7.2　空間點、直線、平面之間的位置關系

7.2

空間點、直線、平面之間的位置關系第七章課標要求1.借助長方體,在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上,抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解基本事實1—4和等角定理.備考指導本節(jié)的基本事實是立體幾何位置關系的基礎,復習時應結合圖形和符號語言理解記憶.能準確把握對點、線、面及關系的邏輯表達,為后面空間位置關系的證明打好基礎,培養(yǎng)空間想象的數學素養(yǎng).內容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.基本事實體系

2.由基本事實1,2得到的推論

3.空間中直線與直線的位置關系(1)異面直線①定義:把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.②畫法:(通常用平面襯托)(2)空間兩條直線的位置關系

(3)重要結論:連接平面內一點與平面外一點的直線,和這個平面內不經過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為A?α,B∈α,l?α,B?l?AB與l是異面直線(如圖).問題思考分別在不同平面內的兩條直線一定是異面直線嗎?不一定,如圖,雖然有a?α,b?β,即a,b分別在兩個不同的平面內,但是因為a∩b=O,所以a與b不是異面直線.4.空間中直線與平面的位置關系

5.空間中平面與平面的位置關系溫馨提示平面與平面之間無特別說明,一般不講“重合”.6.基本事實4與等角定理(1)基本事實4(2)等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.溫馨提示定理中的兩個角的三種位置情況:(1)兩個角的兩條邊分別對應平行且方向相同,此時兩個角相等;(2)兩個角的兩條邊分別對應平行且方向相反,此時兩個角相等;(3)兩個角的兩條邊分別對應平行,且其中一條邊方向相同,另一條邊方向相反,此時兩個角互補.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.(

)(2)兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于A點,記作α∩β=A.(

)(3)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,則c與b不可能平行.(

)(4)如果兩個不重合的平面α,β有一條公共直線a,那么平面α,β相交,并記作α∩β=a.(

)(5)若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線.(

)××√√×2.在空間中可以確定一個平面的條件是(

)A.兩條直線 B.一點和一條直線C.三個點 D.一個梯形DA中,若兩條直線是異面直線,則不能確定一個平面;B中,若點在直線上,則不能確定一個平面;C中,若三個點在同一條直線上,則不能確定一個平面;D中,梯形有兩條邊平行,而兩條平行直線能確定一個平面.3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,BB1的中點,則下列直線中與直線EF相交的是(

)A.直線AA1

B.直線A1B1C.直線A1D1

D.直線B1C1D只有B1C1與EF在同一平面內,且相交,選項A,B,C中直線與EF都是異面直線,故選D.4.設P表示一個點,a,b表示兩條直線,α,β表示兩個平面,給出下列四個結論:①P∈a,P∈α?a?α;②a∩b=P,b?β?a?β;③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α;④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b.其中正確的結論是

.(填序號)

③④

①直線a與平面α可能相交于點P,故①不正確;②直線a與平面β可能相交,故②不正確;③④正確.5.如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則

(1)當AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH為菱形;

(2)當AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH為正方形.AC=BDAC=BD,且AC⊥BD易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,顯然四邊形EFGH為平行四邊形.(1)要使平行四邊形EFGH為菱形,需滿足EF=EH,即AC=BD;(2)要使四邊形EFGH為正方形,需滿足

EF=EH,且EF⊥EH,即AC=BD,且AC⊥BD.第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成能力形成點1平面的基本事實及其應用命題角度1證明點、線共面問題例1

已知一條直線與另外三條互相平行的直線都相交,證明:這四條直線共面.證明

如圖所示.(方法一)∵a∥b,∴a,b確定平面α.又l∩a=A,l∩b=B,∴l(xiāng)上有兩點A,B在α內,即直線l?α.∴a,b,l共面.同理,a,c,l共面,即c也在a,l確定的平面內.故a,b,c,l共面.(方法二)∵a∥b,∴a,b確定平面α.又A∈a,B∈b,∴AB?α,即l?α.又b∥c,∴b,c確定平面β.而B∈b,C∈c,∴BC?β,即l?β.∴b,l?α,b,l?β,而b∩l=B,∴α與β重合,故a,b,c,l共面.命題角度2證明點共線例2

如圖,△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=Q,BC∩α=R.求證:P,Q,R三點共線.證明

(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈α.又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.由基本事實3可知點P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上,∴P,Q,R三點共線.(方法二)∵AP∩AQ=A,∴直線AP與直線AQ確定平面APQ.又AB∩α=P,AC∩α=Q,∴平面APQ∩α=PQ.∵B∈平面APQ,C∈平面APQ,∴BC?平面APQ.∵R∈BC,∴R∈平面APQ,又R∈α,∴R∈PQ,∴P,Q,R三點共線.命題角度3證明線共點例3

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點,求證:(1)E,C,D1,F四點共面;(2)CE,D1F,DA三線共點.證明

(1)如圖,連接EF,CD1,A1B.∵E,F分別是AB,AA1的中點,∴EF∥A1B.又A1B∥CD1,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四點共面.(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE與D1F必相交,設交點為P,則由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直線DA.∴CE,D1F,DA三線共點.解題心得1.點、線共面問題的證明方法:(1)納入平面法:先確定一個平面,再證明有關點、線在此平面內.(2)輔助平面法:先證明有關點、線確定平面α,再證明其余點、線確定平面β,最后證明平面α,β重合.2.證明點共線問題的常用方法(1)基本性質法:一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點,再根據基本事實3證明這些點都在這兩個平面的交線上.(2)納入直線法:首先選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其余點也在該直線上.3.證明三線共點問題,常用的方法是:先證明其中兩條直線交于一點,再證明交點在第三條直線上.證明交點在第三條直線上時,一般先證明第三條直線為前兩條直線所在平面的交線,再用基本事實3證明.對點訓練1(1)如圖所示,已知A∈l,B∈l,C∈l,D?l,求證:直線AD,BD,CD共面.證明

因為D?l,所以l與D可以確定平面α.因為A∈l,所以A∈α.又D∈α,所以AD?α.同理,BD?α,CD?α,所以AD,BD,CD共面.(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為B1C1和D1C1的中點,P,Q分別為EF和BD的中點,體對角線A1C與平面EFDB交于點H,求證:P,H,Q三點共線.證明

因為EF?平面BDFE,P∈EF,所以P∈平面BDFE.同理,Q∈平面BDFE,所以P,H,Q∈平面BDFE.連接A1C1,AC,圖略,由正方體的性質知A1C1∥AC,所以直線A1C1,AC確定平面ACC1A1,又P∈A1C1,Q∈AC,H∈A1C,所以P,H,Q∈平面ACC1A1,所以P,H,Q三點一定在平面BDFE與平面ACC1A1的交線上,故P,H,Q三點共線.(3)如圖所示,在空間四面體ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別是BC,CD上的點,且

.求證:①E,F,G,H四點共面;②直線FH,EG,AC共點.證明

①如圖,連接EF,GH,∵E,F分別是AB,AD的中點,∴EF∥BD.∴GH∥BD,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四點共面.②易知直線FH與直線AC不平行,但共面,可設FH∩AC=M,則M∈平面EFHG,M∈平面ABC.∵平面EFHG∩平面ABC=EG,∴M∈EG,∴直線FH,EG,AC共點.能力形成點2空間兩條直線的位置關系的判斷例4

(1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內,l2在平面β內,l是平面α與平面β的交線,則下列結論正確的是(

)A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交Dl1與l在平面α內,l2與l在平面β內,若l1,l2與l都不相交,則l1∥l,l2∥l,則l1∥l2,與已知矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交.(2)如圖所示,AB,CD是異面直線,求證:直線AC,BD也是異面直線.證明

假設AC和BD不是異面直線,則AC和BD在同一平面內,設這個平面為α,由AC?α,BD?α,知A,B,C,D∈α.故AB?α,CD?α.這與AB和CD是異面直線矛盾,所以假設不成立,所以直線AC,BD是異面直線.解題心得空間兩條直線位置關系的判定方法

對點訓練2如圖,G,N,M,H分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點,則直線GH,MN是異面直線的圖形有

.(填序號)

②④

題圖①中,直線GH∥MN;題圖②中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;題圖③中,連接GM,易知GM∥HN,因此GH與MN共面;題圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面.故填②④.能力形成點3基本事實4及等角定理的應用例5

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別為棱AD和A1D1的中點.

求證:(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.證明

(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分別為棱AD,A1D1的中點,∴AM=A1M1,且AM∥A1M1,∴四邊形AMM1A1為平行四邊形,∴MM1=AA1,且MM1∥AA1.又AA1=BB1,且AA1∥BB1,∴MM1=BB1,且MM1∥BB1,∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)(方法一)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.又∠BMC和∠B1M1C1的兩條邊方向相同,∴∠BMC=∠B1M1C1.(方法二)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1=BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1,∴∠BMC=∠B1M1C1.解題心得1.證明空間兩條直線平行的方法:(1)定義法:證明兩條直線在同一個平面內且兩條直線沒有公共點;(2)利用基本事實4:找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行.2.證明空間角相等的方法:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.對點訓練3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別為棱AD,AB,B1C1,C1D1的中點.求證:∠EA1F=∠E1CF1.證明

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中點M,連接BM,F1M.∴四邊形F1MBC為平行四邊形.∴BM∥F1C.又BM∥A1F,∴A1F∥F1C.同理可得A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩條邊分別對應平行,且方向都相反,∴∠EA1F=∠E1CF1.第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升思想方法——構造模型判斷空間線面的位置關系

空間點、直線、平面的位置關系是立體幾何的理論基礎,高考常設置選擇題或填空題,考查直線、平面位置關系的判斷和異面直線所成的角的求法.在判斷線、面的位置關系時,有時可以借助常見的幾何體作出判斷.這類試題一般稱為空間線面位置關系的組合判斷題,解決的方法是“推理論證加反例推斷”,即正確的結論需要根據空間線面位置關系的相關定理進行證明,錯誤的結論需要通過舉出反例說明其錯誤,在解題中可以以常見的空間幾何體(如正方體、正四面體等)為模型進行推理或者反駁.典例

(1)已知空間三條直線l,m,n,若l與m異面,且l與n異面,則(

)A.m與n異面

B.m與n相交C.m與n平行

D.m與n異面、相交、平行均有可能(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點,則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線有

條.

(3)已知m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,有下列四個說法:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,則m⊥n.其中所有正確的說法的序號是

.

答案:(1)D

(2)無數

(3)①④解析