靜電場的標(biāo)勢及其微分方程教案課件

靜電場的標(biāo)勢及其微分方程靜電場的標(biāo)勢及其微分方程12§1靜電場的標(biāo)勢及其微分方程一、靜電場的標(biāo)勢對于靜電場引入標(biāo)勢（標(biāo)量函數(shù)）第1頁/共47頁2§1靜電場的標(biāo)勢及其微分方程一、靜電場的標(biāo)勢對于靜電3

靜電場電場強(qiáng)度的積分與路徑無關(guān)，只取決于初末位置。標(biāo)勢就是電磁學(xué)中的靜電勢。

某點(diǎn)電勢值與參照點(diǎn)的選擇有關(guān)，常選無窮遠(yuǎn)處電勢為0，P點(diǎn)的電勢為對于空間中兩點(diǎn)第2頁/共47頁3靜電場電場強(qiáng)度的積分與路徑無關(guān)，只取決于初末位置。4

對于單個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：

對于多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：

對于電荷連續(xù)分布的帶電體：二、靜電勢的計(jì)算三、靜電勢滿足的微分方程及邊值關(guān)系1.靜電勢滿足的微分方程對線性均勻介質(zhì)這稱為Poisson方程。第3頁/共47頁4對于單個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：對于多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：對于電荷52.靜電勢滿足的邊值關(guān)系設(shè)P1和P2為介質(zhì)界面兩側(cè)鄰近兩點(diǎn)由于電場有限，兩點(diǎn)的距離趨于零這一關(guān)系與等價(jià)

在介質(zhì)分界面處選擇四個(gè)點(diǎn)，P1與P2鄰近，P1′與P2′鄰近。P1到P1‘的距離△l足夠小，故Dl取向具有任意性，故在界面兩側(cè)，電場強(qiáng)度切向分量相等。解釋：第4頁/共47頁52.靜電勢滿足的邊值關(guān)系設(shè)P1和P2為介質(zhì)界面兩側(cè)鄰6j為導(dǎo)體外表面附近的電勢，法向由導(dǎo)體內(nèi)指向?qū)w外對于導(dǎo)體電勢的另一邊值關(guān)系由電場法向分量邊值關(guān)系得到，第5頁/共47頁6j為導(dǎo)體外表面附近的電勢，法向由導(dǎo)體內(nèi)指向?qū)w外對于導(dǎo)7線性介質(zhì)中靜電場的總能量上式還可以表為四、靜電場能量第6頁/共47頁7線性介質(zhì)中靜電場的總能量上式還可以表為四、靜電場能量第8

不應(yīng)視為電場的能量密度。對于靜電場，也不能認(rèn)為電場能量只是存儲于電荷分布的空間，更不能認(rèn)為存儲于電荷；只是對于靜電場，能量才可表為這表明電場能量與電荷分布有關(guān)。對于隨時(shí)間變化的電場，磁場亦要激發(fā)電場，電場總能量不能完全通過電荷分布來表示。討論：第7頁/共47頁8不應(yīng)視為電場的能量密度。討論：第7頁/9設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢為零均勻電場不衰減，不宜選無窮遠(yuǎn)處為零勢點(diǎn)。

導(dǎo)線單位長度帶有電荷為t,

在P點(diǎn)的電勢為解：解：Ex.2均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的電勢。Ex.1均勻電場的電勢。第8頁/共47頁9設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢為零均勻電場不衰減，不宜選無窮遠(yuǎn)處為零10積分結(jié)果是發(fā)散的。這是由于電勢零點(diǎn)（無窮遠(yuǎn)處）選擇不當(dāng)造成（電荷分布至無窮遠(yuǎn)），重新選擇在面上距離導(dǎo)線R0的P0點(diǎn)為零點(diǎn)，僅考慮-M到M的有限導(dǎo)線，第9頁/共47頁10積分結(jié)果是發(fā)散的。這是由于電勢零點(diǎn)（無窮遠(yuǎn)處）選擇不當(dāng)造11對于無窮長的導(dǎo)線（利用了洛比達(dá)法則）設(shè)P0點(diǎn)為電勢零點(diǎn)由高斯定理可得相同結(jié)論。第10頁/共47頁11對于無窮長的導(dǎo)線（利用了洛比達(dá)法則）設(shè)P0點(diǎn)為電勢零點(diǎn)由12靜電學(xué)的基本問題：求滿足邊界條件的泊松方程的解。

在什么樣的邊界條件下，電場是唯一的？考察系統(tǒng)：含有介質(zhì)空間V可分為若干個(gè)均勻區(qū)域Vi，其中區(qū)域Vi

內(nèi)充滿電容率為ei的均勻介質(zhì)。

唯一性定理：給定區(qū)域內(nèi)自由電荷分布，且給定邊界面上或者，則區(qū)域內(nèi)電場唯一確定。§2唯一性定理問題：討論：1）在數(shù)學(xué)上矢量場的唯一性定理：一個(gè)矢量場被它的散度、旋度和邊值條件唯一確定。2）上述條件決定的靜電勢可以相差一個(gè)常數(shù)，它們對應(yīng)同一個(gè)電場。一、絕緣介質(zhì)情形的唯一性定理第11頁/共47頁12靜電學(xué)的基本問題：求滿足邊界條件的泊松方程的解。在什么13(反證法)

假設(shè)存在兩個(gè)不同的解滿足方程和邊界條件。令，在每個(gè)均勻分區(qū)內(nèi)有在兩均勻介質(zhì)分區(qū)的分界面上證明：第12頁/共47頁13(反證法)

假設(shè)存在兩個(gè)不同的解滿足方程和邊界條件。14對第i個(gè)均勻介質(zhì)分區(qū)，運(yùn)用高斯定理，有對于上式左端積分，在分界面兩邊，有所以，在內(nèi)部分界面上的積分為0，

第一種情形：給定外表面上電勢

上式左端積分為零。

第二種情形：給定外表面處法向微商

上式左端積分也為零。第13頁/共47頁14對第i個(gè)均勻介質(zhì)分區(qū)，運(yùn)用高斯定理，有對于上式左端積15電勢附加常量對電場無影響，所以電場是唯一確定的。

第一類：給定導(dǎo)體表面上的

第二類：給定導(dǎo)體上的電荷

對于第一類邊界條件，只要把導(dǎo)體存在的空間扣除，即可證明電場被唯一確定。

對于第二類邊界條件，在導(dǎo)體外，電荷分布給定，大區(qū)域表面上電勢或電勢的法向?qū)?shù)給定；每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷給定。

二、有導(dǎo)體存在情形的唯一性定理1.兩類邊界條件第14頁/共47頁15電勢附加常量對電場無影響，所以電場是唯一確定的。第一16對于第i個(gè)導(dǎo)體，選擇包裹該導(dǎo)體的封閉曲面為高斯面，法線方向由導(dǎo)體內(nèi)指向外。（反證法）設(shè)有兩個(gè)不同電勢均滿足Poisson方程，令對于每個(gè)導(dǎo)體證明：第15頁/共47頁16對于第i個(gè)導(dǎo)體，選擇包裹該導(dǎo)體的封閉曲面為高斯面，法線方17對于扣除導(dǎo)體的空間體積

導(dǎo)體表面電勢是常數(shù)，

（不能寫為零）在區(qū)域外表面，

。所以，

電場唯一確定。

可以猜想，電場強(qiáng)度

這樣的電場強(qiáng)度對應(yīng)的電勢滿足Poisson方程。這樣的解在介質(zhì)分界面處滿足邊值關(guān)系：電場強(qiáng)度切向分量連續(xù)，電位移矢量法向分量連續(xù)；導(dǎo)體表面是等勢面。Ex.第16頁/共47頁17對于扣除導(dǎo)體的空間體積導(dǎo)體表面電勢是常數(shù)，（不能寫為18只要滿足導(dǎo)體球上帶電量為Q的條件，由唯一性定理，猜想的電場就是要求的解。作一包裹導(dǎo)體球的Gauss面，第17頁/共47頁18只要滿足導(dǎo)體球上帶電量為Q的條件，由唯一性定理，猜想的19如果在考察的空間內(nèi)沒有電荷分布，電勢滿足Laplase方程它可以用分離變量法求解。在球坐標(biāo)下

其解為

為締合勒讓德（Legendre）函數(shù)。靜電場問題變?yōu)楦鶕?jù)邊值關(guān)系確定式中待定系數(shù)的問題。

§3拉普拉斯方程分離變量法第18頁/共47頁19如果在考察的空間內(nèi)沒有電荷分布，電勢滿足Laplase方20軸對稱情形：

為Legendre函數(shù)。

第19頁/共47頁20軸對稱情形：為Legendre函數(shù)。第19頁/共4721

由于系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以電勢應(yīng)該與q

無關(guān)，有n=0內(nèi)部導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體殼是個(gè)等勢體，選擇包含球殼的面為高斯面（有兩個(gè)球面）Ex.1接地導(dǎo)體球與帶電導(dǎo)體球殼第20頁/共47頁21由于系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以電勢應(yīng)該與q無關(guān)，有22無窮遠(yuǎn)處電勢為零，現(xiàn)求解導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷，選擇包裹導(dǎo)體球的球面為高斯面，第21頁/共47頁22無窮遠(yuǎn)處電勢為零，現(xiàn)求解導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷，選擇包裹導(dǎo)體球23

極化電荷是有限的，對無窮遠(yuǎn)處的電場無影響。所以，在無窮遠(yuǎn)處

Ex.2均勻外電場中的介質(zhì)球。

在坐標(biāo)原點(diǎn)，電勢應(yīng)有限，第22頁/共47頁23極化電荷是有限的，對無窮遠(yuǎn)處的Ex.2均勻外電場24

在介質(zhì)球表面處，電勢滿足

勒讓德函數(shù)是相互正交獨(dú)立的函數(shù)，所以對于不同的n值，它們的系數(shù)應(yīng)該相等。

比較P1的系數(shù)，

第23頁/共47頁24在介質(zhì)球表面處，電勢滿足勒讓德函數(shù)是相互正交獨(dú)立的函25比較Pn(n不為1)的系數(shù)，所以第24頁/共47頁25比較Pn(n不為1)的系數(shù)，所以第24頁/共47頁261）球內(nèi)電場如右圖所示，

球內(nèi)電場比原電場弱。

討論：第25頁/共47頁261）球內(nèi)電場如右圖所示，球內(nèi)電場比原電場弱。討論：272）介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度

介質(zhì)球的總電偶極矩

電偶極矩激發(fā)電場的電勢

這正好是球外電勢中的第二項(xiàng)。

實(shí)際運(yùn)用：靜電選礦

礦石粉碎為小顆粒，每個(gè)顆粒電偶極矩在外場中，電偶極子所受力為

電偶極矩與電容率有關(guān)，不同礦物質(zhì)所受外電場的作用力不同，可以根據(jù)這一原理挑選出不同的礦物質(zhì)。第26頁/共47頁272）介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度介質(zhì)球的總電偶極矩電偶極矩激發(fā)28

無窮大尖劈具有平移不變性，根據(jù)幾何特征，選柱坐標(biāo)是方便的。在尖劈以外

由于電勢與Z無關(guān)，

設(shè)當(dāng)n=0時(shí)，當(dāng)n不為零時(shí)，Ex.4導(dǎo)體劈尖。第27頁/共47頁28無窮大尖劈具有平移不變性，根據(jù)幾何特征，選柱坐標(biāo)是方29現(xiàn)利用邊界條件求待定系數(shù)：1）在q=0表面，電勢為常數(shù)且與r無關(guān)，2）當(dāng)r趨于零時(shí)，電勢有限

所以，電勢為

3）在q=2p-a表面，電勢亦為常數(shù)，且與r無關(guān)，

要唯一確定電場，還需要另外的邊界條件。

第28頁/共47頁29現(xiàn)利用邊界條件求待定系數(shù)：2）當(dāng)r趨于零時(shí)，電勢有限30利用電場強(qiáng)度的邊值關(guān)系，若a很小，。對于尖劈的兩個(gè)表面，均有可見電荷在尖角附近分布很密集，尖角附近存在很強(qiáng)的電場。在尖角附近（r趨于零）

。注意到柱坐標(biāo)下

討論：第29頁/共47頁30利用電場強(qiáng)度的邊值關(guān)系，若a很小，。對于尖劈的兩個(gè)表面31

在有的情況下，可以用“假想”的點(diǎn)電荷去“等效”替代感應(yīng)電荷（或束縛電荷），這種方法就是鏡像法。用鏡像法求解電場，應(yīng)遵循的原則：

在考察空間（無自由電荷分布），電勢滿足Laplace方程；電勢在邊界面滿足邊界條件。用鏡像法求解電場的理論根據(jù)是唯一性定理。考察空間：導(dǎo)體板上部空間（導(dǎo)體板接地，所以電場僅存在于導(dǎo)體板上部空間。

鏡像電荷：用等效電荷代替導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。且分布在對稱位置。

在導(dǎo)體板上部空間，電勢為

§4鏡象法Ex.1求導(dǎo)體板上部空間中的電場。第30頁/共47頁31在有的情況下，可以用“假想”的點(diǎn)電荷去“等效”替32考察空間：導(dǎo)體球外部空間。鏡像電荷：用位于對稱軸上的等效代替導(dǎo)體球面上的感應(yīng)電荷。

球面上任意點(diǎn)P的電勢

鏡像電荷不應(yīng)隨P變化，。若鏡像位置滿足由三角形相似，Ex.2接地導(dǎo)體球外空間的電場。第31頁/共47頁32考察空間：導(dǎo)體球外部空間。球面上任意點(diǎn)P的電勢鏡像電33導(dǎo)體球外部空間的電勢為

討論：取包裹導(dǎo)體球的球面為Gauss面。對原系統(tǒng)，面內(nèi)包含全部感應(yīng)電荷；對等效系統(tǒng)，高斯面上電場與原系統(tǒng)一致。所以感應(yīng)電荷的總電量就是鏡像電荷。因?yàn)閨Q'|<Q，僅有部分電力線終止于球表面，另外的電力線終止于無窮遠(yuǎn)。第32頁/共47頁33導(dǎo)體球外部空間的電勢為討論：取包裹導(dǎo)體球的球面為Ga34從導(dǎo)體球發(fā)出的總電通量為

在上題的系統(tǒng)中，在球心處再放一鏡像電荷Q''（等效系統(tǒng)由Q、Q'、Q''組成），球面上仍是等勢面。由電通量條件，

電荷Q所受作用力為

Q'和Q"對它的作用力。

Ex.3導(dǎo)體球外空間的電場。第33頁/共47頁34從導(dǎo)體球發(fā)出的總電通量為在上題的系統(tǒng)中，在球心處再放一35函數(shù)展開:展開適用條件:對于小區(qū)域分布的電荷系統(tǒng)，，展開電勢§6電多極矩一、電勢的展開第34頁/共47頁35函數(shù)展開:展開適用條件:對于小區(qū)域分布的電荷系統(tǒng)，，展開36令電偶極矩電四極矩

對于多點(diǎn)電荷系統(tǒng)，電偶極矩

對于電荷連續(xù)分布帶電體，電偶極矩

電四極矩可用張量（并矢）表示

兩個(gè)三維矢量可以構(gòu)成并矢說明：關(guān)于并矢：第35頁/共47頁36令電偶極矩電四極矩對于多點(diǎn)電荷系統(tǒng)，電偶極矩對37它有9個(gè)分量，可以用3×3矩陣表示

另一個(gè)并矢

并矢的標(biāo)積：。對于各個(gè)分量都要計(jì)算。

第36頁/共47頁37它有9個(gè)分量，可以用3×3矩陣表示另一個(gè)并矢并矢的標(biāo)38電勢展開:

電勢展開式第一項(xiàng)

為點(diǎn)電荷激發(fā)的電勢。

電勢展開式第二項(xiàng)二、電多極矩及其電勢第37頁/共47頁38電勢展開:電勢展開式第一項(xiàng)為點(diǎn)電荷激發(fā)的電勢。39

考察右圖所示電偶極子在遠(yuǎn)區(qū)（R>>l）激發(fā)的電勢第38頁/共47頁39考察右圖所示電偶極子在遠(yuǎn)區(qū)（R>>l）激發(fā)的電40可見電勢展開式第二項(xiàng)是電偶極子激發(fā)的電勢。

電勢展開式第三項(xiàng)

是電四極矩產(chǎn)生的電勢。

可見：電勢=點(diǎn)電荷激發(fā)電勢＋電偶極矩激發(fā)電勢＋電四極矩激發(fā)電勢＋…。

右圖所示系統(tǒng)總電荷為零，電偶極矩也為零，只有電四極矩（的某些分量）不為零。這樣的系統(tǒng)的電勢只有電四極矩（非零分量）激發(fā)的電勢。三、幾種具有電四極矩的簡單系統(tǒng)第39頁/共47頁40可見電勢展開式第二項(xiàng)是電偶極子激發(fā)的電勢。電勢展開式41以第三個(gè)系統(tǒng)為例，正、負(fù)點(diǎn)電荷距離原點(diǎn)分別為b

和

a

單個(gè)電偶極子激發(fā)的電勢雙電偶極子激發(fā)的電勢。作展開

第40頁/共47頁41以第三個(gè)系統(tǒng)為例，正、負(fù)點(diǎn)電荷距離原點(diǎn)分別為b和a42電勢展開式第三項(xiàng)

這就是電四極矩激發(fā)的電勢。

四、關(guān)于電四極矩1.電四極矩的重新定義第41頁/共47頁42電勢展開式第三項(xiàng)這就是電四極矩激發(fā)的電勢。四、關(guān)于電43引入Kronecker符號重新定義電四極矩張量或表為

與前面定義的電四極矩張量相比，對角線上元素不同，但非對角線上元素是相同的。電四極矩的性質(zhì)：1）2）電四極矩的9個(gè)分量中只有6個(gè)是獨(dú)立的。

第42頁/共47頁43引入Kronecker符號重新定義電四極矩張量或表為44對于非對角項(xiàng)作變換，可知球?qū)ΨQ電荷分布系統(tǒng)也沒有電偶極矩，沒有更高階極矩。

電四極矩反映了電荷分布對球?qū)ΨQ的偏離。（應(yīng)用：核物理中，可通過測量遠(yuǎn)場電四極矩項(xiàng)推算原子核形變。）Ex.球?qū)ΨQ電荷分布系統(tǒng)。Ex.在z軸方向拉長的橢球（電荷分布均勻）。第43頁/共47頁44對于非對角項(xiàng)作變換，可知球?qū)ΨQ電荷分布系統(tǒng)也沒有電偶極矩45

旋轉(zhuǎn)橢球體，其半長軸為a，半短軸為b，橢球方程為橢球體積為電荷密度為由令同樣可得第44頁/共47頁45旋轉(zhuǎn)橢球體，其半長軸為a，半短軸為b，橢球方程46在遠(yuǎn)處的總電勢小區(qū)域電荷系統(tǒng)與外界的相互作用能,

五、電荷體系在外場中的能量第45頁/共47頁46在遠(yuǎn)處的總電勢小區(qū)域電荷系統(tǒng)與外界的相互作用能,五、電471）展開式中三項(xiàng)分別是點(diǎn)電荷、電偶極子、電四極子在外場中的能量。2）電四極子只有在非均勻外場中才有不為零的相互作用能。3）關(guān)于電偶極子偶極子在外場中所受力利用公式

電偶極子在外場中所受力矩:設(shè)偶極矩和外場夾角為q一般地，第46頁/共47頁471）展開式中三項(xiàng)分別是點(diǎn)電荷、電偶極子、電四極子在外場中48感謝您的觀看！第47頁/共47頁48感謝您的觀看！第47頁/共47頁靜電場的標(biāo)勢及其微分方程靜電場的標(biāo)勢及其微分方程4950§1靜電場的標(biāo)勢及其微分方程一、靜電場的標(biāo)勢對于靜電場引入標(biāo)勢（標(biāo)量函數(shù)）第1頁/共47頁2§1靜電場的標(biāo)勢及其微分方程一、靜電場的標(biāo)勢對于靜電51

靜電場電場強(qiáng)度的積分與路徑無關(guān)，只取決于初末位置。標(biāo)勢就是電磁學(xué)中的靜電勢。

某點(diǎn)電勢值與參照點(diǎn)的選擇有關(guān)，常選無窮遠(yuǎn)處電勢為0，P點(diǎn)的電勢為對于空間中兩點(diǎn)第2頁/共47頁3靜電場電場強(qiáng)度的積分與路徑無關(guān)，只取決于初末位置。52

對于單個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：

對于多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：

對于電荷連續(xù)分布的帶電體：二、靜電勢的計(jì)算三、靜電勢滿足的微分方程及邊值關(guān)系1.靜電勢滿足的微分方程對線性均勻介質(zhì)這稱為Poisson方程。第3頁/共47頁4對于單個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：對于多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：對于電荷532.靜電勢滿足的邊值關(guān)系設(shè)P1和P2為介質(zhì)界面兩側(cè)鄰近兩點(diǎn)由于電場有限，兩點(diǎn)的距離趨于零這一關(guān)系與等價(jià)

在介質(zhì)分界面處選擇四個(gè)點(diǎn)，P1與P2鄰近，P1′與P2′鄰近。P1到P1‘的距離△l足夠小，故Dl取向具有任意性，故在界面兩側(cè)，電場強(qiáng)度切向分量相等。解釋：第4頁/共47頁52.靜電勢滿足的邊值關(guān)系設(shè)P1和P2為介質(zhì)界面兩側(cè)鄰54j為導(dǎo)體外表面附近的電勢，法向由導(dǎo)體內(nèi)指向?qū)w外對于導(dǎo)體電勢的另一邊值關(guān)系由電場法向分量邊值關(guān)系得到，第5頁/共47頁6j為導(dǎo)體外表面附近的電勢，法向由導(dǎo)體內(nèi)指向?qū)w外對于導(dǎo)55線性介質(zhì)中靜電場的總能量上式還可以表為四、靜電場能量第6頁/共47頁7線性介質(zhì)中靜電場的總能量上式還可以表為四、靜電場能量第56

不應(yīng)視為電場的能量密度。對于靜電場，也不能認(rèn)為電場能量只是存儲于電荷分布的空間，更不能認(rèn)為存儲于電荷；只是對于靜電場，能量才可表為這表明電場能量與電荷分布有關(guān)。對于隨時(shí)間變化的電場，磁場亦要激發(fā)電場，電場總能量不能完全通過電荷分布來表示。討論：第7頁/共47頁8不應(yīng)視為電場的能量密度。討論：第7頁/57設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢為零均勻電場不衰減，不宜選無窮遠(yuǎn)處為零勢點(diǎn)。

導(dǎo)線單位長度帶有電荷為t,

在P點(diǎn)的電勢為解：解：Ex.2均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的電勢。Ex.1均勻電場的電勢。第8頁/共47頁9設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢為零均勻電場不衰減，不宜選無窮遠(yuǎn)處為零58積分結(jié)果是發(fā)散的。這是由于電勢零點(diǎn)（無窮遠(yuǎn)處）選擇不當(dāng)造成（電荷分布至無窮遠(yuǎn)），重新選擇在面上距離導(dǎo)線R0的P0點(diǎn)為零點(diǎn)，僅考慮-M到M的有限導(dǎo)線，第9頁/共47頁10積分結(jié)果是發(fā)散的。這是由于電勢零點(diǎn)（無窮遠(yuǎn)處）選擇不當(dāng)造59對于無窮長的導(dǎo)線（利用了洛比達(dá)法則）設(shè)P0點(diǎn)為電勢零點(diǎn)由高斯定理可得相同結(jié)論。第10頁/共47頁11對于無窮長的導(dǎo)線（利用了洛比達(dá)法則）設(shè)P0點(diǎn)為電勢零點(diǎn)由60靜電學(xué)的基本問題：求滿足邊界條件的泊松方程的解。

在什么樣的邊界條件下，電場是唯一的？考察系統(tǒng)：含有介質(zhì)空間V可分為若干個(gè)均勻區(qū)域Vi，其中區(qū)域Vi

內(nèi)充滿電容率為ei的均勻介質(zhì)。

唯一性定理：給定區(qū)域內(nèi)自由電荷分布，且給定邊界面上或者，則區(qū)域內(nèi)電場唯一確定。§2唯一性定理問題：討論：1）在數(shù)學(xué)上矢量場的唯一性定理：一個(gè)矢量場被它的散度、旋度和邊值條件唯一確定。2）上述條件決定的靜電勢可以相差一個(gè)常數(shù)，它們對應(yīng)同一個(gè)電場。一、絕緣介質(zhì)情形的唯一性定理第11頁/共47頁12靜電學(xué)的基本問題：求滿足邊界條件的泊松方程的解。在什么61(反證法)

假設(shè)存在兩個(gè)不同的解滿足方程和邊界條件。令，在每個(gè)均勻分區(qū)內(nèi)有在兩均勻介質(zhì)分區(qū)的分界面上證明：第12頁/共47頁13(反證法)

假設(shè)存在兩個(gè)不同的解滿足方程和邊界條件。62對第i個(gè)均勻介質(zhì)分區(qū)，運(yùn)用高斯定理，有對于上式左端積分，在分界面兩邊，有所以，在內(nèi)部分界面上的積分為0，

第一種情形：給定外表面上電勢

上式左端積分為零。

第二種情形：給定外表面處法向微商

上式左端積分也為零。第13頁/共47頁14對第i個(gè)均勻介質(zhì)分區(qū)，運(yùn)用高斯定理，有對于上式左端積63電勢附加常量對電場無影響，所以電場是唯一確定的。

第一類：給定導(dǎo)體表面上的

第二類：給定導(dǎo)體上的電荷

對于第一類邊界條件，只要把導(dǎo)體存在的空間扣除，即可證明電場被唯一確定。

對于第二類邊界條件，在導(dǎo)體外，電荷分布給定，大區(qū)域表面上電勢或電勢的法向?qū)?shù)給定；每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷給定。

二、有導(dǎo)體存在情形的唯一性定理1.兩類邊界條件第14頁/共47頁15電勢附加常量對電場無影響，所以電場是唯一確定的。第一64對于第i個(gè)導(dǎo)體，選擇包裹該導(dǎo)體的封閉曲面為高斯面，法線方向由導(dǎo)體內(nèi)指向外。（反證法）設(shè)有兩個(gè)不同電勢均滿足Poisson方程，令對于每個(gè)導(dǎo)體證明：第15頁/共47頁16對于第i個(gè)導(dǎo)體，選擇包裹該導(dǎo)體的封閉曲面為高斯面，法線方65對于扣除導(dǎo)體的空間體積

導(dǎo)體表面電勢是常數(shù)，

（不能寫為零）在區(qū)域外表面，

。所以，

電場唯一確定。

可以猜想，電場強(qiáng)度

這樣的電場強(qiáng)度對應(yīng)的電勢滿足Poisson方程。這樣的解在介質(zhì)分界面處滿足邊值關(guān)系：電場強(qiáng)度切向分量連續(xù)，電位移矢量法向分量連續(xù)；導(dǎo)體表面是等勢面。Ex.第16頁/共47頁17對于扣除導(dǎo)體的空間體積導(dǎo)體表面電勢是常數(shù)，（不能寫為66只要滿足導(dǎo)體球上帶電量為Q的條件，由唯一性定理，猜想的電場就是要求的解。作一包裹導(dǎo)體球的Gauss面，第17頁/共47頁18只要滿足導(dǎo)體球上帶電量為Q的條件，由唯一性定理，猜想的67如果在考察的空間內(nèi)沒有電荷分布，電勢滿足Laplase方程它可以用分離變量法求解。在球坐標(biāo)下

其解為

為締合勒讓德（Legendre）函數(shù)。靜電場問題變?yōu)楦鶕?jù)邊值關(guān)系確定式中待定系數(shù)的問題。

§3拉普拉斯方程分離變量法第18頁/共47頁19如果在考察的空間內(nèi)沒有電荷分布，電勢滿足Laplase方68軸對稱情形：

為Legendre函數(shù)。

第19頁/共47頁20軸對稱情形：為Legendre函數(shù)。第19頁/共4769

由于系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以電勢應(yīng)該與q

無關(guān)，有n=0內(nèi)部導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體殼是個(gè)等勢體，選擇包含球殼的面為高斯面（有兩個(gè)球面）Ex.1接地導(dǎo)體球與帶電導(dǎo)體球殼第20頁/共47頁21由于系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以電勢應(yīng)該與q無關(guān)，有70無窮遠(yuǎn)處電勢為零，現(xiàn)求解導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷，選擇包裹導(dǎo)體球的球面為高斯面，第21頁/共47頁22無窮遠(yuǎn)處電勢為零，現(xiàn)求解導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷，選擇包裹導(dǎo)體球71

極化電荷是有限的，對無窮遠(yuǎn)處的電場無影響。所以，在無窮遠(yuǎn)處

Ex.2均勻外電場中的介質(zhì)球。

在坐標(biāo)原點(diǎn)，電勢應(yīng)有限，第22頁/共47頁23極化電荷是有限的，對無窮遠(yuǎn)處的Ex.2均勻外電場72

在介質(zhì)球表面處，電勢滿足

勒讓德函數(shù)是相互正交獨(dú)立的函數(shù)，所以對于不同的n值，它們的系數(shù)應(yīng)該相等。

比較P1的系數(shù)，

第23頁/共47頁24在介質(zhì)球表面處，電勢滿足勒讓德函數(shù)是相互正交獨(dú)立的函73比較Pn(n不為1)的系數(shù)，所以第24頁/共47頁25比較Pn(n不為1)的系數(shù)，所以第24頁/共47頁741）球內(nèi)電場如右圖所示，

球內(nèi)電場比原電場弱。

討論：第25頁/共47頁261）球內(nèi)電場如右圖所示，球內(nèi)電場比原電場弱。討論：752）介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度

介質(zhì)球的總電偶極矩

電偶極矩激發(fā)電場的電勢

這正好是球外電勢中的第二項(xiàng)。

實(shí)際運(yùn)用：靜電選礦

礦石粉碎為小顆粒，每個(gè)顆粒電偶極矩在外場中，電偶極子所受力為

電偶極矩與電容率有關(guān)，不同礦物質(zhì)所受外電場的作用力不同，可以根據(jù)這一原理挑選出不同的礦物質(zhì)。第26頁/共47頁272）介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度介質(zhì)球的總電偶極矩電偶極矩激發(fā)76

無窮大尖劈具有平移不變性，根據(jù)幾何特征，選柱坐標(biāo)是方便的。在尖劈以外

由于電勢與Z無關(guān)，

設(shè)當(dāng)n=0時(shí)，當(dāng)n不為零時(shí)，Ex.4導(dǎo)體劈尖。第27頁/共47頁28無窮大尖劈具有平移不變性，根據(jù)幾何特征，選柱坐標(biāo)是方77現(xiàn)利用邊界條件求待定系數(shù)：1）在q=0表面，電勢為常數(shù)且與r無關(guān)，2）當(dāng)r趨于零時(shí)，電勢有限

所以，電勢為

3）在q=2p-a表面，電勢亦為常數(shù)，且與r無關(guān)，

要唯一確定電場，還需要另外的邊界條件。

第28頁/共47頁29現(xiàn)利用邊界條件求待定系數(shù)：2）當(dāng)r趨于零時(shí)，電勢有限78利用電場強(qiáng)度的邊值關(guān)系，若a很小，。對于尖劈的兩個(gè)表面，均有可見電荷在尖角附近分布很密集，尖角附近存在很強(qiáng)的電場。在尖角附近（r趨于零）

。注意到柱坐標(biāo)下

討論：第29頁/共47頁30利用電場強(qiáng)度的邊值關(guān)系，若a很小，。對于尖劈的兩個(gè)表面79

在有的情況下，可以用“假想”的點(diǎn)電荷去“等效”替代感應(yīng)電荷（或束縛電荷），這種方法就是鏡像法。用鏡像法求解電場，應(yīng)遵循的原則：

在考察空間（無自由電荷分布），電勢滿足Laplace方程；電勢在邊界面滿足邊界條件。用鏡像法求解電場的理論根據(jù)是唯一性定理。考察空間：導(dǎo)體板上部空間（導(dǎo)體板接地，所以電場僅存在于導(dǎo)體板上部空間。

鏡像電荷：用等效電荷代替導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。且分布在對稱位置。

在導(dǎo)體板上部空間，電勢為

§4鏡象法Ex.1求導(dǎo)體板上部空間中的電場。第30頁/共47頁31在有的情況下，可以用“假想”的點(diǎn)電荷去“等效”替80考察空間：導(dǎo)體球外部空間。鏡像電荷：用位于對稱軸上的等效代替導(dǎo)體球面上的感應(yīng)電荷。

球面上任意點(diǎn)P的電勢

鏡像電荷不應(yīng)隨P變化，。若鏡像位置滿足由三角形相似，Ex.2接地導(dǎo)體球外空間的電場。第31頁/共47頁32考察空間：導(dǎo)體球外部空間。球面上任意點(diǎn)P的電勢鏡像電81導(dǎo)體球外部空間的電勢為

討論：取包裹導(dǎo)體球的球面為Gauss面。對原系統(tǒng)，面內(nèi)包含全部感應(yīng)電荷；對等效系統(tǒng)，高斯面上電場與原系統(tǒng)一致。所以感應(yīng)電荷的總電量就是鏡像電荷。因?yàn)閨Q'|<Q，僅有部分電力線終止于球表面，另外的電力線終止于無窮遠(yuǎn)。第32頁/共47頁33導(dǎo)體球外部空間的電勢為討論：取包裹導(dǎo)體球的球面為Ga82從導(dǎo)體球發(fā)出的總電通量為

在上題的系統(tǒng)中，在球心處再放一鏡像電荷Q''（等效系統(tǒng)由Q、Q'、Q''組成），球面上仍是等勢面。由電通量條件，

電荷Q所受作用力為

Q'和Q"對它的作用力。

Ex.3導(dǎo)體球外空間的電場。第33頁/共47頁34從導(dǎo)體球發(fā)出的總電通量為在上題的系統(tǒng)中，在球心處再放一83函數(shù)展開:展開適用條件:對于小區(qū)域分布的電荷系統(tǒng)，，展開電勢§6電多極矩一、電勢的展開第34頁/共47頁35函數(shù)展開:展開適用條件:對于小區(qū)域分布的電荷系統(tǒng)，，展開84令電偶極矩電四極矩

對于多點(diǎn)電荷系統(tǒng)，電偶極矩

對于電荷連續(xù)分布帶電體，電偶極矩

電四極矩可用張量（并矢）表示

兩個(gè)三維矢量可以構(gòu)成并矢說明：關(guān)于并矢：第35頁/共47頁36令電偶極矩電四極矩對于多點(diǎn)電荷系統(tǒng)，電偶極矩對85它有9個(gè)分量，可以用3×3矩陣表示

另一個(gè)并矢

并矢的標(biāo)積：。對于各個(gè)分量都要計(jì)算。

第36頁/共47頁37它有9個(gè)分量，可以用3×3矩陣表示另一個(gè)并矢并矢的標(biāo)86電勢展開:

電勢展開式第一項(xiàng)