(完整版)高中數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量教案完整版

第1課時(shí)2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母a、b（黑體，印刷用）等表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB；④向量AB的大小--長度稱為向量的模，記作IABI.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0.0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別.長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、c平行，記作a〃b〃c.6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量a與b相等，記作a=b；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向．線．段．的．起．點(diǎn)．無．關(guān)．.

7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與．有．向．線．段．的．起．點(diǎn)．無．關(guān)．）．.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.第2課時(shí)§2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義二、探索研究：1、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法2、三角形法則“首尾相接，首尾連”如圖，已知向量a、b.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB=a,BC=b,則向量AC叫做a與b的和，記作a+b,即卩a+b—AB+BC—AC,規(guī)定：a+0-=0+a■>a+ba+b—F-T（2—F-T（2）當(dāng)向量a與b不共線時(shí),a+b的方向不同向，且Ia+b|<|a|+|b|；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，則a+b、a、b同向,■***—+*且Ia+b|=|a|+|b|,當(dāng)a與b反向時(shí)，若Ia|>|b|，則a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|,則a+b的方向與b相同，且Ia+b|=|b|-|a|.4）“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到

n個(gè)向量連加3.例一、已知向量a、b，求作向量a+b作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作OA二aAB二b，則OB二a+b.4.加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中b+a的結(jié)果與a+b是否相同？驗(yàn)證結(jié)果相同從而得到：1)向量加法的平行四邊形法則(對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng))2)向量加法的交換律：a+b=b+a5.向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)證：如圖：使AB=a,BC=b,CD=c貝y（a+b）+c=AC+CD=AD,a+（b+c）=AB+BD二AD.?.(a+b)+c=a+(b+c)_從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.第3課時(shí)§2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義用“相反向量”定義向量的減法“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作-a規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a)=a任一向量與它的相反向量的和是零向量a+(-a)=0如果a、b互為相反向量，則a=-b，b=-a，a+b=0向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：a-b=a+(-b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：若b+x=a,則x叫做a與b的差，記作a-b求作差向量：已知向量a、b,求作向量T(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=aaO

作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作OA=a，AB=b貝yBA=a-b即a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.注意：1。AB表示a—b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)2。用“相反向量”定義法作差向量，a-b=a+(—b)4．探究：aAb4．探究：aAb1)如果從向量a的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是建a—L^..OBAB'a-bOB~~Aa-a-bA-bBa-b4"JBO2)若a〃b,如何作出a-b?2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示第4課時(shí)2.3.1平面向量基本定理復(fù)習(xí)引入：i實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量￡的積是一個(gè)向量，記作：入a入=0時(shí)入|入S1=1入||￡|；(2)入＞0時(shí)入￡與￡方向相同；入＜0時(shí)入￡與入=0時(shí)入a=2．運(yùn)算定律結(jié)合律：入(卩￡)=(入卩)a；分配律：(入+卩)￡=入真卩a,入(S+b)=入a+入b向量共線定理向量b與非零向量S共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使b=入a.平面向量基本定理：如果e,e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面12內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入［，入2使=入［e+入2e.121122探究：我們把不共線向量e「e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；由定理可將任一向量a在給出基底e2的條件下進(jìn)行分解；pl~b基底給定時(shí)，分解形式惟一.人，\是被*，e，e唯一確定的數(shù)量1212第5課時(shí)§2.3.2—§2.3.3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算一、復(fù)習(xí)引入：k■平面向量基本定理：如果e，e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)12的任一向量*，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入］,入2使=入］氣+入2e2我們把不共線向量e「e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；由定理可將任一向量a在給出基底e「e2的條件下進(jìn)行分解；基底給定時(shí)，分解形式惟一.片，\是被p，e，e2唯一確定的數(shù)量二、講解新課：平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底?任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)X、y，使得

我們把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作Oa=xi我們把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作Oa=(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，◎式叫做向量的坐標(biāo)表示.與a相等的向量的坐標(biāo)也為(x,y).特別地，i=(1,0),j=(0,1),0=(o,o).如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定.設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標(biāo)(x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a=(x,y)，b=(x,y)，貝ya+b=(x+x,y+y)，11221212a—b=(x-x,y-y)1212兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.設(shè)基底為i、j，則a+b=(xi+yj)+(xi+yj)=(x+x)i+(y+y)j11221212即a+b=(x+x,y+y)，同理可得a-b=(x-x,y-y)12121212若A(x,y)，B(x,y)，則AB=(x—x,y—y)11222121一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).AB=OB—OA=(x2,y2)—(x1，y1)=(x2-X],y2-y1)若a=(x,y)和實(shí)數(shù)九，則九a=(Xx,Xy).實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

設(shè)基底為i、j，則九a=X(xi+yj)=九xi+Xyj，即即ka=(Ax,Xy)第6課時(shí)§2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示一、復(fù)習(xí)引入：1平面向量的坐標(biāo)表示分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底?任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi+yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a=(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，特別地，’Ii=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)?丿1|I平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若a=(xryi)，b=(3,y2)，貝ya+b=(x+x,y+y)，a-b=(x-x,y-y)，ka=(kx,ky).12121212若A(x,y)，B(x,y)，則AB=(x—x,y—y)11222121二、講解新課：/〃b(b豐0)的充要條件是x1y2-x2y1=0設(shè)=(X],y1)，b=(x2，y2)其中b豐?x=kx=kx12y=ky12消去入，x1y2-x2y1=0探究：(1)消去入時(shí)不能兩式相除，???"，y2有可能為0，Jb豐0.??x2，y2中至少有一個(gè)不為0?X],?X],x2有可能為0xx12(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：x(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：x1y2—x2y1=0§2.4平面向量的數(shù)量積第7課時(shí)平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義一、復(fù)習(xí)引入：向量共線定理向量b與非零向量￡共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使Ppb=入a.2?平面向量基本定理：如果e,e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)12的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入［，入2使=入［e+入2e121122平面向量的坐標(biāo)表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi+yj把（x,y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=（x,y）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算a-b=（x-x,y-y），1212若a=q,人），b=qa-b=（x-x,y-y），1212九a=（Xx,九y）.若A（x,y），B（x,y），則AB=\x-x,y-y丿11222121S〃b（b豐0）的充要條件是x1y2-x2y1=0線段的定比分點(diǎn)及入P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P］,P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)入,入叫做點(diǎn)p分P匚所成的比，有三種情況：入〉0（內(nèi)分入叫做點(diǎn)p分P匚所成的比，有三種情況：入〉0（內(nèi)分）（外分）入＜0（入v-1）（外分）入＜0（-1＜入＜0）12定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：

若點(diǎn)P](X],y1),p2(x2,y2)，久為實(shí)數(shù)，且PP=APP，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為x+Xxy+Xy(p嚴(yán)),我們稱A為點(diǎn)P分PP所成的比.1+X1+X128?點(diǎn)P的位置與A的范圍的關(guān)系:①當(dāng)A>。時(shí)，P1P與PP同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為P匚的內(nèi)分點(diǎn).9?線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,設(shè)OP1=a，OP=②當(dāng)^⑴―1)9?線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,設(shè)OP1=a，OP=a+Xb1X可得°P=r+X=屁a+i+Xb?10.力做的功:W=IFMsIcosG,9是F與s的夾角.、講解新課:兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b，作OA=a，OB=b,則ZAOE=0(0三0三兀)叫a與b的夾角.說明：(1)當(dāng)0=0時(shí)，a與b同向；(2)當(dāng)0=n時(shí)，a與b反向；兀(3)當(dāng)0=—時(shí)，a與b垂直，記alb；平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是。，貝燉量IaIIbIcos9叫a與b的數(shù)量積，記作ab,即有ab=IaIIbIcos9,(0<0<n).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.?探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos9的符號(hào)所決定.兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積aXb,而ab是兩

個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分?符號(hào)“?”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略,也不能用“X”代替.在實(shí)數(shù)中，若a^O,且a-b=0,則b=0；但是在數(shù)量積中，若aH0,且a?b=O,不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏ose有可能為0.已知實(shí)數(shù)a、b、c(b^O),則ab=bcna=c.但是a-b=b?c主a=c如右圖：a-b=lallblcosp=IbllOAl,b-c=Ibllclcosa=IbllOAlna-b=b-c但a豐c在實(shí)數(shù)中，有(a-b)c=a(b-c)，但是(a-b)c豐a(b-c)顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量,線.:|3．“投影”的概念：作圖:|定義：lblcosG叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)e為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)e為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)e為直角時(shí)投影為0；當(dāng)e=0。時(shí)投影為lbl；當(dāng)e=180。時(shí)投影為-lbl.4．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的長度與b在a方向上投影l(fā)blcosG的乘積.5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1。e-a=a-e=lalcosG2。alboa-b=03。當(dāng)a與b同向時(shí),a-b=lallbl；當(dāng)a與b反向時(shí),a-b=-lallbl.特別的a-a=lal2或Ia1=\：a-a4。cos4。cose=a-b

IaIIbI5。la-blWlallbl第8課時(shí)二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律一、復(fù)習(xí)引入：1．兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b，作OA=a,OB=b,則ZAOE=0（0三0三兀）叫a與b的夾角.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是。，貝燉量lallblcosG叫a與b的數(shù)量積，記作a-b,即有a-b=lallblcosG,（0<0<n）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)e為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)e為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)e為直角時(shí)投影為o；當(dāng)e=o。時(shí)投影為lbl；當(dāng)e=180。時(shí)投影為-lbl.4．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的長度與b在a方向上投影l(fā)blcosG的乘積.5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1。e-a=a-e=lalcosG；2。a丄boa-b=03。當(dāng)a與b同向時(shí),a-b=lallbl；當(dāng)a與b反向時(shí),a-b=-lallbl.特別的a-a=lal2或Ia1=\：'a-aa-b4°cose=；5°la-blWlallblIaIIbI二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.交換律：a-b=b-a證：設(shè)a,b夾角為e,則a-b=lallblcosG,b-a=lbllalcosG.*.a-b=b-a數(shù)乘結(jié)合律:（九a）-b=九（a-b）=a-（九b）

證：若九>0,(九a)-b=九lallblcosG,九(a?b)=九lallblcosG,a-(九b)=九lallblcosG,若九<0,(九a)-b=l九allblcos(冗一G)=—九lallbl(-cosO)=九lallblcosO,九(a-b)=九lallblcosO,a-(九b)=lall九blcos(冗一0)=—九lallbl(-cosO)=九lallblcosO.3．分配律：(a+b)-c=a-c+b-c在平面內(nèi)取一點(diǎn)O作OA=a,AB=b,OC=c,Ta+b(即OB)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即la+blcosG=lalcosG1+lblcosG2lclla+blcosG=lcllalcos01+lcllblcos02,c-(a+b)=c-a+c-b即:(a+b)-c=a-c+b-c說明：(1)一般地，(a.b)c^a(b?c)a?c=b?c,c^O豐a=b有如下常用性質(zhì)：a2=|a|2,(a+b)(c+d)=a?c+a?d+b?c+b?d(a+b)2=a2+2a?b+b2第9課時(shí)三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角一、復(fù)習(xí)引入：1．兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA=a,OB=b，則ZAOE=0(0三0三兀)叫a與b的夾角.2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是。，貝燉量lallblcosO叫a與b的數(shù)量積，記作a-b,即有a-b=lall