12隨機(jī)變量及其數(shù)字特征

隨

量隨

量的定義在一定條件下，隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果ω都唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)值ξ(ω),則稱(chēng)是一個(gè)隨

量，可簡(jiǎn)記為ξ。Rξ(ω)1.2

二點(diǎn)（0-1）概率分布“非有即無(wú)”的概率：P(ξ=1)=p(0<p<1),而P(ξ=0)=q=1-p一條河流歷史統(tǒng)計(jì)每10年會(huì)發(fā)一次洪水（10年一遇）， ：今后10年發(fā)生洪水的概率是1

嗎？今后10年不發(fā)生洪水的概率呢？3年內(nèi)可能發(fā)生洪水嗎？上述問(wèn)題就是伯努利問(wèn)題，發(fā)生洪水的概率p

=0.1，不發(fā)生洪水的概率q

=0.9，“今后10年發(fā)生洪水的概率是1

嗎？”，不是，盡管發(fā)生洪水的可能性很大，但不能確定一定發(fā)生，可能不發(fā)生?！敖窈?0年不發(fā)生洪水的概率呢？”，第1年不發(fā)生洪水的概率q

=0.9=(0.91)，第

2年也不發(fā)生洪水的概率：0.9×0.9=0.92=0.81，第3年還不發(fā)生洪水的概率：0.9×0.9×0.9=0.93=0.729，直到第10年還不發(fā)生洪水的概率是：0.910

=0.3487

。用二10項(xiàng)概率公式計(jì)算，n

=

10

(10年）,

k=0（1次也沒(méi)有發(fā)生），

p

=

0.1

，帶入公式，C0

=1, 0.10

=1, (1－0.1)10－0

=0.910

=0.3487，結(jié)果相同?！?年內(nèi)可能發(fā)生洪水嗎？”n=3,k=0，p=0.1，帶入公式，用公式算出3年內(nèi)不發(fā)生洪水的概率是0.93

=0.729，于是可得，3年內(nèi)發(fā)生洪水的概率是1－0.729=0.271。同樣10年內(nèi)發(fā)生洪水的概率1－0.3487=0.6513。

k

0，

1，

，

n

k

knPX

k

C

p

1

pnk一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的。某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4道題的概率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，A

答對(duì)一道題，則則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn)．設(shè)：X：該學(xué)生靠猜測(cè)P{至少能答對(duì)4道題}=P{X≥4}=P{X=4}+P{X=5}

4

1

5

34

4

41.3

數(shù)學(xué)期望與方差1）離散型隨 量

X

的分布律為：P{X

xk

}

pk

，

k

1,2,，i

1

數(shù)學(xué)期望

EX=

xk

pk

。（數(shù)學(xué)條件：級(jí)數(shù)

xk

pk

絕對(duì)收斂）i

12）連續(xù)型隨 量

X

的概率密度為

fx()

，數(shù)學(xué)期望

EX=

，（數(shù)學(xué)條件：積分

絕對(duì)收斂）3）隨

量X，若E(X

EX

)2

存在，稱(chēng)其為隨量X

的方差，記作

DX，Var(X)。DX

稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差。))2

]

D()X((EXEEX)X)2

2

2[(

E(

X

2

)

2(EX

)E(

X

)

(EX

)2

E(

X

2

)

(EX

)2px

x

ex

22

221對(duì)于正態(tài)分布的密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布P(

X

)可直接查表求出對(duì)于x

0觀(guān)察某些變化事物（隨統(tǒng)計(jì)量），例如人的身高，它是由許許多多

（“樣本”）組成的。或者一些連續(xù)變化的隨 量（如氣溫、水深），只能檢測(cè)到有限的離散的“樣本”。統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的是如何獲取樣本，如何從樣本分析得到隨

量實(shí)際上，2960名，都有各自的身高，但數(shù)據(jù)太多、太細(xì)，簡(jiǎn)化為分組表達(dá)。樣本的統(tǒng)計(jì)量設(shè)對(duì)一個(gè)觀(guān)察對(duì)象

的樣本數(shù)為

n

，各個(gè)樣本的數(shù)值是ξi（i=1、2、3、…、n）。平均值是各個(gè)樣本值相加再除以樣本數(shù)。它是最常用的統(tǒng)計(jì)量：平均、平均身高、平均氣溫、平均分?jǐn)?shù)等等。方差是對(duì)每個(gè)樣本值與平均值的差（相對(duì)于平均值的偏離）的平方（把正負(fù)偏差都成正數(shù)）求平均。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的開(kāi)方。對(duì)一個(gè)年級(jí)幾個(gè)班的考試成績(jī)進(jìn)行分析：按平均成績(jī)高低排序，可以知道哪個(gè)班學(xué)習(xí)成績(jī)好，哪個(gè)班成績(jī)差。而一個(gè)班成績(jī)的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差），可以了解這個(gè)班學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的差異。方差大，學(xué)生之間成績(jī)好壞差異大，有成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生，也有成績(jī)很差的學(xué)生；方差小，學(xué)生之間成績(jī)差異不大，較為平均。顯然，最好的情況是，平均成績(jī)高，而且方差也小。中位數(shù)舉一個(gè)例子：億萬(wàn)富翁比爾蓋茨和2個(gè)“窮光蛋”在一個(gè)房間里，把3個(gè)人的財(cái)富進(jìn)行平均，求出平均數(shù)，然后宣布：這個(gè)房間里的人，平均上億。但如果用中位數(shù)表述，即從富到窮排隊(duì)，中間的那個(gè)人的，3個(gè)人中的第2個(gè)人，是一個(gè)

“窮光蛋”，全部家當(dāng)是1萬(wàn)，得到中位數(shù)只是1萬(wàn)。當(dāng)一個(gè)對(duì)象差異很大時(shí)，用平均數(shù)不如用中位數(shù)更能反映事物的特征。累積分布數(shù)（值）對(duì)于有差異變化的對(duì)象，例如交通噪聲，只用平均值和中位數(shù)還 。例如夜間，一整夜（9小時(shí)）很安靜，平均值和中位數(shù)的分貝數(shù)都不高，但有摩托車(chē)飆車(chē)，急駛而過(guò)，就把人吵醒。交通噪聲分析和評(píng)價(jià)，就有“累積分布噪聲級(jí)”

LN（dB）：L1，L10，L50，L90。L1就是在觀(guān)察時(shí)間內(nèi)（如夜間9小時(shí)），有1%的時(shí)間，噪聲級(jí)（dB數(shù)）高過(guò)這個(gè)值，是突發(fā)噪聲；L50是中位數(shù)，一半（50%）的時(shí)間噪聲級(jí)高于它，一半（50%）的時(shí)間低于它；L10是噪聲“峰值”，L90就是“背景噪聲級(jí)”。反映貧富差異的“基尼系數(shù)”，實(shí)質(zhì)上就是按人口的累積分布：把人口按的累積。如果，人口累積和也累積到10%，人口累積到50%，累積“同

也累積到從低到高累積，同時(shí)計(jì)算步”，人口累積到10%，50%，人口累積到100%，也累積到100%，這就是基尼系數(shù)為0，

分配絕對(duì) 。如果人口累積到90%， 累積才到15%，也就是，剩下的10%的人口占有社會(huì)85%的 ，貧富差距太大，社會(huì) 分配不公。圖中綠線(xiàn)代表絕對(duì)平均狀態(tài)下，低收入人群所占人口百分比和總收入百分比之間的關(guān)系，紅線(xiàn)代表實(shí)際情況，藍(lán)線(xiàn)代表絕對(duì)不平均（即所有收入被唯一一個(gè)人占有）的情況。

圖中紅線(xiàn)和綠線(xiàn)中間的面積越小，收入分配越

。建筑設(shè)計(jì)中的 尺寸建筑的使用者是人，各部在各種活動(dòng)形態(tài)的尺寸與建筑設(shè)計(jì)密切相關(guān)。人的身高是最基本、最重要的 尺寸。但個(gè)人的身高各不相同，需要了解一個(gè)國(guó)家、一個(gè)地區(qū)眾多人口中，身高的分布情況。《建筑設(shè)計(jì)資料集（1）》（第二版）

74.5

8.0525558616467707376798285889195系列11125112228302722心率3530252015人數(shù)實(shí)測(cè)心率統(tǒng)計(jì)情況（n=192)

P(1

X

1)

(1)

(1)

2(1)

1

0.6826P{

2

X

2

}

P{|

X

|

2

}

2(2)

1

0.954P{

3

X

3

}

P{|

X

|

3

}

2(3)

1

0.9974P{

X

}

P{|

X

|

}因此，對(duì)于正態(tài)隨

量來(lái)說(shuō)，它的值落在區(qū)間：[

3

,

3

]內(nèi)幾乎是肯定的。70605040302010078798081828384858687888990919293949596979899100100以上人數(shù)目測(cè)值目測(cè)線(xiàn)長(zhǎng)（n=192)90608539808398678858448949349541054783812822922911941961971790980990平均值：方差：眾數(shù)：中位數(shù)：四分位值：Q1=Q2=Q3=-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789101112系列94395105460124141100124605040302010070人數(shù)目測(cè)值誤差洪水水位問(wèn)題：自 開(kāi)始實(shí)施的

《水文 預(yù)報(bào)規(guī)范》[GB/T22482-2008]，根據(jù)我國(guó)防洪管理工作的實(shí)際需要，對(duì)洪水等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)重新進(jìn)行了修訂，按洪水要素重現(xiàn)期小于5年、5－20年、20－50年、大于50年，將洪水分為小洪水、中洪水、大洪水、特大洪水四個(gè)等級(jí)，具體如下：⑴洪水要素重現(xiàn)期小于5年的洪水，為小洪水；⑵洪水要素重現(xiàn)期為5年～20年的洪水，為中洪水；⑶洪水要素重現(xiàn)期為20年～50年的洪水，為大洪水；⑷洪水要素重現(xiàn)期大于50年的洪水，為特大洪水。估計(jì)重現(xiàn)期的洪水要素項(xiàng)目包括洪峰水位(流量)或時(shí)段最大洪量等，可依據(jù)河流(河段)的水文特性來(lái)選擇。活荷載問(wèn)題：值Qx=k可變荷載準(zhǔn)q—荷載的準(zhǔn)值系數(shù)，且

q=荷載準(zhǔn)值/荷載標(biāo)準(zhǔn)值<1.0tQTt

i準(zhǔn) 值

(quasi-permanent

value)~

設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)荷載達(dá)到和超過(guò)該值的總持續(xù)時(shí)間Tq=ti與整個(gè)設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期T之比等于0.5確定。即Tq

/T=0.5準(zhǔn) 值

Qx標(biāo)準(zhǔn)值(characteristic

value)~

按設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期（T=50年）內(nèi)最大荷載概率分布的某一分位值確定標(biāo)準(zhǔn)值Qk組合值（當(dāng)承受2個(gè)可變荷載時(shí)）(combination

value)

考慮施加在結(jié)構(gòu)上的各種可變荷載不可能同時(shí)達(dá)到各自的最大值

確定原則：要求結(jié)構(gòu)在單一可變荷載作用下的可靠度與在兩個(gè)及其以上可變荷載作用下的可靠度保持一致

c

Qk

~可變荷載組合值荷載頻遇值(frequent

value)

設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)荷載達(dá)到和超過(guò)該值的總持續(xù)時(shí)間Tq=ti與整個(gè)設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期T之比小于0.1確定。即Tq

/T<0.1

f

Qk

~可變荷載頻遇值c

~荷載組合值系數(shù)f

~荷載頻遇值系數(shù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)于1971年曾0-45年等效連續(xù)噪聲A聲級(jí)與噪聲性耳聾病率%的關(guān)系。等效連續(xù)A聲級(jí)(dB)0515202530354045≤80000000000損傷者125710損傷者1013172230435790041416損傷者619232632415465950724282931322923損傷者192935394553626710001237424544444133損傷者11442495358657483