高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊(cè)第四章421等差數(shù)列的概念課件1

等差數(shù)列的概念（1）等差數(shù)列的概念（1）1高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊(cè)第四章421等差數(shù)列的概念課件12事實(shí)下定義表示方法性質(zhì)特殊元素事實(shí)下定義表示方法性質(zhì)特殊元素3問(wèn)題1

什么是等差數(shù)列呢？問(wèn)題1什么是等差數(shù)列呢？4追問(wèn)1：請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)他們的規(guī)律嗎？追問(wèn)1：請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)他們的規(guī)律嗎？5例2求等差數(shù)列8，5，2，…的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，并判斷－289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？an＝6＋(n－1)×0＝6.f(x)＝dx＋(a1－d)當(dāng)n＝1時(shí)，上式為a1＝a1＋(1－1)d＝a1.d＜0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減;有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….追問(wèn)1：你能根據(jù)定義，寫出等差數(shù)列的遞推公式嗎？令－3n＋11＝－289，得n＝100，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，例2求等差數(shù)列8，5，2，…的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，并判斷－289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，追問(wèn)4：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b根據(jù)已知條件，列出關(guān)于通項(xiàng)公式中未知變量的方程或方程組，求得未知變量，是解決等差數(shù)列相關(guān)問(wèn)題的常用方法.所以，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為－2.一共有個(gè)等式，將它們進(jìn)行累加，有(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；追問(wèn)2：你能給出等差數(shù)列的定義嗎？d＜0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.北京天壇圜丘壇的地面石板數(shù)：9，18，27，36，45，54，63，72，81．①(2)S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的服裝上衣對(duì)應(yīng)的尺碼分別是：38，40，42，44，46，48．②(3)測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為：25，24，23，22，21．③例2求等差數(shù)列8，5，2，…的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，69，18，27，36，45，54，63，72，81．①對(duì)于數(shù)列①，我們發(fā)現(xiàn)：18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9，換一種寫法，就是：18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9.如果用{an}表示數(shù)列①，則有：

a2－a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.9，18，27，36，45，54，63，72，81．①對(duì)于79，18，27，36，45，54，63，72，81．①對(duì)于數(shù)列①，有這樣的規(guī)律：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).38，40，42，44，46，48．②25，24，23，22，21．③??9，18，27，36，45，54，63，72，81．①8如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差追問(wèn)2：你能給出等差數(shù)列的定義嗎？同一個(gè)常數(shù)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的9(1)5，9，13，17，21；是，d＝4；(2)9，7，5，3，1，－1；是，d＝－2；(3)6，6，6，6，6，6；是，d＝0；(4)0，1，0，1，0，1.不是，1－0＝1，0－1=－1；追問(wèn)3：你能判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列嗎？(1)5，9，13，17，21；是，d＝4；(2)910追問(wèn)4：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？由等差數(shù)列的定義，有：A－a＝b－A，所以2A＝a＋b，即此時(shí)，我們把A叫做a和b的等差中項(xiàng).a和b的等差中項(xiàng)是它們的算術(shù)平均數(shù).追問(wèn)4：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b11問(wèn)題2如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？問(wèn)題2如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？12追問(wèn)1：你能根據(jù)定義，寫出等差數(shù)列的遞推公式嗎？

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由定義可得：an＋1－an＝d.追問(wèn)1：你能根據(jù)定義，寫出等差數(shù)列的遞推公式嗎？13追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？由an14追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？歸納可得an＝a1＋(n－1)d，追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？歸納可15由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a416歸納可得an＝a1＋(n－1)d，(n≥2).當(dāng)n＝1時(shí)，上式為a1＝a1＋(1－1)d＝a1.追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？歸納可得an＝a1＋(n－1)d，(n≥2).當(dāng)n＝1時(shí)，上17首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*

)追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)18追問(wèn)3：還能用其他方法，推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？

an－an－1＝d，

an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，……a3－a2＝d，a2－a1＝d.一共有個(gè)等式，將它們進(jìn)行累加，有n－1

an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*)追問(wèn)3：還能用其他方法，推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？a19問(wèn)題2如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*

)問(wèn)題2如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？首項(xiàng)為20追問(wèn)4：你能寫出這些等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？(1)5，9，13，17，21；an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1；(2)9，7，5，3，1，－1；an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；(3)6，6，6，6，6.an＝6＋(n－1)×0＝6.追問(wèn)4：你能寫出這些等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？(1)5，9，21問(wèn)題3

觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，它與哪一類函數(shù)有關(guān)？因?yàn)閍n＝a1＋(n－1)d所以當(dāng)d＝0時(shí)，an＝a1是常值函數(shù)；

當(dāng)d≠0時(shí)，an是一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)當(dāng)x＝n，(n∈N*)時(shí)的函數(shù)值，即an＝f(n).＝dn＋(a1－d)，問(wèn)題3觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，它與哪一類函數(shù)有關(guān)？因?yàn)閍n22追問(wèn)1：等差數(shù)列{an}的圖象與一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)的圖象有什么關(guān)系?追問(wèn)1：等差數(shù)列{an}的圖象與一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a2312a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(24追問(wèn)2：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到的數(shù)列an＝kn＋b一定是等差數(shù)列嗎？任給f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)），則an＝kn＋b，

a1＝f(1)＝k＋b；an＝f(n)＝nk＋b，an＋1＝f(n＋1)＝(n＋1)k＋b

，…an＋1－an

＝[(n＋1)k＋b]－(nk＋b)＝k，n∈N*所以，數(shù)列{an}是以(k＋b)為首項(xiàng)，k為公差的等差數(shù)列.追問(wèn)2：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到的數(shù)25追問(wèn)2：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到的數(shù)列an＝kn＋b一定是等差數(shù)列嗎？數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列?數(shù)列的通項(xiàng)公式an是關(guān)于n的一次函數(shù).追問(wèn)2：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到的數(shù)26追問(wèn)3：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？追問(wèn)3：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？2712a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)d＞0時(shí)，數(shù)列{an}單調(diào)遞增;d＜0時(shí)，數(shù)列{an}單調(diào)遞減.12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(28d＞0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增;d＜0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減;d＝0時(shí)，等差數(shù)列{an}為常數(shù)列.追問(wèn)3：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？d＞0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增;追問(wèn)3：可以從函數(shù)的角度29問(wèn)題4利用通項(xiàng)公式，可以解決等差數(shù)列的哪些問(wèn)題呢？問(wèn)題4利用通項(xiàng)公式，可以解決等差數(shù)列的哪些問(wèn)題呢？30例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.分析：有了通項(xiàng)公式，只要將n＝1代入，就能求得a1；由通項(xiàng)公式寫出an－1的表達(dá)式，由an－an－1可求得公差d.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差31解：把n＝1代入通項(xiàng)公式，得a1＝5－2×1＝3.當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.所以，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為－2.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.解：把n＝1代入通項(xiàng)公式，得a1＝5－2×1＝3.例1已知32追問(wèn)1：還有其他方法求公差d嗎？分析：由于已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以數(shù)列中每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于公差d.由于已求出首項(xiàng)a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即為公差d.追問(wèn)1：還有其他方法求公差d嗎？分析：由于已知數(shù)列{an}為33解法2：a1＝5－2×1＝3，a2＝5－2×2＝1.于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.所以，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為－2.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.解法2：a1＝5－2×1＝3，例1已知等差數(shù)列{an}的通34追問(wèn)2：能直接從通項(xiàng)公式看出公差d的值嗎？分析：由于等差數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).一次項(xiàng)系數(shù)即為公差d，可以直接從通項(xiàng)公式看出公差d的值.追問(wèn)2：能直接從通項(xiàng)公式看出公差d的值嗎？分析：由于等差數(shù)列35解法3：a1＝5－2×1＝3，因?yàn)閍n＝5－2n，所以公差d＝－2.所以，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為－2.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.解法3：a1＝5－2×1＝3，例1已知等差數(shù)列{an}的通36

研究數(shù)列時(shí)，運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)，將數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式，看成關(guān)于n的函數(shù)，用函數(shù)方法得到數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，是研究數(shù)列時(shí)的常用方法.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.研究數(shù)列時(shí)，運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)，將數(shù)列的通項(xiàng)公式或37例2求等差數(shù)列8，5，2，…

的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，并判斷－289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？分析：只要知道首項(xiàng)a1和公差d，就可以求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可以求得第20項(xiàng).公差d可以由任意一項(xiàng)和它前一項(xiàng)的差求得.例2求等差數(shù)列8，5，2，…的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，38分析：求得通項(xiàng)公式以后，它是一個(gè)關(guān)于n的方程，判斷－289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，只需要看－289是否能使得該方程有正整數(shù)解即可．例2求等差數(shù)列8，5，2，…

的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，并判斷－289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？分析：求得通項(xiàng)公式以后，它是一個(gè)關(guān)于n的方程，判斷－289是39解：由已知條件，得d＝5－8＝－3.把a(bǔ)1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11，所以a20＝－3×20＋11＝－49.令－3n＋11＝－289，得n＝100，所以－289是該數(shù)列中的第100項(xiàng).解：由已知條件，得d＝5－8＝－3.40

等差數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d是等差數(shù)列的“基本量”，由這兩個(gè)基本量，可以求得等差數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的任意一項(xiàng).例2求等差數(shù)列8，5，2，…

的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，并判斷－289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？等差數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d是等差數(shù)列的“基本41根據(jù)已知條件，列出關(guān)于通項(xiàng)公式中未知變量的方程或方程組，求得未知變量，是解決等差數(shù)列相關(guān)問(wèn)題的常用方法.例2求等差數(shù)列8，5，2，…

的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，并判斷－289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？根據(jù)已知條件，列出關(guān)于通項(xiàng)公式中未知變量的方421等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列及等差中項(xiàng)的定義；(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；遞推公式、歸納和累加法.(3)通項(xiàng)公式的應(yīng)用.函數(shù)與方程.2研究方法遞推公式應(yīng)用通項(xiàng)公式問(wèn)題5

回顧本節(jié)課的探究過(guò)程，你學(xué)到了什么？函數(shù)與方程的思想1等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列及等差中項(xiàng)的定義；(43課后作業(yè)1．求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng)：647和895；(2)和.2．已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，

a7＝12．求a4．課后作業(yè)1．求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng)：44等差數(shù)列的概念（1）等差數(shù)列的概念（1）45高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊(cè)第四章421等差數(shù)列的概念課件146事實(shí)下定義表示方法性質(zhì)特殊元素事實(shí)下定義表示方法性質(zhì)特殊元素47問(wèn)題1

什么是等差數(shù)列呢？問(wèn)題1什么是等差數(shù)列呢？48追問(wèn)1：請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)他們的規(guī)律嗎？追問(wèn)1：請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)他們的規(guī)律嗎？49例2求等差數(shù)列8，5，2，…的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，并判斷－289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？an＝6＋(n－1)×0＝6.f(x)＝dx＋(a1－d)當(dāng)n＝1時(shí)，上式為a1＝a1＋(1－1)d＝a1.d＜0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減;有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….追問(wèn)1：你能根據(jù)定義，寫出等差數(shù)列的遞推公式嗎？令－3n＋11＝－289，得n＝100，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，例2求等差數(shù)列8，5，2，…的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，并判斷－289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，追問(wèn)4：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b根據(jù)已知條件，列出關(guān)于通項(xiàng)公式中未知變量的方程或方程組，求得未知變量，是解決等差數(shù)列相關(guān)問(wèn)題的常用方法.所以，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為－2.一共有個(gè)等式，將它們進(jìn)行累加，有(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；追問(wèn)2：你能給出等差數(shù)列的定義嗎？d＜0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.北京天壇圜丘壇的地面石板數(shù)：9，18，27，36，45，54，63，72，81．①(2)S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的服裝上衣對(duì)應(yīng)的尺碼分別是：38，40，42，44，46，48．②(3)測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為：25，24，23，22，21．③例2求等差數(shù)列8，5，2，…的通項(xiàng)公式an和第20項(xiàng)，509，18，27，36，45，54，63，72，81．①對(duì)于數(shù)列①，我們發(fā)現(xiàn)：18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9，換一種寫法，就是：18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9.如果用{an}表示數(shù)列①，則有：

a2－a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.9，18，27，36，45，54，63，72，81．①對(duì)于519，18，27，36，45，54，63，72，81．①對(duì)于數(shù)列①，有這樣的規(guī)律：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).38，40，42，44，46，48．②25，24，23，22，21．③??9，18，27，36，45，54，63，72，81．①52如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差追問(wèn)2：你能給出等差數(shù)列的定義嗎？同一個(gè)常數(shù)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的53(1)5，9，13，17，21；是，d＝4；(2)9，7，5，3，1，－1；是，d＝－2；(3)6，6，6，6，6，6；是，d＝0；(4)0，1，0，1，0，1.不是，1－0＝1，0－1=－1；追問(wèn)3：你能判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列嗎？(1)5，9，13，17，21；是，d＝4；(2)954追問(wèn)4：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？由等差數(shù)列的定義，有：A－a＝b－A，所以2A＝a＋b，即此時(shí)，我們把A叫做a和b的等差中項(xiàng).a和b的等差中項(xiàng)是它們的算術(shù)平均數(shù).追問(wèn)4：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b55問(wèn)題2如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？問(wèn)題2如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？56追問(wèn)1：你能根據(jù)定義，寫出等差數(shù)列的遞推公式嗎？

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由定義可得：an＋1－an＝d.追問(wèn)1：你能根據(jù)定義，寫出等差數(shù)列的遞推公式嗎？57追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？由an58追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？歸納可得an＝a1＋(n－1)d，追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？歸納可59由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a460歸納可得an＝a1＋(n－1)d，(n≥2).當(dāng)n＝1時(shí)，上式為a1＝a1＋(1－1)d＝a1.追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？歸納可得an＝a1＋(n－1)d，(n≥2).當(dāng)n＝1時(shí)，上61首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*

)追問(wèn)2：你能根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)62追問(wèn)3：還能用其他方法，推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？

an－an－1＝d，

an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，……a3－a2＝d，a2－a1＝d.一共有個(gè)等式，將它們進(jìn)行累加，有n－1

an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*)追問(wèn)3：還能用其他方法，推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？a63問(wèn)題2如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*

)問(wèn)題2如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？首項(xiàng)為64追問(wèn)4：你能寫出這些等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？(1)5，9，13，17，21；an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1；(2)9，7，5，3，1，－1；an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；(3)6，6，6，6，6.an＝6＋(n－1)×0＝6.追問(wèn)4：你能寫出這些等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？(1)5，9，65問(wèn)題3

觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，它與哪一類函數(shù)有關(guān)？因?yàn)閍n＝a1＋(n－1)d所以當(dāng)d＝0時(shí)，an＝a1是常值函數(shù)；

當(dāng)d≠0時(shí)，an是一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)當(dāng)x＝n，(n∈N*)時(shí)的函數(shù)值，即an＝f(n).＝dn＋(a1－d)，問(wèn)題3觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，它與哪一類函數(shù)有關(guān)？因?yàn)閍n66追問(wèn)1：等差數(shù)列{an}的圖象與一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)的圖象有什么關(guān)系?追問(wèn)1：等差數(shù)列{an}的圖象與一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a6712a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(68追問(wèn)2：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到的數(shù)列an＝kn＋b一定是等差數(shù)列嗎？任給f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)），則an＝kn＋b，

a1＝f(1)＝k＋b；an＝f(n)＝nk＋b，an＋1＝f(n＋1)＝(n＋1)k＋b

，…an＋1－an

＝[(n＋1)k＋b]－(nk＋b)＝k，n∈N*所以，數(shù)列{an}是以(k＋b)為首項(xiàng)，k為公差的等差數(shù)列.追問(wèn)2：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到的數(shù)69追問(wèn)2：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到的數(shù)列an＝kn＋b一定是等差數(shù)列嗎？數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列?數(shù)列的通項(xiàng)公式an是關(guān)于n的一次函數(shù).追問(wèn)2：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到的數(shù)70追問(wèn)3：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？追問(wèn)3：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？7112a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)d＞0時(shí)，數(shù)列{an}單調(diào)遞增;d＜0時(shí)，數(shù)列{an}單調(diào)遞減.12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(72d＞0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增;d＜0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減;d＝0時(shí)，等差數(shù)列{an}為常數(shù)列.追問(wèn)3：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？d＞0時(shí)，等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增;追問(wèn)3：可以從函數(shù)的角度73問(wèn)題4利用通項(xiàng)公式，可以解決等差數(shù)列的哪些問(wèn)題呢？問(wèn)題4利用通項(xiàng)公式，可以解決等差數(shù)列的哪些問(wèn)題呢？74例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.分析：有了通項(xiàng)公式，只要將n＝1代入，就能求得a1；由通項(xiàng)公式寫出an－1的表達(dá)式，由an－an－1可求得公差d.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差75解：把n＝1代入通項(xiàng)公式，得a1＝5－2×1＝3.當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.所以，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為－2.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.解：把n＝1代入通項(xiàng)公式，得a1＝5－2×1＝3.例1已知76追問(wèn)1：還有其他方法求公差d嗎？分析：由于已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以數(shù)列中每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于公差d.由于已求出首項(xiàng)a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即為公差d.追問(wèn)1：還有其他方法求公差d嗎？分析：由于已知數(shù)列{an}為77解法2：a1＝5－2×1＝3，a2＝5－2×2＝1.于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.所以，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為－2.例1已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.解法2：a1＝5－2×1＝3，例1已知等差數(shù)列{an}的通78追問(wèn)2：能直接從通項(xiàng)公式看出公差d的值嗎？分析：由于等差數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).一次項(xiàng)系數(shù)即為公差d，可以直接從通項(xiàng)公式看出公差d的值.追問(wèn)2：能直接從通項(xiàng)公式看出公差d的值嗎？分析：由于等差數(shù)列79解法3：a1＝5－2