(完整word版)線性代數(shù)超強(qiáng)的總結(jié)(不看你會(huì)后悔的)(word文檔良心出品)

10AB1111AB=AB=2222OAB

kkkk(II)XA=B矩陣方程的解法：設(shè)法化成（I）AX=B或

當(dāng)|A|(II)XA=B（I）的解法：構(gòu)造（A陽(yáng)）初等行變換＞（EM）（當(dāng)B為一列時(shí)，即為克萊姆法則）（II）的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為atXt二Bt,用（I）的方法求出Xt,再轉(zhuǎn)置得XVAx=o和Bx=o同解（A,B列向量個(gè)數(shù)相同），則：它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等；它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.V判斷耳，耳,L，耳是Ax=0的基礎(chǔ)解系的條件：12s耳，耳,L，耳線性無(wú)關(guān)；12s耳，耳，L，耳是Ax二0的解；12s③s=n-r（A）=每個(gè)解向量中自由變量的個(gè)數(shù).①零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.②單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān).原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).兩個(gè)向量線性相關(guān)O對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān).向量組a,a,…,a中任一向量a(lwiWn)都是此向量組的線性組合.TOC\o"1-5"\h\z12ni向量組a,a,…,a線性相關(guān)o向量組中至少有一個(gè)向量可由其余n-1個(gè)向量線性表示.l2n向量組a,a,…,a線性無(wú)關(guān)o向量組中每一個(gè)向量a都不能由其余n-1個(gè)向量線性表示.12nim維列向量組a,a,…,a線性相關(guān)or(A)<n；12nm維列向量組a,a,??-,a線性無(wú)關(guān)or(A)=n.12nr(A)=0oA=o.若a,a,???,a線性無(wú)關(guān)，而a,a,…,a,p線性相關(guān)，則p可由a,a,…,a線性表示，且表示法惟12n12n12n?矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).?矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩，且不改變列向量間的線性關(guān)系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價(jià)|a,a,???,a和0,p，…,p可以相互線性表示.記作：&,a,…,a｝%｛卩,卩，…,卩｝TOC\o"1-5"\h\z1112n12n12n12n矩陣等價(jià)|A經(jīng)過有限次初等變換化為B.記作：A%B?矩陣A與B等價(jià)Or(A)=r(B)A,B作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣A與B作為向量組等價(jià)Or(a,a,…,a)二r(0,0,…,0)二r(a,a,…a,0,0,…,0)n12n12n12n12n矩陣A與B等價(jià).?向量組0,0,…,0可由向量組a,a,…,a線性表示or(a,a,…a,0,0,…,0)=r(a,a,…,a)nr(0,0,…,0)wr(a,a,…,a).12s12n12n12s12n12s12n?向量組0,0,…,0可由向量組a,a,…,a線性表示，且s>n，則0,0,…,0線性相關(guān).12s12n12s向量組0,0，…,0線性無(wú)關(guān),且可由a,a,???,a線性表示，則swn.12s12n?向量組0,0,…,0可由向量組a,a,…,a線性表示，且r(0,0,…,0)二r(a,a,…,a),則兩向量組等價(jià)；12s12n12s12n?任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).?向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等.?若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià)，則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.?若A是mxn矩陣，則r(A)<min｛m,n｝，若r(A)=m,A的行向量線性無(wú)關(guān)；若r(A)=n,A的列向量線性無(wú)關(guān)，即：a,a,…,a線性無(wú)關(guān).12n線性方程組的矩陣式Ax=pA=aiia21Ma12a22MLLaIna2nM9兀=X1X2M,0=2MaaLaXbmlm2mnnm77向量式X01+X01+￡v+X01=B向量式1122nnaija2j,j=1,2,L,nMJ88oAx=卩有無(wú)窮多解當(dāng)aoAx=卩有無(wú)窮多解當(dāng)a為方陣時(shí)>A=0<n：、\<^;'aa,L,a線性相關(guān)12noAxoAx=卩有唯一組解（二）Ax=o只有零解當(dāng)A為方陣時(shí)>A豐0卩可由a,a,L,a線性表示oAx=卩有解or(A)=r(A他)<12n當(dāng)A為方陣時(shí)f克萊姆法則卩不可由a,a,L,a線性表示o12n

'or(A)豐r(A妙)Ax=卩無(wú)解(or(A)<r(A他)or(A)+1=r(AA|^)矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(At)t=A(AB)t=BtAt(kA)T=kATAT=1A|(A+B)t=At+Bt矩陣可逆的性質(zhì)：(A-1)-1=A(AB)-1=B-1A-1(kA)-1=k-1A-1A-1=IA-1(A-1)t=(At)-1(A-1)k=(Ak)-1=A-k伴隨矩陣的性質(zhì)：(A*)*=|A|n-2A(AB)*=B*A*(kA)*=kn-1A*A*=|A|n-1(A-1)*=(A*)-1=pa(At)*=(A*)t(A*)k=(Ak)*r(A*)=<n若r(A)=n1若r(A)=n-10若r(A)<n-1AB=AB|kA|=kn|A|Ak=lA|kAA*=A*A=|A|E‘⑴n，n是Ax=0的解，耳+n也是它的解、1212n是Ax=0的解,對(duì)任意k，kn也是它的解n,n,l,n是Ax=0的解,對(duì)任意k個(gè)常數(shù)12k九,九，l,九，九n+九n+九n也是它的解12k1122kk(2)(3)\齊次方程組線性方程組解的性質(zhì)：Q(4)(5)(6)(7)Y是Ax=卩的解，耳是其導(dǎo)出組Ax=0的解,Y+n是Ax=卩的解耳，耳是Ax=卩的兩個(gè)解，耳―耳是其導(dǎo)出組Ax=0的解1212耳是Ax=卩的解，則耳也是它的解-耳是其導(dǎo)出組Ax=0的解2112耳，耳,L,n是Ax=卩的解，則12k九耳+九耳+九耳也是Ax=B的解。九+九+九=11122kk12k九耳+九耳+九耳是Ax=0的解o九+九+九=01122kk12kV設(shè)A為mxn矩陣，若r(A)=m，則r(A)=r(AA^),從而Ax=卩一定有解.當(dāng)m<“時(shí)'一定不是唯一解=向量維數(shù)<未向量個(gè)數(shù)數(shù),則該向量組線性相關(guān).m是r(A)和r(AM)的上限.V矩陣的秩的性質(zhì)：①r(A)=r(AT)=r(ATA)r(A土B)Wr(A)+r(B)r(AB)Wmin{r(A),r(B)}r(kA)=r(A)若k豐00若k=0⑤rA°=r(A)+r(B)oB

標(biāo)準(zhǔn)正交基n個(gè)n維線性無(wú)關(guān)的向量，兩兩正交，每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.a與卩正交（a,卩）=0.a是單位向量阻||=J(a,a)=1.V內(nèi)積的性質(zhì)：①正定性：（a,a）＞0,且（a,a）=0oa=o對(duì)稱性：（a,卩）=（卩,a）雙線性：(a,B+B)=(a,B)+(a,B)1212(a+a,B)=(a,B)+(a,B)

1212(ca,B)=(ca,B)=(a,cB)施密特a,a,a線性無(wú)關(guān),1123B=a11正交化｛B2B3=a2=a正交化｛B2B3=a2=a33b

(BB)i11(Ojjb

(BB)i11(a,卩)7n2(BB)22B2單位化：n1BPSn2n3=正交矩陣AAt=E.VA是正交矩陣的充要條件：A的n個(gè)行（列）向量構(gòu)成n的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

A的特征多項(xiàng)式|九E-A|=f(九).A的特征方程卜E—A|=0.Ax=XxTAx與x線性相關(guān)V上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的n各元素.V若|A|=0，則九二0為A的特征值，且Ax二0的基礎(chǔ)解系即為屬于九二0的線性無(wú)關(guān)的特征向量.|A|=九九L九12n若r(A若r(A)=1，則A一定可分解為A=a1a2M片b2,L,b］、A2=(ab+ab+L+ab)A,從而An1122nnan的特征值為：九=trA=ab+ab+L+ab,11122nn若A的全部特征值九,九,L,九,f(x)是多項(xiàng)式，則:TOC\o"1-5"\h\z12nf(A)的全部特征值為f(九),f(九),L,f(九)；12n當(dāng)A可逆時(shí)，A-1的全部特征值為十,+,L，十,叫尢2亠kAkAkA

aA+bEA-1V九是A的特征值，則*A2AmA*

A*的全部特征值為口,口,L,山.入1入2入nk九a九+b

十分別有特征值J.九2尢mIA九k尢的矩陣，P-iAP為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為A的特征值.A可對(duì)角化的充要條件：n-r(九E-A)=kk為九的重?cái)?shù).iiiiV若n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值，則A與對(duì)角陣相似.A與B正交相似B=P-1AP(P為正交矩陣)V相似矩陣的性質(zhì)：①A-1:B-1若A,B均可逆AT:BTAk:Bk(k為整數(shù))|九E-A|=|九E-B\，從而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同?即：x是A關(guān)于九的特征向量，P-1x是B關(guān)于九的特征向量.00|A|=|B從而A,B同時(shí)可逆或不可逆r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)數(shù)量矩陣只與自己相似.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：特征值全是實(shí)數(shù)，特征向量是實(shí)向量；與對(duì)角矩陣合同；不同特征值的特征向量必定正交；k重特征值必定有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;

A(a,a,LA(a,a,L,a)=(Aa,Aa,L,Aa)=(Xa,Xa,L,Xa)=[a,a,L,a]n1212121442443P尢2

O九n4424443C:D,則：V若A:B，則f(A):f(B),f(A)|=|f(B)|二次型f(x,x,L,x)二XtAXA為對(duì)稱矩陣112nA與B合同B=CTAC.記作：A;B(A,B為對(duì)稱陣,C為可逆陣)兩個(gè)矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù).兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：A:B兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：r(