離散型隨機變量的期望市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

離散型隨機變量

期望教學(xué)要求:使學(xué)生了解離散型隨機變量期望意義,會依據(jù)離散型隨機變量分布列求出期望.第1頁對于離散型隨機變量，確定了它分布列，就掌握了隨機變量取值統(tǒng)計規(guī)律。在實際問題中，我們還經(jīng)常希望經(jīng)過數(shù)字來反應(yīng)隨機變量某個方面特征，最慣用有期望與方差。某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列以下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22引例：依據(jù)這個射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列，在n次射擊中，預(yù)計有大約0.02n次4環(huán)……第2頁1、期望類似地，對任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列，即已知各個P（ξ=i)(i=0,1,2,3,…10），則可預(yù)計他任意n次射擊平均環(huán)數(shù)是Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+…+10×P（ξ=10）稱Eξ為此射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ期望，它刻劃了隨機變量ξ所取平均值，從一個方面反應(yīng)了射手射擊水平。若離散型隨機變量ξ概率分布為ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…則稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，又稱期望。第3頁問：若ξ為上述離散型隨機變量，則η=aξ+b分布列怎樣？Eη呢？因為P（η=axi+b）=P（ξ=xi），i=1，2，3…所以，η分布圖為ηax1+bax2+b…axn+b…Pp1p2…pn…于是Eη=（ax1+b)p1+（ax2+b)p2+…+（axn+b)pn+…=a（x1p1+x2p2+…+xnpn+…）+b（p1+p2+…+pn+…）=aEξ+bE（aξ+b）=aEξ+b第4頁2、例題例1籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分。已知某運動員罰球命中概率為0.7，求他罰球1次得分ξ期望。例2隨機拋擲一個骰子，求所得骰子點數(shù)ξ期望。第5頁例3有一批數(shù)量很大產(chǎn)品，其次品率是15%。對這批產(chǎn)品進行抽查，每次抽出1件，假如抽出次品，則抽查終止，不然繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超出10次。求抽查次數(shù)ξ期望。（結(jié)果保留三個有效數(shù)字）解：抽查次數(shù)ξ取1~10整數(shù)，從這批數(shù)量很大產(chǎn)品中每次抽取一件檢驗試驗?zāi)軌蛘J為是彼此獨立，取出次品概率是0.15，取出正品概率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1，2，…9）取出次品概率P（ξ=k）=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15，（k=1，2，…9）；需要抽查10次即前9次取出都是正品概率P（ξ=10）=0.859（為何？）第6頁3、結(jié)論(1)：若ξ~B(n，p)，則Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k證實：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)第7頁例4一次英語單元測驗由20個選擇題組成，每個選擇題有4個選項。其中有且僅有一個是正確答案，每小題選擇正確答案得5分。不作出選擇或選錯不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對任一題概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗中對每小題都從4個選項中隨機地選擇一個。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語單元測驗中成績期望。服從二項分布隨機變量期望若ξ~B(n,p)，則Eξ=np第8頁例5：一次英語單元測驗由20個選擇題組成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每小題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對任一題概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗中對每小題都從4個選項中隨機地選擇一個。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語單元測驗中成績期望。

第9頁解：

設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗中選擇了正確答案選擇題個數(shù)分別是ξ和η，則ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．因為答對每小題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗中成績分別是5ξ和5η。所以，他們在測驗中成績期望分別是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．第10頁結(jié)論(2)：若p(ξ=k)=g(k，p)，則Eξ=1/p服從幾何分布隨機變量期望ξ1

2

3…k

…Pppqpq2…pqk-1…∴Eξ=p+2pq+3pq2+…+kpqk-1+…qEξ=pq+2pq2+3pq3+…+kpqk+…∴(1-q)Eξ=p+pq+pq2+pq3+…+pqk+…第11頁例5在獨立重復(fù)射擊試驗中，某人擊中目標概率為0.2，則他在射擊時擊中目標所需要射擊次數(shù)ξ期望是多少？第12頁小結(jié)：1、隨機變量數(shù)學(xué)期望。2、公式3、若ξ~B(n,p)，則Eξ=npE（aξ+b）=aEξ+b練習(xí)：P141~6。作業(yè)：習(xí)題1.2P161~64：公式：若p(ξ=k)=g(k，p)，則Eξ=1/p第13頁講評作業(yè):P9習(xí)題3,63、某射手射擊擊中目標概率為0.9，求從開始射擊到擊中目標所需射擊次數(shù)ξ概率分布。解：射擊次數(shù)ξ概率分布為ξ123…n…P0.90.090.009…0.1n-1