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常系數(shù) 第七節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第七章 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得稱為微分方程的特征方程,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為 其根稱為特征根.1. 當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:因此方程的通解為則微分時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解2. 當(dāng)設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 則得因此原方程的通解為3. 當(dāng)時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:特征方程 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:因此原方程的通解為小結(jié):特征方程:實(shí)根 特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .例1. 的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解為例2. 求解初值問(wèn)題解: 特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問(wèn)題的解為內(nèi)容小結(jié)特征根:(1) 當(dāng)時(shí), 通解為(2) 當(dāng)時(shí), 通解為(3) 當(dāng)時(shí), 通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .

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