材料力學：組合變形

材料力學第八章組合變形Tuesday,November8,2022本章內(nèi)容

§8-1組合變形的疊加原理§8-2

拉彎組合變形§8-3

彎扭組合變形

四種基本變形計算：變形軸向拉壓

剪切扭轉(zhuǎn)平面彎曲外力軸向力橫向力

外力偶橫向力或外力偶內(nèi)力軸力(FＮ)

剪力(FS)扭矩(T)

剪力(FS)彎矩(M)應(yīng)力

正應(yīng)力

切應(yīng)力

切應(yīng)力切應(yīng)力正應(yīng)力

計算公式分布規(guī)律T

構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形,

則構(gòu)件的變形稱為組合變形。一、工程實例§8-1

組合變形和疊加原理屋

架

檁條二、解決組合變形問題的基本方法－疊加法

1.疊加原理：彈性范圍小變形情況下，各荷載分別單獨作用所產(chǎn)生的應(yīng)力、變形等可疊加計算。

2.計算方法：“先分解，后疊加。”先分解----應(yīng)先分解為各種基本變形，分別計算各基本變形。后疊加----將基本變形計算某量的結(jié)果疊加即得組合變形的結(jié)果。

本章主要研究應(yīng)力和強度計算。

在外力作用下同時發(fā)生拉伸(壓縮)與彎曲兩種基本變形，稱為拉彎組合變形。

在計算時不考慮剪力的作用。§8-2

拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形●

橫向力與軸向力共同作用●

偏心拉（壓）外力分解一、橫向力與軸向力共同作用2．內(nèi)力計算在m-m

截面上3．應(yīng)力計算C點的總應(yīng)力為4．強度計算危險截面在固定端處,最大應(yīng)力為拉應(yīng)力，發(fā)生在梁的固定端截面處的下邊緣，其值為其強度條件為

上邊緣的應(yīng)力疊加后，也可能出現(xiàn)壓應(yīng)力。對抗壓強度與抗拉強度不同的材，還應(yīng)對上邊緣的壓應(yīng)力進行強度計算。

例8.1

結(jié)構(gòu)如圖所示，已知最大吊重Fmax

=8kN，AB為工字鋼梁，材料為Q235，許用應(yīng)[σ]=100MPa

，試選用工字鋼型號。1.先計算出CD

的桿長2.取AB為研究對象，為計算方便將FCD分解3.畫出FN圖和M圖C截面左側(cè)具有最大的軸力和彎矩為危險截面。+=C截面左側(cè)下邊緣兩種壓應(yīng)力疊加，達到最大應(yīng)力，為危險點。4.

在還未選定工字鋼型號之前，可先不考慮軸向內(nèi)力FN的影響，根據(jù)彎曲強度條件來選擇，然后根據(jù)組合應(yīng)力進行校核。+=查表選用:I165.校核危險點+=由于最大應(yīng)力超出很小，超出部分在5%以內(nèi)，仍可認為是安全的。因此可以選擇I16

例8.2

混凝土攔水壩如圖所示，橫截面為矩形，寬度為，受水壓和自重作用，混凝土的重力密度，水的重力密度，取一米長壩體分析，求壩體寬度的尺寸，使壩底不出現(xiàn)拉應(yīng)力。【解】取單位長壩體分析，水的分布壓力為

壩底的軸力為

壩底的彎矩為

最可能出現(xiàn)拉應(yīng)力的是A點,令A(yù)點的應(yīng)力為零，即

解出

當外力作用線與桿的軸線平行但不重合時，將引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形。二、偏心拉（壓）

1.橫截面上的內(nèi)力

軸力FN=F彎矩由疊加原理，得C點處的正應(yīng)力為式中A為橫截面面積;Iy

,Iz

分別為橫截面對y軸和z

軸的慣性矩;

(

ey，ez

)為力F

作用點的坐標;(y,z)為所求應(yīng)力點的坐標.

2.任意橫截面C

點的應(yīng)力利用慣性矩與慣性半徑的關(guān)系3.中性軸與強度計算上式可改寫為立柱的最大壓應(yīng)力發(fā)生在角點D1處(危險點),其強度條件為

yzO對于沒有棱角的截面，必須首先確定中性軸的位置，然后找到離中性軸最遠的點，這就是危險點。

令

y0,z0代表中性軸上任一點的坐標，即得中性軸方程中性軸ayazD1D2

中性軸在y,z

兩軸上的截距為此處介紹一下截面核心的概念例8.3

正方形截面立柱的中間處開一個槽，使截面面積為原來截面面積的一半。求開槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來不開槽的幾倍。FFaaaa11FFa/2未開槽【解】Faa開槽后1-1是危險截面危險截面為偏心壓縮未開槽前立柱的最大壓應(yīng)力開槽后立柱的最大壓應(yīng)力例8.4

小型壓力機的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[c]=160MPa。試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。yzz0z1350FF5050150150【解】(1)確定中性軸位置及慣性矩yzz0nnFNMy(2)分析立柱橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力在n—n

截面上有軸力FN及彎矩Mynn350FFyzz0軸力FN產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150由彎矩My產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）疊加在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力[F]45.10kN5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力[F]171.3kN[F]45.0kN所以取5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy同時發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)兩種基本變形，稱為彎扭組合變形?！?-3

彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形1.內(nèi)力分析

設(shè)一直徑為

d

的等直圓桿AB,B端具有與AB成直角的剛臂。研究AB桿的內(nèi)力。將力F

向AB

桿右端截面的形心B簡化得橫向力F

（引起平面彎曲）力偶矩m=Fa

（引起扭轉(zhuǎn)）AB

桿為彎、扭組合變形畫出AB段的內(nèi)力圖，可見固定端A截面為危險截面。FaTFlM危險點的應(yīng)力狀態(tài)

（D1點)2.應(yīng)力分析

用第三強度理論將主應(yīng)力代入上式，得到用第三強度理論表達的強度條件為用第四強度理論將和的表達式代入上二式，并考慮到圓截面Wt＝2W，得

將主應(yīng)力代入上式，得到用第四強度理論表達的強度條件為軸的受力如圖，圖中，

例8.5圖示手搖絞車。軸的直徑，其許用應(yīng)力為，試按第三強度理論確定絞車的最大吊重F。【解】由第三強度理論得解出

例8.6

圖示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪C

上作用有鉛垂切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪D上作用有水平切向力10kN，徑向力3.6

kN

。齒輪

C

的節(jié)圓直徑d1=400mm,齒輪D

的節(jié)圓直徑d2=200mm。設(shè)許用應(yīng)力=100MPa

,試按第四強度理論求軸的直徑。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.6kN【解】(1)外力的簡化將每個齒輪上的外力向該軸的截面形心簡化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.6kNxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.6kN10kN1kN.m1kN·m

使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)

5kN

，3.64kN

使軸在xz

縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲

1.82kN，10kN使軸在xy

縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲

(2)軸的變形分析T=1kN·m圓桿發(fā)生的是雙向彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形1CT圖-My圖0.57CB0.36xyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.6kN10kN1kN.m(3)繪制軸的內(nèi)力圖Mz圖0.2271CB1kN·mCT圖-My圖0.57kN·mCB0.36kN·mB截面的總彎矩最大Mz圖0.2271CB(4)由強度條件求軸的直徑

具有雙對稱截面的梁，它在任何一個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲時均為平面彎曲。*雙向彎曲1.外力分解：2.內(nèi)力計算：3.應(yīng)力計算：利用疊加原理得x

截面上C

點處的正應(yīng)力為上述分析計算中，式中各物理量均可取絕對值，而各項應(yīng)力的正、負號可按拉為正，壓為負直觀地判斷。4．強度計算圖示矩形截面梁的危險截面顯然在固定端截面處，而危險點則在角點和處。危險點的最大應(yīng)力與強度條件為對于有外凸角點的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大應(yīng)力一定發(fā)生在角點處。而對于沒有外凸角點的截面，需要先求截面上中性軸的位置。根據(jù)中性軸定義，中性軸上各點處的正應(yīng)力均為零，令代表中性軸上任意點的坐標，由式（12.1）令，即得中性軸方程為中性軸與y軸的夾角q為上式表示中性軸為通過截面形心的直線。

式中，為合彎矩與軸的夾角。

斜彎曲平面彎曲中性軸將橫截面分為兩部分，一部分受拉應(yīng)力，一部分受壓應(yīng)力。作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面的周邊相切，這兩個切點D1，D2就是該截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力為最大的點。將危險點的坐標代入應(yīng)力計算式，即可求得橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。危險點的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)或近似當作單向應(yīng)力狀態(tài)，故其強度條件為

例8.7

工字形截面簡支梁，跨長為，作用在跨中的集中力，力的作用線與橫截面鉛直對稱軸