一文搞定函數(shù)概念性質(zhì)基初函數(shù)等涉及的58種考查視角詳解

專題ー函數(shù)的概念及其表示題型一求函數(shù)的定義域及已知函數(shù)的定義域求參數(shù).求具體函數(shù)y=/(x)的定義域.求抽象函數(shù)的定義域一般有兩種情況:①已知y=/(x)的定義域是ス,求ツ=/(g(x))的定義域,可由g(x)eス求出x的范圍,即為ケ=/(g(x))的定義域;②已知ッ=/(g(x))的定義域是ス,求ツ=/(x)的定義域，可由xGス求出g(x)的范圍,即為ッ=/(x)的定義域..幾種常見函數(shù)的定義域?yàn)榉质叫秃瘮?shù)時(shí)，定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)集合.(2)/(x)為偶次根式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槭贡婚_方式非負(fù)的實(shí)數(shù)的集合.(3)/(x)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.(4)若兀0=ズ，則定義域?yàn)閧xは0}.(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于〇且不等于!.(6)正切函數(shù)y=tanエ的定義域?yàn)?lt;xX豐kjtキラ,keZ>.【例1】已知函數(shù)/(x)的定義域是[-1,1],則函數(shù)g(x)《(筆;;-的定義域是( )A.[0,1] B.(0,1) C.[0,1) D.(0,1]【解析】由函數(shù)/(め的定義域?yàn)閇-1,1],得一1g1,令一!<2x—1<1?解得〇。S1,又由1—x>0且1—は1,解得且存〇,所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,1),故選B.

[例2]函數(shù)(スキ])一一的定義域?yàn)? )A.(-1,3]B.(-1,0)U(0,3]C.[-1,3]D.[-1,0)U(0,3]-x2+2x+3>0,【解析】要使函數(shù)有意義,x需滿足<x+l>0, 解得一l〃vO或0y3,、x+1円，所以函數(shù)的定義域?yàn)?-1,0)U(0,3],故選B.[例3]若函數(shù)ノ(ス)=マスア+加￥+1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽=，nx2+〃7x+】N0對(duì)R恒成立,當(dāng)掰=0時(shí),/(x)=l,滿足條件;[w>0,當(dāng)m/0時(shí),有イッ=>0</n<4.4/n<0綜合可知,所求〃?的取值范圍為[0,4].TOC\o"1-5"\h\z【例4】若函數(shù)ツ=フザ」』的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )l.(o,IB.(0,りC.0,ID,〇,a>0, 1【解析】由加-4ax+2>0恒成立,得a=0或， 解得〇よ<5A-(—4a)2—4x〇x2<〇, 2題型二求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式的4種方法(1)配湊法:由已知條件y(如x))=a(x),可將尸(X)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代式わ，得ズ力的表達(dá)式.(2)換元法:已知復(fù)合函數(shù)ノ(g(x))的解析式，可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍.(4)解方程組法：已知關(guān)于/(x)與.(4)解方程組法：已知關(guān)于/(x)與.或./(一x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出ズX).【例1】已知二次函數(shù)ノ(2x+l)=4f—6x+5,求貝x)；【解法一】待定系數(shù)法因?yàn)?(X)是二次函數(shù),所以設(shè)ズ幻=混+加+以4和)，則_/(2x+l)=a(2x+l)2+6(2x+l)+c=4ox2+(4a+2/>)x+a+ft+c.{4a=4, fa=l,4a+26=-6,解得，6=—5,所以./(x)=アー5x+9(xWR).a+b+c=5, 1c=9,【解法二】換元法l—1令2x+1 R),則x—ーろ~,m2 ._|-6--+5=?-5/+9(/GR),所以/(x)=デー5x+9(xeR).【解法三】配湊法因?yàn)楗?x+l)=4/—6x+5=(2x+1)2—10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以/(x)=アー5x+9(xGR).【例2】已知函數(shù)人ぜ+l)=x+2S，則,/(x)的解析式為【解法一】換元法設(shè)t=yfx~\~1I則x=(t—1)~,侖1,代入原式有人。=(l1)2+2(ll)=t2-2t+1+2t-2=i2~l.故/(イ)=ぐー1,x>l.【解法二】配湊法因?yàn)閤+2也=(也)ユ+2帀+1—1=(y[x+\)2—1,所以.た8+1)=(?也+1)2—1,y[x+1>1,即ル0=/—1,x>l.題型三分段函數(shù)求值問題根據(jù)分段函數(shù)的解析式,求函數(shù)值的解題思路,先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)人A。))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

【例1【例1】已知函數(shù)yU)="10g2X>%>0,3r+l?爛〇,9 廠10A.jg B.1 C. D.2【解析】由題意可得ズ=bg2/=~2,所以/(/(；)=/(-2)=3【解析】由題意可得ズ>'c'則ズ2)=2.x<2,【解析】?/(2)=火4-2)=6-4=2.—23(,【例3】(2020?南昌一模)設(shè)函數(shù)ル)=,,"一,ハ、 則ズ5)的值為( )\j\X3)r(x>0),A.-7 B.-1 C.0 D.彳【解析】./(5)=火5—3)=ス2)=/(2—3)=/(—1)=(-1)2—2コ=ラ.故選D.題型四已知分段函數(shù)的函數(shù)值,求參數(shù)的值先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程.然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn).【例1】設(shè)函數(shù)/(x)=：';[若人m)=3,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為[log2X,(0<r<2),【解析】當(dāng)加さ2時(shí)，由川2—1=3,得加2=4,解得加=2；當(dāng)〇<加<2時(shí)，由logZ加=3,解得加=23=8(舍去).綜上所述，加=2.(1~"2a)x+3a,xVl,【例2】己知函數(shù)ル0=川ラ 的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是2*,x>l(1—2a)x+3a,x<l,【解析】當(dāng)xNl時(shí),/(x)=21“因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=し1, 的值域?yàn)镽,所以當(dāng)x〈l時(shí),(1-2,x>!11—2a>0, 12a)-x+3a必須取遍(-8, 1)內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，則 解得〇スラ.[1—la-r5d>\, 厶題型五與分段函數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題分段函數(shù)的函數(shù)值滿足的不等式,求自變量取值范圍的解題思路,依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解,最后將討論結(jié)果并起來.‘ "‘若實(shí)數(shù)。滿足ズ。）=ズ。-1）,則/一=（ ）2x,x>0. ya）A.2 B.4 C.6 D.8【解析】由題意得a>0.當(dāng)Ovqvl時(shí),由/（a）=y（a—1）,即2。=￠,解得。=；,則イ丄[=ズ4）=8,當(dāng)時(shí),由ス。）=/（。-1）,得2。=2（。-1）,不成立.故選D.Iog2（x+1）,x>l,

【例2】（2020?皖南ハ校聯(lián)考）已知函數(shù)加）= 則滿足/（2x+l）勺（3スー2）的實(shí)數(shù)x的取值x<\,范圍是（ ）A.（-00,0] B.（3,+oo） C.[1,3） D.（0,1）10g2G+1）,X>1,【解法一】由ル）=イ 可得當(dāng)XV1時(shí),た）=1,1,X<1當(dāng)后1時(shí),函數(shù)た）在口,+8）上單調(diào)遞增,且ノ（l）=log22=l,2r+l<3x—2,要使得ズ2x+l）勺（3スー2）,則レ"解得Q3,即不等式/（2x+l）勺（3スー2）的解集為（3,+〇〇）,3x—2>1,故選B.【解法二】當(dāng)定1時(shí),函數(shù)/（X）在口,+8）上單調(diào)遞增,且ル月（1）=1,2x+1>1, [2x+l<l,要使大2x+l）伙3x—2）成立，需 _或_解得x>3故選B.鞏固提升.（2020?洛陽一中月考）函數(shù);（x）='j^+ス的定義域?yàn)椋?）D.[0,+oo)A.1—94?〇〇^ B.—,〇）U（0,4-oo）C. —,+8D.[0,+oo)【解析】由題意得レ+即,解得一尹。或x>。?,選5

2.下列所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為( )【解析】①中當(dāng)Q0時(shí),每2.下列所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為( )【解析】①中當(dāng)Q0時(shí),每ー個(gè)x的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的ッ值,因此不是函數(shù)圖象;②中當(dāng)x=xo時(shí),y的值有兩個(gè),因此不是函數(shù)圖象;③④中每ー個(gè)X的值對(duì)應(yīng)唯一的ツ值,因此是函數(shù)圖象,故選B.3x+2'x>0,3.已知函數(shù)./(x)=v4,x=0,則加0))=<2x+1,x<0,【解析】7(0)=4,火4)=在5=不,歡0))=不.(2020?吉安模擬)已知/1/X-l]=2x-5,且/(a)=6,則a等于1 7【解析】令1=ジー1,則x=2f+2,ス。=2(2f+2)—5=4f—1,則4。一1=6,解得〃=不fsi^TDT2),—l<X<0,.函數(shù)｛0=へ 滿足ル1)十ん。=2,則。的所有可能取值為( )e\x>oA.!或一當(dāng)" B.一哼" C.1 D.1或ぎ【解析】因?yàn)楗?)=ゼ1=1且/(1)+危)=2,所以/(a)=l,兀y12當(dāng)一lva〈0時(shí),/(a)=sin(js2)=l,因?yàn)椹枼?<1,所以〇<九々2V兀,所以兀メ=]=〃=—ラ?當(dāng)aK)時(shí),J(a)=ea,=l=>a=l.

TOC\o"1-5"\h\z6.（2020?惠州一調(diào)）下列函數(shù)中,同一個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同的是（ ）/ 7 ー? … 1 ース+1A.y="\lx-1 B.y=lnxC.t D.y=rv 3—1 x—1【解析】對(duì)于A,定義域?yàn)閇1,+oo）,值域?yàn)閇0,+oo）,不滿足題意;對(duì)于B,定義域?yàn)椋?,+oo）,值域?yàn)镽,不滿足題意:對(duì)于C,定義域?yàn)椋?8,0）U（0,+oo）,值域?yàn)椋ㄒ?,-1）U（O,+oo）,不滿足題意;x+1 2對(duì)于D,y=二?[=1+不定義域?yàn)椋ㄒ?,1）U（1,+oo）?值域也是（一8,1）U（1,+oo）.f（2x+l）.已知函數(shù)y=/（2x—l）的定義域是[0,1],則函數(shù)?.4工]ズ的定義域是（ ）A.[1,2]B.（-1,1] C[_~2f0 D.（一1,0）【解析】由/（2x-l）的定義域是[0,1],得〇姿1,故一號(hào)2x-lWl,所以函數(shù)府）的定義域是[-1,1],f-l<2x+l<l,所以要使函數(shù);'（ラ有意義,需滿足h+1>0,解得一1マ<0,選DlOg2（X十1）&+1ナ1,TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)函數(shù)兀0滿足ア（上上）=l+x,則貝x）的表達(dá)式為（ ）A，1+x B-'1+x2 C?l+x2 D-'l+x1-X1+x=l+x,得7(り1-X1+x=l+x,得7(り=1+己エ=]!ス，即/(x)=j7q.故選A.【解析】令不=f，則ス=幣,代入f.設(shè)函數(shù)fRtR滿足ノ(0)=1,且對(duì)任意x,yGR都有スザ+l)=/(xy(ッ)一心)一x+2,則負(fù)2019)=( )A.0 B.1 C.2019 D.2020【解析】令x=y=O,則川)={0求0)一/(0)—0+2=1x17—0+2=2,令ッ=0,則/(l)=/(x)/(O)—/(0)—x+2,將ズ0)=1,ズ1)=2代入,可得た)=1+あ所以/(2019)=2020,選D")=inx,xX),")=inx,xX),則(XrX>0?x2,x<0,.設(shè)スめ,即)都是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),定義函數(shù)?g)(x)：VxWR，(/'?g)(x)=/(g(x)).若Z(め=D.(gg)(x)=g(x)a.(/7)(x)=y(x) B.(fg)(x)=f(x} C.(g[f)(x)=g(x)D.(gg)(x)=g(x)[f(x)，f(x)>0,【解析】對(duì)于A, ‘ヽ"、"\j(x),j(x)WO,當(dāng)x>o時(shí),y(x)=x>o,(/y)(x)=y(x)=x；當(dāng)x〈0時(shí),/^)=ゼ>0,(/;/)(x)=y(x)=x2；當(dāng)x=0時(shí),(/：/)(x)=f2(x)=0=02,因此對(duì)任意的x￡R,有(Z7)(x)=/(x),故A正確11.(2020?河南鄭州二檢)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)’'為設(shè)xWR,用[x]表示不超過x的最大整數(shù),則ぎ=[處稱為高斯函數(shù),例如:[-2.1]=2x+3TOC\o"1-5"\h\z-3,[3.1]=3,已知函數(shù)/(x)=ズ百,則函數(shù)ダ=[/(x)]的值域?yàn)? )A.{0,1,2,3}B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2}?行山.2ゝ+32、+1+2 , 2[解析]ズめ=2丫+]=2*+1-=1+2，+]'1 2 2因?yàn)?り。,所以1+2ゝ>1,所以00T工7<1,貝リ0<^77<2,所以1<1+工7<3,BPl</(x)<3,當(dāng)1勺(x)<2時(shí),汎切=1,當(dāng)2g(x)<3時(shí),[Ax)]=2.綜上,函數(shù)y=伏x)]的值域?yàn)閧1,2},故選D..已知函數(shù).イユ+1)=lgx,【解析】令う+1=3得x=，Y,則加)=3二Y,又x>0,所以セl,故y(x)的解析式是y(x)=lg二.若二次函數(shù)g(x)滿足g(l)=l,風(fēng)ー1)=5,且圖象過原點(diǎn),則g(x)=【解析】設(shè)孤)=加+瓜+。(存〇),a+b+c=1*因?yàn)間(D=l，g(T)=5,且圖象過原點(diǎn)，所以価一b+c=5,解得くb=—2,所以g(x)=3f—2x.、c=0,、c=0,、c=0,.具有性質(zhì)/(丄)=ー危)的函數(shù),我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù),給出下列函數(shù):①/a)=x-3②危)%,0<x<l,TOC\o"1-5"\h\z=x+ン艱)=40'X=1’ 其中滿足"倒負(fù)”變換的函數(shù)是( )X 1A.①③ B.②③C.①@③ D.①②【解析】對(duì)于①，,(丄)=ラーx=ー危),滿足題意;對(duì)于②,イ丄［=チ+工=於),不滿足題意;nX90+1,nX90+1,綜上可知,滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③.故選A..若函數(shù)ツ=?%:+3的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)ア=涼+27的定義域?yàn)镽,所以加+2紗+3=0無實(shí)數(shù)解,即函數(shù)u—ax2+2ax+3的圖象與x軸無交點(diǎn).當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)"=3的圖象與x軸無交點(diǎn);當(dāng)a和時(shí)，則イ=(2q)2—4-3aV0,解得0<a<3.綜上所述,a的取值范圍是［0,3).(2ゝx>0f.已知函數(shù)/(x)=: ‘ 若人の十/(1)=0,則實(shí)數(shù)a的值等于［x+1,x<0,【解析】因?yàn)楗?)=2,且/(l)+/(a)=0,所以/(の=一2<0,故a《).依題知。+1=—2,解得。=一3.

[(1—2a)x+3a,x<L.已知函數(shù)/(x)=七 I 的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是,[\nx9x>\【解析】由題意知y=ln即之1)的值域?yàn)閇〇,+〇〇),故要使ノ(x)的值域?yàn)镽,則必有ダ=(l—2aM+3〃為增函數(shù),且1-2〃+3aK),所以1—2a>0,且aN—1,解得一l<a<^.18.設(shè)函數(shù)ノ18.設(shè)函數(shù)ノ(め=Inx,x>l,1-X,川,則加0))=,若ス⑼>1,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是【解析】/【解析】/(/(O))=/(l)=ln1=0;如圖所示,可得/(x)=Inx,x>l,1—x,x<l可得/(x)=Inx,x>l,1—x,x<l的圖象與直線y=l的交點(diǎn)分別為(0,1),(e,1).若負(fù)⑼>1,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(ー〇〇,O)U(e,+oo).2x+a,x<1,.已知實(shí)數(shù)4邦,函數(shù)ズx)= 若/(1一〃)=/(l+a),則a的值為「X—2a,x>l.【解析】當(dāng)a>0時(shí),1-aVl,l+a>l,這時(shí)y0ー〃)=2(1—a)+〃=2—a,人1+〃)=一(1+〃)-2〃=一1一3〃.一3由/(1ー〃)=41+〃)得2ー〃=—1—3〃，解得〃=—3<0,不合題意，舍去;當(dāng)〃V0時(shí),1ー〃>1,1+〃V1,這時(shí)ズ1ー〃)=—(1—a)—2〃=—1ー〃,火1+〃)=2(1+〃)+〃=2+3〃，由ス1ー〃)=7(1+〃),得-1ー〃=2+3〃,解得〃=ー不綜上可知,〃的值為ー不

20.設(shè)函數(shù)ズx)=x+1?20.設(shè)函數(shù)ズx)=則滿足〃)十/X——＞1的X的取值范圍是 2,x＞。, I2/【解析】當(dāng)ス＞0時(shí),た)=2＞恒成立,當(dāng)x—3＞0,即x＞ラ時(shí)，/卜ーり=2x—ラ＞1,當(dāng)ス一蕓),即Ov爛ラ時(shí),ノ(x-丄1=x+，＞3，則不等式/-恒成立.當(dāng)爛〇時(shí),/(x)+/^x-^=x+1+x+|=2r+|＞l,所以一?它〇.綜上所述,X的取值范圍是(一;,+8).\x—1,x>0,.已知スx)=/_l,g(x)=厶X,XU.(1)求./(g(2))與g(A2));(2)求急(x))與g(/(x))的表達(dá)式?【解析】(1)由已知條件可得風(fēng)2)=1,ズ2)=3,因此刎2))=貝1)=0,頒2))=風(fēng)3)=2.(2)當(dāng)ス＞0時(shí),g(x)=x—1,故施(ズ))=(%—I)?—1=f—2x;當(dāng)x〈0時(shí),g(x)=2—Xf故た(め)=(2ースアー1=*-4x+3.所以/(g(x))=, ： '當(dāng)x>l或x<-l時(shí),/(x)>0,故g(/(x))=/(x)—l=f-2；lx2—4x+3,x<0.f—2,x]^J^x ,當(dāng)ー1<x<1時(shí)，ルx)<0,故g(/(x))=2-貝x)=3-x2.所以g(/(x))=[ ,[3—xS—l<x<l..已知函數(shù)y(ズ)=メ+№ヨ+"(〃1,〃GR),負(fù)0)=/(1),且方程x=/(x)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(1)求函數(shù)y(x)的解析式;(2)當(dāng)xG[0,3]時(shí)，求函數(shù)兀0的值域.【解析】(1)因?yàn)楗離)=f+加r+",且,/(0)=貝1),所以"=1+m+〃,w=—1,J(x)=x1—x+n.因?yàn)榉匠蘹=/(x)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以方程x=f—x+〃有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即方程ア-2x+〃=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以/=(-2)2—4〃=0,所以"=1,所以/(x)=/—x+1.(2)由(1)知;(x)=f—x+1.此函數(shù)的圖象是開口向上,對(duì)稱軸為x=;的拋物線,所以當(dāng)X2+1=所以當(dāng)X2+1=4t人°)=しス3)=32—3+1=7,3所以當(dāng)xe[0,3]時(shí)，函數(shù)危)的值域是-,7

4專題二函數(shù)的單調(diào)性與最值題型ー確定函數(shù)的單調(diào)性.確定函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）的三種常用方法（1）定義法:一般步驟:①任取XI，X2G。,且X［<V2：②作差スX|）-/（X2）；③變形（通常是因式分解和配方）：④定號(hào)（即判斷大XI）ール⑴的正負(fù)）；⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)./（X）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）..（2）圖象法：如果ノ（X）是以圖象形式給出的,或者/（X）的圖象易作出,則可由圖象的直觀性確定它的單調(diào)性.（3）導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性..熟記函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論⑴對(duì)勾函數(shù)尸x+?a>0）的增區(qū)間為（ー〇〇,一3］和［W，+oo）,減區(qū)間為〔一如,〇）和（0,y/a］.（2）在區(qū)間ハ上,兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù),兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù).（3）函數(shù)./（以外）的單調(diào)性與函數(shù)ッ=/（〃），"=g（x）的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.（4）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取到.（5）開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大（?。┲?【例1】（2020?華南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）函數(shù)ス勸=3メ一入ー8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A.（ー〇〇?一2） B.（ー〇〇,1）C.（1,+oo） D.（4,+oo）【解析】由アー入一8>0,得x>4或x<-2.設(shè)t=メー2x-8,則y=lnf為增函數(shù).要求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)ーなー8在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間.?.?函數(shù)?=f—2x—8在（-8,—2）上單調(diào)遞減,在（4,+oo）上單調(diào)遞增，...函數(shù)./（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（4,+8）.【例2】函數(shù)ツ=，？+x—6的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】令"=メ+スー6,則ヅ=イデ+ス-6可以看作是由y=g與u=x2+x-6復(fù)合而成的函數(shù).令"=ド+スー6加，得小ー3或xN2.易知"=/+x-6在（-8,—3］上是減函數(shù),在［2,+8）上是增函數(shù)，而y=g在［0,+8）上是增函數(shù)，所以ッ=d7+x—6的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,—3］,單調(diào)遞增區(qū)間為［2,4-00）.

【例3】判斷并證明函數(shù)作）=當(dāng)?（存0）在（一1,1）上的單調(diào)性.【解法一】設(shè)ーl<X］Vx2V1,x—1y（x）=a（1廠イx—1由于一1<X1<X2<1>所以な一Xl>0,X|—1<0,X2—1<0,故當(dāng)a>o時(shí),y（xi）-y（x2）>o,即y（X1）>>/（X2），函數(shù)/（X）在（-1,1）上單調(diào)遞減;當(dāng)。<0時(shí),./（Xl）-/（X2）<0,即Z（X|）<7（X2）,函數(shù)/（X）在（一1,1）上單調(diào)遞增..u1,一a（x-1）—ax —a【解法一］ハx）=-（》_［）2 =（Ll）が所以當(dāng)a>0時(shí)，/（x）<0,當(dāng)a<0時(shí)，/（x）>0,即當(dāng)a>0時(shí),；（x）在（一1,1）上為單調(diào)遞減函數(shù),當(dāng)。<0時(shí)，貝x）在（-1,1）上為單調(diào)遞增函數(shù).題型二求函數(shù)的最值（值域）求函數(shù)的最值（值域）的常用方法（1）單調(diào)性法:若所給函數(shù)為單調(diào)函數(shù),可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值.（2）換元法:求形如ヅ=イの+b+（cx+J）（a今〇）的函數(shù)的值域或最值,常用代數(shù)換元法、三角換元法結(jié)合題目條件將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解.（3）數(shù)形結(jié)合法:若函數(shù)解析式的幾何意義較明顯（如距離、斜率等）或函數(shù)圖象易作出，可用數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域或最值（4）有界性法:利用代數(shù)式的有界性（如メ沙，^>0,2ッ0,一1ふバ1等）確定函數(shù)的值域.（5）分離常數(shù)法：形如求ヅ=J^もaは0）的函數(shù)的值域或最值常用分離常數(shù)法求解。2デー2020【例1】函數(shù)y(x)=デキ「-的值域?yàn)椤窘夥ㄒ弧俊窘夥ㄒ弧课?=デ十］2(デ+1)—2022 2022デ+1 2デ+1'因?yàn)楗牵尽?所以"+1＞1,所以。く器<2022,因?yàn)楗牵尽?所以"+1＞1,所以。く器<2022,所以ー202。。ール<2,故函數(shù)ノ(x)的值域?yàn)?一2020,2).【解法二】令尸?危)=デ+］，得ダガ+ッ=2デー2020,s, ッ+2020所以什一2)デ=一＞＞一2020,デ=一厶,二2一,^y+2020ロ由テ＞0得2一一—＜0,故ー2020＜ツ＜2,所以函數(shù)/(x)=び1］的值域?yàn)?一2020,2).{a,a<b,設(shè)函數(shù)/(x)=—x+3,g(X)=log2X?則函數(shù)Z?(x)=b,b.min{/(x),g(x)}的最大值是.【解法一】在同一直角坐標(biāo)系中,作出函數(shù)/(外,誑)的圖象,依題意,人(め的圖象如圖所示.ココ易知點(diǎn)ス(2,1)為圖象的最高點(diǎn),因此ル(%)的最大值為A(2)=l.【解法二】依題意,〃(工)=【解法二】依題意,〃(工)=10g2X，0<x<2,-x+3,x>2.當(dāng)0V爛2時(shí),〃(め=logび是增函數(shù),當(dāng)ス＞2時(shí),〃(上)=3ース是減函數(shù),所以〃(x)在x=2處取得最大值〃(2)=L題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考查視角一比較大小比較函數(shù)值的大小,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.【例1】已知定義在R上的函數(shù)T(X)滿足ノ(一x)=/(x),且函數(shù)/(x)在(一8,0)上是減函數(shù),若a=/(-l),b=/(log2：)，c=^20'5)?則a,b,c的大小關(guān)系為( )A.c<h<a B.a<c<bC.b<c<a D.a<b<c【解析】?.?函數(shù)/a)滿足T(一x)=/a),.*.e=7(203)=/(-203).Vl<2°-3<2,20-3>-2,即ー1>一20-3>log21.?.?函數(shù)ル）在（一8,0）上是減函數(shù),.?ノ（-1）<人-2°3）<〃jlog2；）,即a<c<b.考查視角二解函數(shù)不等式在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將プ‘符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.【例2】已知函數(shù);(x)=,ニニ:、へ若/(2—%2)如)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )lln(x+1),x>0,A.(-co,-1)U(2,+oo)B.(-co,-2)U(1,+oo)C.(-1,2) D.(-2,1)【解析】因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),兩個(gè)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為零,所以函數(shù)ル)的圖象是一條連續(xù)的曲線.因?yàn)楫?dāng)爛〇時(shí),函數(shù)/(ス)=ギ為增函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),/(x)=ln(x+l)也是增函數(shù),所以函數(shù)兒:)是定義在R上的增函數(shù).因此,不等式ス2—メ)處)等價(jià)于即ア+x—2<0,解得一2<r〈l.考查視角三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).【例3】(2020?南京調(diào)研)已知函數(shù)スx)=x-f+?在(1,+oo)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解法一】設(shè)1<T］VX2，所以あス2>1.因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在(1,+8)上是增函數(shù),ヽa2.<0所以ホ)一Z(X2)=XlM+AX2ヽa2.<0因?yàn)閄I—X2<0,所以1+亠>〇,即a>-xiX2.X\X2因?yàn)?V%］マ:2，X\X2>\?所以一ス1X2<—1，所以介一L所以。的取值范圍是［-1,+oo).【解法二】由スx)=x—￡+耨ア(x)=l+5,由題意得1+3と0(工>1),可得。之一X2,當(dāng)ス￡(1,+8)時(shí),一fv—1.所以。的取值范圍是［一1,+〇〇).鞏固提升1.(2020?河南鶴壁月考)若函數(shù)尸ax與尸一や在(0,+oo)上都是減函數(shù),則尸い+辰在(0,+8)上是( )A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.先增后減 D,先減后增【解析】:y=ax與ッ=—§在(0,+oo)上都是減函數(shù)，a<0,b<0,.?.y=ar2+bx的對(duì)稱軸方程x=一&<0,.'.ッ=加+加在(0,+8)上為減函數(shù).6.函數(shù)/(x)=2|x—a|+3在區(qū)間リ,+8)上不單調(diào)，則。的取值范圍是( )A.［1,+oo) B.(1,4-oo)C.(ー〇〇?1) D.(—〇〇,1］【解析】函數(shù),/(x)=2|xー。|+3的增區(qū)間為［。,+oo)?減區(qū)間為(一8,。ト若函數(shù)ノ(%)=2トー。|+3在區(qū)間口,十8)上不單調(diào),則。>13.已知函數(shù)ル）的圖象關(guān)于直線ス=l對(duì)稱,當(dāng)メ2>即>1時(shí),［/（た）一/（め）］（42—xi）v。恒成立,設(shè)b=火2）,c=*e）,則小b,c的大小關(guān)系為（ ）A.c>a>h B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c【解析】因?yàn)榇蠡玫膱D象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.所以ノ［?I）=/（萬）.當(dāng)ス2>即>1時(shí)，—J［X\）］-（X2—X|）<0恒成立，知危）在（1,+8）上單調(diào)遞減.因?yàn)閘v2v/ve,所以/（2）》（ヨ｝>/（e）,所以b>a>c.4.（2020?武漢模擬）若函數(shù)兀0=2なー3+3在區(qū)間［1,+ロ）上不單調(diào)，則。的取值范圍是（ ）A.［1,+oo） B.（1,4-oo）C.（-00,1） D.（-〇〇,1］2r—2。+3,x>a【解析】函數(shù)人幻=2ヌ一々|+3= ,—Zr十2。十3,xV。因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=2|x—a|+3在區(qū)間［1,+oo）上不單調(diào),所以。>1.所以a的取值范圍是（1,+〇〇）.故選B.5.定義在［-2,2］上的函數(shù)./（幻滿足但ーM）U（即）一Z（ス2）］>0,修行2,且/（メーの>/（24-2）,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（ ）A.［-1,2） B.［0,2）C.［0,1） D.［-1,1）【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/（X）滿足（XIース2）［/（乃）-Z（》2）］>0,修カ⑵所以函數(shù)ル）在［-2,2］上單調(diào)遞增,所以一2<2a—2<a2—a<2t解得0&/V1,故選C..若2*+5,2>+5-*,則有（B.x+j<0A.x+yNOB.x+j<0C.x一底〇D.C.x一底〇【解析】原不等式可化為2X—5上2つー5。記函數(shù)40=2*—5ー'則原不等式可化為ズめヨーツ).又函數(shù)兀0在R上單調(diào)遞增,所以讓ーア,即x+底〇..設(shè)函數(shù)ズx)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論ー定正確的是( )A.ソ=六在Rヒ為減函數(shù).y=|/(x)|在R上為增函數(shù)C,ッ=2ー外)在R上為減函數(shù)D.y=—[/(x)]3在R上為增函數(shù)【解析】A錯(cuò)誤,比如y(x)=x在R上為增函數(shù)，但ヅ=六=と在R上不具有單調(diào)性;J\x)xB錯(cuò)誤，比如/(x)=x在R上為增函數(shù)，但ッ=[/(x)|=|x|在(0,+<?)上為增函數(shù)，在(一8,0)上為減函數(shù);D錯(cuò)誤，比如スx)=x在R上為增函數(shù),但ソ=—[/(イ)]3=ーデ在R上為減函數(shù):C正確,由復(fù)合函數(shù)同增異減，得ッ=2ー外)在R上為減函數(shù).故選C..下列四個(gè)函數(shù)中，在xG(0,+oo)上為增函數(shù)的是( )A.y(x)=3—x B.J(x)=x2—3xC.ル。=ーキ D./(x)=-M【解析】當(dāng)x>0時(shí),/)=3—x為減函數(shù)；當(dāng)xG(°，|)時(shí)，.貝め=メー3x為減函數(shù),當(dāng)xg(|,+Oo)時(shí),(Onf-Bx為增函數(shù);當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，/(x)=一ホ為增函數(shù);當(dāng)x￡(0,+8)時(shí),/(x)=ー兇為減函數(shù).

.函數(shù)ツ=|x|(l—え)在區(qū)間ス上是增函數(shù),那么區(qū)間ス是( )A.(-00,0) B.〇,丄 C.[0,+oo) D.(丄,+s)丫(1Y) I?〉。f-I-Y【解析】?ッ=|X|(1—x)=' ,、ーハ=,二函數(shù)y的草圖如圖所示.—X(1—X),x<0Iナース,x<0由圖易知原函數(shù)在0,-上單調(diào)遞增.故選B.210.定義新運(yùn)算十:當(dāng)色b時(shí),。十b=a;當(dāng)aゆ時(shí),a?b=b2,則函數(shù)/(x)=(l十x)x-(2十x),xG[-2,2]TOC\o"1-5"\h\z的最大值等于( )A.-1 B.1 C.6 D.12【解析】由題意知當(dāng)一2人1時(shí),J(x)=x—2,當(dāng)1睦2時(shí),ル。=ズー2,又貝x)=x-2,ル0=バー2在相應(yīng)的定義域內(nèi)都為增函數(shù),且ノ(1)=-1,火2)=6,所以/(x)的最大值為6.11.(2020?貴陽市髙三摸底)函數(shù)ン=ご不在(-1,+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( )A.a=-3 B.a<3 C.A.a=-3 B.a<3 C.a<—3D.d>-3【解析】產(chǎn)號(hào)1 g-3_x—(a+2)’所以當(dāng)々ー3Vo時(shí)，ダ=入_々的單調(diào)遞增區(qū)間是(ー〇〇,a+2),(a+2,+oo)；當(dāng)。ー3K)時(shí)不符合題意.又ヅ=x二^二^在(ーレ+8)上單調(diào)遞增,所以(-1,+oo)c(a+2,+oo),所以。+2g—1,即。W—3,綜上知,。的取值范圍是(一8,—3].

12.(2020?河北大名一中月考)下列函數(shù)中,滿足ッ(x+y)=/(x)K>ヅ的單調(diào)遞增函數(shù)是( )A. B.J(x)=x3C.火x)=(g) D./(x)=3*【解析】.Ax)=g,ズ訓(xùn)=6,/(x+y)=(x+y)1,不滿足ズx+ッ)故A錯(cuò)誤;/(x)=x3,fiy)=y3>/(x+j)=(x+y)3,不滿足_/(x+y)=/(x)/e),故B錯(cuò)誤;./(x)=(g)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),故C錯(cuò)誤;.貝の=3*,加)=3〉,Hx+y)=3メア,滿足兀v+y)=/(x)/(y),且ス外在R上是單調(diào)遞增函數(shù),故D正確.故選D.|1,x>0,.設(shè)函數(shù)ノ(x)=?0，x=0,爪ス)=サ(ス-1),則函數(shù)以め的單調(diào)遞減區(qū)間是I—1,x<0,X2,X>1,【解析】由題意知鼠x)=")，x=l，函數(shù)圖象如圖所示,其遞減區(qū)間是［0,1)「X2,X<1.(3〃ー1)x+4〃，x<l,.若段)= ? 是定義在R上的減函數(shù)，則。的取值范圍是—ax,x>\(3a-1<0,1

(3a-1<0,【解析】由題意知，ノ(3。ー1)xl+4a>-a,解得!!所以0C丄,丄)、心〇,。通183丿、心〇,<a>0,

15.函數(shù)/(x)=【解析】由于yI-10g2(x+2)在區(qū)間15.函數(shù)/(x)=【解析】由于y在R上單調(diào)遞減,y=k)g2(x+2)在［-1」］上單調(diào)遞增,所以/(x)在［-1,1］上單調(diào)遞減,故y(x)在［-1,1］上的最大值為人一1)=3..已知函數(shù)/(x)=lnx+x,若ス〃2ー〃)刁(〃+3),則正數(shù)。的取值范圍是.【解析】..?函數(shù)/(x)=lnx+x的定義域?yàn)?0,+oo),且為單調(diào)遞增函數(shù),1〃2一。>〇,a+3>0? 解得a>3,所以正數(shù)。的取值范圍是(3,+〇〇)。2—。>。+3,(%ー。)2,爛〇,.設(shè)加:)=(,1, 若ズ0)是ル)的最小值,則。的取值范圍為.【解析】因?yàn)楫?dāng)爛〇時(shí),兒:)=(スー。)2,貝〇)是兒:)的最小值,所以。K).當(dāng)x>0時(shí),J(x)=x+^+a>2+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取"=".要滿足ズ0)是./(x)的最小值,需2+aが0)=/,即アー解得一1%W2,所以。的取值范圍是〇シS2.f(x).如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上是增函數(shù),且函數(shù)一在區(qū)間，上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)ツ=/(x)是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)’’,區(qū)間/叫做“緩增區(qū)間'若函數(shù)/(；0=齊一x+ラ是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”,則“緩增區(qū)間”/為.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y(勸=尸ーx+］的對(duì)稱軸為x=l,所以函數(shù)ソ=/(x)在區(qū)間［1,+8)上是增函數(shù),又當(dāng)應(yīng)1時(shí),—=2X~x>0,【解析】??x>0,【解析】???函數(shù)ル)=<O，x=0， g(x)=x%—1),13 13x2—3令g(x)=ジー1+五(XN1),則g'(x)=2~2?=~2?~,由g'(x)SO得126,即函數(shù)-1+ヨ在區(qū)間［1,巾］上單調(diào)遞減,故“緩增區(qū)間”/為ロ,<3］

.（2020?河北模擬調(diào)研）已知函數(shù)./（x）=lo氏（一x+l）（a>0,且存1）在［-2,0］上的值域是［-1,0］,則實(shí)數(shù)a=;若函數(shù)g（x）=^+m-3的圖象不經(jīng)過第一象限,則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.訣3=0,レO)=bgJ=-l, ''【解析】函數(shù)ハ）=1〇或一x+l）（a>0,且存1）訣3=0,レO)=bgJ=-l, ''當(dāng)ぬ1時(shí),加:）=10&（ース+1）在［-2,0］上單調(diào)遞減,當(dāng)〇マ<1時(shí),Hx）=lo改（一x+1）在［-2,0］上單調(diào)遞增,二ノ（一當(dāng)〇マ<1時(shí),Hx）=lo改（一x+1）在［-2,0］上單調(diào)遞增,二Vg(x)=!一3Vg(x)=!一3的圖象不經(jīng)過第一象限,?*.g(0)=m—3<0,解得，疋ー1,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［一1,+〇〇）.[1,x>0,.設(shè)函數(shù)/(x)={0，x=0， g(x)=x1「1,x<0,.,.當(dāng)ス>l時(shí),即「1,x<0,.,.當(dāng)ス>l時(shí),即x-l>0,g(x)=x2;當(dāng)ス=l時(shí),x-l=O,g(x)=O:當(dāng)スVl時(shí),x-l<0,gtx)：-/；fx2,X>1,???g(x)={0，x=L，畫出函數(shù)g(x)的圖象，如圖所示.[―X2,X<1,〔ー1,x<0,根據(jù)圖象得出,函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是［0,1）.21已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足:①信+刃=危)+ズヅ)+1,②當(dāng)x>0時(shí),./(x)>—1.(1)求ス〇)的值,并證明T(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù):(2)若{1)=1,解關(guān)于x的不等式y(tǒng)(ゼ+2^)+/(1—x)>4.【解析】(1)令x=ッ=0,得7(0)=-1.在R上任取X1>X2?則XI—X2>0,火XLX2任一1.又7(X1)=/[(XI—X2)+x2]=/(X]—X2)+y(X2)+lMX2),所以函數(shù)/(X)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由/1)=1,得負(fù)2)=3,貝3)=5.由ズf+2x)+/(l-x)>4得/(ズ+x+l)次3),又函數(shù)ズx)在R上是增函數(shù),故ア+x+は3,解得x<-2或x>l,故原不等式的解集為3バー2或x>l}.(1)若a=-2,試證_/(x)在(一8,—2)上單調(diào)遞增;(2)若。>0且./(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.【解析】(1)證明:設(shè)X1<X2<—2,貝リ7(xi)-/(x2)=~^3--^7="(;ク)-7~因?yàn)?XI+2)(X2+2)>0,XI—X2<〇,所以/(X1)—/(X2)<O,即/(X1)〈加2),所以兀V)在(一8,-2)上單調(diào)遞增.(2)設(shè)1〈X1〈X2，貝リy(-VI)—J(X2)=~X~ X?^~7~^~~； P'ハ''''x\~aX2~a(加一a)(X2~~a)因?yàn)閍>0,x2-xi>0,所以要使ズxi)一/(X2)>0,只需(xi—a)(x2—a)>0恒成立,所以。W1.綜上所述，0<a<l..已知定義在區(qū)間(0,+8)上的函數(shù)./(X)滿足，五=ズ不)一危2),且當(dāng)x>l時(shí),於)<0.\X2ノ(1)證明:兀V)為單調(diào)遞減函數(shù):(2)若/(3)=一1,求ルO在［2,9］上的最小值.【解析】⑴證明:任取制,也￡(0,+oo),且あ>X2,則5>1,由于當(dāng)X>1時(shí),危)<0,所以/(土<0,即/(XI)—/(X2)<0,因此/(X1)</(X2),所以函數(shù)./(X)在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù).(2)因?yàn)楗?在(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù),所以./(x)在［2,9］上的最小值為y(9).由X—"|=ス修)一兀均得，/(苫］=/(9)ーズ3),(/丿 (3丿而7(3)=-1,所以7(9)=-2,所以/(x)在［2,9］上的最小值為ー2..已知函數(shù)/(x)=f+小-2|—4.(1)當(dāng)。=2時(shí)，求;(x)在［0,3］上的最大值和最小值;(2)若;(x)在區(qū)間［-I,+8)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.儼+お-8,x>2 (x+1)2—9,x>2［解析］(1)當(dāng)"=2時(shí),ズx)=/+2ばー2|_4= =r2_,アr2x,x2Cx1) 1,x2當(dāng)xG［〇,2)時(shí)，-l</(x)<0.當(dāng)XG［2,3］時(shí),og(x)07,所以/(x)在［0,3］上的最大值為7,最小值為ー1.|ズ+以一2。-4,x>2⑵因?yàn)楗鲜螬`“卡”％也‘又スx)在區(qū)間［-1,+oo)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x>2時(shí)，；(X)單調(diào)遞增，則一臺(tái)2,即せ一4.當(dāng)ー1<爛2時(shí)，；(x)單調(diào)遞增，則叁ー1.艮卩a<—2?且4+2a—2a—4>4—2a+2a—4恒成立,故。的取值范圍為［-4,-2］.

專題三函數(shù)的奇偶性及周期性題型ー判斷函數(shù)的奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的三種方法(1)定義法設(shè)貝X),g(x)的定義域分別是?！饱?,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇?奇=偶,偶+偶=偶,偶X偶=偶,奇X偶=奇.【例1】(2020?成都市髙三階段考試)已知ッ=Wx)是定義在R上的奇函數(shù),則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( )①同)；?y=A-x)i?y=xj(x^@y=j(x)+x.A.0(3) B.(2X3)C.①④ D.②④【解析】因?yàn)楗?/(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以貞ーx)=—/(x),由川-x|)=/(H),知①是偶函數(shù);由./[一(一x)]=/(x)=—/(—x)，知②是奇函數(shù);由ヅ=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且ッ=x是定義在R上的奇函數(shù)，奇メ奇=偶，知③是偶函數(shù):由;(一x)+(—x)=-[/(x)+x]，知④是奇函數(shù)，選D【例2】判斷函數(shù).’的奇偶性。x^-Xtx>0.【解法一】圖象法丫2|(畫出函數(shù)/(x)=， 的圖象如圖所示,圖象關(guān)于ヅ軸對(duì)稱,故/(X)為偶函數(shù).AT-X,X>0【解法二】定義法易知函數(shù)./(X)的定義域?yàn)?一8,O)U(O,+oo),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，J(x)=x2—x)則當(dāng)x<0時(shí)，—x>0,故/(―xjuW+xn/Jx);當(dāng)x<0時(shí)，y(x)=x2+x,則當(dāng)x>0時(shí),—x<0,故ズーx)=f—x=7(x),故原函數(shù)是偶函數(shù).法三:./(X)還可以寫成./^)=メー|x|(x和)，故/(X)為偶函數(shù)題型二奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值.(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出.(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)/(xW(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性或等式恒成立的條件得方程(組レ進(jìn)而得出參數(shù)的值(4)畫函數(shù)圖象:利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另ー對(duì)稱區(qū)間上的圖象.(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值.【注意】對(duì)于定義域?yàn)?的奇函數(shù)/(x),若OGハ則7(0)=0.【例1I若スx)=ln(e3x+l)+or是偶函數(shù),則a=.【解法一】因?yàn)?(x)=ln(e3x+l)+av是偶函數(shù)，所以./(―x)=/(x),所以/(―x)=ln(e*+1)—or=ln]—^―+1I—ax=\n--——ar=ln(l+e3x)-3x—^x=ln(e3x+l)+ax,(e丿(。丿所以ー3ー。=々,解得。=ーラ【解法二】函數(shù)/(x)=ln(e3"+l)+ar為偶函數(shù),故/(―x)=/(x)，即ln(e-3x+l)_ax=ln(e3x+l)+or,化簡得lnp7=2ax=lne2ax,即ド=02，整理得e%"=1.所以2ox+3x=0,解得4=-].【例2】(2020?衡水模擬)已知九r)是定義在R上的奇函數(shù),若x＞0時(shí),兒:)=xl3則xVO時(shí),/(x)=( )A.xlnx B.xln(—x)C.-x\nx D.—xln(-x)【解析】設(shè)ス＜0,則ース＞0,所以/(—x)=—xln(—x).又/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(一x)=ー/)，所以/(x)=xln(—r).選B題型三函數(shù)的周期性及應(yīng)用.求函數(shù)周期的方法方法解讀適合題型定義法具體步驟為:對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果能夠找到ー個(gè)非零常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有スx+り=/(x),那么7就是函數(shù)メ=兀0的周期非零常數(shù)7容易確定的函數(shù)，遞推法采用遞推的思路進(jìn)行,再結(jié)合定義確定周期.如:若スX+a)=~/(x),則y(x+2a)=/[(x+a)+a]=—J(x+a)=/(x),所以2a為スx)的一個(gè)周期含有/(x+a)與/(x)的關(guān)系式，換元法通過換元思路將表達(dá)式化簡為定義式的結(jié)構(gòu),如:若\"+a)=/(x—a),令x—a=t，則x=t+a9則川+2の="+a+a)=J[t+a—d)=j[t},所以2a為ル)的ー個(gè)周期加x±a)=y(bx±c)型關(guān)系式.函數(shù)周期性的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能.在解決具體問題時(shí),要注意結(jié)論:若T是函數(shù)的周期,則スQIGZ且総))也是函數(shù)的周期.

【例1】(2020?江西臨川第一中學(xué)期末)已知函數(shù)ノ(x)是定義在R上的奇函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,<x—2)=危+2),當(dāng)xG(0,2)時(shí),/,則ス,丨=( )A. B.ース C，4 D-4【解析】(1)因?yàn)榇髕—2)=/(x+2),所以7(x)=y(x+4),所以./(x)是周期為4的周期函數(shù),又函數(shù)T(X)是定義在R上的奇函數(shù),所以7，ヨ9不又函數(shù)T(X)是定義在R上的奇函數(shù),所以7，ヨ9不94,選D[2(1—X),OStSl,【例2】(2020?開封模擬)已知函數(shù);(x)= 如果對(duì)任意的"GN，,定義ん(x)=1x—1?l<x<2,バ/Lf??ゾ(エ)コ｝卄 ,那么カ016(2)的值為( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】因?yàn)楗?2)=呎2)=1,力(2)=/(1)=0,か(2)=/(0)=2,所以か(2)的值具有周期性,且周期為3,所以及016(2)=自672(2)=力(2)=2,故選C.題型四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考查視角一單調(diào)性與奇偶性結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合.解此類問題常利用以下兩個(gè)性質(zhì):①如果函數(shù),/(x)是偶函數(shù),那么/(x)=/(|x|).②奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.【例1】.(2019?成都模擬)已知函數(shù)人X)為R上的偶函數(shù),當(dāng)疋。時(shí),./(x)單調(diào)遞減,若ズ2a)>Hl-a),則a的取值范圍是( )【解析】因?yàn)楹瘮?shù)./【解析】因?yàn)楹瘮?shù)./(x)為R上的偶函數(shù),所以/(2a)>/(l-a)ヨZ(|2a|)>/(|l—a|),又當(dāng)xK)時(shí),/(x)單調(diào)遞減,所以|2H<|La|,所以(2け<(1ーび，即3/+2a-l<0,解得一考查視角二周期性與奇偶性結(jié)合周期性與奇偶性的綜合.此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.【例2】?/(x)定義域在/?的奇函數(shù),滿足./(1-x)=/(l+x).若/(1)=2,則./(1)+火2)+/(3)+…+/(50)=( )A.-50 B.0 C.2 D.50【解析】因?yàn)樨?是定義域?yàn)?-8,+oo)的奇函數(shù),且滿足T(1-x)=/(l+x),所以/(1+勸=ー外ー1),貝x+4)=/[l-(x+3)]=/(-x-2)=—/(x+2)=—/[1一(x+l)]=—/(一x)=/(x).所以ズx)是周期為4的函數(shù).因此貝1)+.火2)+火3)+…+貝50)=12[/(1)+7(2)+/(3)+貝4)[十八1)+Z(2)，因?yàn)楗?)=—/(1),バ4)=一Z(2),所以7(1)十/(2)+沢3)十/(4)=0,因?yàn)樨?fù)2)=貝2-4)=A-2)=—/(2),所以7(2)=0,從而/(1)十/(2)十/(3)+…十Z(50)=/(l)=2,故選C.考查視角三單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合.解決此類問題通常先利用周期性、奇偶性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用單調(diào)性求解.ゝ2) 1ノノA./(日)＞ズの＞一當(dāng)) B.人4)＞バC.イ一外朋)＞?) D.イギ【解析】由./(x+2)=/(x)可知函數(shù)./(x)的周期為2,又危ー2)為奇函數(shù)，所以y(x)為奇函數(shù)，所以;1-ゝ2) 1ノノA./(日)＞ズの＞一當(dāng)) B.人4)＞バC.イ一外朋)＞?) D.イギ【解析】由./(x+2)=/(x)可知函數(shù)./(x)的周期為2,又危ー2)為奇函數(shù)，所以y(x)為奇函數(shù)，所以;1-計(jì)イ勺所以スx)=/(x—2),ー里=/T+2x4[=；?住),＞0(x而2)恒成立,則メー當(dāng),ズ4),dUi的大小關(guān)系正確的是( )火4)=；(4一2x2)=/(0)=0,/又xG[0,1)時(shí)，加)單調(diào)遞增.所以/1;[〉“。)〉イーゝ2) [2 ) [2丿9=イ一戸"3)=イー；｝故奇函數(shù);(X)在(一1,1)上單調(diào)遞增.即イー孰4)”閏結(jié)論ー:若函數(shù)/(x)是奇函數(shù),且g(x)=/(x)+c,則必有g(shù)(—x)+g(x)=2c.【證明】由于函數(shù)/(x)是奇函數(shù),所以/(一X)=ー危),所以g(—x)+g(x)=/(—x)+c+/(x)+c=2c.【例1】對(duì)于函數(shù)ノ(x)=asinx+6x+c(其中。，6CR,cGZ),選取a,b,c的一組值計(jì)算ノ(1)和./(―1),所得出的正確結(jié)果一定不可能是( )A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2【解析】設(shè)g(x)=asinx+bx,則貝x)=g(x)+c,且函數(shù)g(x)為奇函數(shù).注意到cGZ,所以7(1)+ス-l)=2c為偶數(shù).故選D.結(jié)論ニ:若函數(shù)/(x)是奇函數(shù),則函數(shù)g(x)=/(x—0)+/I的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,/り對(duì)稱.【證明】函數(shù)g(x)=/(x—a)+人的圖象可由,/(x)的圖象平移得到,不難知結(jié)論成立.yx+Ix+2【例2】函數(shù)z(x)=%+f+F的圖象的對(duì)稱中心為( )A.(-4,6) B.(-2,3) C.(-4,3) D.(一2,6)［解析］設(shè)g(x)=—キー:-47，則g(-.t)= 7~~ =7=‘テ+；+47=一g(x)，%—1XX十1 —X—1—X—X十1X—1xx+1故g(x)為奇函數(shù).易知人故g(x)為奇函數(shù).易知人x)=3-し+丄+」x+1x+2x+3=g(x+2)+3,所以スx)對(duì)稱中心為(一2,3),選B結(jié)論三:若函數(shù)/(X)為偶函數(shù),則/(x)=人園).【證明】當(dāng)XK)時(shí)，|x尸x,所以川x|)=/(x)；當(dāng)x<0時(shí),./(|x|)=/(-x),由于函數(shù)./(x)為偶函數(shù),所以./(-x)=/(x),故川x|)=/(x).綜上，若函數(shù);(X)為偶函數(shù)，則/(x)=/(|x|).【例3】設(shè)函數(shù)./(x)=ln(l+|x|)-j:匕,則使得./(x)が2x7)成立的x的取值范圍是【解析】易知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且T(x)為偶函數(shù).當(dāng)xX)時(shí)，/(x)=ln(l+x)ーTわ，易知此時(shí)貝x)單調(diào)遞增.所以/WM%T)對(duì)網(wǎng))MRx—1|)，所以|x|>|2x-i|,解得;81.【例4】若偶函數(shù)スx)滿足T(x)=x3-8(立〇),則貝x-2)>0的條件為.【答案】{x|x<0或x>4}【解析】由た)=バー8佗0),知/(x)在［〇,+8)上單調(diào)遞增,且7(2)=0.所以,由已知條件可知/(x-2)>0ヲZ(ほ一2|)次2).所以a一2卜2,解得x<0或x>4.鞏固提升.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增的是( )A.J(x)=ex—e~x B.y(x)=tanxC.た)=ス+チ D.火x)=|x|【解析】/(x)=|x|是偶函數(shù)，排除D；y(x)=x+(在(0,+〇〇)上先減后增,排除C；y(x)=tanx在(0,+8)上不是單調(diào)函數(shù),排除B；/(尤)=ビーe］符合題意. CXTOC\o"1-5"\h\z.設(shè)函數(shù)y(x)=—y~,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )A.火の|是偶函數(shù)B.ールO是奇函數(shù) C../(x)l/(x)|是奇函數(shù) D._/(兇)/(x)是偶函數(shù) CX ?【解析】?因?yàn)開/(x)=-2一,則?火ース)=-2—=ー穴X).所以,/(X)是奇函數(shù).因?yàn)楗x|)=/(|x|),所以/(働)是偶函數(shù),所以貝|x|)/(x)是奇函數(shù).(2020?貴陽檢測(cè))若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)xK)時(shí)，/(x)=log2(x+2)—1,則ズー6)=( )A.2 B.4C.-2 D.-4【解析】根據(jù)題意得_/(—6)=—/(6)=1—log2(6+2)=1—3=—2.4.設(shè).火メ)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)應(yīng)〇時(shí),./(x)=3'—7x+26(b為常數(shù)),則スー2)=( )A.6 B.-6C.4 D.-4【解析】.因?yàn)?(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)xK)時(shí),./(x)=3-7x+2ん所以/(0)=1+26=0,所以6=.;.所以./(x)=3*_7x—1,所以./(-2)=-/(2)=_(32_7x2_1)=6.選A.TOC\o"1-5"\h\z.已知函數(shù)y=y(x),滿足ッ=貝ース)和ヅ=ズ>+2)是偶函數(shù),且/(1)=?設(shè)F(x)=fix)+J(-x),則尸(3)=( )A.t B,ラー C.7： D.〒【解析】由?=/(—x)和ッ=ズ>+2)是偶函數(shù)知,y(—x)=y(x),y(x+2)=/(—x+2)=/(x—2),故/(x)=/a+4),則F(3)=7(3)+/(-3)=2/(3)=2A-l)=2Al)=I故選B..(2020?福建龍巖期末)設(shè)函數(shù)貝x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足/(x+l)=—/(x—l),若/(-1)>1,人5)=/一2a—4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A.(―1,3) B.(—〇〇,—1)U(3,+oo) C.(—3,1) D.(―〇〇,—3)U(1,+00)【解析】由ズx+l)=-Ax-l),得/(x+2)=—/(x),則7(x+4)=/a),_/(x)周期為4,則ズ5)=貝1)=アー2a—4,又因?yàn)楗?x)是定義在R上的奇函數(shù)，/所以ス1)<-1,所以巒一20一4<一1,解得一1マ<3,選A.定義在R上的偶函數(shù)兀0滿足人x+3)=/(x).若ス2)>1,ス7)=小則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )A.(-00,-3) B.(3,+oo) C.(-〇〇,-1) D.(1,4-oo)【解析】因?yàn)楗箈+3)=/(x),所以/(x)是定義在R上的以3為周期的周期函數(shù),所以7(7)=貝7—9)=貝ー2).又因?yàn)楹瘮?shù);(x)是偶函數(shù)，所以ズー2)=人2),所以./(7)=42)>1,所以公1,即aG(l,+00).故選D..(2020?廣東湛江一模)已知函數(shù)g(x)=/(2x)一%2為奇函數(shù)，且ズ2)=1,則沢一2)=( )A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】因?yàn)間(x)為奇函數(shù),且/(2)=1,所以g(—1)=一g(l),所以/(一2)—1=一Z(2)+1=—1+1=0,所以_/(一2)=1.故選C..若定義在R上的偶函數(shù)人x)和奇函數(shù)g(x)滿足ル0+8(ズ)=ピ,則g(x)=( )A.ex—ex B.3cx+eり Cう(e、ーカ D.,どーe')【解析】??ソ(メ)+§(め=ゼ,.二ズ一x)+g(—x)=e',①又/(一x)=/(x),g(ーメ)=ー趴メ)，.\/(x)—g(x)=eH②由①②解得g(x)=e;ー.故選D.

10.(2020?煙臺(tái)適應(yīng)性練習(xí))已知定義在R上的函數(shù);(x)的周期為2,且滿足Hx)=<イー1)=順,則ズ5。)等于()A2- B_2 C11 n13x+a9—l<x<0,I2x?〇タVI,【解析】由x+a9—l<x<0,I2x?〇タVI,【解析】由于函數(shù).危)的周期為2,所以/5~2=而’所以一l+a==,所以。=ま,因此H5a)=/(3)=/(—1)=—1+ま=ーラ.故選B.TOC\o"1-5"\h\z11.(2020?沈陽市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)/(x)=而7,實(shí)數(shù)a,b滿足不等式y(tǒng)(2a+の+y(4-36)>0,則下列不等關(guān)系恒成立的是( )A.h-a<2B.a+2b>2C.み—。>2 D.a+2h<21—2-x2X—1 1—2*【解析】由題意知/(ー外=1テ=布=一7方=ーイめ,所以函數(shù)./(x)為奇函數(shù),1—2"2—(1+2D ?又7(x)=1上"=1丄メ=1丄メ—1，所以/(x)在R上為減函數(shù)，ハ’1十2 1十2 1十2 ハ由/(2〃+6)+火4—36)>0,得7(2a+b)>—/(4—3み)=火3ルー4),故2。+みV3み-4,即み一〃>2.故選C.12.(2020?湖南郴州質(zhì)量檢測(cè))已知ル)是定義在［2み,1ーみ］上的偶函數(shù),且在［2み,〇］上為增函數(shù),則ルl1)#2x)的解集為（）A.-1,- B.-1,- C.[-1,11「3「 L3」 1【解析】因?yàn)楗箈)是定義在［2ん1一句上的偶函數(shù)，所以26+1-6=0,所以わ=—1,因?yàn)楗?在［2ん0］上為增函數(shù),即函數(shù)/(x)在［一2,〇］上為增函數(shù),故函數(shù)スx)在(0,2］上為減函數(shù),則由/(x-l)勺(2x),可得|x—1團(tuán)2x|,即。ーげ為/,解得一1起.—Y"—1 f—1ニー‘解得""

—2<2x<2, ［―1Sx<1.綜上,所求不等式的解集為ー1」.故選B.3

.已知/(x)是奇函數(shù),且當(dāng)ス＜。時(shí),於)=ーザ,若ノ(ln2)=8,則。=.【解析】當(dāng)x＞0時(shí),一え＜0,共-x)=—e-”.因?yàn)楹瘮?shù)/(此為奇函數(shù),所以當(dāng)x＞0時(shí),た)=ースース)=e一%所以/(足2)=院.2=(；)=8,所以。=一3..函數(shù)スス)在R上為奇函數(shù),且ザ＞0時(shí),/(x)=x+l,貝リ當(dāng)スvO時(shí),た)=.【解析】因?yàn)椁髍)為奇函數(shù),當(dāng)x＞0時(shí),./(x)=x+l,所以當(dāng)x〈0時(shí),一x＞〇,/(工)=-Z(ー制=一(ース+1),即え＜0時(shí),ズス)=—(—x+l)=x—L.(2020?湖南永州質(zhì)檢)已知函數(shù)/a)=x3+sinx+l(x￡R),若/(の=2,則ノ(ーの=【解析】設(shè)ド(x)=y(x)—luj^+sinx,顯然/7(x)為奇函數(shù).又尸(q)=/S)—1=1,所以尸(一a)=y(一白)一1=—1,從而/(—a)=0.16.函數(shù)歩)=X—16.函數(shù)歩)=X—4),x>3,則メ9)=【解析"(9)=火9-4)=/(5)=A5-4)=/U)=2xl-l=l.1 7T17.已知奇函數(shù)ズx)(xGR)滿足y(x+4)=/a—2),且當(dāng)xG[—3,0)時(shí),貝x)=fl~3si吁,則ズ2021)=.【解析】因?yàn)楗?(xGR)為奇函數(shù)滿足ル+4)=外-2),所以兀r+6)=/(x),即/(x)是以6為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)ス可ー3,0)時(shí)，火x)=：+3si層,所以./(2021)=貝337x6-1)=貝ー1)=±+35吊(-工)=—4.18.已知定18.已知定義在R上的函數(shù)./(x)滿足貝x+2)=六,ノ(?り當(dāng)xe[〇,2)時(shí)，ル0=イ+ゼ，則ノ(2020)= .【解析】因?yàn)槎x在R上的函數(shù);(x)滿足ルx+2)=去,JW所以/(x+4)=萬、=ズ勸,所以函數(shù)ズ刈的周期為4.JyXvz.)當(dāng)xG[0,2)時(shí),J[x)=x+e,所以貝2020)=/(505x4+0)=/(0)=0+e0=L.(2020?甘肅天水摸底)設(shè)於)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)xイ［0,1］時(shí),/(x)=log2(x+l),則函數(shù)/(x)在口,2］上的解析式是.【解析】因?yàn)楗簒)是定義在R上以2為周期的函數(shù),當(dāng)XG［〇/］時(shí)，./(x)=log2(x+l).所以設(shè)XG［1,2］,則x-2G［-l,0］,2-xe［0,l］.所以/(2—x)=log2［(2—x)+l］=log2(3—x),又/(x)為偶函數(shù),所以ズ＞)=Wx-2)=火2—x)=log2(3—x).TOC\o"1-5"\h\z( 2p.若函數(shù)スx)=x|1-^ 為偶函數(shù),則“= .I"+り巒+1【解析】令U(め=1—"7，(2 \1ーム以為偶函數(shù),可知"(x)=l一宗為奇函數(shù),e+1J ピ十］メ+1 ヽ利用w(0)=1一0?］=0,可得fl=1?所以a=1或fl一一1..定義在R上的偶函數(shù)T(x)滿足ズx+2)=—/(x),且在［-2,0］上是增函數(shù),下面是關(guān)于/(x)的判斷:①/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(1,0)對(duì)稱;②イ0)是函數(shù)/(x)的最大值;⑧Ax)在［2,3］上是減函數(shù); ④/(xo)=/(4k+xo),k《Z.其中正確的是(正確的序號(hào)都填上).【解析】因?yàn)楗?x)是定義在R上的偶函數(shù),所以貝ーx)=/(x),又ズx+2)=~/(x),所以,/(x+2)=一/(-X),所以/(x)圖象關(guān)于點(diǎn)尸(1,0)對(duì)稱,所以①正確;由;(x+2)=-/(x)知,火x+4)=-/(x+2)=/(x),所以/(x)是以4為周期的函數(shù),所以/(xo)=/(4左+xo)伏6Z),所以④正確;因?yàn)楗?x)是以4為周期的函數(shù),且在［一2,0］上是增函數(shù),所以ズx)在［2,4］上也是增函數(shù)，因此③不正確；因?yàn)榇髕)是定義在R上的偶函數(shù),所以スx)在［0,2］上是減函數(shù),所以/(x)在［-2,2］上的最大值是;(〇),又イx)是以4為周期的函數(shù)，所以②正確.所以正確的判斷是①②.已知大X)是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù),滿足./(1-x)=/(l+x).若./(1)=2,則貝1)+.火2)+貝3)+…+/(50)【解法一】因?yàn)楗?-x)=/(l+x),所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.因?yàn)樨恱)是奇函數(shù),所以函數(shù),/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱.數(shù)形結(jié)合可知函數(shù);(x)是以4為周期的周期函數(shù).因?yàn)楗?是(一8,+8)上的奇函數(shù),所以7(0)=0.因?yàn)楗?-x)=/(l+x),所以當(dāng)x=l時(shí),./(2)=/(0)=0;當(dāng)x=2時(shí),./(3)=/(_1)=—/(1)=_2;當(dāng)x=3時(shí),/(4)=負(fù)ー2)=—/(2)=0.綜上,/(l)+y(2)+/(3)+...+/(50)=12x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+y(l)+y(2)=12x[2+0+(-2)+0]+2+0=2.【解法二】取ー個(gè)符合題意的函數(shù)/(x)=2sin岸則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列伏〃)}(〃CN")是以4為周期的周期數(shù)列.故;(1)+火2)+人3)+…+貝50)=12'[/(1)+_/(2)+/(3)+火4)]+7(1)+_/(2)=12メ[2+0+(-2)+0]+2+0=2..已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，(エ)=ユラ是奇函數(shù).(1)求。,b的值;(2)用定義證明:/(X)在(YO,8)上為減函數(shù).b—1【解析】???/(X)為R上的奇函數(shù),.../(-0)=—/(0)，.?.ハ0)="j—=0,解得:b=l.又/(T)=ー〃l)，???丁ユ=-ア解得"=1.丄+a 2+a2經(jīng)檢驗(yàn)。=1,6=1符合題意.(2)證明:任取玉,x2eR,且,則イ(0々一二二(")(二リ”:)(2—)年2りハリハーノ2為+12J1 (2為+リ(2*+リ (2頃+リ(2f+り?.?ル<毛，,-,2X2-2X,>0，又?.?(2*+リ(2も+1)>0,.?.〃そ)一ア(毛)>0, 在(yo,+qo)上為減函數(shù).24.已知函數(shù)f（x）=2a,_4+%>0,fl^l）是定義在R上的奇函數(shù).2優(yōu)+a（1）求。的值:（2）求函數(shù)，（X）的值域;⑶當(dāng)オ?l,2］時(shí),2+可、（ラー2'>0恒成立,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.【解析】（1）?.?/（*）是/?上的奇函數(shù),，/（一6=—/（力日ロ2。1—4+。 2オー4+。日ロ2+（-4+。）?優(yōu)ー2。"+4-a即: = ,up = 2?！?。2優(yōu)+。 2+。?優(yōu)2優(yōu)+。整理可得。=2.(2)/(%)=—~-=-~~-=!ーーニ在??上遞增2.2x+22*+12x+\■:2v+l>b.-.-2<ーー—<0,2x+\-1<1 <12"+1.??函數(shù)，（X）的值域?yàn)椋?1,1）.⑶由2+，力"(x)—2*>0可得,mf(x)>2x-2,對(duì)(x)=mユニ!■>2X一2.當(dāng)xe［l,2］時(shí),m〉⑵+り⑵ー幻令2‘一1=?1WY3））,則有用>（'+2）（’一［=/_工+1,2函數(shù)y=f一一+1在に也3上為增函數(shù)，t,2,ヽ10（r-y+1）max=y，10YYl> ,3故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（g,+8）

專題四二次函數(shù)與幕函數(shù)題型ー求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)關(guān)鍵:恰當(dāng)選取二次函數(shù)解析式的形式(2)選法已知條件一般式解析式的形式已知條件一般式三點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸頂點(diǎn)式最大(小)值y=a(x—h)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸頂點(diǎn)式最大(小)值y=a(x—h)2+k(a^O)與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)兩根式y(tǒng)=a(x—x\)(x—X2)(a^0)【例1】已知二次函數(shù);(x)滿足ズ2)=-1,大-1)=-1,且兀v)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式.【解法一】利用一般式(4a+2b+c=~\,設(shè)貝の二江+瓜+メ存〇).由題意得《解得，6=4,所以/(x)=-4』+4