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北京理工大學(xué)材料學(xué)院材料動態(tài)力學(xué)概論AnIntrodutiontoDynamicBehaviorofMaterials1一維應(yīng)力波理論第1頁材料動態(tài)力學(xué)概論2.一維應(yīng)力波理論2一維應(yīng)力波理論第2頁應(yīng)力波理論是研究材料動態(tài)力學(xué)行為基本理論;是材料動態(tài)力學(xué)性能測試基本原理。何時考慮應(yīng)力波:1當(dāng)載荷作用時間與應(yīng)力波傳過物體特征尺寸時間在同一數(shù)量級或更小時;2當(dāng)研究材料瞬間或者局部破壞機理或過程時。不考慮波動考慮波動2

高速碰撞,爆炸2.1基本概念1鑄造,擠壓,軋制,機械加工3一維應(yīng)力波理論第3頁應(yīng)力波形成機制:

當(dāng)外加載荷作用于可變形固體某部分表面時,一開始只有那些直接收到外載荷作用表面部分介質(zhì)質(zhì)點離開了初始平衡位置。因為這部分介質(zhì)質(zhì)點與相鄰介質(zhì)質(zhì)點之間發(fā)生了相對運動(產(chǎn)生變形),當(dāng)然將受到相鄰介質(zhì)質(zhì)點所給予作用力(應(yīng)力),但同時也給相鄰介質(zhì)質(zhì)點以反作用力,因而使它們也離開了初始平衡位置而運動起來。不過,因為介質(zhì)質(zhì)點含有慣性,相鄰介質(zhì)質(zhì)點運動將滯后于表面介質(zhì)質(zhì)點運動。依這類推,外載荷在表面上所引發(fā)擾動就這么在介質(zhì)中逐步由近及遠(yuǎn)傳輸出去,從而形成了應(yīng)力波。

1介質(zhì)微元體之間作用與反作用力;2微元體慣性。2.1基本概念4一維應(yīng)力波理論第4頁基本概念:應(yīng)力波:擾動在固體中傳輸,或固體中傳輸波。波陣面:在介質(zhì)中已擾動區(qū)域與未擾動區(qū)域之間分界面。

擾動傳輸波陣面推進(jìn)波傳輸方向波陣面推進(jìn)方向波速:擾動信號在介質(zhì)中傳輸速度(或說波陣面在介質(zhì)中推進(jìn)速度)

介質(zhì)質(zhì)點速度:介質(zhì)質(zhì)點運動速度2.1基本概念5一維應(yīng)力波理論第5頁間斷波波陣面(強間斷、強擾動):

波陣面前后介質(zhì)狀態(tài)參量(如σ、v、ε)之間差值為一有限值,波剖面發(fā)生了間斷(突變)。數(shù)學(xué)上定義對應(yīng)于一階奇異面,即位移u一階導(dǎo)數(shù)(如v、ε)發(fā)生間斷波陣面。其對應(yīng)波稱為強間斷波,沖擊波即是強間斷波。2.1基本概念

遞增硬化材料中塑性波因為高幅值擾動傳輸速度大于低幅值擾動傳輸速度,最終形成強間斷波,通常被稱為沖擊波。6一維應(yīng)力波理論第6頁連續(xù)波波陣面(弱間斷、弱振動):

波陣面前后狀態(tài)參量(σ、v、ε)之間差值為無限小,波剖面是連續(xù)。對應(yīng)于數(shù)學(xué)上為二階及更高階奇異面。其對應(yīng)波稱為連續(xù)波,其中二階奇異面對應(yīng)波又稱為加速度波(加速度為u二階導(dǎo)數(shù))。2.1基本概念7一維應(yīng)力波理論第7頁間斷波和和連續(xù)波是兩種在表現(xiàn)形式上完全不一樣波,不過它們之間又相互聯(lián)絡(luò),在應(yīng)力波傳輸過程中,間斷波和連續(xù)波在一定條件下能夠相互轉(zhuǎn)化。2.1基本概念8一維應(yīng)力波理論第8頁按傳輸方向分類:縱波、橫波縱波:擾動信號傳輸方向與介質(zhì)質(zhì)點運動方向一致(相同或相反)。(聲波)橫波:擾動信號傳輸方向與介質(zhì)質(zhì)點運動方向相垂直。(水波)按波陣面形狀分類:平面波、柱面波、球面波2.1基本概念9一維應(yīng)力波理論第9頁按加載性質(zhì)分類:加載波、卸載波加載波:使介質(zhì)狀態(tài)參量(σ、p、v等)(絕對)值增大波。卸載波:使介質(zhì)狀態(tài)參量(σ、p、v等)(絕對)值減小波。2.1基本概念10一維應(yīng)力波理論第10頁按波本身性質(zhì)分類:壓縮波、稀疏波、拉伸波壓縮波:擾動傳過之后使介質(zhì)微團有被壓密效果波。稀疏波:擾動傳過之后使介質(zhì)微團有被稀疏效果波。拉伸波:擾動傳過之后使介質(zhì)微團有被拉伸效果波。其它波概念:(入射波、反射波、透射波)(彌散波、匯聚波)(沖擊波:是強間斷、強擾動,是一個強烈壓縮波)2.1基本概念11一維應(yīng)力波理論第11頁

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本出發(fā)點之一,是不從微觀上考慮物體真實物質(zhì)結(jié)構(gòu),而只是在宏觀上把物體看成是連續(xù)不停質(zhì)點所組成系統(tǒng),即把物體看成是質(zhì)點連續(xù)集合。每個質(zhì)點在空間上占有一定空間位置,不一樣質(zhì)點在不一樣時間占有不一樣空間位置。為了區(qū)分不一樣質(zhì)點,要對質(zhì)點命名,為了描述質(zhì)點所占據(jù)空間位置,就需要一個參考空間坐標(biāo)系。2.2物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)12一維應(yīng)力波理論第12頁

在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中,往往采取兩種觀點和方法來研究介質(zhì)運動:Lagrange方法和Euler方法。對應(yīng)地,研究桿運動時,要先選定坐標(biāo)系統(tǒng),普通對應(yīng)有兩種坐標(biāo)系:Lagrange坐標(biāo)(即物質(zhì)坐標(biāo),伴隨介質(zhì)流動來考查)和Euler坐標(biāo)(即空間坐標(biāo),固定空間位置來考查)。

2.2物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)13一維應(yīng)力波理論第13頁Lagrange描述(方法):伴隨介質(zhì)中固定質(zhì)點來觀察物質(zhì)運動,所研究是在給定質(zhì)點上各物理量隨時間改變,以及這些量由一個質(zhì)點轉(zhuǎn)到其它質(zhì)點時改變,這種描述介質(zhì)運動方法稱為Lagrange描述(方法)。Euler描述(方法):在固定空間點上觀察物質(zhì)運動,所研究是在給定空間點上以不一樣時間抵達(dá)該點不一樣質(zhì)點各物理量隨時間改變,以及這些物理量從一個空間點轉(zhuǎn)換到另一空間點時改變,這種描述介質(zhì)運動方法稱為Euler描述(方法)。2.2物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)14一維應(yīng)力波理論第14頁Lagrange坐標(biāo):

為了識別運動中物體一個質(zhì)點,以一組數(shù)(a,b,c)作為其標(biāo)識,不一樣質(zhì)點以不一樣數(shù)(a,b,c)表示,這組數(shù)(a,b,c)稱為Lagrange坐標(biāo)(或物質(zhì)坐標(biāo)、隨體坐標(biāo))。Euler坐標(biāo):

為了表示物體質(zhì)點在不一樣時刻運動到空間一個位置,以一組固定于空間坐標(biāo)表示該位置,這組坐標(biāo)稱為Euler坐標(biāo)(或空間坐標(biāo))2.2物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)15一維應(yīng)力波理論第15頁以長桿中一維運動為例:

X質(zhì)點命名(質(zhì)點在參考時刻空間位置坐標(biāo)):X質(zhì)點任一時刻t在空間所占位置:x表示法一:介質(zhì)運動可表示為質(zhì)點X在不一樣時間t所在空間位置x

,即x是X和t函數(shù)(2-2-1)假如固定X,上式給出了質(zhì)點X怎樣隨時間運動;假如固定t,上式給出了某時刻各質(zhì)點所占據(jù)空間位置。普通來說,在給定時刻,一個質(zhì)點只能占有一個空間位置,而一個空間位置也只能有一個質(zhì)點。2.2物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)16一維應(yīng)力波理論第16頁表示法二:反過來只要運動是連續(xù)單值,(2-2-1)式可反演為(2-2-2)即X是x和t函數(shù)。質(zhì)點在參考時刻t0時在參考空間坐標(biāo)系中所占據(jù)位置坐標(biāo)。參考時刻能夠取t0=0時刻,或其它適當(dāng)時刻;參考空間坐標(biāo)系能夠與描述運動所用空間坐標(biāo)系一致,也能夠不一樣,選取標(biāo)準(zhǔn)取決于研究問題方便性。(2-2-1)式和(2-2-2)式是描述一維長桿中介質(zhì)運動兩種形式,二者是可是交換。2.2物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)17一維應(yīng)力波理論第17頁

在一維情況下,應(yīng)用Lagrange方法,可將物理量Ψ表示為質(zhì)點X和時間t函數(shù):Ψ=F(X,t)。自變量X即為Lagrange坐標(biāo)(物質(zhì)坐標(biāo))。

應(yīng)用Euler方法,可將物理量Ψ表示為空間坐標(biāo)x和時間t函數(shù):Ψ=f(x,t)。自變量x即為Euler坐標(biāo)(空間坐標(biāo))。

顯然,對于同一物理量Ψ,有:

Ψ

=F(X,t)

=f(x,t)(2-2-3)2.2物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)18一維應(yīng)力波理論第18頁

描述同一物理量Ψ,既能夠用物質(zhì)坐標(biāo)也能夠用空間坐標(biāo)來進(jìn)行描述,二者還能夠進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

(1)物質(zhì)坐標(biāo)系中描述物理量空間坐標(biāo)系中描述物理量由(2-2-2)、(2-2-3)式,

f(x,t)

=F[X(x,t),t](2-2-4)

(2)空間坐標(biāo)系中描述物理量物質(zhì)坐標(biāo)系中描述物理量由(2-2-1)、(2-2-3)式,有

F(X,t)

=f[x(X,t),t](2-2-5)2.2物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)19一維應(yīng)力波理論第19頁三種微商:空間微商(Euler微商)、物質(zhì)微商(Lagrange微商或隨體微商)和隨波微商。兩個波速:空間波速(Euler波速)、物質(zhì)波速(Lagrange波速)空間微商(Euler微商):在給定空間位置x上,物理量Ψ對時間t改變率,即(2-3-1)物質(zhì)微商(Lagrange微商或隨體微商):伴隨給定質(zhì)點X來觀察物理量Ψ對時間t改變率,即(2-3-2)2.3時間微商與波速20一維應(yīng)力波理論第20頁對于(2-3-2)式應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求微商連鎖法則,有上式中,是質(zhì)點X空間位置對時間物質(zhì)微商,也就是質(zhì)點X運動速度,即有:(2-3-3)(2-3-4)2.3時間微商與波速21一維應(yīng)力波理論第21頁物理量Ψ為質(zhì)點速度時,(2-3-4)式變?yōu)橘|(zhì)點加速度表示式:

(2-3-5)

(2-3-4)式中,等式右邊第一項通常稱為局部改變率,顯然在定常場中該項為零,第二項稱為遷移改變率,在均勻場中該項為零。與此相對應(yīng),(2-3-5)式中,等式右邊第一項通常稱為局部加速度,第二項稱為遷移加速度。2.3時間微商與波速22一維應(yīng)力波理論第22頁物質(zhì)波速(Lagrange波速):

在物質(zhì)坐標(biāo)中來觀察應(yīng)力波傳輸,設(shè)在t時刻波陣面?zhèn)鬏數(shù)劫|(zhì)點X處,以

表示波陣面在物質(zhì)坐標(biāo)中傳輸規(guī)律,則物質(zhì)波速(Lagrange波速)可表示為:(2-3-6)空間波速(Euler波速):

在空間坐標(biāo)中來觀察應(yīng)力波傳輸,設(shè)在t時刻波陣面?zhèn)鬏數(shù)娇臻g點x處,以表示波陣面在空間坐標(biāo)中傳輸規(guī)律,則空間波速(Euler波速)可表示為:

(2-3-7)

2.3時間微商與波速23一維應(yīng)力波理論第23頁物質(zhì)波速和空間波速描述是波陣面?zhèn)鬏敚|(zhì)點速度描述是某一個質(zhì)點運動物質(zhì)波速和空間波速都是對同一個應(yīng)力波傳輸速度描述,但因為選擇坐標(biāo)不一樣,其數(shù)值普通是不相同,除非波陣面前方介質(zhì)是靜止且無變形。2.3時間微商與波速24一維應(yīng)力波理論第24頁隨波微商:伴隨波陣面來觀察物理量Ψ對時間t改變率。依據(jù)坐標(biāo)系不一樣,有兩種表示式,即在空間坐標(biāo)系中有:

(2-3-8)在物質(zhì)坐標(biāo)系中有:

(2-3-9)(2-3-9)式中,取物理量Ψ為質(zhì)點空間位置x,該式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

(2-3-10)2.3時間微商與波速25一維應(yīng)力波理論第25頁設(shè)初始時刻某質(zhì)點X空間位置依據(jù)定義為X,隨即某時刻該質(zhì)點抵達(dá)空間位置x,則位移為u,顯有故有圖2-2-1一維長桿中X與x相互關(guān)系ε為工程應(yīng)變。則(2-3-10)式可簡化為:

(2-3-11)

此即為平面波傳輸時空間波速和物質(zhì)波速之間關(guān)系,由該式能夠看出,只有當(dāng)初始質(zhì)點速度和初始應(yīng)變?yōu)榱銜r,平面波傳輸空間波速和物質(zhì)波速值相同。2.3時間微商與波速26一維應(yīng)力波理論第26頁2.4.1基本假定細(xì)長桿中應(yīng)力縱波控制方程是基于以下三個基本假設(shè):(1)平截面假定,即假定桿在變形時橫截面保持為平面,沿截面只有均布軸向應(yīng)力。

按照這一假定,桿中各運動參量(位移、質(zhì)點速度、應(yīng)力等)都只是X和t函數(shù),應(yīng)力波傳輸問題就簡化為一維問題了。不過,這一假定只有在長桿橫向尺寸與應(yīng)力波波長相比很小時才近似成立。2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程27一維應(yīng)力波理論第27頁

(2)忽略橫向慣性效應(yīng),這一假定實際上與第一個假定密不可分,若要保持桿截面為平面,必須忽略桿中質(zhì)點橫向運動慣性效應(yīng),即忽略桿中質(zhì)點橫向膨脹或收縮對動能貢獻(xiàn)。質(zhì)點橫向運動必定使得動能橫向耗散,即減小X方向動能,從而造成X方向應(yīng)力波陣面彎曲。假如忽略橫向慣性效應(yīng),則和都等于零,因而處于單向應(yīng)力狀態(tài),且因為無橫向能量耗散,應(yīng)力波陣面不會彎曲,保持平面狀態(tài)。2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程28一維應(yīng)力波理論第28頁(3)應(yīng)力只是應(yīng)變單值函數(shù)。對于應(yīng)變率無關(guān)理論,材料本構(gòu)關(guān)系可寫成(2-4-1)

這一假定似乎只有在彈性變形范圍內(nèi)(低應(yīng)變率)才適用或?qū)?yīng)變率不敏感彈塑性材料近似可用。但考慮到?jīng)_擊載荷下應(yīng)變率比準(zhǔn)靜態(tài)載荷下要高很多量級,能夠認(rèn)為材料在某一應(yīng)變率范圍內(nèi)近似含有唯一動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,在形式上是應(yīng)變率無關(guān),但與靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不一樣,因為它在一定意義上已考慮了應(yīng)變率影響。2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程29一維應(yīng)力波理論第29頁2.4.2控制方程組桿中縱波控制方程(基本方程)包含:

位移連續(xù)方程或質(zhì)量守恒方程——運動學(xué)條件;運動方程或動量守恒方程——動力學(xué)條件;能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系(物性方程)。2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程30一維應(yīng)力波理論第30頁(1)位移連續(xù)方程考查一維等截面均勻桿中微元體縱向運動。如圖2-4-1所表示,取桿變形前(設(shè)t=0時)質(zhì)點空間位置作為物質(zhì)坐標(biāo),取桿軸為X軸,取一微元dX作為研究對象。桿原始截面積為A0,原始密度為ρ0。在t=t1時刻微元兩個截面分別移動到空間位置x和x+dx,則X截面發(fā)生位移為,且有:圖2-4-1

2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程31一維應(yīng)力波理論第31頁那么,依據(jù)位移連續(xù)條件,為連續(xù)函數(shù),則有:兩式相等,從而可得位移連續(xù)方程(或稱ε和v相容方程):

(2-4-2)2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程32一維應(yīng)力波理論第32頁

(2)動量守恒方程由圖2-4-1,依據(jù)牛頓第二定律,作用在微元體兩個截面上作用力之差應(yīng)等于微元體質(zhì)量與加速度乘積,即引入工程應(yīng)力,代入上式,整理可得(2-4-3)此即動量守恒方程(或稱σ和v相容方程)。2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程33一維應(yīng)力波理論第33頁

(3)能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系(物性方程)因為應(yīng)力波傳輸速度很高,在應(yīng)力波經(jīng)過微元體時間內(nèi),微元體還來不及和鄰近微元體及周圍介質(zhì)交換熱量,因而可視為絕熱過程,這一過程恪守能量守恒關(guān)系。(2-4-1)式給出材料本構(gòu)關(guān)系式實際上是絕熱過程中得到,故無需再另外列出能量守恒方程,由方程(2-4-1)-(2-4-3)能夠組成關(guān)于變量σ、ε和v封閉控制方程組:

(2-4-4)2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程34一維應(yīng)力波理論第34頁描述一維桿中應(yīng)力縱波傳輸幾個方程組:以ε和v為未知變量控制方程組以σ和v為未知變量控制方程組以u為未知變量二階偏微分方程2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程35一維應(yīng)力波理論第35頁(1)以ε和v為未知變量控制方程組

連續(xù)可微,對于連續(xù)波波速(2-4-5)則

(2-4-6)代入(2-4-3)式可得

(2-4-7)

上式與位移連續(xù)方程(2-4-2)式就共同組成了以ε和v為未知變量控制方程組,即(2-4-8)2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程彈性模量與波速之間換算36一維應(yīng)力波理論第36頁波速推導(dǎo),廣義波動方程介質(zhì)中以速度V傳輸任何形式擾動2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程(F=ma)由繩子波動推導(dǎo)波動方程37一維應(yīng)力波理論第37頁[舉例]一維桿中彈性波傳輸速度:由:2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程38一維應(yīng)力波理論第38頁彈性變形滿足虎克定律結(jié)合波微分方程:2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程39一維應(yīng)力波理論第39頁

(2)以σ和v為未知變量控制方程組

由(2-4-6)式和(2-4-2)式能夠得到

(2-4-9)

它與運動方程(2-4-3)式共同組成了以σ和v為未知變量控制方程組,即(2-4-10)2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程40一維應(yīng)力波理論第40頁(3)以u為未知變量二階偏微分方程

因為ε和速度v都是位移u一階微商,即,

,代入(2-4-7)式,可得

(2-4-11)

該方程通常稱為波動方程,描述了一維桿中應(yīng)力縱波傳輸規(guī)律。

2.4物質(zhì)坐標(biāo)描述桿中縱波控制方程41一維應(yīng)力波理論第41頁

控制方程組

波陣面參數(shù)σ、ε、v和u等

隨X、t改變規(guī)律。

不過由這些偏微分方程組取得解析解并不輕易。對于一維波傳輸基本方程組,除了彈性波是線性方程外,普通都是非線性。所以大多數(shù)實際問題,往往只能用一些近似數(shù)值方法求解。

特征線方法是處理波傳輸問題最為主要方法之一,含有主要應(yīng)用價值,因為它是求解雙經(jīng)典線型偏微分方程主要解法之一,能夠把解兩個自變量偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為解特征線上常微分方程問題。

2.5特征線與特征線上相容關(guān)系42一維應(yīng)力波理論第42頁

何謂特征線,可用幾個不一樣而又相互等價方法定義。物理意義上:特征線是在(X-t)平面上擾動波陣面?zhèn)鬏斳壽E。圖中曲線上各點斜率就是擾動波傳輸速度,式中正負(fù)號分別對應(yīng)于向右和向左傳輸速度。

圖2-4-1

2.5特征線與特征線上相容關(guān)系43一維應(yīng)力波理論第43頁

數(shù)學(xué)意義:

方向?qū)?shù)法:假如能把某二階偏微分方程或等價一階偏微分方程組線性組合化為只包含自變量平面上某一曲線Γ方向?qū)?shù)形式時,則曲線Γ即為該方程(或方程組)特征線,而該曲線各點斜率dX/dt稱為該特征線特征方向。

不定線法:假如對自變量平面(X,t)上某曲線Γ,由沿此曲線Γ上給定初值連同偏微分方程一起不足以確定全部偏導(dǎo)數(shù)話,則此曲線Γ稱為特征線。2.5特征線與特征線上相容關(guān)系44一維應(yīng)力波理論第44頁用方向?qū)?shù)法和不定線法來定義特征線,分別從不一樣角度反應(yīng)了特征線某種性質(zhì),采取不一樣方法所得到特征線是相同??刂品匠烫卣骶€方程特征線上相容關(guān)系式特征線解法方向?qū)?shù)法不定線法2.5特征線與特征線上相容關(guān)系45一維應(yīng)力波理論第45頁方向?qū)?shù)含義:

圖2-4-1

在(X,t)平面內(nèi)有一曲線Γ,函數(shù)f(X,t)在S方向上方向?qū)?shù)定義為:

(2-5-1)

它能夠給出在與曲線Γ相切方向上對S改變率。其中S方向即為:

(2-5-2)2.5特征線與特征線上相容關(guān)系46一維應(yīng)力波理論第46頁例1:已知一維縱波波動方程,采取方向?qū)?shù)法求解一維縱波特征線方程及特征線上相容關(guān)系。(2-4-11)解:設(shè)在自變量平面(X,t)上有某曲線Γ(X,t),對于u一階偏導(dǎo)數(shù)v、ε,沿此曲線方向微分分別為:(2-5-3)(2-5-4)2.5特征線與特征線上相容關(guān)系47一維應(yīng)力波理論第47頁式中dX和dt是曲線Γ(X,t)上微段dS在X,t兩軸上分量,即,是曲線Γ在(X,t)點上斜率。假如曲線Γ是二階偏微分方程(2-4-11)式特征線,則(2-4-11)式能夠化為只包含沿此曲線方向微分。將(2-5-3)和(2-5-4)式進(jìn)行線性組合,應(yīng)與(2-4-11)式等價,即有(2-5-5)式中,λ為待定系數(shù),比較(2-4-11)、(2-5-5)兩式,兩方程等價應(yīng)滿足:(2-5-6)2.5特征線與特征線上相容關(guān)系48一維應(yīng)力波理論第48頁求解上式,可得:

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