一致連續(xù)性的判定

一致連續(xù)性的判定摘要：一致連續(xù)的問題在數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常遇到。此論文主要討論了一致連續(xù)性的幾種常用的判定方法。論文分為四個部分，逐層對一致連續(xù)的判定進行研究。第一部分是用定義判定，定義最原本，是所有判定方法的源頭，它有兩種表述，表述一判定一致連續(xù)較為方便，表述二判定不一致連續(xù)較為方便。第二部分用Cantor定理判定，這比較快，在滿足條件的情況下用起來方便。第三部分是利用函數(shù)的周期性判定，這也就給出了不是周期函數(shù)的判定方法。第四部分運用導(dǎo)函數(shù)有界來判定，這便把導(dǎo)數(shù)與連續(xù)貫穿起來了關(guān)鍵詞：函數(shù)連續(xù)一致連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性是指函數(shù)在X二x0處的函數(shù)值是否等于函數(shù)在X0的函數(shù)的處的極限值，而函數(shù)的一致連續(xù)性主要是指在函數(shù)連續(xù)的基礎(chǔ)上，研究由自變量的微小變化，而引起的函數(shù)值的變化值的上確界是否是零，因此一致連續(xù)性比連續(xù)要強，連續(xù)函數(shù)顧名思義，是一條連綿不斷的曲線，一致連續(xù)的函數(shù)不僅僅只滿足連綿不斷了，那么什么樣的函數(shù)才是一致連續(xù)的呢，從而能否判定一個函數(shù)是否一致連續(xù)成為人們重視的課題。下面我們就針對一致連續(xù)的判定做一個簡要的總結(jié)。一、利用定義判定一致連續(xù)性的一種定義是：設(shè)函數(shù)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對任給的￡>0存在5=§(￡)>0使得對任何x',x"eI，只要|x'-x"|<6，就有|f(x')-f(x")|<s，則稱函數(shù)f在區(qū)間I上一致連續(xù)。定義適用范圍廣，但用起來不太方便。但從這里可以立即推出若f(x)在［1,+4上滿足Lipthitz條件|f(x')-f(x")|wL|x'—x'|。Vx',x"eI,其中L>0為某一常數(shù)，則必一致連續(xù)。一致連續(xù)還有一種另一種表述。即下面的定理：設(shè)I為有限區(qū)間，f(x)在I上有定義，試證：f(x)是在I上一致連續(xù)充分必要條件是f把Cauthy序列(即當(dāng)儀斤｝為Cauthy序列時，|f(x)|亦為Cauthy序列。證：1’(必要性)已知V8>0，35>0,當(dāng)x'，x''eI，|x'-x''|V6時，有1)|f(x')-f(x")|v8,

1)x-x|<￡，從而nm設(shè)Ix|為序列，則對此5>0,3N>0,當(dāng)x-x|<￡，從而nmn由(1)式，If(x)-f(x)|V￡,所以If(x)|亦為Cauthy序列.2Z(充分性)若f(x)在I上非一致連續(xù),但|f(x)-f(x')|>￡nn0但|f(x)-f(x')|>￡nn0(n=l'2'…)2)注意到I為有限區(qū)間,xnwI(n=l,2,…),因此|xI中存在收斂的子序列IxI?因I

n nkx-x'IT0(當(dāng)nTW時)，Ix'I中相應(yīng)的子序列Ixnn nI也收斂于相同的極限?從而nk穿插之后,序列x,x',x,xn1 n1 n2 n2…xnkxnk亦收斂，為Cauthy序列?但其像序列f(x),f(x'),f(x),n1 n1 n2)，…n2f(x),f(x'),…nk nk恒有If(xnk)-f(xnk')I>￡0恒有不是Cauthy的，與已知條件矛盾.注1)注1)I的有限性只在充分性用到.對無窮區(qū)間,必要性仍成。2)此定理可換成另一種表述即：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)的充要條件是區(qū)間I上的兩個數(shù)列{},{}，只要lim(s-1)二0,則lim(f(s)-f(t))二0。這種判定一nn nn n n致連續(xù)性的方法用起來特別方便,尤其是在判定不一致連續(xù)性時幾乎沒有比這種方法更簡便的了。常用的不一致連續(xù)的判定當(dāng)且僅當(dāng)：存在一個￡ >0,對每一個neN+都可以在0I中找到兩點，記s與t使得雖然有Is-1I<丄，但是If(s)-f(t)丨三￡nn nnn n n 0例1：證明I=〔0,+w)上，當(dāng)n=2,3,4…時xn不一致連續(xù)。證：先證x2在在I上不一致連續(xù)，對任何neN+。在I中取兩個點：s=n,n1t21t2—s2=(t—s)(t+s)=-

nnnnnn2nt=n+，這時0<t-s<，但是0<n 2n nnn>1?所以x2在bp)上不一致連續(xù)。當(dāng)n沁時對任何xi,x2滿足X2>Xi三1的條件下,易證：x2-x>號-x2。由x2在上不一致連續(xù)。當(dāng)xn(心3)在上也是不一致連續(xù)的。當(dāng)然例子還有很多，如f(X)二ex在R上不一致連續(xù)，取t二In(n+1),s二Inn即nn可.二、利用Cantor定理判定。(Cantor定理)若函數(shù)f在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則f在［a,b］上一致連續(xù).教材上有定理的證明，這里就不再贅述了。例2：證明：/(x)=cos\：x在H+s)上一致連續(xù)證：l°，+s)=t),1］ 1,+s)，在k+s)上成立不等式|cosx'—cos\：x"|W|x'—心"|Wx'-X"|，/(x)在li，+s)上滿足Lipthitz條件，從而在1,+s)上一致連續(xù)。又cos&在kilt連續(xù)，由Cantor定理cos7x在t),l上一致連續(xù)。綜上所述，cosv'x在t),+s)上一致連續(xù)。注1)在運用Cantor定理時一定要在閉區(qū)間，條件似乎有點強，可是在數(shù)學(xué)分析中運用極為廣泛。2)運用Cantor定理要想辦法把區(qū)間分成使得這個函數(shù)連續(xù)的閉區(qū)間，而在補區(qū)間上運用不等式證明一致連續(xù)，則可以說這個函數(shù)在整個區(qū)間上一致連續(xù)了。我們利用Cantor定理還可以得到較為實用的判定方法。設(shè)1」a，+s),f(x)在I上連續(xù)，f(x)TA(xT+s)，則f(x)在I上一致連續(xù)。證：因為f(x)TA(xT+s)，由Cauthy準(zhǔn)則知，對Vs>0,3M>0,當(dāng)x,x>M時，有|f(x)一f(x)|<￡. (1)1212又由于f(x)在Cz,M+1］上連續(xù)，有Cantor定理知f(x)在L,M+1〕上一致連續(xù)，故對上述的￡>0,存在S>0,當(dāng)x,xg\a,M+1］且丨x一x|<6時，有134341|f(x)一f(x)|<￡ (2)

取8=min匕，1｝則對x',x"w[a,+s)且|x'—x"|<5時，有(1),(2)兩式均有1，If(x')—f(x")|<「有一致連續(xù)性定義，/(x)在\a,+^)上一致連續(xù)，命題得證。三、定義在數(shù)軸上的周期函數(shù)必一致連續(xù)。有了這個驚人的結(jié)論，很多一致連續(xù)的函數(shù)躍然紙上，如定義在R上的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，頃刻間，一致連續(xù)不是那么抽象了。先證明這個結(jié)論： 在C2,+^)上連續(xù)的周期函數(shù)必一致連續(xù)。證：設(shè)周期為T，f在(-s,+s)上連續(xù)/.f在t),T上連續(xù)'由Cantor定理得f在???/在b,T上一致連續(xù)，從而對任意￡>0,35>0，|x'—x"|<8，x'，x"eln,T],|f(x')—f(x")|<￡。對|x-x|<5x，xe(—g,+8)3x，xet),T]，使得x=x+kT,x=x+kT1212341324且Ix-x|<5If(x)——f(x)|<￡而f(x)二f(x),f(x)二f(x)這便得34341324到If(x)—f(x)|<￡，所以/在(—0+2)上一致連續(xù)。12注：這給出了定義在整個數(shù)軸上的周期函數(shù)必一致連續(xù)，當(dāng)然也可以通過這個結(jié)論判斷某些函數(shù)不是周期函數(shù)，一致連續(xù)只是周期函數(shù)的必要條件。顯然s—tT0(nT2)，而nn例3證明：f(x)二sinx2不是周期函數(shù)證明：取顯然s—tT0(nT2)，而nnf(s)—f(t)二1，有一致連續(xù)性的第二定義可知f(x)不一致連續(xù)，再有上面結(jié)論可nn知f(x)不是周期函數(shù)。四、利用導(dǎo)函數(shù)有界判定一致連續(xù)性。當(dāng)函數(shù)具有比連續(xù)更強的性質(zhì)時，有著更加簡便可行的判定方法。如當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間上可導(dǎo)時，我們只需看導(dǎo)函數(shù)是否有界，若有界，則必一致連續(xù)。設(shè)函數(shù)f在I上可導(dǎo)，且3M>0使得If'(x)|wM，則f必一致連續(xù)。由題設(shè)對任意xeI有|f'(x)|WM，則對任意￡>0,35=時M￡Ix-x|<5時，x,xeI|f(x)—f(x)|=|f'憶)||x—x|<M?盂=￡從12121212M而一致連續(xù)。例3:y=xInx在1,+s）上一致連續(xù)嗎？解：顯然y在［1,+s）上可導(dǎo)，y'= T0（當(dāng)兀T+s）,有函數(shù)極限局部的2y：'x有界性，3M>0,當(dāng)x>M時，y'W1,而y'在1,M上連續(xù)，從而有界，存在A>0,使得y'WA，取K二max￡a｝則y'WK，由上面的結(jié)論可知，y在1,+s一致連續(xù)。上面介紹了幾種判定一致連續(xù)性的方法，每種方法用起來各有千秋，在遇到判定一致連續(xù)性的問題時，注意善于選擇適合的判定方法，能否能夠靈活的對癥下藥，要看平時的細(xì)心觀察和感悟了。參考文獻：［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2002;69~86.［2］ 常庚哲?數(shù)學(xué)分析教程（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2003;105~108.［3］ 裴禮文?數(shù)學(xué)分析中的典型例題與方法（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2006；46~50.［4］ 陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析［M］北京：高等教育出版社，1999；109~112.［5］ 張筑生.數(shù)學(xué)分析新講［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2000;128~130.［6］ 南京大學(xué)數(shù)學(xué)系分析中的典型例題與基本方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2000；80~91.［7］ 洪敏?關(guān)于一致連續(xù)的判定［J］.惠州學(xué)院學(xué)報,2005（3）ToDeterminetheUniformContinuityoftheFunctionName:HuaFeitengStudentNunber:200640501216Advisor:Ma

YutianAbstract:Theuniformcontinuityproblemsfrequentlyareencounteredinmathematicalanalysis.Thispaperfocusesonaconsensusofseveralcommonlyusedtodeterminethecontinuityofapproach.Itisdividedintofourparts.Thefirstpartisthedefinitionusedtodeterminethedefinitionofthemostoriginalisthatallmethodstodeterminethesource,ithastwokindsofstatementstodetermineauniformlycontinuousrepresentationismoreconvenienttodeterminethetwostatementsareinconsistentcontinuousismoreconvenient.DeterminedbythesecondpartofCantor'stheorem,whichisfaster,tomeettheconditionstousethemeasily.Thethirdpartistheuseofthecyclicalnatur