《最短路徑問題》軸對(duì)稱課件

最短路徑問題最短路徑問題如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？知識(shí)回顧選第②條兩點(diǎn)之間，線段最短如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最?。畠牲c(diǎn)在一條直線異側(cè)這是為什么呢？?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短連接AB，線段AB與直線l的交點(diǎn)P，就是所求．已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+探究相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？lAB探究相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海將軍飲馬問題精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題．這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？lAB將軍飲馬問題精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能要自己的語(yǔ)言重新描述一下問題嗎？探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能要自己的語(yǔ)言重新描述一下問題嗎？CC是l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC+BC最??？探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？一開始的時(shí)候我們就討論過點(diǎn)A，B在直線異側(cè)的情況，你還記得是怎么做的嗎？連接兩點(diǎn)，交點(diǎn)就是所求同側(cè)的情況也能直連接兩點(diǎn)嗎？不行探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？能不能把點(diǎn)在同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在異側(cè)的問題呢？提示：將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，得滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等．你想到怎么做了嗎？探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．你能證明此時(shí)AC+BC最短嗎？B’探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)證明證明此時(shí)AC+CB最短證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′，∵AC′+B′C′＞AB′,∴AC′+BC′＞AC+BC，即AC+BC最短．證明證明此時(shí)AC+CB最短證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)歸納總結(jié)條件特點(diǎn)簡(jiǎn)稱為：兩定一動(dòng)

將軍飲馬問題直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)和直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題特點(diǎn)求線段和最小求解思路利用軸對(duì)稱，化折為直

求解原理兩點(diǎn)之間，線段最短歸納總結(jié)條件特點(diǎn)簡(jiǎn)稱為：兩定一動(dòng)

將軍飲馬問題直線同側(cè)的兩個(gè)例題某供電部門準(zhǔn)備在輸電干線上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向A，B兩個(gè)居民小區(qū)送電.（1）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？在圖上標(biāo)注位置，并說明理由．例題某供電部門準(zhǔn)備在輸電干線上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M例題某供電部門準(zhǔn)備在輸電干線上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向A，B兩個(gè)居民小區(qū)送電.（2）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同旁，如圖（2）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？在圖上標(biāo)注位置，并說明理由.作A的對(duì)稱點(diǎn)可以嗎？B’例題某供電部門準(zhǔn)備在輸電干線上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M練習(xí)如圖，P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩定點(diǎn)，在BC上求作一點(diǎn)M，使△PMQ的周長(zhǎng)最短．提示：這本質(zhì)上是“兩定一動(dòng)”

求線段和最小的將軍飲馬問題．練習(xí)如圖，P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩定點(diǎn)，在BC上練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑．提示1：先把問題抽象為數(shù)學(xué)問題．提示2：這本質(zhì)上是“兩定一動(dòng)”

求線段和最小的將軍飲馬問題．練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游造橋選址問題如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）你能把這個(gè)問題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問題嗎？造橋選址問題如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座抽象可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN垂直于直線b，交直線a于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最?。砍橄罂梢园押拥膬砂犊闯蓛蓷l平行線a和b，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)分析這又是求線段和最小的問題，你能想到什么呢？能變成這種基本類型就好了AM，MN，NB這三條線段的長(zhǎng)度都會(huì)變化嗎？只有AM和NB會(huì)變，MN是不變的．所以當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最?。治鲞@又是求線段和最小的問題，你能想到什么呢？能變成這種基本思考怎么把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為基本類型呢？你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？將AM沿著垂直于河岸的方向平移一個(gè)河寬的距離到A'N．現(xiàn)在就變成基本類型了．怎么確定取最小時(shí)的N點(diǎn)呢？連接A’B，與直線b的交點(diǎn)就是所求．思考怎么把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為基本類型呢？你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？將A證明證明：如圖，在直線b上取一個(gè)不與N重合的點(diǎn)N’，作M’N’⊥a于點(diǎn)M’，連接AM’,BN’，A’N’．由平移的性質(zhì)可知，AM’=A’N’，AM=A’N∵A’N’+N’B＞A’B∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB證明證明：如圖，在直線b上取一個(gè)不與N重合的點(diǎn)N’，作M’N歸納總結(jié)造橋選址問題條件特點(diǎn)平行間的垂線段的端點(diǎn)到兩側(cè)定點(diǎn)的距離之和問題特點(diǎn)求解思路求解原理求線段和最小利用平移，轉(zhuǎn)移線段兩點(diǎn)之間，線段最短歸納總結(jié)造橋選址問題條件特點(diǎn)平行間的垂線段的端點(diǎn)到兩側(cè)定點(diǎn)的將軍飲馬問題的變式已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小．提示1：利用軸對(duì)稱，化折為直．提示2：分別作A點(diǎn)關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)．將軍飲馬問題的變式已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在將軍飲馬問題的變式答案：分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求．已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最?。畬④婏嬹R問題的變式答案：分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A′將軍飲馬問題的變式如圖，牧區(qū)內(nèi)有一家牧民，點(diǎn)A處有一個(gè)馬廄，點(diǎn)B處是他的家，

是草地的邊沿，

是一條筆直的河流.每天，牧民要從馬廄牽出馬來，先去草地上讓馬吃草，再到河邊飲馬，然后回到家B處.請(qǐng)?jiān)趫D上畫出牧民行走的最短路線(保留作圖痕跡).將軍飲馬問題的變式如圖，牧區(qū)內(nèi)有一家牧民，點(diǎn)A處有一個(gè)馬廄，將軍飲馬問題的變式如圖，已知∠AOB，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，（1）要使得△PEF的周長(zhǎng)最小，試在圖上確定點(diǎn)E、F的??????????位置;（2）若OP=4，要使得△PEF的周長(zhǎng)為4，則∠AOB=_____°．答案：（2）30°．將軍飲馬問題的變式如圖，已知∠AOB，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)角內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的折線如圖，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線OM上作點(diǎn)??P，使PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最小.提示：試一試對(duì)稱．答案：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A’，然后過A’作ON的垂線，交OM于P，交ON于Q．A’Q最短的原理是什么？垂線段最短角內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的折線如圖，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線OM角內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的折線如圖，在直角三角形BCD中，若點(diǎn)M、N分別是線段BD、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D上找到CM+MN最小時(shí)，M，N點(diǎn)的位置．提示：試一試對(duì)稱．答案：作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C’，然后過C’作BC的垂線，交BD于M，交BC于N．角內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的折線如圖，在直角三角形BCD中，若點(diǎn)M、N分別總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？條件特點(diǎn)簡(jiǎn)稱為：兩定一動(dòng)

將軍飲馬問題直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)和直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題特點(diǎn)求線段和最小求解思路利用軸對(duì)稱，化折為直求解原理兩點(diǎn)之間，線段最短總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？條件特點(diǎn)簡(jiǎn)稱為：兩定一動(dòng)

將軍飲馬總結(jié)這節(jié)課我們還學(xué)到了什么？造橋選址問題條件特點(diǎn)平行間的垂線段的端點(diǎn)到兩側(cè)定點(diǎn)的距離之和問題特點(diǎn)求解思路求解原理求線段和最小利用平移，轉(zhuǎn)移線段兩點(diǎn)之間，線段最短總結(jié)這節(jié)課我們還學(xué)到了什么？造橋選址問題條件特點(diǎn)平行間的垂線美術(shù)字與軸對(duì)稱美術(shù)字與軸對(duì)稱利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案等腰三角形中相等的線段等腰三角形中相等的線段復(fù)習(xí)鞏固下列圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，找出它們的對(duì)稱軸.復(fù)習(xí)鞏固下列圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，找出它們的對(duì)稱軸.復(fù)習(xí)鞏固畫出下列軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸復(fù)習(xí)鞏固畫出下列軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸復(fù)習(xí)鞏固如圖，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E.求證AC=AB.復(fù)習(xí)鞏固如圖，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，CD⊥AB，復(fù)習(xí)鞏固如圖所示的點(diǎn)A，B，C，D，E中，哪兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱？哪兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱？點(diǎn)C和點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱嗎？為什么？復(fù)習(xí)鞏固如圖所示的點(diǎn)A，B，C，D，E中，哪兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x復(fù)習(xí)鞏固如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延長(zhǎng)CB至D，使DB=BA，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CA，連接AD，AE.求∠D，∠E，∠DAE的度數(shù).復(fù)習(xí)鞏固如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB復(fù)習(xí)鞏固如圖，AD=BC，AC=BD，求證：△EAB是等腰三角形.復(fù)習(xí)鞏固如圖，AD=BC，AC=BD，求證：△EAB是等復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固綜合應(yīng)用試確定如圖所示的正多邊形的對(duì)稱軸的條數(shù)，一般地，一個(gè)正n邊形有多少條對(duì)稱軸？綜合應(yīng)用試確定如圖所示的正多邊形的對(duì)稱軸的條數(shù)，一般地，一個(gè)綜合應(yīng)用如圖，從圖形Ι

到圖形Ⅱ是進(jìn)行了平移還是軸對(duì)稱？如果是軸對(duì)稱，找出對(duì)稱軸；如果是平移，是怎樣平移？綜合應(yīng)用如圖，從圖形Ι

到圖形Ⅱ是進(jìn)行了平移還是軸對(duì)稱？如果綜合應(yīng)用如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高.求證：AD垂直平分EF.綜合應(yīng)用如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是綜合應(yīng)用如圖，在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使AD=BE=CF.求證△DEF是等邊三角形.綜合應(yīng)用如圖，在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點(diǎn)D，E拓廣探索在紙上畫五個(gè)點(diǎn)，使任意三個(gè)點(diǎn)組成的三角形都是等腰三角形.這五個(gè)點(diǎn)應(yīng)該怎樣畫？拓廣探索在紙上畫五個(gè)點(diǎn)，使任意三個(gè)點(diǎn)組成的三角形都是等腰三角拓廣探索如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD.求證DB=DE.拓廣探索如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC拓廣探索如圖，△ABC是等腰三角形，AC=BC，△BDC和△ACE分別為等邊三角形，AE與BD相較于F，連接CF并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)G.求證：G為AB的中點(diǎn).拓廣探索如圖，△ABC是等腰三角形，AC=BC，△BDC拓廣探索如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫出最短路徑.拓廣探索如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河最短路徑問題最短路徑問題如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？知識(shí)回顧選第②條兩點(diǎn)之間，線段最短如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最?。畠牲c(diǎn)在一條直線異側(cè)這是為什么呢？?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短連接AB，線段AB與直線l的交點(diǎn)P，就是所求．已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+探究相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？lAB探究相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海將軍飲馬問題精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題．這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？lAB將軍飲馬問題精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能要自己的語(yǔ)言重新描述一下問題嗎？探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能要自己的語(yǔ)言重新描述一下問題嗎？CC是l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC+BC最??？探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？一開始的時(shí)候我們就討論過點(diǎn)A，B在直線異側(cè)的情況，你還記得是怎么做的嗎？連接兩點(diǎn)，交點(diǎn)就是所求同側(cè)的情況也能直連接兩點(diǎn)嗎？不行探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？能不能把點(diǎn)在同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在異側(cè)的問題呢？提示：將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，得滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等．你想到怎么做了嗎？探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．你能證明此時(shí)AC+BC最短嗎？B’探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)證明證明此時(shí)AC+CB最短證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′，∵AC′+B′C′＞AB′,∴AC′+BC′＞AC+BC，即AC+BC最短．證明證明此時(shí)AC+CB最短證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)歸納總結(jié)條件特點(diǎn)簡(jiǎn)稱為：兩定一動(dòng)

將軍飲馬問題直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)和直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題特點(diǎn)求線段和最小求解思路利用軸對(duì)稱，化折為直

求解原理兩點(diǎn)之間，線段最短歸納總結(jié)條件特點(diǎn)簡(jiǎn)稱為：兩定一動(dòng)

將軍飲馬問題直線同側(cè)的兩個(gè)例題某供電部門準(zhǔn)備在輸電干線上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向A，B兩個(gè)居民小區(qū)送電.（1）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？在圖上標(biāo)注位置，并說明理由．例題某供電部門準(zhǔn)備在輸電干線上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M例題某供電部門準(zhǔn)備在輸電干線上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向A，B兩個(gè)居民小區(qū)送電.（2）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同旁，如圖（2）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？在圖上標(biāo)注位置，并說明理由.作A的對(duì)稱點(diǎn)可以嗎？B’例題某供電部門準(zhǔn)備在輸電干線上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M練習(xí)如圖，P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩定點(diǎn)，在BC上求作一點(diǎn)M，使△PMQ的周長(zhǎng)最短．提示：這本質(zhì)上是“兩定一動(dòng)”

求線段和最小的將軍飲馬問題．練習(xí)如圖，P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩定點(diǎn)，在BC上練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑．提示1：先把問題抽象為數(shù)學(xué)問題．提示2：這本質(zhì)上是“兩定一動(dòng)”

求線段和最小的將軍飲馬問題．練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游造橋選址問題如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）你能把這個(gè)問題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問題嗎？造橋選址問題如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座抽象可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN垂直于直線b，交直線a于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最小？抽象可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)分析這又是求線段和最小的問題，你能想到什么呢？能變成這種基本類型就好了AM，MN，NB這三條線段的長(zhǎng)度都會(huì)變化嗎？只有AM和NB會(huì)變，MN是不變的．所以當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最?。治鲞@又是求線段和最小的問題，你能想到什么呢？能變成這種基本思考怎么把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為基本類型呢？你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？將AM沿著垂直于河岸的方向平移一個(gè)河寬的距離到A'N．現(xiàn)在就變成基本類型了．怎么確定取最小時(shí)的N點(diǎn)呢？連接A’B，與直線b的交點(diǎn)就是所求．思考怎么把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為基本類型呢？你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？將A證明證明：如圖，在直線b上取一個(gè)不與N重合的點(diǎn)N’，作M’N’⊥a于點(diǎn)M’，連接AM’,BN’，A’N’．由平移的性質(zhì)可知，AM’=A’N’，AM=A’N∵A’N’+N’B＞A’B∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB證明證明：如圖，在直線b上取一個(gè)不與N重合的點(diǎn)N’，作M’N歸納總結(jié)造橋選址問題條件特點(diǎn)平行間的垂線段的端點(diǎn)到兩側(cè)定點(diǎn)的距離之和問題特點(diǎn)求解思路求解原理求線段和最小利用平移，轉(zhuǎn)移線段兩點(diǎn)之間，線段最短歸納總結(jié)造橋選址問題條件特點(diǎn)平行間的垂線段的端點(diǎn)到兩側(cè)定點(diǎn)的將軍飲馬問題的變式已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最?。崾?：利用軸對(duì)稱，化折為直．提示2：分別作A點(diǎn)關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)．將軍飲馬問題的變式已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在將軍飲馬問題的變式答案：分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求．已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最?。畬④婏嬹R問題的變式答案：分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A′將軍飲馬問題的變式如圖，牧區(qū)內(nèi)有一家牧民，點(diǎn)A處有一個(gè)馬廄，點(diǎn)B處是他的家，

是草地的邊沿，

是一條筆直的河流.每天，牧民要從馬廄牽出馬來，先去草地上讓馬吃草，再到河邊飲馬，然后回到家B處.請(qǐng)?jiān)趫D上畫出牧民行走的最短路線(保留作圖痕跡).將軍飲馬問題的變式如圖，牧區(qū)內(nèi)有一家牧民，點(diǎn)A處有一個(gè)馬廄，將軍飲馬問題的變式如圖，已知∠AOB，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，（1）要使得△PEF的周長(zhǎng)最小，試在圖上確定點(diǎn)E、F的??????????位置;（2）若OP=4，要使得△PEF的周長(zhǎng)為4，則∠AOB=_____°．答案：（2）30°．將軍飲馬問題的變式如圖，已知∠AOB，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)角內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的折線如圖，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線OM上作點(diǎn)??P，使PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最小.提示：試一試對(duì)稱．答案：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A’，然后過A’作ON的垂線，交OM于P，交ON于Q．A’Q最短的原理是什么？垂線段最短角內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的折線如圖，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線OM角內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的折線如圖，在直角三角形BCD中，若點(diǎn)M、N分別是線段BD、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D上找到CM+MN最小時(shí)，M，N點(diǎn)的位置．提示：試一試對(duì)稱．答案：作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C’，然后過C’作BC的垂線，交BD于M，交BC于N．角內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的折線如圖，在直角三角形BCD中，若點(diǎn)M、N分別總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？條件特點(diǎn)簡(jiǎn)稱為：兩定一動(dòng)

將軍飲馬問題直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)和直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題特點(diǎn)求線段和最小求解思路利用軸對(duì)稱，化折為直求解原理兩點(diǎn)之間，線段最短總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？條件特點(diǎn)簡(jiǎn)稱為：兩定一動(dòng)

將軍飲馬總結(jié)這節(jié)課我們還學(xué)到了什么？造橋選址問題條件特點(diǎn)平行間的垂線段的端點(diǎn)到兩側(cè)定點(diǎn)的距離之和問題特點(diǎn)求解思路求解原理求線段和最小利用平移，轉(zhuǎn)移線段兩點(diǎn)之間，線段最短總結(jié)這節(jié)課我們還學(xué)到了什么？造橋選址問題條件特點(diǎn)平行間的垂線美術(shù)字與軸對(duì)稱美術(shù)字與軸對(duì)稱利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案等腰三角形中相等的線段等腰三角形中相等的線段復(fù)習(xí)鞏固下列圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，找出它們的對(duì)稱軸.復(fù)習(xí)鞏固下列圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，找出它們的對(duì)稱軸.復(fù)習(xí)鞏固畫出下列軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸復(fù)習(xí)鞏固畫出下列軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸復(fù)習(xí)鞏固如圖，D，E分別是AB，AC的