★數(shù)學建模-三角函數(shù)模型的應用

★數(shù)學建?！呛瘮?shù)模型的應用課標要求會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題,體會可以利用三角函數(shù)構建刻畫事物周期變化的數(shù)學模型.備考指導現(xiàn)在高考越來越重視情境應用題,故三角函數(shù)模型在實際中的應用也會是命題的熱點.復習時要理解實際問題的本質,通過題目已知條件建模,轉化為三角函數(shù)的圖象和性質問題.主要考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模和數(shù)學運算的素養(yǎng),對數(shù)形結合思想滲透較多.內容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述簡諧運動的物理量,如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關:(1)A就是這個簡諧運動的振幅,它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離;(2)這個簡諧運動的周期是,這是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間;(3)這個簡諧運動的頻率由公式

給出,它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數(shù);(4)ωx+φ稱為相位;x=0時的相位φ稱為初相.2.三角函數(shù)模型的建立

【知識鞏固】

×√√√×2.已知某人的血壓滿足函數(shù)解析式f(t)=24sin160πt+115,其中f(t)為血壓,t為時間,則此人每分鐘心跳的次數(shù)為(

)A.60 B.70

C.80

D.90CC第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成能力形成點1三角函數(shù)模型在物理中的應用例1

已知彈簧上掛著的小球做上下振動時,小球離開平衡位置的位移s(單位:cm)隨時間t(單位:s)的變化規(guī)律為(1)用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖;(2)小球在開始振動(t=0)時的位移是多少?(3)經過多長時間小球往復振動一次?解

(1)列表如下:描點、連線,圖象如圖所示.解題心得三角函數(shù)模型在物理中的應用主要體現(xiàn)在簡諧運動中,其中對彈簧振子和單擺的運動等有關問題考查最多,解決這類問題時尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.對點訓練1單擺從某點開始來回擺動,離開平衡位置的距離s(單位:cm)和時間t(單位:s)的函數(shù)關系為(1)作出它的圖象;(2)單擺開始擺動(t=0)時,離開平衡位置多少厘米?(3)單擺擺動到最右邊時,離開平衡位置多少厘米?(4)單擺來回擺動一次需要多長時間?解

(1)列表如下:能力形成點2三角函數(shù)模型在生活中的應用例2

某風景區(qū)賓館的工作人員為了控制經營成本,減少浪費,合理安排入住游客的用餐,他們通過統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù),發(fā)現(xiàn)每年各個月份來賓館入住的游客人數(shù)會呈現(xiàn)周期性的變化,并且有以下規(guī)律:①每年相同的月份,入住賓館的游客人數(shù)基本相同;②入住賓館的游客人數(shù)在2月份最少,在8月份最多,相差約400人;③2月份入住賓館的游客約為100人,隨后逐月增加直到8月份達到最多.(1)若入住賓館的游客人數(shù)y與月份x之間的關系可用函數(shù)y=f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)近似描述,求該函數(shù)的解析式;(2)請問哪幾個月要準備不少于400人的用餐所需的食物?解

(1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),x∈N*,且x≤12,由①可知,這個函數(shù)的周期是12.由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400;由③可知,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,8]上單調遞增,且f(2)=100,則f(8)=500.解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z).因為1≤x≤12,且x∈N*,所以x=6,7,8,9,10,即在6月、7月、8月、9月、10月這5個月份要準備不少于400人的用餐所需的食物.解題心得解決三角函數(shù)的實際應用問題必須按照一般應用題的解題步驟執(zhí)行:(1)認真審題,理清問題中的已知條件與所求結論;(2)建立三角函數(shù)模型,將實際問題數(shù)學化;(3)利用三角函數(shù)的有關知識解決關于三角函數(shù)的問題,求得數(shù)學模型的解;(4)根據(jù)實際問題的意義,得出實際問題的解;(5)將所得結論返回、轉譯成實際問題的答案.對點訓練2如圖,某公園摩天輪的半徑為40m,圓心距地面的高度為50m,摩天輪做勻速轉動,每30min轉一圈,摩天輪上的點P的起始位置在最低點處.(1)已知在時刻t(單位:min)時點P距離地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0,|φ|<π),求1020min時點P距離地面的高度;(2)當點P距離地面

以上時,可以看到公園的全貌,轉一圈中有多長時間可以看到公園的全貌?能力形成點3建立三角函數(shù)模型解決實際問題例3

已知某海濱浴場海浪的高度y(單位:米)是時間t(0≤t≤24,單位:時)的函數(shù),記作y=f(t).下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù).(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=f(t)的函數(shù)解析式;(2)依據(jù)規(guī)定,當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結論,判斷一天內8:00至20:00之間,有多少時間可供沖浪愛好者進行運動?解題心得在處理曲線擬合和預測的問題時,通常需以下幾個步驟:(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù),繪出散點圖;(2)通過散點圖,作出“最貼近”的曲線,即擬合曲線;(3)根據(jù)所學函數(shù)知識,求出擬合曲線的函數(shù)解析式;(4)利用函數(shù)解析式,根據(jù)條件對所給問題進行預測,以便為決策和管理提供依據(jù).對點訓練3某動物種群數(shù)量在每年的1月1日低至700后增長,7月1日高至900,其數(shù)量在此兩值之間依正弦型曲線變化.(1)作出種群數(shù)量y關于時間t變化的圖象;(2)求出種群數(shù)量y關于時間t的函數(shù)解析式(其中t以年初以來的月為計量單位,并規(guī)定1月1日對應的t=0).解

(1)種群數(shù)量y關于時間t變化的圖象如圖所示.(2)設表示該曲線的函數(shù)解析式為y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0≤t≤11).∵平均數(shù)量為800,最高數(shù)量與最低數(shù)量之差為200,數(shù)量變化周期為12個月,第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模素養(yǎng)的應用

典例

某帆板集訓隊在一海濱區(qū)域進行集訓,該海濱區(qū)域的海浪高度y(單位:米)隨著時間t(0≤t≤24,單位:時)呈周期性變化,每天時刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表:(1)作散點圖;