數(shù)學(xué)建模課程及答案

..>"數(shù)學(xué)建模課程"練習(xí)題一一、填空題1.設(shè)開(kāi)場(chǎng)時(shí)的人口數(shù)為，時(shí)刻的人口數(shù)為，假設(shè)人口增長(zhǎng)率是常數(shù)，那麼人口增長(zhǎng)問(wèn)題的馬爾薩斯模型應(yīng)為。2.設(shè)*種商品的需求量函數(shù)是而供應(yīng)量函數(shù)是，其中為該商品的價(jià)格函數(shù)，那麼該商品的均衡價(jià)格是。3.*服裝店經(jīng)營(yíng)的*種服裝平均每天賣出110件，進(jìn)貨一次的手續(xù)費(fèi)為200元，存儲(chǔ)費(fèi)用為每件0.01元/天，店主不希望出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象，則最優(yōu)進(jìn)貨周期與最優(yōu)進(jìn)貨量分別為。4.一個(gè)連通圖能夠一筆畫出的充分必要條件是.5.設(shè)開(kāi)場(chǎng)時(shí)的人口數(shù)為，時(shí)刻的人口數(shù)為，假設(shè)允許的最大人口數(shù)為，人口增長(zhǎng)率由表示，則人口增長(zhǎng)問(wèn)題的羅捷斯蒂克模型為.6.在夏季博覽會(huì)上，商人預(yù)測(cè)每天冰淇淋銷量將和以下因素有關(guān)：〔1〕參加展覽會(huì)的人數(shù)；〔2〕氣溫超過(guò)；〔3〕冰淇淋的售價(jià).由此建立的冰淇淋銷量的比例模型應(yīng)為.7、假設(shè)銀行的年利率是%，則需要時(shí)間，存入的錢才可翻番.假設(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形街路的8.如圖是一個(gè)郵路，郵遞員從郵局A出發(fā)走遍所有長(zhǎng)方形街路后再返回郵局.邊長(zhǎng)橫向均為1km，縱向均為2km，則他至少要走km..A9.設(shè)*種新產(chǎn)品的社會(huì)需求量為無(wú)限，開(kāi)場(chǎng)時(shí)的生產(chǎn)量為100件，且設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)的增長(zhǎng)率控制在0.1，時(shí)刻產(chǎn)品量為，則=.10.商店以10元/件的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)襯衫，假設(shè)襯衫的需求量模型是是銷售單價(jià)〔元/件〕，為獲得最大利潤(rùn)，商店的出售價(jià)是.二、分析判斷題1．從下面不太明確的表達(dá)中確定要研究的問(wèn)題，需要哪些數(shù)據(jù)資料〔至少列舉3個(gè)〕，要做些甚麼建模的具體的前期工作〔至少列舉3個(gè)〕，建立何種數(shù)學(xué)模型：一座高層辦公樓有四部電梯，早晨上班時(shí)間非常擁擠，該如何解決。2．*種疾病每年新發(fā)生1000例，患者中有一半當(dāng)年可治愈.假設(shè)2000年底時(shí)有1200個(gè)病人，到2005年將會(huì)出現(xiàn)甚麼結(jié)果？有人說(shuō)，無(wú)論多少年過(guò)去，患者人數(shù)只是趨向2000人，但不會(huì)到達(dá)2000人，試判斷這個(gè)說(shuō)法的正確性.3．一條公路交通不太擁擠，以至人們養(yǎng)成"沖過(guò)〞馬路的習(xí)慣，不愿意走臨近的"斑馬線〞。交管部門不允許任意橫穿馬路，為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點(diǎn)增設(shè)"斑馬線〞，以便讓行人可以穿越馬路。那末"選擇設(shè)置斑馬線的地點(diǎn)〞這一問(wèn)題應(yīng)該考慮哪些因素？試至少列出3種。4.*營(yíng)養(yǎng)配餐問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為minZ=4*1+3*2s.t.其中表示參與配餐的兩種原料食品的采購(gòu)量，約束條件〔1〕、〔2〕、〔3〕依次表示鐵、蛋白質(zhì)和鈣的最低攝入量。并用圖解法給出了其最優(yōu)解，試分析解決下述問(wèn)題：〔1〕假設(shè)此題的目標(biāo)函數(shù)不是求最小而是求最大值類型且約束條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？〔2〕此題最后定解時(shí)，只用了直線〔1〕與直線〔3〕，而直線〔2〕未用上，這件事說(shuō)明了什么？試從實(shí)際問(wèn)題背景給以解釋.5．—0.60左右。設(shè)軀干長(zhǎng)為，身高為，一位女士的身高為，其軀干與身高之比，假設(shè)其所穿的高跟鞋高度為〔單位與，一樣〕，則，她該穿多高的高跟鞋〔=？〕才能產(chǎn)生最美的效應(yīng)值。三、應(yīng)用題1．從廠家A往B、C、D三地運(yùn)送貨物，中間可經(jīng)過(guò)9個(gè)轉(zhuǎn)運(yùn)站.從A到的運(yùn)價(jià)依次為3、8、7；從到的運(yùn)價(jià)為4、3；從到的運(yùn)價(jià)為2、8、4；從到的運(yùn)價(jià)為7、6；從到的運(yùn)價(jià)為10、12；從到的運(yùn)價(jià)為13、5、7；從到的運(yùn)價(jià)為6、8；從到的運(yùn)價(jià)為9、10；從到的運(yùn)價(jià)為5、10、15；從到的運(yùn)價(jià)為8、7。試?yán)脠D模型協(xié)助廠家制定一個(gè)總運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)輸路線。2.試求如表2所示運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)運(yùn)輸方案和最小運(yùn)輸費(fèi)用：表2單位：百元/噸銷地產(chǎn)地運(yùn)價(jià)B1B2B3B4產(chǎn)量A1A2A3352947512691011201525銷量102015153．*工廠方案用兩種原材料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，兩種原材料的最高供應(yīng)量依次為22和20個(gè)單位；每單位產(chǎn)品甲需用兩種原材料依次為1、1個(gè)單位，產(chǎn)值為3〔百元〕乙的需要兩依次為3、1個(gè)單位，產(chǎn)值為9〔百元〕；又根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，產(chǎn)品乙的市場(chǎng)需求量最多為6個(gè)單位，而甲、乙兩種產(chǎn)品的需求比不超過(guò)5：2，試建立線性規(guī)劃模型以求一個(gè)生產(chǎn)方案，使得總產(chǎn)值到達(dá)最大，并由此答復(fù)：最優(yōu)生產(chǎn)方案是否具有可選擇余地？假設(shè)有請(qǐng)至少給出兩個(gè)，否則說(shuō)明理由.原材料的利用情況.4.兩個(gè)水廠將自來(lái)水供應(yīng)三個(gè)小區(qū)每天各水廠的供應(yīng)量與各小區(qū)的需求量以及各水廠調(diào)運(yùn)到各小區(qū)的供水單價(jià)見(jiàn)表.試安排供水方案，使總供水費(fèi)最??？小區(qū)單價(jià)/元水廠供應(yīng)量/1064170756200需求量/160901505、有*種物資從城市運(yùn)往城市.中間可以通過(guò)七個(gè)城市運(yùn)抵目的地。各城市之間的可通道路及其間距離如下列圖〔單位：〕.試設(shè)計(jì)一個(gè)從到的運(yùn)輸路線，使得總運(yùn)輸路程最短，并求出最短路線."數(shù)學(xué)建模課程"練習(xí)題二一、填空題1.假設(shè)則與的函數(shù)關(guān)系是2.有人觀察到魚(yú)尾每擺動(dòng)一次，魚(yú)所移動(dòng)的距離幾乎與魚(yú)身的長(zhǎng)度相等，則魚(yú)尾擺動(dòng)的次數(shù)〔次/秒〕、魚(yú)身的長(zhǎng)度和它的速度的關(guān)系式為.倍，且它的平均密度是地球的倍，則此行星質(zhì)量是地球的倍.4.馬爾薩斯與邏輯斯蒂克兩個(gè)人口增長(zhǎng)模型的主要區(qū)別是假設(shè)了5.設(shè)表示掙的錢數(shù)，表示花的錢數(shù)，則"錢越多花的也就越多〞的數(shù)學(xué)模型可以簡(jiǎn)單表示為.6.在超級(jí)市場(chǎng)的收銀臺(tái)有兩條隊(duì)伍可選擇，隊(duì)1有個(gè)顧客，每人都買了件商品，隊(duì)2有個(gè)顧客，每人都買了件商品，假設(shè)每個(gè)人付款需秒，而掃描每件商品需秒秒，則參加較快隊(duì)1的條件是.7.在建立人口增長(zhǎng)問(wèn)題的邏輯斯蒂克模型時(shí)，假設(shè)人口增長(zhǎng)率是人口數(shù)量的遞減函數(shù)，假設(shè)最大人口數(shù)量記作為簡(jiǎn)化模型，采用的遞減函數(shù)是.8.一次晚會(huì)花掉100元用于食品和飲料，其中食品至少要花掉40%，飲料起碼要花30元，用和列出花在食品和飲料上的費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型是9.設(shè)*種商品的需求量函數(shù)是〔萬(wàn)件〕，其中為該商品的價(jià)格函數(shù)，則該商品的社會(huì)最大需求量是.10.設(shè)*種商品的供應(yīng)量函數(shù)是，其中為該商品的價(jià)格函數(shù)，那麼該商品下一時(shí)段的價(jià)格到達(dá)，才能迫使供應(yīng)商停頓供應(yīng)。二、分析判斷題1．地方公安部門想知道，當(dāng)緊急事故發(fā)生時(shí)，人群從一個(gè)建筑物中撤離所需要的時(shí)間，假設(shè)有足夠的平安通道.假設(shè)指揮者想盡可能多且快地將人群撤離，應(yīng)制定甚麼樣的疏散方案.請(qǐng)就這個(gè)方案指出至少三個(gè)相關(guān)因素，并使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示.2.假設(shè)*個(gè)數(shù)學(xué)模型建成為如下形式：試在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下將這個(gè)模型進(jìn)展簡(jiǎn)化.3.要為一所大學(xué)編制全校性選修課程表，有哪些因素應(yīng)予以考慮？試至少列出5種.4.一起交通事故發(fā)生3個(gè)小時(shí)后，警方測(cè)得司機(jī)血液中酒精的含量是又過(guò)兩個(gè)小時(shí)，含量降為試判斷，當(dāng)事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)是否違反了酒精含量的規(guī)定〔不超過(guò)80/100.5、為了節(jié)約用水，業(yè)內(nèi)人士提出水費(fèi)應(yīng)按照階梯式進(jìn)展收費(fèi)。譬如對(duì)于居民用水收費(fèi)，在一般月用水量的平均值之內(nèi)按照原價(jià)格收取，超出局部要加大收費(fèi)力度。對(duì)此問(wèn)題建立模型應(yīng)該考慮那些問(wèn)題和因素？至少列舉三個(gè)。三、應(yīng)用題1.*鋁合金加工單位要加工一批成套窗料，每套窗料含有和長(zhǎng)度的料各兩根，總計(jì)要加工套，所用原料的長(zhǎng)度均為試建立整數(shù)規(guī)劃模型以給出一個(gè)截料方案，使得所用原料最少？2.求如下列圖網(wǎng)絡(luò)中到的最短路線及其路長(zhǎng).3.一個(gè)毛紡廠使用羊毛、兔毛和*種纖維生產(chǎn)甲、乙兩種混紡毛料，生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品甲需要的三種原料依次為3、2、8個(gè)單位，產(chǎn)值為580元；生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品乙需要的三種原料依次為2、3、5個(gè)單位，產(chǎn)值為680元，三種原料在方案期內(nèi)的供應(yīng)量依次為90、30和80單位.試建立線性規(guī)劃模型以求一個(gè)生產(chǎn)方案，使得總產(chǎn)值到達(dá)最大，并由此答復(fù)：最優(yōu)生產(chǎn)方案是否具有可選擇余地？假設(shè)有請(qǐng)至少給出兩個(gè)，否則說(shuō)明理由.原材料的利用情況.4.三個(gè)磚廠向三個(gè)工地供應(yīng)紅磚.各磚廠的供應(yīng)量與各工地的需求量以及各磚廠調(diào)運(yùn)紅磚到各工地的單價(jià)見(jiàn)表.試安排調(diào)運(yùn)方案，使總費(fèi)用最??？工地單價(jià)/百元磚廠供應(yīng)量/萬(wàn)塊1064170756200839150需求量/萬(wàn)塊1601801805、求解以下線性規(guī)劃模型，并答復(fù)所給兩個(gè)問(wèn)題：〔1〕該模型的最優(yōu)解是否唯一？為什么？假設(shè)有兩個(gè)以上最優(yōu)解，請(qǐng)至少給出兩個(gè)?！?〕假設(shè)其中的代表兩種商品的產(chǎn)量，且的銷售情況比較要差些，則你選擇哪一個(gè)最優(yōu)方案？為什么？〔3〕假設(shè)每個(gè)約束條件的右端項(xiàng)依次表示生產(chǎn)所需三種材料，則對(duì)于你所選擇的最優(yōu)解，這些材料的利用情況怎樣？"數(shù)學(xué)建模課程"練習(xí)題一答案一、填空題：1.2.80；3.4、圖中奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或2.5.6.是比例常數(shù)；7、；8、42.9.10.；二、分析判斷題：1、1〕要研究的問(wèn)題：如何設(shè)置四部電梯的?？糠绞?，使之發(fā)揮最大效益2〕所需資料為：每天早晨乘電梯的總?cè)藬?shù)、各層上、下電梯的人數(shù)、電梯的速度、樓層的高度、層數(shù)等3〕要做的具體建模前期工作：觀察和統(tǒng)計(jì)所需資料，一般講，需要統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)每天的相關(guān)資料4〕可以建立概率統(tǒng)計(jì)模型，亦可在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立確定性模型2、為從2000年起計(jì)算的年后患者的人數(shù)，可得到遞推關(guān)系模型：由可以算出2005年時(shí)的患者數(shù)人.遞推計(jì)算的結(jié)果有，容易看出，故結(jié)論正確.3.〔1〕車流的密度〔2〕車的行駛速度〔3〕道路的寬度〔4〕行人穿越馬路的速度〔5〕設(shè)置斑馬線地點(diǎn)的兩側(cè)視野等。4.〔1〕因?yàn)榭尚杏虻挠疑戏綗o(wú)界，故將出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)趨于無(wú)窮大的情形，結(jié)果是問(wèn)題具有無(wú)界解；〔2〕將最優(yōu)解代入約束條件可知第二個(gè)約束條件為嚴(yán)格不等式，而其他為嚴(yán)格等式。這說(shuō)明，鐵和鈣的攝入量達(dá)標(biāo)，而蛋白質(zhì)的攝入量超最低標(biāo)準(zhǔn)18個(gè)單位。5、穿高跟鞋后新的比值應(yīng)為令，由此可解得三、應(yīng)用題：1、先建立模型〔圖1〕，然后使用雙標(biāo)號(hào)法求解，得到圖2。圖1圖2由圖2進(jìn)展逆向搜索可知，從廠家A到B只有一條路線最短：；從廠家A到C有兩條最短路線可選擇：從廠家A到D也只有一條路線最短：.2、易見(jiàn)，這是一個(gè)產(chǎn)銷平衡且為最小值類型的運(yùn)輸問(wèn)題。我們利用最小元素法可得初始方案如表1，表1銷地產(chǎn)地運(yùn)價(jià)B1B2B3B4產(chǎn)量A1A2A33⑤52⒂94⑤7⑩51269⑩1011⒂201525銷量10201515使用閉回路法可得負(fù)檢驗(yàn)數(shù)為=-1，故令進(jìn)基。再使用閉回路法進(jìn)展調(diào)整知出基，便得新的運(yùn)輸方案，再進(jìn)展檢驗(yàn)知，所有檢驗(yàn)數(shù)，故上述方案即為最優(yōu)運(yùn)輸方案。最小費(fèi)用為385〔百元〕。3.設(shè)表示甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則有原材料限制條件：又由產(chǎn)品乙不超過(guò)6件以及兩種產(chǎn)品比例條件有另外兩個(gè)條件：以及目標(biāo)函數(shù)滿足便可以得到線性規(guī)劃模型：〔1〕使用圖解法易得其最優(yōu)生產(chǎn)方案將有無(wú)窮多組〔這是因?yàn)榈谝粋€(gè)約束條件所在直線的斜率與目標(biāo)函數(shù)直線的斜率相等〕，其中的兩個(gè)方案為該直線段上的兩個(gè)端點(diǎn)：目標(biāo)值均為〔百元〕.〔2〕按照上面的第一個(gè)解，原材料將有10個(gè)單位的剩余量，而按照第二個(gè)解，原材料將有6個(gè)單位的剩余量.不管是哪一個(gè)解，原材料都全部充分利用.4.本問(wèn)題可以看成是一個(gè)產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問(wèn)題，屬于供小于求問(wèn)題.為此，虛設(shè)一個(gè)水廠，其供水量為30噸，相應(yīng)的運(yùn)價(jià)均定為0，便得到一個(gè)產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題如表所示：小區(qū)單價(jià)/元水廠供應(yīng)量/106417075620000030需求量/16090150再利用表上作業(yè)法求解，即可獲得供水費(fèi)用最低的供水方案為：小區(qū)將有30噸水的缺口.總費(fèi)用為〔元〕.5.使用雙標(biāo)號(hào)法可得知，本問(wèn)題有兩條最短路線，分別是："數(shù)學(xué)建模課程"練習(xí)題二答案一、填空題1.是比例常數(shù)；2.；3.；4.增長(zhǎng)率是常數(shù)還是人口的遞減函數(shù).5.是比例常數(shù).6.；7.，其中均為正常數(shù)；8.9.1200〔萬(wàn)件〕；10.100.二、分析判斷題：1、撤離時(shí)人員的分布狀態(tài)、人員總數(shù)、撤離速度、人們之間相對(duì)擁擠程度、人員所在地與平安地點(diǎn)的距離、人員撤離完畢所需要的總時(shí)間等.2.當(dāng)較小的時(shí)候，可以利用二項(xiàng)展開(kāi)式將小括號(hào)局部簡(jiǎn)化為從而有.假設(shè)也很小，則可以利用將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)為3、問(wèn)題涉及到時(shí)間、地點(diǎn)和人員三大因素，故應(yīng)該考慮到的因素至少有以下幾個(gè)：〔1〕教師：是否連續(xù)上課，對(duì)時(shí)間的要求，對(duì)多媒體的要求和課程種類的限制等；〔2〕學(xué)生：是否連續(xù)上課，專業(yè)課課時(shí)與共同課是否沖突，選修人數(shù)等；〔3〕教室：教室的數(shù)量，教室的容納量，是否具備必要的多媒體等條件；4.設(shè)為時(shí)刻血液中酒精的濃度，則濃度遞減率的模型應(yīng)為其通解是而故有和由此解得可見(jiàn)在事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)血液中酒精的濃度已經(jīng)超出了規(guī)定.5、從問(wèn)題角度說(shuō)，應(yīng)該考慮低收入家庭的承受能力，必須進(jìn)展調(diào)查研究；從制定何種收費(fèi)模型角度看，需要研究模型的構(gòu)造，譬如分幾段收費(fèi)等；用水的平均值數(shù)據(jù)怎樣獲得，分段力度到達(dá)多大；既要考慮平民百姓，也不能不考慮高收入人群，怎樣兼顧等。三、應(yīng)用題：1.先列出所有可能的截料方案：方案尺寸123米012米310料頭長(zhǎng)由此假設(shè)，按照方案1、2、3分別需原料根，以表