人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1課時(shí)提升作業(yè) 十四 2.2.2 雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 第2課時(shí) 雙曲線(xiàn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用 精講優(yōu)練課型 Word版含答案

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D.四條【解析】選C.過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為16,因?yàn)閨AB|=16,所以當(dāng)l與雙曲線(xiàn)的兩交點(diǎn)都在右支上時(shí)只有一條.又因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為2,16>2,所以當(dāng)l與雙曲線(xiàn)的兩交點(diǎn)在左、右兩支上時(shí)應(yīng)該有兩條,共三條.3.(2016·泉州高二檢測(cè))若曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)M,使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(-5,0),B(5,0)距離之差為8,則稱(chēng)曲線(xiàn)C為“好曲線(xiàn)”.以下曲線(xiàn)不是“好曲線(xiàn)”的是()A.x+y=5 B.x2+y2=9C.x225+y2【解析】選B.因?yàn)镸到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(-5,0),B(5,0)距離之差為8,所以M的軌跡是以A(-5,0),B(5,0)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支,方程為x216-y29=1(x≥4),A:直線(xiàn)x+y=5過(guò)點(diǎn)(5,0)滿(mǎn)足題意;B:x2+y2=9的圓心為(0,0),半徑為3,與M的軌跡沒(méi)有交點(diǎn),不滿(mǎn)足題意;C:x225+y29=1的右頂點(diǎn)(5,0),滿(mǎn)足題意;D:方程代入4.(2016·青島高二檢測(cè))過(guò)雙曲線(xiàn)x2a2-y2bA.2 B.3 C.5 D.10【解析】選C.右頂點(diǎn)為A(a,0),則直線(xiàn)方程為x+y-a=0,可求得直線(xiàn)與兩漸近線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)Ba2a+b,aba+b,CaAB→=又2AB→=BC【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知F1,F2分別是雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)FA.1+2 B.1±2C.2 D.2±1【解析】選A.因?yàn)椤鰽BF2是直角三角形,所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|,b2所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,所以e2-2e-1=0.解得e=1±2.又e>1,所以e=1+2.5.(2016·沈陽(yáng)高二檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)E的中心在原點(diǎn),F(3,0)是E的焦點(diǎn),過(guò)F的直線(xiàn)l與E相交于A,B兩點(diǎn),且AB中點(diǎn)為N(-12,-15),則E的方程為()A.x23-y26=1 B.C.x26-y23=1 D.【解析】選B.由已知條件易得直線(xiàn)l的斜率k=-15-0-12-3=1,設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,兩式相減并結(jié)合x(chóng)1+x2=-24,y【拓展延伸】解決與雙曲線(xiàn)弦的中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程構(gòu)成方程組,消去一個(gè)未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.(2)點(diǎn)差法:利用端點(diǎn)在曲線(xiàn)上,坐標(biāo)滿(mǎn)足方程,將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線(xiàn)方程,然后作差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,可求斜率k=y1二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016·濟(jì)南高二檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)和橢圓【解析】由題意知,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±7,0),離心率是74.故在雙曲線(xiàn)中c=7,e=274=ca,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求雙曲線(xiàn)的方程是答案:x24-7.已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為3的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn).若【解析】設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由y得(b2-3a2)y2+23b2cy+3b4=0,因?yàn)閎2-3a2≠0,所以y1+y2=23b2c3a2由AF→=4FB→得y所以-3y2=23b2c3所以y2=2b代入-4y22=316c2=27a2-9b2,又b2=c2-a2,所以16c2=27a2-9c2+9a2,所以36a2=25c2,所以e2=3625所以e=65答案:68.已知直線(xiàn)l:x-y+m=0與雙曲線(xiàn)x2-y22=1交于不同的兩點(diǎn)A,B,若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上,則m的值是【解析】由x消去y得x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).則x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2m),又因?yàn)辄c(diǎn)(m,2m)在圓x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=±1.答案:±1【補(bǔ)償訓(xùn)練】雙曲線(xiàn)x29-y216=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,若PF1⊥PF【解析】設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),所以a=3,b=4,c=5.由雙曲線(xiàn)的定義知,m-n=2a=6,又PF1⊥PF2.所以△PF1F2為直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,所以2mn=m2+n2-36=64,mn=32.設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d,S△PF1F2=12d|F1F2|=12即12d·2c=12mn.所以d=mn即點(diǎn)P到x軸的距離為3.2.答案:3.2三、解答題(每小題10分,共20分)9.雙曲線(xiàn)的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,兩條漸近線(xiàn)分別為l1,l2,經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F且垂直于l1的直線(xiàn)分別交l1,l2于A,B兩點(diǎn).已知|OA→|,|AB→|,|OB(1)求雙曲線(xiàn)的離心率.(2)設(shè)AB被雙曲線(xiàn)所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為4,求雙曲線(xiàn)的方程.【解析】(1)設(shè)OA=m-d,AB=m,OB=m+d,雙曲線(xiàn)方程為x2a2由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=14m,tan∠AOF=btan∠AOB=tan2∠AOF=ABOA=由倍角公式得2·ba解得ba=12,則離心率e=(2)直線(xiàn)AB的方程為y=-ab(x-c),與雙曲線(xiàn)方程x2a2-化簡(jiǎn)有154b2x2x1+x2=325b15,x1·x2設(shè)交點(diǎn)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則|AB|=1+ab2|x=1+將數(shù)值代入,得4=532解得b=3,故所求的雙曲線(xiàn)方程為x236-10.已知直線(xiàn)y=ax+1與雙曲線(xiàn)3x2-y2=1交于A,B兩點(diǎn).(1)若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=12【解析】(1)由y=ax+1,(3-a2)x2-2ax-2=0.①依題意3即-6<a<6且a≠±3②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),所以O(shè)A⊥OB.所以x1x2+y1y2=0,y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④知(a2+1)·-23-a2解得a=±1且滿(mǎn)足②.所以實(shí)數(shù)a的值為±1.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使A,B關(guān)于y=12則直線(xiàn)y=ax+1與y=12直線(xiàn)l的方程為y=-2x+1.將a=-2代入③得x1+x2=4.所以AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為y=-2×2+1=-3.但AB中點(diǎn)(2,-3)不在直線(xiàn)y=12即不存在實(shí)數(shù)a,使A,B關(guān)于直線(xiàn)y=12一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2016·鄭州高二檢測(cè))直線(xiàn)y=3x與雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2bA.3+2 B.3+1C.2+1 D.22【解析】選B.由題知|MO|=|NO|=|FO|,所以△MFN為直角三角形,且∠MFN=90°,取左焦點(diǎn)為F0,連結(jié)NF0,MF0,由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知,四邊形NFMF0為平行四邊形.又因?yàn)椤螹FN=90°,所以四邊形NFMF0為矩形,所以|MN|=|F0F|=2c,又因?yàn)橹本€(xiàn)MN的傾斜角為60°,即∠NOF=60°,所以∠NMF=30°,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=3c,由雙曲線(xiàn)定義知|MF|-|MF0|=3c-c=2a,所以e=ca=3【補(bǔ)償訓(xùn)練】過(guò)雙曲線(xiàn)M:x2-y2b2=1(b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線(xiàn)lA.52 B.103 C.5【解析】選D.由題意可知A(-1,0),故直線(xiàn)l的方程為y=x+1.兩條漸近線(xiàn)方程為y=±bx,由已知聯(lián)立y=x+1,y=-bx,得B-11+b,b1+b,同理可得C1b-1,b所以e=ca=102.(2016·黃岡高二檢測(cè))已知平面上兩點(diǎn)M(-5,0)和N(5,0),若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P使|PM|-|PN|=6,則稱(chēng)該直線(xiàn)為“單曲型直線(xiàn)”,下列直線(xiàn)中是“單曲型直線(xiàn)”的是()①y=x+1; ②y=2; ③y=43x; ④A.①③ B.③④ C.②③ D.①②【解析】選D.因?yàn)閨PM|-|PN|=6,所以點(diǎn)P在以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支上,即x29-對(duì)于①,聯(lián)立x29-y216=1,y=x+1,消y得7x2-18x-153=0,因?yàn)棣?(-18)2-4×7×(-153)>0,所以y=x+1是“單曲型直線(xiàn)”.對(duì)于②,聯(lián)立x2對(duì)于③,聯(lián)立x29-y216=1,對(duì)于④,聯(lián)立x29-y216=1,y=2x+1,消y得20x2+36x+153=0,因?yàn)棣?362-4二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2016·福州高二檢測(cè))設(shè)雙曲線(xiàn)x29-y216=1的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F.過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)B,則【解題指南】由雙曲線(xiàn)的方程可得a,b的值,進(jìn)而可得c的值,得到A,F兩點(diǎn)的坐標(biāo).因此可得BF的方程為y=±43(x-5),與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程聯(lián)立,得到點(diǎn)B的坐標(biāo),即可算出△【解析】根據(jù)題意,得a2=9,b2=16,所以c=a2因?yàn)殡p曲線(xiàn)x29-y216所以直線(xiàn)BF的方程為y=±43①若直線(xiàn)BF的方程為y=43與漸近線(xiàn)y=-43x交于點(diǎn)B5此時(shí)S△AFB=12|AF|·|yB|=12×2×103②若直線(xiàn)BF的方程為y=-43(x-5),與漸近線(xiàn)y=43x交于點(diǎn)B此時(shí)S△AFB=12|AF|·|yB|=12×2×103因此,△AFB的面積為103答案:104.(2016·浙江高考)設(shè)雙曲線(xiàn)x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.若點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是【解析】由已知a=1,b=3,c=2,則e=ca=2,設(shè)P(x,y)是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn),由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)P在右支上,則1<x<2,|PF1|=2x+1,|PF2∠F1PF2為銳角,則|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>72所以72<x<2,所以|PF1|+|PF2|=4x∈(27答案:(27,8)三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2016·南昌高二檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).如圖,B是右頂點(diǎn),F是右焦點(diǎn),點(diǎn)A在x軸正半軸上,且滿(mǎn)足|OA(1)求證:PA→·OP→=(2)若l與雙曲線(xiàn)C的左右兩支分別相交于點(diǎn)E,D,求雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍.【解析】(1)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±ba所以直線(xiàn)l的斜率為-ab所以直線(xiàn)l:y=-ab由y=-ab因?yàn)閨OA→|,|OB所以xA·c=a2,所以xA=a2Aa2c,0,PA→=0FP→所以PA→·OP→=-a2b2則PA→·OP→=(2)由y=-ab2-a4b2xx1x2=-a因?yàn)辄c(diǎn)E,D分別在左右兩支上,所以-a4c2b2+a2b2b2-a6.(2016·哈爾濱高二檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b(1)求雙曲線(xiàn)的方程及漸近線(xiàn)方程.(2)若直線(xiàn)y=kx+5(k≠0)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)C,D,且兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上,求k的值.【解析】(1)直線(xiàn)AB的方程為xa+y-b=1,即bx-ay-ab=0.又原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離|-ab|a2由ab=3所求雙曲線(xiàn)方程為x23-y漸近線(xiàn)方程為y=±33(2)由(1)可知A(0,-1),設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),由|AC|=|AD|得:x所以3+3y12+(y1+1)2=3+3y22+(y整理得:(y1-y2)=0