《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 不等式　推理與證明

第七模塊不等式推理與證明(必修5：第三章不等式；選修1－2：第二章推理與證明)編輯ppt第三十一講不等關(guān)系與不等式編輯ppt名師指導(dǎo)·練基礎(chǔ)編輯ppt回歸課本1.不等式的定義在客觀世界中,量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的,我們用數(shù)學(xué)符號(hào)>?≥?<?≤?≠連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系,含有這些不等號(hào)的式子,叫做不等式.編輯ppt2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)定義的,有a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.另外,若b>0,則有 >1a>b;=1a=b;<1a<b.注意:在應(yīng)用作差法比較實(shí)數(shù)大小時(shí),一定要變形到能直接判斷差的符號(hào)為止,變形過(guò)程中要保持等價(jià)性.編輯ppt3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1:對(duì)稱性如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.性質(zhì)2:傳遞性如果a>b,且b>c,那么a>c.也可等價(jià)表示為:如果c<b,且b<a,那么c<a.編輯ppt性質(zhì)3:加法法則如果a>b,那么a+c>b+c.推論1:移項(xiàng)法則如果a+b>c,那么a>c-b.推論2:同向可加性如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.編輯ppt性質(zhì)4:乘法法則如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac<bc.推論1:同向可乘性如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.編輯ppt推論2:乘方法則如果a>b>0,那么an>bn(n∈N*,且n>1).推論3:開(kāi)方法則如果a>b>0,那么(n∈N*,且n>1).注意:運(yùn)用上述性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí),必須注意性質(zhì)成立的條件.如:同向不等式相乘時(shí),注意a>b>0,c>d>0.編輯ppt考點(diǎn)陪練編輯ppt1.已知a≥b,則可以推出()A. B.ac2≥bc2C. D.(ac)2≥(bc)2答案:B編輯ppt2.“a>2且b>2”是“a+b>4,且ab>4”的()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A3.若x+y>0,a<0,ay>0,則x-y的值為()A.大于0B.等于0C.小于0D.符號(hào)不能確定答案:A編輯ppt4.已知a,b,c滿足c<b<a,且ac<0.那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()A.ab>ac B.c(b-a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a-c)>0答案:A編輯ppt答案:D編輯ppt名師講解·練思維編輯ppt類型一 用不等式表示不等關(guān)系解題準(zhǔn)備:1.我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式,以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子,叫做不等式.2.a≤b的含義是指“或者a<b,或者a=b”,等價(jià)于“a不大于b”;a≥b的含義是指“或者a>b,或者a=b”,等價(jià)于“a不小于b”.編輯ppt【典例1】某汽車(chē)公司由于發(fā)展的需要需購(gòu)進(jìn)一批汽車(chē),計(jì)劃使用不超過(guò)1000萬(wàn)元的獎(jiǎng)金購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為40萬(wàn)元?90萬(wàn)元的A型汽車(chē)和B型汽車(chē).根據(jù)需要,A型汽車(chē)至少買(mǎi)5輛,B型汽車(chē)至少買(mǎi)6輛,寫(xiě)出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.編輯ppt編輯ppt [反思感悟](1)將實(shí)際的不等關(guān)系寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的不等式時(shí),應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題中關(guān)鍵性的文字語(yǔ)言與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)之間的正確轉(zhuǎn)換,這關(guān)系到能否正確地用不等式表示出不等關(guān)系.常見(jiàn)的文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下表:編輯ppt文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)大于>至多≤小于<至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤編輯ppt (2)注意區(qū)分“不等關(guān)系”和“不等式”的異同，不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”表示，不等式則是表示不等關(guān)系的式子，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系可以從“不超過(guò)”、“至少”、“至多”等關(guān)鍵詞上去把握，并考慮到實(shí)際意義，本題中就容易忽視x，y∈N*.編輯ppt類型二 不等式性質(zhì)的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:不等式的性質(zhì)就其邏輯關(guān)系而言,可分為推出關(guān)系(充分條件)和等價(jià)關(guān)系(充要條件)兩類,同向可加性和同向可乘性可推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上的不等式,同向可乘時(shí),應(yīng)注意a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性質(zhì)時(shí),把握其邏輯關(guān)系,才能正確應(yīng)用不等式性質(zhì)解決有關(guān)不等式的問(wèn)題.編輯ppt【典例2】下列各命題是否成立?如不成立,能否適當(dāng)添加條件使命題成立?(1)若ac2>bc2,則a>b;(2)若a>b,則-ac>-bc;(3)若a>b,則(4)若a>b,c>d,則ac>bd.編輯ppt[解](1)命題成立(2)“c<0”(3)“ab>0”(4)需添加“c>0,b>0”或“a>0且d≥0”或“c>0且b≥0”可使命題成立.對(duì)照不等式的運(yùn)算性質(zhì),還可添加“b≥0且d≥0”也可使命題成立.編輯ppt類型三 比較大小解題準(zhǔn)備:作差法比較大小的步驟是:作差→變形→判斷差的符號(hào)→下結(jié)論.作商法比較大小的步驟是:作商→變形→判斷商與1的大小→下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵,變形方法主要是通分、因式分解和配方等,變形要徹底,要有利于與0或1比較大小.編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt類型四 利用不等式的性質(zhì)求范圍解題準(zhǔn)備:1.在處理此類問(wèn)題時(shí),嚴(yán)格根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則,是正確解答此類題目的保證.2.此類問(wèn)題中的參數(shù)不是相互獨(dú)立的,而是相互制約的,故不可分割開(kāi)來(lái).應(yīng)先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,最后通過(guò)“一次性”不等式關(guān)系的運(yùn)算求得待定整體的范圍.這是避免此類題目出錯(cuò)的一條途徑.編輯ppt【典例4】設(shè)f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.[分析]利用f(-1)與f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表達(dá)式中,從而用f(-1)與f(1)表示f(-2),最后運(yùn)用已知條件確定f(-2)的取值范圍.此題還可用線性規(guī)劃求解.編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt名師糾錯(cuò)·補(bǔ)漏洞編輯ppt錯(cuò)源 鏈?zhǔn)讲坏仁浇M認(rèn)識(shí)不到位編輯ppt[剖析]因?yàn)闂l件中有α<β,解題時(shí)往往忽略這個(gè)條件,致使解錯(cuò).在研究范圍問(wèn)題時(shí),一定要看清變量間有無(wú)內(nèi)在聯(lián)系,要確定準(zhǔn)獨(dú)立變量,以免產(chǎn)生錯(cuò)誤.編輯ppt名師技法·練智力編輯ppt技法一 平方作差法兩正數(shù)大小的比較,可用平方比較法去掉絕對(duì)值或根號(hào).【典例1】設(shè)0<x<1,且a>0,a≠1,試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小.[解題切入點(diǎn)]因?yàn)閮墒浇哉?故可采用平方作差法,去除絕對(duì)值符號(hào).編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt技法二化簡(jiǎn)比較法[解題切入點(diǎn)