(diào)增加有上界,以e為極限.84由達(dá)朗貝爾比值判別法知該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得利用級(jí)數(shù)知識(shí)求某些數(shù)列得極限.例8解由達(dá)朗貝爾比值判別法知該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.由級(jí)數(shù)收斂的必要條85達(dá)朗貝爾(D’AiemberJeanLeRond)是法國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。達(dá)朗貝爾是私生子，出生后被母親遺棄在巴黎一教堂附近，被一憲兵發(fā)現(xiàn)，臨時(shí)用該教堂的名字作為嬰兒的名字。后被生父找回，寄養(yǎng)在一工匠家里。達(dá)朗貝爾少年時(shí)就讀于一個(gè)教會(huì)學(xué)校，對(duì)數(shù)學(xué)特別感興趣。達(dá)朗貝爾沒(méi)有受過(guò)正規(guī)的大學(xué)教育，靠自學(xué)掌握了牛頓等大科學(xué)家的著作。1741年24歲的達(dá)朗貝爾因研究工作出色進(jìn)入法國(guó)科學(xué)院工作。1754年成為法國(guó)科學(xué)院終身院士。達(dá)朗貝爾(D’AiemberJeanL86達(dá)朗貝爾在力學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科都有卓著的建樹(shù)。達(dá)朗貝爾的研究工作偏向于應(yīng)用。1743年提出了被稱(chēng)之為達(dá)朗貝爾原理的“作用于一個(gè)物體的外力與動(dòng)力的反作用之和為零”的研究結(jié)果。達(dá)朗貝爾建立了將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為精力學(xué)問(wèn)題的一般方法。1747年在研究弦振動(dòng)問(wèn)題時(shí)得到了一維波動(dòng)方程的通解，被稱(chēng)為達(dá)朗貝爾解。1752年首先用微分方程表示場(chǎng)。達(dá)朗貝爾終身未婚。1776年由于工作不順利，加之好友勒皮納斯小姐去世，使他陷入極度悲傷和失望中。達(dá)朗貝爾去世后，由于他反宗教的表現(xiàn)，巴黎市政府拒絕為他舉行葬禮。達(dá)朗貝爾在力學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科都有卓著的876.柯西根值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(2)>1(包括=)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)=1時(shí),不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.6.柯西根值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(88解例10解例1089判別的斂散性.(x>0,a>0為常數(shù))記解即當(dāng)x>a時(shí),當(dāng)0<x<a時(shí),當(dāng)x=a時(shí),=1,但故此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散.（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）例11判別的斂散性.(x>0,a>0為常數(shù))記90當(dāng)0<x<a時(shí),原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)xa時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上所述,當(dāng)0<x<a時(shí),原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)xa91二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性交錯(cuò)級(jí)數(shù)是各項(xiàng)正負(fù)相間的一種級(jí)數(shù),或其中,un0(n=1,2,…).它的一般形式為定義二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性交錯(cuò)級(jí)數(shù)是各項(xiàng)92(萊布尼茲判別法)滿(mǎn)足條件:(1)(2)unun+1

(n=1,2,…)

則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,且其和S的值小于u1.(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)定理若交錯(cuò)級(jí)數(shù)(單調(diào)減少)(萊布尼茲判別法)滿(mǎn)足條件:(1)(2)unun930(由已知條件)證明的關(guān)鍵在于它的極限是否存在？只需證級(jí)數(shù)部分和Sn當(dāng)n時(shí)極限存在.0(由已知條件)證明的關(guān)鍵在于它的極限是否存在？只需證94證1)取交錯(cuò)級(jí)前2m項(xiàng)之和由條件(2)：得S2m及由極限存在準(zhǔn)則：unun+1,un0,證1)取交錯(cuò)級(jí)前2m項(xiàng)之和由條件(2)：得S2952)取交錯(cuò)級(jí)數(shù)的前2m+1項(xiàng)之和由條件1):綜上所述,有2)取交錯(cuò)級(jí)數(shù)的前2m+1項(xiàng)之和由條件1):綜上96討論級(jí)數(shù)的斂散性.這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)：又由萊布尼茲判別法,該級(jí)數(shù)是收斂.解例12討論級(jí)數(shù)的斂散性.這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)：又由萊布尼茲判別法,97解由萊布尼茨判別法,原級(jí)數(shù)收斂.例13解由萊布尼茨判別法,原級(jí)數(shù)收斂.例1398微積分學(xué)的創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)大師

萊布尼茨Friedrich.Leibniz(1646~1716年)微積分學(xué)的創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)大師萊布尼茨Friedr99萊布尼茨（Leibniz）萊布尼茨(1646~1716年)是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學(xué)家。他研究法律，在答辯了關(guān)于邏輯的論文后，得到哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。1666年以論文《論組合的藝術(shù)》獲得阿爾特道夫大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，同時(shí)獲得該校的教授席位。1671年，他制造了他的計(jì)算機(jī)。1672年3月作為梅因茲的選帝侯大使，政治出差導(dǎo)巴黎。這次訪(fǎng)問(wèn)使他同數(shù)學(xué)家和科學(xué)家有了接觸，激起了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣?？梢哉f(shuō)，在此之前（1672年前）萊布尼茨基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)。萊布尼茨（Leibniz）萊布尼茨1001673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，促使他更加深入地鉆研數(shù)學(xué)。雖然萊布尼茨靠做外交官生活，卷入各種政治活動(dòng)，但他的科學(xué)研究工作領(lǐng)域是廣泛的，他的業(yè)余生活的活動(dòng)范圍是龐大的。除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家，他在邏輯學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面做了重要工作。雖然他的教授席位是法學(xué)的，但他在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面的著作被列于世界上曾產(chǎn)生過(guò)的最優(yōu)秀的著作中。他用通信保持和人們的接觸，最遠(yuǎn)的到錫蘭（Ceylon）和中國(guó)。1673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家101他于1669年提議建立德國(guó)科學(xué)院，從事對(duì)人類(lèi)有益的力學(xué)中的發(fā)明和化學(xué)、生理學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)（1700年柏林科學(xué)院成立）。萊布尼茨從1684年開(kāi)始發(fā)表論文，但他的許多成果以及他的思想的發(fā)展，實(shí)際上都包含在他從1673年起寫(xiě)的，但從未發(fā)表過(guò)的成百的筆記本中。從這些筆記本中人們可以看到，他從一個(gè)課題跳到另一個(gè)課題，并隨著他的思想的發(fā)展而改變他所用的記號(hào)。有些是它在研究格雷戈里、費(fèi)馬、帕斯卡、巴羅的書(shū)和文章時(shí)，或是試圖將他們的思想納入自己處理微積分的方式時(shí)所出現(xiàn)的簡(jiǎn)單思想。他于1669年提議建立德國(guó)科學(xué)院，從事對(duì)人類(lèi)1021714年萊布尼茨寫(xiě)了《微分學(xué)的歷史和起源》，在這本書(shū)中，他給出了一些關(guān)于自己思想發(fā)展的記載，由于他出書(shū)的目的是為了澄清當(dāng)時(shí)加于他的剽竊罪名，所以他可能不自覺(jué)地歪曲了關(guān)于他的思想來(lái)源的記載。不管他的筆記本多么混亂，都揭示了一個(gè)最偉大的才智，怎樣為了達(dá)到理解和創(chuàng)造而奮斗。特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識(shí)到，微分與積分（看作是和）必定是相反的過(guò)程；1676年6月23日的手稿中，他意識(shí)到求切線(xiàn)的最好