矩陣課件-第5章-5.2.4hermite與分段低次2017春

ixoxPnxi

f

xi

Pnxi

f

xi

L

L

L

Li

若有相同的切線若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好Pn

xi

f

xi

,

i

0

,

1

,

L

,

nyf

(

x)

Pn

(

x)Pi

y

f

(

x)i在x

處相交Lagrange插值多項(xiàng)滿(mǎn)in次多項(xiàng)式pn(x)，使其滿(mǎn)足插值條件：p

(

i

)

(x

)

f(i

)

(x

)

y(i

)

,其中1

,

2

,L

,

s(5-18)5.2.4

Hermite插值理論和應(yīng)用中

某些插值問(wèn)題，要求插值函數(shù)p(x)具有一定的光滑度，即在插值節(jié)點(diǎn)處滿(mǎn)足一定的導(dǎo)數(shù)條件，這類(lèi)插值問(wèn)題稱(chēng)為Hermite插值問(wèn)題。Hermite插值問(wèn)題的一般提法是：設(shè)已知函數(shù)

f(x)在s

個(gè)互異點(diǎn)

x1,x2

,…,xs

處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值：為正整數(shù)，記1

2

L

s

n

1,

構(gòu)造一個(gè)i

1,

2,

L

,

s

;i

0,1,L,i

1。1

1f

x

,

f

x

,

L

,f

(1

1)

x

;2

2

f

x

,

f

x

,

L

,

fx

1;22(

1)

ss

sf

x

,

f

x

,

L

,

fsx

,(

1)L

LL這樣將得到如下形式的n次插值多項(xiàng)可以采用類(lèi)似于構(gòu)造Lagrange插值基函數(shù)li(x)的方法來(lái)解Hermite插值問(wèn)

構(gòu)造一批

n

次多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)，Li,k

(x),

i

1,2,

L,

s

;

k

0,1,L,i

1,li

xixi

1

,

2

,

L

,

sif

x

iif

x

i

1sx

f

xis

lip

x

i1if

x

f

x

Li

1

,

2

,

L

,

six回p

xn？si1LLi

i,0

i

i,1y

x

y

xyiii,1

L

x

1

L

i

1

,

2

,

L,

ssk

x

yinp

x

i1

k

0且滿(mǎn)足插值條件（5-18）L

i,ki

1

yi

i

1

,

2

,

L,

s

,i

pi

i

0,1,L,i

1。滿(mǎn)問(wèn)二點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)設(shè)已知函數(shù)f(x)在2

個(gè)互異點(diǎn)x1,x2

處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值：f

x1

,

f

x1

;

f

x2

,

f

x2

;構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式H3

x

ax

bx32

cx

d使其滿(mǎn)足插值條件H3

x1

f

x1

,

H3

x1

f

x1

;H3

x2

f

x2

,

H3

x2

f

x2

;1

1,0

2

12,0

1,12(x)

f(x

)

L

(x)

f

(x

)

L

(x)

f

(x

)

L2,1(x)L1,0

(x1

)

1L1,1(x1

)

1L1,0

(x2

)

L1,0(x1

)

L1,0(x2

)

0L1,1(x1

)

L1,1(x2

)

L1,1(x2

)

0L2,0

(x2)

1

L2,0

(x1

)

L2,0

(x1

)

L2,0

(x2

)

0L2,1(x2

)

1

L2,1(x1

)

L2,1(x1

)

L2,1(x2

)

0以L1,0(x)為例計(jì)算之,L2,0(x),L1,1(x),L2,1(x)同例1用基函數(shù)法來(lái)構(gòu)造三次多項(xiàng)式H3(x)。H3

(x)

f

(x

)

L其中L1,0(x),L2,0(x),L1,1(x),L2,1(x),為插值基函它們滿(mǎn)足設(shè)21,0

2x

ax

bL

(x)

x

21,0

22L

(x)

2

x

xax

b

a

x

x由于L1,0(x)為三次多項(xiàng)式,又L1,0

(x2

)L1,0(x2

)

0,

故應(yīng)有又由L1,0

(x1

)

1,L1,0(x1

)0,

進(jìn)一步21

2

1x

x

ax

b

12121

ax

b

1

2112

ax

b

a

x

x

0

31

2x

x

2x

x

a

231x1

x2

3x

xb

1,0L2

1 2

1

2

(x)

2

1

1

x

x

2x

x

x

xx

x

代入上式那么，有

x

x

2L1,1(x)

2

x

x1

,2,0Lx2

x1

(x)

1

1

2

2

x2

x1

x

x x

x2

x2

x1

x1

x2

x

x

2L2,1

(x)

1

x

x2

1212x

x

x

xx

xx

x1 2

1 2

2

x2

x1

x

x

f

(x1

)(x

x1

)22122x

x

x

x

x

x

x

x

f

(x

2

)1

2

1

2 1

12

2

x

x

2

f

(x

)(x

x

)

x

x

2 1

從而得3次插值多項(xiàng)式:3H

(x)

f

(x

)

1

2這就是二點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式,其滿(mǎn)足插值條H3

xk

f

xk

H3

xk

f

xk

k

1,

24 2

x

,

,構(gòu)造三次Hermite多項(xiàng)式練習(xí)已知f(x)=sinx,2

,2f

sin

4

4

2

,2f

cos

4

4

f

sin

1

,

2

2f

cos

0

,

2

2

則

2

x

x

4

2

f1

2

2

x

f

x

2

4

4

4 2

4

4 2

4 2

2x

x

2

4

f

21

2

解

已知3H

x

2228x

4x

2

3

22

2 4

2 4

2

x

4x

2

2

4

2

3

4x

4x

32

3f

(x)

p

(x)

min(x1

,x2

)

max(x1

,x2

)。其中設(shè)f(x)∈C3[a,b]，在（a,b）內(nèi)4階可

22124!(4)f

()x

x x

x

,

x

[a,

b]定理5.3’又設(shè)a≤x1＜x2≤b則兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式p3(x)有如下的誤差估計(jì)

3f

x

p

x

2x

,

x

K對(duì)上述給定的

x

,引進(jìn)輔助函數(shù):

2212x

xx

x

K

x

3

t

f

t

p

t

2212K

x t

xt

x

,證

若x為

x1,x2中的某一個(gè),

則誤差估計(jì)式顯然成以下假設(shè)

x≠xi

(i=1,2),

由插值條件,可3f

(x)

p

(x)

min(x1

,x2

)

max(x1

,x2

)。其中設(shè)f(x)∈C3[a,b]，在（a,b）內(nèi)4階可

221

24!(4)f

()x

x x

x,

x

[a,

b]定理5.3’又設(shè)a≤x1＜x2≤b則兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式p3(x)有如下的誤差估計(jì)4!f

(4)

K

x

于是，代入估計(jì)式即知結(jié)論成立。顯然

xi

xi

0,

(x)

0

。i

1,

2

,使得(

4

)

()

f

(4)

()

0

K

x

4!

0

,2231

2(t)

f

(t)

p

(t)

K

(x)(t

x

) (t

x

)

t

有2個(gè)二重零點(diǎn)

x1,x2

和一個(gè)單重零點(diǎn)x

。反復(fù)運(yùn)用Rolle定理可證，至少有一個(gè)ξ,且min

x,

x1,

x2

max

x,

x1,

x2

5.2.5

分段低次插值利用插值法構(gòu)造近似函數(shù)時(shí)，為了提高近精度，經(jīng)常需要增加插值節(jié)點(diǎn)，加密插值節(jié)點(diǎn)會(huì)使插值函數(shù)與

值函數(shù)在

節(jié)點(diǎn)上的取值相同，那么誤差是否會(huì)隨之減小呢？答案是否定的。原因在于插值節(jié)點(diǎn)增多導(dǎo)致插值多項(xiàng)式的次數(shù)增高，而高次多項(xiàng)式的振蕩次數(shù)增多有可能使插值多項(xiàng)式在非節(jié)點(diǎn)處的誤差變得很大。51

x2nkx

5

10

k在[-5,5]上構(gòu)造等距節(jié)k

0,1,L

,n。例如，對(duì)于函數(shù)

f

x

分別取

n=6、n=8

和

n=10作出插值多項(xiàng)式pn(x)

近

5

4

3

2

10

5

1

x2f

x

p8

xp6

x等距節(jié)點(diǎn)高次插值多項(xiàng)式的Rung現(xiàn)象yp10

xaxben

max

In

f

,

x

In

f

,

xni0nni0,

I

f

,

xli

x

fi

。nnil

x

,

I

maxa

xb

i0

插值函數(shù)的穩(wěn)定性的分析，得到插值函數(shù)的舍入誤差項(xiàng)為：其顯然，對(duì)等距節(jié)點(diǎn)的高次的Largrange多項(xiàng)式插值ηn是隨著n增長(zhǎng)Runge現(xiàn)象對(duì)等距節(jié)點(diǎn)的高次插值多項(xiàng)式的是典型nmaxaxb

i0

1in

li

xmax

fi

fini1in

max

f

fi故得出結(jié)論h(5-26)為了克服高次插值多項(xiàng)式的上述弊端，通常采用分段低次

插值的方法，即以插值節(jié)點(diǎn)為分點(diǎn)，將[a,b]分成若干個(gè)小區(qū)間，并在每個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行低次的多項(xiàng)式插值。一、分段線性Lagrange插設(shè)插值節(jié)點(diǎn)

x0,x1,…,xn滿(mǎn)足a≤x0<x1<…<xn≤b,在每一個(gè)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上做線性插值多項(xiàng)式x

[xk

,xk

1]。Lh

(x)

hL(0)

(x),hL(1)

(x),x

[x0

,

x1],x

[x1

,

x2

],Mx

[xn1

,

xn

],hML(n1)

(x),令(5-27)L(k

)

(x)

ykkk

1x

xk

yk

1

xk

1x

xk

1

x

xk

x

,y=Lh(x)的圖形是平面上連接點(diǎn)1(x)(k

)hR

(x)

f

(x)

L2k

1k (x

x

)(x

x

),212Mk

k1axbmax

|

R

(x)

|M

2

max

|

f

(x)

|,

h

max

hk

,a

xb

0k

n1從而其中顯然

Lh(xi)=yi

(i=0,1,…,n),

Lh(x)稱(chēng)為

f(x)在[a,b]上的分線性插值多項(xiàng)式(5-29)(5-28)8hk

xk

1

xk|

(x

x

)(x

x

)

|

M

2

h2

,

5

4

3

2

10(x1,y1)、…、(xn,yn)的一條折線（如圖）。y由插值余項(xiàng)定理，當(dāng)f(x)在[a,b]上二次可微時(shí)，對(duì)任意x∈[xk

,xk+1]，余項(xiàng)

f

()

5

1

x2f

x

hL(k

)

(x)hL(n1)

(x)h0n作為f(x)的近似值。k

k+1對(duì)x∈[a,b],若x∈[x

,x

],則h0易證,當(dāng)f(x)∈C[a,b]時(shí),lim

Lh

(x)

f

(x)

在[a,b]上一致成立L(k

)(x)

作為f(x)的近似值h,則以

L(0)

(x)

作為f(x)的近似值

若x≥x

,則若x≤x二、分段二次Lagrange插值1當(dāng)給定的函數(shù)表

點(diǎn)的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)多于3的時(shí)候,為了提高計(jì)精度,或根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要,有時(shí)采取分段二次插值法對(duì)于x∈[a,b],應(yīng)選擇靠近x的三個(gè)節(jié)點(diǎn)做二次插值多項(xiàng)式當(dāng)x∈[xk,xk+1],且x偏向xk時(shí),選擇xk-1,xk,xk+1作為插值節(jié)點(diǎn)；當(dāng)x∈[xk,xk+1],且x偏向xk+1時(shí),選擇xk,xk+1,xk+2作為插值節(jié)點(diǎn)；234當(dāng)x∈[x0,x1),或x＜x0時(shí),選擇x0,x1,x2作為插值節(jié)點(diǎn)當(dāng)x∈(xn-1,xn],或x＞xn時(shí),選擇xn-2,xn-1,xn作為插值節(jié)點(diǎn)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要,還可采用分段