中傳數(shù)字電路課件第2章

邏輯代數(shù)中的

1和0不表示數(shù)量大小，僅表示兩種相反的狀態(tài)。注意例如：開關(guān)閉合為1斷開為0晶體管導(dǎo)通為1截止為0電位高為1低為0二、邏輯體制正邏輯負邏輯規(guī)定高電平為邏輯1、低電平為邏輯0規(guī)定低電平為邏輯1、高電平為邏輯0通常未加說明，則為正邏輯體制2.1

概述2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算與（AND）或（OR）非（NOT）與條件同時具備，結(jié)果發(fā)生。ABY000010100111真值表邏輯式

Y

=

A·B

=

ABABY000010100111真值表邏輯符號邏輯式

Y

=

A·B

=

AB與或條件之一具備，結(jié)果發(fā)生。ABY000011101111邏輯式Y(jié)=A+B真值表A

BY0

000

111

011

11邏輯符號真值表邏輯式Y(jié)=A+B或非條件不具備，結(jié)果發(fā)生。Y

=

AAY0110真值表邏輯式AY0110邏輯符號真值表非Y

=

A幾種常用的復(fù)合邏輯運算異或Y=AB+AB'=A

BABY000011101110不同出1相同出0同或Y=AB+A'B'ABY001010100111相同出

1不同出0注意：異或和同或互為反運算，即=

(

A

B)'證明：設(shè)Y=AB+A'B'Y'

=

(

AB

+

A'B'

)'=

(AB)'

(A'B')'=

(A'

+

B')(A+

B)=

A'B

+

AB'=

A

B[例]

試對應(yīng)輸入信號波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。Y1Y2Y30010110

0

11

0

01

01

1相有同0出出00解：不同出全1出1曾用標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)邏輯符號對照基本公式常用公式2.3

邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式序號公

式序號公

式101′

=

0;

0′=

110

A

=

0111

+

A=

121

A

=A120

+

A

=

A3AA

=

A13A

+

A

=

A4AA′=

014A

+

A′

=

15A

B

=

B

A15A

+B

=

B+

A6A

(B

C)

=

(A

B)C16A

+

(B

+C)

=

(A

+

B)

+C7A

(B

+C)

=

A

B

+

A

C17A

+

B

C

=

(A

+B)(A

+C)8(A

B)

′

=

A′+

B′18(A+

B)

′

=

A′B′9(A

′)

′

=

A證明方法：推演真值表公式

A

+

B

C

=

(A

+B)(A

+C)

的證明右=(A+B)(A+C

)=

A+

AC

+

AB

+

BC=

A(1

+

B

+

C

)

+

BC=A+BC

=左ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111公式

A

+B

C

=

(A

+B

)(A

+C

)

的證明（真值表法）2.3.2

若干常用公式序

號公

式21A

+

A

B

=

A22A

+A'B

=

A

+

B23A

B

+

A

B′=

A24A

(

A

+

B)

=

A25A

B

+

A′

C+

B

C

=

A

B+

A′

CA

B＋

A′

C

+

B

CD

=

A

B+

A′

C26A

(AB)

′

=

A

B′

;

A′(AB)

′

=

A′(一)代入定理將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。2.4

邏輯代數(shù)的基本定理應(yīng)用舉例：A+BC

=

(A+B)(A+C)A+B(CD)

=

(A+B)(A+CD)=

(A+B)(A+C)(A+D)求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：利用反演定理或

定律。原運算次序為(二)反演定理對任一個邏輯函數(shù)式Y(jié)，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)Y'。變換時注意：不能改變原來的運算順序。反變量換成原變量只對單個變量有效，而長非號保持不變。Y

=

A(B+C)'

+

CDY'

=

(A'

+

(B'C')')(C'

+

D')(三)對偶定理對任一個邏輯函數(shù)式Y(jié)，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到原邏輯函數(shù)式的對偶式Y(jié)

D。應(yīng)用對偶定理可將基本公式和定律擴展。對偶定理：兩個函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。變換時注意：(1)變量不改變(2)不能改變原來的運算順序A

+

AB

=

A

A

·

(A

+

B)

=

AAB+

A'C+

BC

=

AB+

A'C(

A+

B)(

A'

+

C

)(

B

+

C

)

=

(

A+

B)(

A'

+C

)2.5.1

邏輯函數(shù)Y=F(A,B,C,…)若以邏輯變量為輸入，運算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。2.5

邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.2

邏輯函數(shù)的表示方法1、真值表2、邏輯式3、邏輯圖4、波形圖5、卡諾圖6、計算機

中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換1.

真值表列出輸入變量的各種取值組合及其對應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值的表格稱真值表。列真值表方法輸入變量A

B

C

····輸出變量Y1

Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應(yīng)的取值輸

入

變

量輸出變量ABCDY000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111104

個輸入變量有24=16

種取值組合。例如

求函數(shù)Y

(

AB

CD)'

的真值表。2.

邏輯函數(shù)式表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯關(guān)系的表達式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。真值表

邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表ABC有三種取值都可以使Y=1即A′BC=1即AB′C=1即ABC′=1A=0,B=1,C=1A=1,B=0,C=1A=1,B=1,C=0所以Y=?ABCY00000010010001111000101111011110邏輯式

邏輯圖用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。Y

A(B

C)3.

邏輯圖邏輯圖

邏輯式從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應(yīng)的邏輯運算式。(

A

B)B(

A

B)A

(

A

B)(

A

B)((

A

B)

(

A

B)'

)

AB

AB

A

B((

A

B)

(

A

B)'

)例：舉重裁判電路(1)分析邏輯問題，建立邏輯函數(shù)的真值表ABCY000000100100(2)根據(jù)真值表寫出邏輯式0110Y

A

(B

C)(3)畫邏輯圖1110010100111111ABCF000011110011001101010101×001×1014.

波形圖最小項之和

最大項之積最小項m：在n變量的邏輯函數(shù)中，m是包含n個因子的乘積項，這n個變量均以原變量和反變量的形式在m中出現(xiàn)一次。例如：2.5.3

邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式F

=

AB+

A'

C=

AB(C

+

C')

+

A'C(B+

B')=

ABC

+

ABC'

+

A'BC

+

A'B'C最小項之和式最小項舉例：對于n變量函數(shù)有2n個最小項兩變量A,B的最小項AB,

AB,

AB,三變量A,B,C的最小項AB

（

22

4個）ABCABC

（23

8個）ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,三變量最小項的

表最小項取值對應(yīng)A

B

C十進制數(shù)ABC

0000m0ABC0011m1ABC

0102m2ABC0113m3ABC

1004m4ABC1015m5ABC

1106m6ABC1117m7最小項的性質(zhì)輸入變量任一取值下，僅有一個最小項的值為1全體最小項之和為1;任何兩個最小項之積為0

;兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。例如：ABC與ABCABC

ABC

AB(C

C

)

AB例：邏輯函數(shù)最小項之和的形式：利用公式可將任何一個函數(shù)化為miY(

A,

B,C

)

ABC

BC

ABC

BC(

A

A

)

ABC

ABC

ABC

m(

3,6,7

)最大項：最大項M：在n

變量的邏輯函數(shù)中，M是包含n個因子的相加項，這n個變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一次。如：兩變量A,B的最大項有A

B,

A

B,

A

B,

A

B

（22

4個）對于n變量函數(shù)有2n個最大項三變量最大項的

表最大項取值對應(yīng)A

B

C十進制數(shù)A

B

C1117M7A

B

C1106M6A

B

C1015M5A

B

C1004M4A

B

C0113M3A

B

C0102M2A

B

C0011M1A

B

C0000M0最大項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0全體最大項之積為0任何兩個最大項之和為1最小項與最大項的關(guān)系1.相同的最小項和最大項存在互補關(guān)系mi

Mi'

Mi

mi'2.

如果已知邏輯函數(shù)為時，定能將即：iY

=m化成

為i

以外的那些最大項的乘積。YY

mi

MKi

k≠i即:邏輯函數(shù)的最大項之積形式：Y(A,

B,C)

= ABC'

+

BC= ABC'

+

BC(A+

A')= ABC'

+

ABC

+

A'BC=

mi

(i

=

3,

6,

7)i=Mkk

i=

M0

M1

M2

M4

M5標(biāo)準(zhǔn)與或(最小項）表達式式中的每一個乘積項均為最小項F(

A,

B,C,

D)

A'

B'

C'

D'A'

B'

C'

D

A'

B

C'

D

AB'C'

D'

m0

m1

m5

m8

m(0,

1,

5,

8)標(biāo)準(zhǔn)或與(最大項）表達式例：求函數(shù)F(A,B,C)

(A

B')'A'B'C的標(biāo)準(zhǔn)與或表達式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達式。解：F(A,B,C)

(A

B')'A'B'C

=A'B+A'B'C=

A'B(C

+

C')+

A'

B'

C=

A'BC+

A'BC'+

A'

B'C

m3

m2

m1

m(1,

2,

3)

M(0,4,5,6,7)=

(A+

B+C)(A'

+

B+C)(A'

+

B+C')(A'

+

B'

+C

)(A'

+

B'

+C')ABCmiMiF000011110011001101010101012345670123456700010111例：已知函數(shù)的真值表，求該函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達式。解:

從真值表找出F為1的對應(yīng)最小項。然后將這些項邏輯加。F(

A,

B,C)

A'

BC

AB'

C

ABC'ABC6

m3

m5

m

m7

m(3,

5,

6,

7)問題：怎樣由真值表求出標(biāo)準(zhǔn)或與表達式？化簡意義使邏輯式最簡，以便設(shè)計出最簡的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡與或式，然后通過變換得到所需最簡式。2.6邏輯函數(shù)的公式化簡法最簡與或式標(biāo)準(zhǔn)(1)乘積項(即與項)的個數(shù)最少(2)每個乘積項中的變量數(shù)最少用與門的個數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少公式化簡法運用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對邏輯式進行化簡。并項法運用

AB

AB'

A

，將兩項合并為一項，并消去一個變量。Y

AB'

C

AB'

C'

AB'Y

A(

BC

B'

C'

)

A(

BC'B'

C

)

A(

B

C

)'

A(

B

C

)

AY

AB

AB(E

F

)

ABY

ABC

A'

D

C'

D

BD

ABC

D(

A'C'

)

BD

ACB

(

AC

)'

D

BD

ACB

(

AC

)'

D吸收法運用A+AB

=A

和AB

A'C

BC

AB

A'C

，消去多余的與項。消去法運用吸收律A

A'B

A

B

消去多余因子。Y

AB

A'C

B'C

AB

(

A'B'

)C

AB

(

AB

)'

C

AB

CY

AB'

A'

B

ABCD

A'

B'

CD

AB'

A'

B

CD(

AB

A'

B'

)

A

B

CD

(

A

B

)'

A

B

CD

AB'

A'

B

CD配項法通過乘A

A'

1零項

A

A'

0進行配項，然后再化簡。Y

=

AB+

B'C'

+

AC'D

=

AB+

B'C'

+

AC'D

(B+

B')

AB

B'

C'

ABC'

D

AB'

C'

D

AB

B'

C'Y

=

ABC'

+(ABC)'(AB)'

ABC'(

ABC

)'(

AB

)'+AB(AB)'

AB((

AB

)'C'

)

(

ABC

)'(

AB

)'

AB

(

ABC

)'(

ABC

)'(

AB

)'

(

ABC

)'

A'B'C'綜合靈活運用上述方法[例]化簡邏輯式Y(jié)

AD

AD'AB

A'C

C'D

AB'EF解：Y

A

AB

A'C

C'D

AB'EF

A

A'C

C'

D應(yīng)用A

A'B

A

B

A

C

C'

D

A

C

D[例]

化簡邏輯式Y(jié)

AC

A'

D

B'

D

BC'解：Y=AC+BC'+D(A'+B')=AC+BC'+D(AB)'=AC+BC'+AB

+D(AB)'應(yīng)用AC

BC'

AC

BC'

AB

AC

BC'

AB

D

AC

BC'

D[例]化簡邏輯式Y(jié)

(A

B)'(ABC)'(A'C')'解：Y'

((A

B)'(ABC)'(A'C')')'

A

B

A'C'

A

B

C'應(yīng)用A

AB

A

BY

(

A

B

C'

)'

A'

B'

C用

定律+A'C'例：求的最簡或與式。解：F

D

A

A'CD

D'E

AB'C'EF

A(

A'C

D

)(

D'

E

)(

A

B'

)(

C'

E

)F

D

=

A+

CD+

D'E

+

C'E=

A+

CD+

(C'

+

D')E=

A+

CD

+

(CD)'E=

A+

CD+

E簡化利用對偶原理F

=

(F

D

)D

=

A(C

+

D)E例：化簡下列各邏輯式1.

A(

BC

B'C'

)

A(

BC'

B'C

)AC

AB'CD

ABC

C'

D

ABDAB

A'C

B'C4.(

A'

B

)(

B'C

)(

A

B'

)(

B

C'

)題2.10⑴⑷⑹、2.11

⑴⑵⑶⑸⑵⑶、2.13

⑴⑵2.122.14

(5)(6)(7)(8)、2.15

⑸⑺⑼⑽作業(yè)2.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡2.7.1

邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和以圖形的方式表示出來。最小項的卡諾圖表示法將n變量的2n個最小項用2n

個小方格表示，并且使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為n

變量最小項卡諾圖，簡稱為卡諾圖。二變A量卡諾圖B0101230

1四變量卡諾圖三變量卡諾圖A01BC00

01

11

100457612131514891110CDAB00011110以循環(huán)碼排列以保證相鄰性00

01

11

10五變量卡諾圖CDCDCD'C'

D'

C'

DA'

B'ABAB'CAB'C'

DAB'

B'C'

D'BCD

AB

DB'C'

D'

A'B'C'

D

A'B'CD

A'

B'

CD'ABC'

D

BCDABC'

D'ABCD'AB'C相鄰項在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點：循環(huán)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰AB同一行最左與最右方格相鄰A'B

A'BCC''D'

A'

BC'

D如何寫出卡諾圖方格對應(yīng)的最小項？已知最小項如何找相應(yīng)小方格？原變量取1，反變量取

0AB'。C'D例如

1001011110CD00011110AB00A'BCDAB'C'D的邏輯式都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)與或式，而且邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式是唯一的。(一)邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)每一個與項都是最小項的與或邏輯式稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式，又稱最小項表達式。(二)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例[例]

試畫出函數(shù)

Y

=

∑m

(0,1,12,13,15)

的卡諾圖已知標(biāo)準(zhǔn)與或式畫函數(shù)卡諾圖(2)填圖邏輯式中的最小項m0、m1、m12、m13、m15對應(yīng)的方格填1，其余不填。解：(1)畫出四變量卡諾圖AB00011110CD00

01

11

1011111m0m2m4m6ABCY00010010010101101001101011011110已知真值表畫函數(shù)卡諾圖[例]已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下，試畫出Y

的卡諾圖。A011111解：(1)畫3

變量卡諾圖。(2)找出真值表中Y

=1對應(yīng)的最小項，在卡諾圖相應(yīng)方格中填1，其余不填。BC00

01

11

10已知一般表達式畫函數(shù)卡諾圖[例]已知Y

A'D((AB)'(C

(BD)'))'，試畫出Y

的卡諾圖。AB0001111000

01

11

10(2)

作變量卡諾圖 (3)

根據(jù)與或式填圖CD11111111AB

對應(yīng)最小項為同時滿足A

=1，

B

=1的方格。解：(1)將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式Y(jié)

A'

D

AB

(

C

(

BD

)'

)'

A'

D

AB

C'BDBCD

對應(yīng)最小項為同時滿足B

=1，C=0，D

=1的方格AD

對應(yīng)最小項為同時滿足A

=0，D

=1的方格。例：將最大項之積式填入K圖Y

=

(A+

B

+

C)(A'

+

B

+

C')(A'

+

B

+

C)=Π

M(0,4,5)ABC00

01

11

100111001101例：將下列函數(shù)式填入K圖。F1

A(

BC

B'C'

)

A(

BC'

B'C

)F2

AC

AB'CD

ABC

C'

D

ABDF3

m(

0,1,3,4,6,8,11,15

)F4

M(

3,5,6,7,10,12,14

)四、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡規(guī)律2

個相鄰最小項有

1

個變量相異，相加可以消去這1

個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；4

個相鄰最小項有2

個變量相異，相加可以消去這2

個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；8

個相鄰最小項有3

個變量相異，相加可以消去這3

個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；……2n

個相鄰最小項有n個變量相異，相加可以消去這n

個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與。消異存同CDCD0000

0101

1111ABAB

101000000101111110100111CDAB00例如104

個相鄰項合并消去2

個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。8

個相鄰項合并消去3

個變量A0001111011111111111

1=ABC'D'

+

AB'C'D'

+

ABCD'

+

AB'CD'=

AC'D'

+

ACD'

=

AD'卡諾圖化簡法步驟畫函數(shù)卡諾圖將各圈分別化簡對填1

的相鄰方格畫包圍圈將各圈化簡結(jié)果邏輯加畫包圍圈規(guī)則包圍圈必須包含

2n

個相鄰1方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越好；1

方格可重復(fù)圈，但須每圈有新1；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；四個角上的1

方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。注意[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)Y(A,B,C,D)=∑m

(0,2,4,5,6,7,9,15)AB00011110CD00

01

11

10解：(1)畫變量卡諾圖 (2)填卡諾圖1111ab1c

1d

1

1畫包圍圈將各圖分別化簡圈4

個可消去2

個變量，化簡為2

個相同變量相與。圈2

個可消去1

個變量，化簡為3

個相同變量相與。Yc

=

AB循環(huán)相鄰Yd

=

ADYb

=

BCD孤立項Ya=ABCD(5)將各圖化簡結(jié)果邏輯加，得最簡與或式Y(jié)

AB'C'

D

BCD

A'B

A'

D'[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)Y(A,B,C,D)=∑m

(0,2,5,7,8,10,12,14,15)

AB0001111000

01

11

10解：(1)畫變量卡諾圖 (2)填卡諾圖CD1

11111111(4)求最簡與或式Y(jié)=

A'BD

BCD

AD'

B'

D'消1

個剩3

個消2

個剩2

個(3)畫圈4

個角上的最小項循環(huán)相鄰解：(1)畫變量卡諾圖AB000111CD00

01

11

10(2)填圖11(4)化簡(3)畫圈[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)Y

A'B'CD

A'BC'

D'

AC'

D

ABC

BD0011

0100m3

m41要畫嗎？10Y

=A'BC'

AC'

D

ABC

A'CD0

方格很少且為相鄰項，故用圈0

法先求Y

的最簡與或式。10解：Y'

ABCY

(Y'

)'

(

ABC)'

A'B'C'11111111110011110111[例]已知某邏輯函數(shù)的卡諾圖如下所示，試寫出其最簡與或式。CDAB0000

01

11

1ABCY00010011010001111001101011011111[例]已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。注意：該卡諾圖還有其他畫圈法可見，最簡結(jié)果未必唯一。解：(1)畫函數(shù)卡諾圖BCA011

1100

01

11

101

1

1畫圈化簡Y

A'

B'

AC'BC111111AY

=

B'C'

A'

C

ABBC00

01

11

1001例：已知函數(shù)式，求最簡與或式和最簡或與式。Y1

=

A'B'C'D+

A'BD'

+

ACD+

AB'Y2

=

m(0,2,8,9,10,11)Y3

=

M(1,3,5,6,9,12,13,15)圖形法化簡函數(shù)五、具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡1.

無關(guān)項的概念與表示無關(guān)項是特殊的最小項，這種最小

對應(yīng)的變量取值組合或者不允許出現(xiàn)或者根本不會出現(xiàn)。不允許出現(xiàn)的無關(guān)項又稱約束項；客觀上不會出現(xiàn)的無關(guān)項又稱任意項。例如

8421碼中，1010

~1111這6種代碼是不會出現(xiàn)的?？梢?，故稱無關(guān)項。例如ABC分別表示一臺電的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止。取值只能是100、010、001。而不是000、011、101、110、111，這五項就是約束項。2.

無關(guān)項的表示方法無關(guān)項在卡諾圖和真值表中用“”“”來標(biāo)記，在邏輯式中則用字母

d

和相應(yīng)的

表示。例如

在電

的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的例子中，約束條件可以表示為：或

A'B'C'

+

A'BC

+

AB'C

+

ABC'

+ABC

=

0A'B'C'

=

0A'BC

=

0AB'C

=

0ABC

=

0ABC'

=

0合理利用無關(guān)項可使邏輯式更簡單2.

利用無關(guān)項化簡邏輯函數(shù)無關(guān)項的取值對邏輯函數(shù)值沒有影響?；啎r應(yīng)視需要將無關(guān)項方格看作

1

或0

，使包圍圈最少而且最大，從而使結(jié)果最簡。解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡函數(shù)Y=∑m

(0,1,4,6,9,13)+

∑d

(2,3,5,7,10,1