多面體外接球半徑內(nèi)切球半徑的常見幾種求法

Documentserialnumber【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】多面體外接球、內(nèi)切球半徑常見的5種求法如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.公式法例1一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長為3,則這個球8的體積為.設正六棱柱的底面邊長為x,高為設正六棱柱的底面邊長為x,高為h，則有<6x=3,9_A耳2——6x—x2h,[841X=2,

h=<3.，正六棱柱的底面圓的半徑r=1,球心到底面的距離d=—.，外接球的22.「一:4冗半徑R=rr2+d2=1.「.V球=--.小結(jié)本題是運用公式R2=r2+d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是A.16兀B.20兀C.24兀D.32兀解設正四棱柱的底面邊長為x，外接球的半徑為R，則有4x2=16，解得x=2.???2R=<22+22+42=2<6,/.R=J6.，這個球的表面積是4兀R2=24兀.選C.小結(jié)本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.補形法例3若三棱錐的三個側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為；3，則其外接球的表面積是—.解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，，把這個三棱錐可以補成一個棱長為<3的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.

設其外接球的半徑為R，則有（2R）2=（；;3）+（'3）+故其外接球的表面積S=4兀R2=9兀.小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為〃、b、c，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外接球的半徑為R，則有2R=aa2+b2+c2.尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為J2，點TOC\o"1-5"\h\zS、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為.解設正四棱錐的底面中心為01，外接球的球心為0，S如圖3所示.，由球的截面的性質(zhì)，可得0011平面ABCD.又S011平面ABCD，，球心0必在S01所在的直線上./O/CA圖3B???AASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在AASC中，由SA=SC=<2,AC=2，得SA2+SC2=AC2.???AASC是以AC為斜邊的A.???AC=1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故匕求=色.2球3小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法值得我們學習.確定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為A.125兀12b.A.125兀12b.125兀C.125—兀6解設矩形對角線的交點為0解設矩形對角線的交點為0，則由矩形對角線互相平125D.兀D.3分，可知0A=0B=0C=0D..,?點0到四面體的四個頂點A、B、C、D的距離相等，即點0為四面體的外接球的球心,54125如圖2所示".外接球的半徑R=0A=-.故v球=3兀R3=-6-"選c.

出現(xiàn)多個垂直關(guān)系時建立空間直角坐標系，利用向量知識求解【例題】：已知在三棱錐A—6。中，面ABC,ZBAC=120°,AB=AD=AC=2,求該棱錐的外接球半徑。解：由已知建立空間直角坐標系由平面知識得設球心坐標為o(x_,y,zx2+出現(xiàn)多個垂直關(guān)系時建立空間直角坐標系，利用向量知識求解【例題】：已知在三棱錐A—6。中，面ABC,ZBAC=120°,AB=AD=AC=2,求該棱錐的外接球半徑。解：由已知建立空間直角坐標系由平面知識得設球心坐標為o(x_,y,zx2+y2+z2=(x-2)2+y2+z2解得x=1y=-z=13DC(-1,3,AO=BO=CO=Dx2+y2土xB所以半徑為?=、i+(史)2+12=3<21亍【結(jié)論】：空間兩點間距離公式：PQ=q(x1-x)2+(y-y)2+(z-z)2四面體是正四面體外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個點，根據(jù)勾股定理知，假設正四面體的邊長為a時，它的外接球半徑為電a。4內(nèi)切球的半徑正方體的內(nèi)切球：設正方體的棱長為a，求(1)內(nèi)切球半徑；(2)外接球半徑；(3)與棱相切的球半徑。(1)截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓，得R=a；2(2)與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中2點，如圖4作截面圖，圓O為正方形EFGH的外接圓，易得R=—a。2(3)正方體的外接球：正方體的八個頂點都在球面上，如圖5,以對角面AA作截面圖得，圓O為矩形AACC的外接圓，易得111

R=AO=-ao12構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點處，由球心、底面中心及底面一頂點構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例題：已知底面邊長為〃正三棱柱A8C-AB。的六個頂點在球O上，又知球O與此正三棱柱的5個面都相切，求球O與球O的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。過正三棱柱的一條側(cè)棱解：如圖6,由題意得兩球心0、O是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱12AA和它們的球心作截面，設正三棱柱底面邊1長為aa，正三棱柱的高為長為aa，正三棱柱的高為<3——a3由RtAADO中，得112525=—a2

12a112「.S:S=R2：R2=5:112「.S:S=R2：R2=5:11212V:V=5a/5:112棱錐的內(nèi)切、外接球問題4.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少分析：運用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設點O是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為a.由圖形的對稱性知，點O也是外接球的球心.設內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R.BD在RtABEO中，BO2=BE2+EO2,即R2二R=^—a/