2021年廣東省珠海市城東中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021年廣東省珠海市城東中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，當(dāng)A1B時(shí)，(A，B)與(B，A)視為不同的對(duì)，則這樣的(A，B)對(duì)的個(gè)數(shù)是（

）

（A）8

（B）9

（C）26

（D）27參考答案：D解：a1∈A或?A，有2種可能，同樣a1∈B或?B，有2種可能，但a1?A與a1?B不能同時(shí)成立，故有22－1種安排方式，同樣a2、a3也各有22－1種安排方式，故共有(22－1)3種安排方式．選D．2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c成等比數(shù)列，且公比為q，則q+的取值范圍是（）A．（0，+∞） B． （0，+1） C． （﹣1，+∞） D． （﹣1，+1）參考答案：D3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則能得出的是（

）A．，，

B．，，C．，，

D．，，參考答案：C4.已知，，，則A． B．C． D．參考答案：B從題意得：，，。所以B為正確答案.【點(diǎn)睛】指數(shù)或者對(duì)數(shù)比較大小，考查學(xué)生對(duì)指數(shù)與對(duì)數(shù)的圖像與性質(zhì)的靈活處理能力，需要學(xué)生抓住定點(diǎn)。算出所在區(qū)間在去比較大小。5.的展開式中的系數(shù)是A.1

B.2

C.3

D.12參考答案：C試題分析：根據(jù)題意，式子的展開式中含的項(xiàng)有展開式中的常數(shù)項(xiàng)乘以中的以及展開式中的含的項(xiàng)乘以中的兩部分，所以其系數(shù)為，故選C.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.6.已知球面上有A、B、C三點(diǎn)，且AB=AC=，BC=2，球心到平面ABC的距離為，則球的體積為

（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B由題意，，可得，又由球心到截面ABC的距離為，正好是球心到BC的中點(diǎn)的距離，所以球的半徑為，所以球的體積為，故選B.

7.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f(x)＝2x2，則f(7)＝(

)．A．－2

B．2

C．－98

D．98參考答案：A8.設(shè)集合，則滿足的集合B的個(gè)數(shù)為

（

）

A．1

B．3

C．4

D．8參考答案：C9.在中，角所對(duì)的邊分別為，為的外心，為邊上的中點(diǎn)，，，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知a為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位,，則a=（

）A．1 B． C． D．-2參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則的取值范圍為

．參考答案：答案：[－3，3]12.平面向量滿足，且，則的夾角等于

參考答案：略13.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=cos（x）+x，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)有

個(gè)．參考答案：7【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】計(jì)算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】作f（x）=cos（x）+x（x＞0）的圖象，由圖象解交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：作f（x）=cos（x）+x（x＞0）的圖象如下圖，其在（0，+∞）上有三個(gè)零點(diǎn)，又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)共有3×2+1=7個(gè)，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．14.若行列式則

▲

．參考答案：2由得，即，所以。15.

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

。參考答案：答案:

16.底面邊長為、側(cè)棱長為的正四棱柱的個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，是側(cè)棱的中點(diǎn)，是正方形的中心，則直線被球所截得的線段長為

．參考答案：略17.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的值為

；參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某產(chǎn)品原來的成本為1000元/件，售價(jià)為1200元/件，年銷售量為1萬件，由于市場(chǎng)飽和，顧客要求提高，公司計(jì)劃投入資金進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí)，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若投入x萬元，每件產(chǎn)品的成本將降低元，在售價(jià)不變的情況下，年銷售量將減少萬件，按上述方式進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí)和銷售，扣除產(chǎn)品升級(jí)資金后的純利潤記為（單位：萬元），（純利潤=每件的利潤×年銷售量-投入的成本）（Ⅰ）求的函數(shù)解析式；（Ⅱ）求的最大值，以及取得最大值時(shí)x的值.參考答案：解：（Ⅰ）依題意，產(chǎn)品升級(jí)后，每件的成本為元，利潤為元

………………2分，年銷售量為萬件

………………3分純利潤為………………5分，（萬元）…………7分（Ⅱ）

……9分，=178.5

…………10分，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

………………11分，此時(shí)（萬元）…………12分.即的最大值是178.5萬元，以及取得最大值時(shí)的值40萬元.

略19.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B在直線l1：y=﹣1上，點(diǎn)M滿足，，點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P，且與直線l1：y=﹣1相交于點(diǎn)Q，試探究，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）設(shè)M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱可知，若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，則點(diǎn)N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點(diǎn)，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與曲線C相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)N在以PQ為直徑的圓上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對(duì)x0恒成立，必須有，即可得出．解法2：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與曲線C相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，得到直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得以PQ為直徑的圓方程為：，由于在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，則點(diǎn)N必為（0，1）或（0，﹣1），進(jìn)一步確定即可．解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲線C的方程式為x2=4y．（2）解法1：由曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱可知，若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，則點(diǎn)N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點(diǎn)，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)N在以PQ為直徑的圓上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對(duì)x0恒成立，必須有，解得n=1，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，其坐標(biāo)為（0，1）．解法2：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴以PQ為直徑的圓方程為：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分別令x0=2和x0=﹣2，由點(diǎn)P在曲線C上得y0=1，將x0，y0的值分別代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③②③聯(lián)立解得或，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，則點(diǎn)N必為（0，1）或（0，﹣1），將（0，1）的坐標(biāo)代入①式得，①式，左邊==2（1﹣y0）+2（y0﹣1）=0=右邊，將（0，﹣1）的坐標(biāo)代入①式得，①式，左邊=不恒等于0，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)是存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，點(diǎn)N坐標(biāo)為為（0，1）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)的幾何研究拋物線的切線斜率、圓的性質(zhì)，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．20.18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝4x＋1，g(x)＝2x，x∈R，數(shù)列{an}、{bn}滿足條件：a1＝1，an＋1＝g(an)＋1(n∈N*)，bn＝.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，并求使得對(duì)任意n∈N*都成立的最大正整數(shù)m.參考答案：(1)由題意an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．∵a1＝1，∴數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.∵m∈N＋，∴m＝9.21.（本小題滿分12分）

將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谡麄€(gè)下落過程中它將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是．（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口處依次放入2個(gè)小球，記落入袋中的小球個(gè)數(shù)為，試求的分布列和的數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下時(shí)小球才會(huì)落入袋中，故．

………5分（Ⅱ）記“小球落入袋中”為事件，“小球落入袋中”為事件，則事件與事件為對(duì)立事件，從而．

………8分顯然，的取值為0、1、2，且；；．

的分布列為012p故

………12分（或由隨機(jī)變量，故）略22.（12分）（2016?興安盟一模）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AD⊥A1B，垂足為D．（Ⅰ）求證：AD⊥平面A1BC；（Ⅱ）若，AB=BC=1，P為AC的中點(diǎn)，求二面角P﹣A1B﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出A1A⊥BC，AD⊥BC．AD⊥A1B，由此能證明AD⊥平面A1BC．（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz，利用向量法能求出平面PA1B與平面A1BC的夾角的余弦值．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴A1A⊥BC，…（2分）AB∩AA1=A，又AB⊥BC∴BC⊥面ABA1，…（4分）又AD?面ABA1又AD