導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題1．已知函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的取值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）記.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 .2．已知函數(shù)（Ⅰ）若的圖像與直線相切，求（Ⅱ）若且函數(shù)的零點(diǎn)為 ,設(shè)函數(shù)試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) .（為自然常數(shù)）3．已知函數(shù).1）若時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， ），在處的切線為 .1）求函數(shù)的解析式；2）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)可以作的三條切錢若存在，請(qǐng)求出橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．已知函數(shù)fxx22lnxaR,a0.a（1）討論函數(shù)fx的單調(diào)性；（2）若函數(shù)fx有最小值，記為ga，關(guān)于a的方程gaa21m有三9a個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.6．已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)

fxx2aaR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).x(ex的極值；（Ⅱ）當(dāng)a 1時(shí)，若直線l:y kx 2與曲線y f x沒(méi)有公共點(diǎn)，求 k的最大值.7．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） .1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；2）當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；3）設(shè)，當(dāng)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．已知函數(shù).1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).9．已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得有三個(gè)相異零點(diǎn)若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由 .10．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）記，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 .11．已知函數(shù).1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；2）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍.．．1）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使得直線和曲線相切；2）若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求的范圍．13．已知函數(shù) f x ax3 bx2 3xa,b R 在點(diǎn) 1,f1 處的切線方程為y 2 0．（1）求函數(shù) f x的解析式；（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn) M 2,m可以作出曲線 y f x的三條切線，求實(shí)數(shù) m的取值范圍．14．已知函數(shù)fxx22alnx,aR．x（1）若fx在x2處取極值，求fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程；（2）當(dāng)a0時(shí)，若fx有唯一的零點(diǎn)x0，求x0.注x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如0.60,2.12,1.52.參考數(shù)據(jù)：ln20.693,ln31.099,ln51.609,ln71.946.15．已知函數(shù)fxexmxlnxm1x；（1）若m1fx在0,上單調(diào)遞增；，求證：（2）若gx=f'x，試討論gx零點(diǎn)的個(gè)數(shù).16．已知函數(shù)fxeax?sinx1，，其中a0．(I)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yfx在點(diǎn)0，f0處的切線方程；(Ⅱ)證明：fx在區(qū)間0，上恰有2個(gè)零點(diǎn)．參考答案1．（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí), 減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為； （Ⅲ）．【解析】【分析】（1）先求出函數(shù) f（x）的定義域和導(dǎo)函數(shù) f′（x），再由兩直線垂直的條件可得 f′（1）＝﹣3，求出a的值；2）求出f′（x），對(duì)a討論，由f′（x）＞0和f′（x）＜0進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由（1）和題意求出g（）的解析式，求出′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0xg進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由條件和函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義列出不等式組，求出b的范圍．【詳解】（Ⅰ）定義域，，，∴．（Ⅱ）當(dāng)，，單減區(qū)間為當(dāng)時(shí)令，單增區(qū)間為；令，單減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間∴當(dāng)時(shí), 減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅲ）令，，令，；令，∴是在上唯一的極小值點(diǎn)，也是唯一的最小值點(diǎn)∴∵在上有兩個(gè)零點(diǎn)∴只須∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及幾何意義、 函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)， 注意求出函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力．2．（1）（2）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，故可以關(guān)于的方程組，從該方程組解得．（Ⅱ）因，故為減函數(shù)，結(jié)合可得的零點(diǎn)．又是分段函數(shù)，故分別討論在上的單調(diào)性，結(jié)合利用零點(diǎn)存在定理得到有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．詳解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)，所以，故，從而又切點(diǎn)在函數(shù)上，所以即，故，解得， ．（Ⅱ）若且函數(shù)的零點(diǎn)為，因?yàn)?，，為上的減函數(shù)，故．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，則 ,所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，且；又，所以函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)， 在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)．綜上，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．點(diǎn)睛：處理切線問(wèn)題的核心是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)， 因?yàn)樗臋M坐標(biāo)溝通了切線的斜率和函數(shù)在該值處的導(dǎo)數(shù)．零點(diǎn)問(wèn)題需要利用導(dǎo)數(shù)明確函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理才能判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．3．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】分析：（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間； （2）分三種情況討論的范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性， 結(jié)合零點(diǎn)存在定理與函數(shù)圖象， 可篩選出函數(shù)在區(qū)間上恰有 2個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍 .詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，恒成立，，此時(shí)在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，由（ 1）知，在單調(diào)遞增，，此時(shí)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，不符；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；，此時(shí)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，不符；當(dāng)時(shí)，要使在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，必須滿足在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用通常圍繞四個(gè)點(diǎn)進(jìn)行命題．第一個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)的幾何意義展開(kāi)， ；第二個(gè)點(diǎn)是圍繞利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、 極值(最值)展開(kāi)，設(shè)計(jì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、 極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問(wèn)題， 在考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法； 第三個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)研究不等式、 方程展開(kāi)，涉及不等式的證明、不等式的恒成立、討論方程根等問(wèn)題， ；第四個(gè)點(diǎn)是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來(lái)分析不等式和方程等問(wèn)題的能力．4．（1）（2）不存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)可以作的三條切線 .【解析】分析：

(1)

求出

f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線方程可得切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，可得

a=2，即可得到

f（x）的解析式；

(2)

令，設(shè)圖象上一點(diǎn)，，該處的切線

,

又過(guò)點(diǎn)則

過(guò)作

3條不同的切線，則方程有

3個(gè)不同實(shí)根

,進(jìn)而構(gòu)造，圖象與軸有

3個(gè)不同交點(diǎn)詳解：（1），由題意可知，，即（2），令，設(shè)圖象上一點(diǎn)，，該處的切線又過(guò)點(diǎn)則 ①過(guò)作3條不同的切線，則方程①關(guān)于有令，圖象與軸有 3個(gè)不同交點(diǎn)

3個(gè)不同實(shí)根（1）當(dāng)，，是單調(diào)函數(shù)，不可能有 3個(gè)零點(diǎn)2）當(dāng)，或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減曲線與軸有個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)該滿足，，當(dāng)，又，所以無(wú)解3）當(dāng)，或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，應(yīng)滿足，，當(dāng)，又，無(wú)解，綜上，不存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)可以作的三條切線.點(diǎn)睛：（1）函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）的判斷方法：①結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，利用函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②利用函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程根的個(gè)數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（2）本題將方程實(shí)根個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題解決.5．（1）當(dāng)a0時(shí)，fx在0,上遞減，當(dāng)a0時(shí)，fx在0,a上遞減，在a,上遞增；（2）11ln3.ln2ln3m33【解析】試題分析：（1）函數(shù)求導(dǎo)得f'x2x2，分a0和a0兩種情況討論即可；ax2（2）結(jié)合（1）中的單調(diào)性可得最值ga1lna，即malna(a0)，令2(a9aFaalna0)，求導(dǎo)得單調(diào)性得值域即可.9a試題解析：（1）f'x2x2，(x0)，ax當(dāng)a0時(shí)，f'x0，知fx在0,上是遞減的；當(dāng)a0時(shí)，f'x2xaxax在0,a上是遞減的，在a,ax，知f上遞增的.（2）由（1）知，a0，fxminfa1lna，即ga1lna，方程gaa21m，即malna29a(a0)，9a令Faalna2(a0)，則F'a1123a13a2a9a29a2，9a知Fa在0,1和2,是遞增的，1,2是遞減的，3333Fa極大F11ln3，F(xiàn)a極小F21ln2ln3，3333依題意得1ln2ln3m1ln3.33點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)常用的方法和思路：1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問(wèn)題解決；3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解.6．（1）見(jiàn)解析（2）k的最大值為1.【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù) a的正負(fù)討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定極值，（2）先將無(wú)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程1在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為k1x1exxex在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，再利用導(dǎo)數(shù)研究gxxex的取值范圍，即得k11,1，即得k的取值范圍是1e,1，從中確定k的最大值.k1e試題解析：（Ⅰ）fx1ax，e①當(dāng)a0時(shí)，fx0，fx為,上的增函數(shù)，所以函數(shù)fx無(wú)極值.②當(dāng)a0時(shí)，令fx0，得exa，xlna.x,lna，fx0；xlna，fx0.所以fx在,lna上單調(diào)遞減，在lna,上單調(diào)遞增，故fx在xlna處取得極小值，且極小值為flnalna1，無(wú)極大值.綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)fx無(wú)極小值；當(dāng)a0，fx在xlna處取得極小值lna，無(wú)極大值.（Ⅱ）當(dāng)a1時(shí)，fxx21x.e直線l:ykx2與曲線yfx沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程kx2x21在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程：exk1x1x*在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.e可化為1①當(dāng)k1時(shí)，方程*0，在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.ex②當(dāng)k1時(shí)，方程*化為1xex.k1令gxxex，則有g(shù)x1xex令gx0，得x1，當(dāng)x變化時(shí)，gx的變化情況如下表：x,1-11,gx-0+gx↘1↗e當(dāng)x1時(shí)，gxmin1，同時(shí)當(dāng)x趨于+時(shí)，gx趨于+，e從而gx的取值范圍為1.[e所以當(dāng)11,1時(shí)，方程*無(wú)實(shí)數(shù)解，ke解得k的取值范圍是1e,1.綜上，得k的最大值為 1.7．（1）；（2）；（3）或【解析】分析：（1）先求切點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，最后寫出切線的方程 .(2)先分離參數(shù)得到，再求函數(shù)的最小值，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)先令，再轉(zhuǎn)化為方程有且只有一個(gè)實(shí)根，再轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的圖像分析得到a的取值范圍

.詳解：（1），所以切線的斜率 .又因?yàn)?，所以切線方程為，所以切線方程為 .（2）由得.當(dāng)x=0時(shí)， 上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況 .將變形得令，所以令，解得 x＞1；令，解得 x＜1.從而在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（ 1，2）內(nèi)單調(diào)遞增 .所以,當(dāng)x=1時(shí)， 取得最小值 e-1，從而所求實(shí)數(shù)的取值范圍是 .3）令當(dāng)時(shí)，，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，即令，令，則由題可知，當(dāng)，或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)點(diǎn)睛：第（3）問(wèn)的轉(zhuǎn)化是一個(gè)關(guān)鍵，由于直接研究函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)比較困難，所以本題把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有且只有一個(gè)實(shí)根，再轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣問(wèn)題經(jīng)過(guò)一次又一次的轉(zhuǎn)化，大大提高了解題效率，優(yōu)化了解題 .所以在解答數(shù)學(xué)難題時(shí)，注意數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用 .8．（1）（2）3【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn) ，先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求出 的單調(diào)性，通過(guò)圖像分析得到 a的取值范圍.(2) 第（2）問(wèn)，先通過(guò)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分析出函數(shù) g(x)的單調(diào)性，再通過(guò)圖像研究得到它的零點(diǎn)個(gè)數(shù) .試題解析：（1）令，由題意知的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn) ..當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減 .∴.又∵時(shí)，，∴時(shí)，.又∵時(shí)，.綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) .（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，由，得有兩個(gè)不同的根， （設(shè)）.由（1）知，，，且，且函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，.又，；，，所以函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn) .點(diǎn)睛：對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題的處理，一般利用圖像法分析解答 .先求出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、端點(diǎn)的取值等情況，再畫出函數(shù)的圖像分析函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù) .本題第（2）問(wèn)，就是利用這種方法處理的 .9．（Ⅰ）見(jiàn)解析 .（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（I）求出，分三種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間； （II）假設(shè)有三個(gè)相異零點(diǎn)，由（Ⅰ）的討論可知，一定有且的極大值大于 0，極小值小于 0，則取得極大值和極小值時(shí)或，注意到此時(shí)恒有，則必有為極小值，此時(shí)極值點(diǎn)滿足，即，還需滿足，換元后只需證明即可 .試題解析：（Ⅰ）由題可知 .當(dāng)，即時(shí)，令得，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 .當(dāng)時(shí)，令得或 .當(dāng)，即時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 .（Ⅱ）不存在 .理由如下：假設(shè)有三個(gè)相異零點(diǎn) .由（Ⅰ）的討論，一定有且的極大值大于 0，極小值小于已知取得極大值和極小值時(shí)或，注意到此時(shí)恒有，則必有為極小值，此時(shí)極值點(diǎn)滿足，即，還需滿足，又，，故存在使得，即存在使得 .令，即存在滿足 .令，，從而在上單調(diào)遞增，所以，故不存在滿足，與假設(shè)矛盾，從而不存在使得有三個(gè)相異零點(diǎn)10．(1)見(jiàn)解析;(2).

0.

.【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的定義域和導(dǎo)函數(shù) f′（x），對(duì)字母a分類討論，由f′（x）＞0和f′（x）＜0進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2）由（1）和題意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′x）＜0進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由條件和函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義列出不等式組，求出b的范圍．試題解析：1）定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為 .（2）當(dāng)時(shí)，，.令，得，，在區(qū)間上，令，得遞增區(qū)間為，令，得遞減區(qū)間為，所以是在上唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，所以，又因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以只需，，所以，即.11．(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析：（1）先求出，則至少存在一個(gè)零點(diǎn)，討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與函數(shù)圖象可得結(jié)果；（2）求出，分五種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可排除不合題意的的范圍，篩選出符合題意的的范圍 .試題解析：（1），令，故在上單調(diào)遞增，則，因此，當(dāng)或時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；2）當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在處取得最小值，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則必存在正數(shù)，使得，若，則，函數(shù)在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故不符合題意 .若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故不符合題意 .若，則，設(shè)正數(shù)，則，與函數(shù)的最小值為矛盾，綜上所述，，即.12．（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析： (1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)切點(diǎn)既在切線上也在曲線上，聯(lián)立方程組可得．再利用導(dǎo)數(shù)研究 單調(diào)性，并根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)唯一性，即得證結(jié)論， (2)先化簡(jiǎn)不等式為，再分析函數(shù)單調(diào)性及其值域，結(jié)合圖形確定討論a的取法，根據(jù)整數(shù)解個(gè)數(shù)確定 a滿足條件，解得的范圍．試題解析：1）設(shè)切點(diǎn)為，則①，和相切，則②，所以，即．令，所以單增．又因?yàn)?，所以，存在唯一?shí)數(shù)，使得，且．所以只存在唯一實(shí)數(shù)，使①②成立，即存在唯一實(shí)數(shù)使得和相切．2）令，即，所以，令，則，由（1）可知，在上單減，在單增，且，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐笳麛?shù)解，所以在時(shí)，，所以有無(wú)窮多整數(shù)解，舍去；當(dāng)時(shí)，，又，所以兩個(gè)整數(shù)解為0，1，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趦?nèi)大于或等于 1，所以無(wú)整數(shù)解，舍去，綜上， ．13．（1）f x x3 3x；（2） 6 m 2【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于 a,b的方程組，解方程組求得a,b后可得函數(shù)的解析式．（2）設(shè)出切點(diǎn)x0,y0，求導(dǎo)數(shù)后可得fx03x023，即為切線的斜率，然后根據(jù)斜率公式可得3x023x033x0m，即2x036x026m0．若x02函數(shù)有三條切線，則函數(shù)gx2x36x26m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的極值可得所求范圍．試題解析；（1）∵fxax3bx23x，∴fx3ax22bx3，根據(jù)題意得{f1ab32a1f13a2b3，解得{b0，0∴函數(shù)的解析式為fxx33x.（2）由（1）得fx3x23．設(shè)切點(diǎn)為x0,y0，則y0x033x0，fx03x023，故切線的斜率為3x023，由題意得3x023x033x0m，x02即2x036x026m0，∵過(guò)點(diǎn)M2,mm2可作曲線yfx的三條切線∴方程2x036x026m0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴函數(shù)gx2x36x26m有三個(gè)不同的零點(diǎn)．由于gx6x212x6xx2，∴當(dāng)x0時(shí)，gx0,gx單調(diào)遞增，當(dāng)0x2時(shí)，gx0,gx單調(diào)遞減，當(dāng)x2時(shí)，gx0,gx單調(diào)遞增.∴當(dāng)x0時(shí)，gx有極大值，且極大值為g0m6；當(dāng)x2時(shí)，gx有極小值，且極小值為g2m2．∵函數(shù)gx有3個(gè)零點(diǎn)，6m0∴{m，20解得6m2．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是 6,2．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法1）研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體形狀，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，使問(wèn)題的求解有直觀的整體展現(xiàn)．2）研究方程根的情況，也可通過(guò)分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題處理，解題時(shí)仍要利用數(shù)形結(jié)合求解．14．（1）7xy100；（2）2【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，利用對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為0求出a值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解；（2）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過(guò)極值的符號(hào)確定零點(diǎn)的位置，再利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解 .試題解析：（1）因?yàn)閒x2x3ax22162a2a7，則x2，所以f40，解得f17，即fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為y37x1，即7xy100；（2）fxx22alnx，fx2x3ax2x0xx2令gx2x3ax2，則gx6x2a由a0,gx0，可得xa6gx在0,a上單調(diào)遞減，在a,上單調(diào)遞增66由于g020，故x0,a時(shí)，gx06又g1a0，故gx在1,上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x1，從而可知fx在0,x1上單調(diào)遞減，在x1,上單調(diào)遞增由于fx有唯一零點(diǎn)x0，故x1x0,且x01又2lnx0310......*x031令hx2lnx031，可知hx在1,上單調(diào)遞增x031由于h22ln21020.7100，h32ln3290，7726故方程*的唯一零點(diǎn)x02,3，故x0215．（1）見(jiàn)解析（2）當(dāng)m1時(shí)，gx沒(méi)有零點(diǎn)；m1時(shí)，gx有一個(gè)零點(diǎn)；m1時(shí)，gx有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】試題分析：（1）m1時(shí)，fxex1xlnx，f'xex1lnx1，要證fx在0，+上單調(diào)遞增，只要證：f'x0對(duì)x0恒成立，只需證明ex1x（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)）．xlnx1（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)），即可證明f'x0；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，分m1m＞1，m1討論，即可判斷函數(shù)gx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．試題解析：（1）m1時(shí)，fxex1xlnx，f'xex1lnx1，要證fx在0，+上單調(diào)遞增，只要證：f'x0對(duì)x0恒成立，令ixex1x，則i'xex11，當(dāng)x1時(shí)，i'x0，當(dāng)x1i'x0，故ix在，1上單調(diào)遞減，在1，+上單調(diào)遞增，時(shí)，所以ixi10，即ex1x（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立），令jxx1lnxx0，則j'xx1x，當(dāng)0x1時(shí)，j'x0，當(dāng)x1時(shí)，j'x0，故jx在（0，1）上單調(diào)遞減，在1，+上單調(diào)遞增，所以jxj10，即xlnx1（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)），fxex1lnx1xlnx10（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立）fx在0，+上單調(diào)遞增.（2）由gxexmlnxm有g(shù)'xexm1x0，顯然g'x是增函數(shù)，x令g'x00，得ex0m1，emx0ex0，mx0lnx0，x0則x0,x0時(shí)，g'x0，xx0,時(shí)，g'x0，∴gx在0，x0上是減函數(shù)，在x0,上是增函數(shù)，∴gx有極小值，gx0ex0mlnx0m12lnx0x0，x0①當(dāng)m1時(shí)，x01，gx極小值=g10，gx有一個(gè)零點(diǎn)1；②m1時(shí)，0x01，gx0g11010，gx沒(méi)有零點(diǎn)；③當(dāng)m1時(shí)，x01，gx01010，又gemeemmmmeemm0，又對(duì)于函數(shù)yexx1，y'ex10時(shí)x0，∴當(dāng)x0時(shí)，y1010，即exx1，∴g3me2mln3mm2m1ln3mmm1lnmln3，令tmm1lnmln3，則t'm11m1mm，∵m1，∴t'm0，∴tmt1/r/