靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程教案課件

靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程12§1靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)對(duì)于靜電場(chǎng)引入標(biāo)勢(shì)（標(biāo)量函數(shù)）第1頁(yè)/共47頁(yè)2§1靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)對(duì)于靜電3

靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的積分與路徑無(wú)關(guān)，只取決于初末位置。標(biāo)勢(shì)就是電磁學(xué)中的靜電勢(shì)。

某點(diǎn)電勢(shì)值與參照點(diǎn)的選擇有關(guān)，常選無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為0，P點(diǎn)的電勢(shì)為對(duì)于空間中兩點(diǎn)第2頁(yè)/共47頁(yè)3靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的積分與路徑無(wú)關(guān)，只取決于初末位置。4

對(duì)于單個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：

對(duì)于多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：

對(duì)于電荷連續(xù)分布的帶電體：二、靜電勢(shì)的計(jì)算三、靜電勢(shì)滿足的微分方程及邊值關(guān)系1.靜電勢(shì)滿足的微分方程對(duì)線性均勻介質(zhì)這稱為Poisson方程。第3頁(yè)/共47頁(yè)4對(duì)于單個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：對(duì)于多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：對(duì)于電荷52.靜電勢(shì)滿足的邊值關(guān)系設(shè)P1和P2為介質(zhì)界面兩側(cè)鄰近兩點(diǎn)由于電場(chǎng)有限，兩點(diǎn)的距離趨于零這一關(guān)系與等價(jià)

在介質(zhì)分界面處選擇四個(gè)點(diǎn)，P1與P2鄰近，P1′與P2′鄰近。P1到P1‘的距離△l足夠小，故Dl取向具有任意性，故在界面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量相等。解釋：第4頁(yè)/共47頁(yè)52.靜電勢(shì)滿足的邊值關(guān)系設(shè)P1和P2為介質(zhì)界面兩側(cè)鄰6j為導(dǎo)體外表面附近的電勢(shì)，法向由導(dǎo)體內(nèi)指向?qū)w外對(duì)于導(dǎo)體電勢(shì)的另一邊值關(guān)系由電場(chǎng)法向分量邊值關(guān)系得到，第5頁(yè)/共47頁(yè)6j為導(dǎo)體外表面附近的電勢(shì)，法向由導(dǎo)體內(nèi)指向?qū)w外對(duì)于導(dǎo)7線性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量上式還可以表為四、靜電場(chǎng)能量第6頁(yè)/共47頁(yè)7線性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量上式還可以表為四、靜電場(chǎng)能量第8

不應(yīng)視為電場(chǎng)的能量密度。對(duì)于靜電場(chǎng)，也不能認(rèn)為電場(chǎng)能量只是存儲(chǔ)于電荷分布的空間，更不能認(rèn)為存儲(chǔ)于電荷；只是對(duì)于靜電場(chǎng)，能量才可表為這表明電場(chǎng)能量與電荷分布有關(guān)。對(duì)于隨時(shí)間變化的電場(chǎng)，磁場(chǎng)亦要激發(fā)電場(chǎng)，電場(chǎng)總能量不能完全通過電荷分布來(lái)表示。討論：第7頁(yè)/共47頁(yè)8不應(yīng)視為電場(chǎng)的能量密度。討論：第7頁(yè)/9設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢(shì)為零均勻電場(chǎng)不衰減，不宜選無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)點(diǎn)。

導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶有電荷為t,

在P點(diǎn)的電勢(shì)為解：解：Ex.2均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電勢(shì)。Ex.1均勻電場(chǎng)的電勢(shì)。第8頁(yè)/共47頁(yè)9設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢(shì)為零均勻電場(chǎng)不衰減，不宜選無(wú)窮遠(yuǎn)處為零10積分結(jié)果是發(fā)散的。這是由于電勢(shì)零點(diǎn)（無(wú)窮遠(yuǎn)處）選擇不當(dāng)造成（電荷分布至無(wú)窮遠(yuǎn)），重新選擇在面上距離導(dǎo)線R0的P0點(diǎn)為零點(diǎn)，僅考慮-M到M的有限導(dǎo)線，第9頁(yè)/共47頁(yè)10積分結(jié)果是發(fā)散的。這是由于電勢(shì)零點(diǎn)（無(wú)窮遠(yuǎn)處）選擇不當(dāng)造11對(duì)于無(wú)窮長(zhǎng)的導(dǎo)線（利用了洛比達(dá)法則）設(shè)P0點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)由高斯定理可得相同結(jié)論。第10頁(yè)/共47頁(yè)11對(duì)于無(wú)窮長(zhǎng)的導(dǎo)線（利用了洛比達(dá)法則）設(shè)P0點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)由12靜電學(xué)的基本問題：求滿足邊界條件的泊松方程的解。

在什么樣的邊界條件下，電場(chǎng)是唯一的？考察系統(tǒng)：含有介質(zhì)空間V可分為若干個(gè)均勻區(qū)域Vi，其中區(qū)域Vi

內(nèi)充滿電容率為ei的均勻介質(zhì)。

唯一性定理：給定區(qū)域內(nèi)自由電荷分布，且給定邊界面上或者，則區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)唯一確定?！?唯一性定理問題：討論：1）在數(shù)學(xué)上矢量場(chǎng)的唯一性定理：一個(gè)矢量場(chǎng)被它的散度、旋度和邊值條件唯一確定。2）上述條件決定的靜電勢(shì)可以相差一個(gè)常數(shù)，它們對(duì)應(yīng)同一個(gè)電場(chǎng)。一、絕緣介質(zhì)情形的唯一性定理第11頁(yè)/共47頁(yè)12靜電學(xué)的基本問題：求滿足邊界條件的泊松方程的解。在什么13(反證法)

假設(shè)存在兩個(gè)不同的解滿足方程和邊界條件。令，在每個(gè)均勻分區(qū)內(nèi)有在兩均勻介質(zhì)分區(qū)的分界面上證明：第12頁(yè)/共47頁(yè)13(反證法)

假設(shè)存在兩個(gè)不同的解滿足方程和邊界條件。14對(duì)第i個(gè)均勻介質(zhì)分區(qū)，運(yùn)用高斯定理，有對(duì)于上式左端積分，在分界面兩邊，有所以，在內(nèi)部分界面上的積分為0，

第一種情形：給定外表面上電勢(shì)

上式左端積分為零。

第二種情形：給定外表面處法向微商

上式左端積分也為零。第13頁(yè)/共47頁(yè)14對(duì)第i個(gè)均勻介質(zhì)分區(qū)，運(yùn)用高斯定理，有對(duì)于上式左端積15電勢(shì)附加常量對(duì)電場(chǎng)無(wú)影響，所以電場(chǎng)是唯一確定的。

第一類：給定導(dǎo)體表面上的

第二類：給定導(dǎo)體上的電荷

對(duì)于第一類邊界條件，只要把導(dǎo)體存在的空間扣除，即可證明電場(chǎng)被唯一確定。

對(duì)于第二類邊界條件，在導(dǎo)體外，電荷分布給定，大區(qū)域表面上電勢(shì)或電勢(shì)的法向?qū)?shù)給定；每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷給定。

二、有導(dǎo)體存在情形的唯一性定理1.兩類邊界條件第14頁(yè)/共47頁(yè)15電勢(shì)附加常量對(duì)電場(chǎng)無(wú)影響，所以電場(chǎng)是唯一確定的。第一16對(duì)于第i個(gè)導(dǎo)體，選擇包裹該導(dǎo)體的封閉曲面為高斯面，法線方向由導(dǎo)體內(nèi)指向外。（反證法）設(shè)有兩個(gè)不同電勢(shì)均滿足Poisson方程，令對(duì)于每個(gè)導(dǎo)體證明：第15頁(yè)/共47頁(yè)16對(duì)于第i個(gè)導(dǎo)體，選擇包裹該導(dǎo)體的封閉曲面為高斯面，法線方17對(duì)于扣除導(dǎo)體的空間體積

導(dǎo)體表面電勢(shì)是常數(shù)，

（不能寫為零）在區(qū)域外表面，

。所以，

電場(chǎng)唯一確定。

可以猜想，電場(chǎng)強(qiáng)度

這樣的電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的電勢(shì)滿足Poisson方程。這樣的解在介質(zhì)分界面處滿足邊值關(guān)系：電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)，電位移矢量法向分量連續(xù)；導(dǎo)體表面是等勢(shì)面。Ex.第16頁(yè)/共47頁(yè)17對(duì)于扣除導(dǎo)體的空間體積導(dǎo)體表面電勢(shì)是常數(shù)，（不能寫為18只要滿足導(dǎo)體球上帶電量為Q的條件，由唯一性定理，猜想的電場(chǎng)就是要求的解。作一包裹導(dǎo)體球的Gauss面，第17頁(yè)/共47頁(yè)18只要滿足導(dǎo)體球上帶電量為Q的條件，由唯一性定理，猜想的19如果在考察的空間內(nèi)沒有電荷分布，電勢(shì)滿足Laplase方程它可以用分離變量法求解。在球坐標(biāo)下

其解為

為締合勒讓德（Legendre）函數(shù)。靜電場(chǎng)問題變?yōu)楦鶕?jù)邊值關(guān)系確定式中待定系數(shù)的問題。

§3拉普拉斯方程分離變量法第18頁(yè)/共47頁(yè)19如果在考察的空間內(nèi)沒有電荷分布，電勢(shì)滿足Laplase方20軸對(duì)稱情形：

為L(zhǎng)egendre函數(shù)。

第19頁(yè)/共47頁(yè)20軸對(duì)稱情形：為L(zhǎng)egendre函數(shù)。第19頁(yè)/共4721

由于系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以電勢(shì)應(yīng)該與q

無(wú)關(guān)，有n=0內(nèi)部導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體殼是個(gè)等勢(shì)體，選擇包含球殼的面為高斯面（有兩個(gè)球面）Ex.1接地導(dǎo)體球與帶電導(dǎo)體球殼第20頁(yè)/共47頁(yè)21由于系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以電勢(shì)應(yīng)該與q無(wú)關(guān)，有22無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，現(xiàn)求解導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷，選擇包裹導(dǎo)體球的球面為高斯面，第21頁(yè)/共47頁(yè)22無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，現(xiàn)求解導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷，選擇包裹導(dǎo)體球23

極化電荷是有限的，對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處的電場(chǎng)無(wú)影響。所以，在無(wú)窮遠(yuǎn)處

Ex.2均勻外電場(chǎng)中的介質(zhì)球。

在坐標(biāo)原點(diǎn)，電勢(shì)應(yīng)有限，第22頁(yè)/共47頁(yè)23極化電荷是有限的，對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處的Ex.2均勻外電場(chǎng)24

在介質(zhì)球表面處，電勢(shì)滿足

勒讓德函數(shù)是相互正交獨(dú)立的函數(shù)，所以對(duì)于不同的n值，它們的系數(shù)應(yīng)該相等。

比較P1的系數(shù)，

第23頁(yè)/共47頁(yè)24在介質(zhì)球表面處，電勢(shì)滿足勒讓德函數(shù)是相互正交獨(dú)立的函25比較Pn(n不為1)的系數(shù)，所以第24頁(yè)/共47頁(yè)25比較Pn(n不為1)的系數(shù)，所以第24頁(yè)/共47頁(yè)261）球內(nèi)電場(chǎng)如右圖所示，

球內(nèi)電場(chǎng)比原電場(chǎng)弱。

討論：第25頁(yè)/共47頁(yè)261）球內(nèi)電場(chǎng)如右圖所示，球內(nèi)電場(chǎng)比原電場(chǎng)弱。討論：272）介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度

介質(zhì)球的總電偶極矩

電偶極矩激發(fā)電場(chǎng)的電勢(shì)

這正好是球外電勢(shì)中的第二項(xiàng)。

實(shí)際運(yùn)用：靜電選礦

礦石粉碎為小顆粒，每個(gè)顆粒電偶極矩在外場(chǎng)中，電偶極子所受力為

電偶極矩與電容率有關(guān)，不同礦物質(zhì)所受外電場(chǎng)的作用力不同，可以根據(jù)這一原理挑選出不同的礦物質(zhì)。第26頁(yè)/共47頁(yè)272）介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度介質(zhì)球的總電偶極矩電偶極矩激發(fā)28

無(wú)窮大尖劈具有平移不變性，根據(jù)幾何特征，選柱坐標(biāo)是方便的。在尖劈以外

由于電勢(shì)與Z無(wú)關(guān)，

設(shè)當(dāng)n=0時(shí)，當(dāng)n不為零時(shí)，Ex.4導(dǎo)體劈尖。第27頁(yè)/共47頁(yè)28無(wú)窮大尖劈具有平移不變性，根據(jù)幾何特征，選柱坐標(biāo)是方29現(xiàn)利用邊界條件求待定系數(shù)：1）在q=0表面，電勢(shì)為常數(shù)且與r無(wú)關(guān)，2）當(dāng)r趨于零時(shí)，電勢(shì)有限

所以，電勢(shì)為

3）在q=2p-a表面，電勢(shì)亦為常數(shù)，且與r無(wú)關(guān)，

要唯一確定電場(chǎng)，還需要另外的邊界條件。

第28頁(yè)/共47頁(yè)29現(xiàn)利用邊界條件求待定系數(shù)：2）當(dāng)r趨于零時(shí)，電勢(shì)有限30利用電場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系，若a很小，。對(duì)于尖劈的兩個(gè)表面，均有可見電荷在尖角附近分布很密集，尖角附近存在很強(qiáng)的電場(chǎng)。在尖角附近（r趨于零）

。注意到柱坐標(biāo)下

討論：第29頁(yè)/共47頁(yè)30利用電場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系，若a很小，。對(duì)于尖劈的兩個(gè)表面31

在有的情況下，可以用“假想”的點(diǎn)電荷去“等效”替代感應(yīng)電荷（或束縛電荷），這種方法就是鏡像法。用鏡像法求解電場(chǎng)，應(yīng)遵循的原則：

在考察空間（無(wú)自由電荷分布），電勢(shì)滿足Laplace方程；電勢(shì)在邊界面滿足邊界條件。用鏡像法求解電場(chǎng)的理論根據(jù)是唯一性定理?？疾炜臻g：導(dǎo)體板上部空間（導(dǎo)體板接地，所以電場(chǎng)僅存在于導(dǎo)體板上部空間。

鏡像電荷：用等效電荷代替導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。且分布在對(duì)稱位置。

在導(dǎo)體板上部空間，電勢(shì)為

§4鏡象法Ex.1求導(dǎo)體板上部空間中的電場(chǎng)。第30頁(yè)/共47頁(yè)31在有的情況下，可以用“假想”的點(diǎn)電荷去“等效”替32考察空間：導(dǎo)體球外部空間。鏡像電荷：用位于對(duì)稱軸上的等效代替導(dǎo)體球面上的感應(yīng)電荷。

球面上任意點(diǎn)P的電勢(shì)

鏡像電荷不應(yīng)隨P變化，。若鏡像位置滿足由三角形相似，Ex.2接地導(dǎo)體球外空間的電場(chǎng)。第31頁(yè)/共47頁(yè)32考察空間：導(dǎo)體球外部空間。球面上任意點(diǎn)P的電勢(shì)鏡像電33導(dǎo)體球外部空間的電勢(shì)為

討論：取包裹導(dǎo)體球的球面為Gauss面。對(duì)原系統(tǒng)，面內(nèi)包含全部感應(yīng)電荷；對(duì)等效系統(tǒng)，高斯面上電場(chǎng)與原系統(tǒng)一致。所以感應(yīng)電荷的總電量就是鏡像電荷。因?yàn)閨Q'|<Q，僅有部分電力線終止于球表面，另外的電力線終止于無(wú)窮遠(yuǎn)。第32頁(yè)/共47頁(yè)33導(dǎo)體球外部空間的電勢(shì)為討論：取包裹導(dǎo)體球的球面為Ga34從導(dǎo)體球發(fā)出的總電通量為

在上題的系統(tǒng)中，在球心處再放一鏡像電荷Q''（等效系統(tǒng)由Q、Q'、Q''組成），球面上仍是等勢(shì)面。由電通量條件，

電荷Q所受作用力為

Q'和Q"對(duì)它的作用力。

Ex.3導(dǎo)體球外空間的電場(chǎng)。第33頁(yè)/共47頁(yè)34從導(dǎo)體球發(fā)出的總電通量為在上題的系統(tǒng)中，在球心處再放一35函數(shù)展開:展開適用條件:對(duì)于小區(qū)域分布的電荷系統(tǒng)，，展開電勢(shì)§6電多極矩一、電勢(shì)的展開第34頁(yè)/共47頁(yè)35函數(shù)展開:展開適用條件:對(duì)于小區(qū)域分布的電荷系統(tǒng)，，展開36令電偶極矩電四極矩

對(duì)于多點(diǎn)電荷系統(tǒng)，電偶極矩

對(duì)于電荷連續(xù)分布帶電體，電偶極矩

電四極矩可用張量（并矢）表示

兩個(gè)三維矢量可以構(gòu)成并矢說明：關(guān)于并矢：第35頁(yè)/共47頁(yè)36令電偶極矩電四極矩對(duì)于多點(diǎn)電荷系統(tǒng)，電偶極矩對(duì)37它有9個(gè)分量，可以用3×3矩陣表示

另一個(gè)并矢

并矢的標(biāo)積：。對(duì)于各個(gè)分量都要計(jì)算。

第36頁(yè)/共47頁(yè)37它有9個(gè)分量，可以用3×3矩陣表示另一個(gè)并矢并矢的標(biāo)38電勢(shì)展開:

電勢(shì)展開式第一項(xiàng)

為點(diǎn)電荷激發(fā)的電勢(shì)。

電勢(shì)展開式第二項(xiàng)二、電多極矩及其電勢(shì)第37頁(yè)/共47頁(yè)38電勢(shì)展開:電勢(shì)展開式第一項(xiàng)為點(diǎn)電荷激發(fā)的電勢(shì)。39

考察右圖所示電偶極子在遠(yuǎn)區(qū)（R>>l）激發(fā)的電勢(shì)第38頁(yè)/共47頁(yè)39考察右圖所示電偶極子在遠(yuǎn)區(qū)（R>>l）激發(fā)的電40可見電勢(shì)展開式第二項(xiàng)是電偶極子激發(fā)的電勢(shì)。

電勢(shì)展開式第三項(xiàng)

是電四極矩產(chǎn)生的電勢(shì)。

可見：電勢(shì)=點(diǎn)電荷激發(fā)電勢(shì)＋電偶極矩激發(fā)電勢(shì)＋電四極矩激發(fā)電勢(shì)＋…。

右圖所示系統(tǒng)總電荷為零，電偶極矩也為零，只有電四極矩（的某些分量）不為零。這樣的系統(tǒng)的電勢(shì)只有電四極矩（非零分量）激發(fā)的電勢(shì)。三、幾種具有電四極矩的簡(jiǎn)單系統(tǒng)第39頁(yè)/共47頁(yè)40可見電勢(shì)展開式第二項(xiàng)是電偶極子激發(fā)的電勢(shì)。電勢(shì)展開式41以第三個(gè)系統(tǒng)為例，正、負(fù)點(diǎn)電荷距離原點(diǎn)分別為b

和

a

單個(gè)電偶極子激發(fā)的電勢(shì)雙電偶極子激發(fā)的電勢(shì)。作展開

第40頁(yè)/共47頁(yè)41以第三個(gè)系統(tǒng)為例，正、負(fù)點(diǎn)電荷距離原點(diǎn)分別為b和a42電勢(shì)展開式第三項(xiàng)

這就是電四極矩激發(fā)的電勢(shì)。

四、關(guān)于電四極矩1.電四極矩的重新定義第41頁(yè)/共47頁(yè)42電勢(shì)展開式第三項(xiàng)這就是電四極矩激發(fā)的電勢(shì)。四、關(guān)于電43引入Kronecker符號(hào)重新定義電四極矩張量或表為

與前面定義的電四極矩張量相比，對(duì)角線上元素不同，但非對(duì)角線上元素是相同的。電四極矩的性質(zhì)：1）2）電四極矩的9個(gè)分量中只有6個(gè)是獨(dú)立的。

第42頁(yè)/共47頁(yè)43引入Kronecker符號(hào)重新定義電四極矩張量或表為44對(duì)于非對(duì)角項(xiàng)作變換，可知球?qū)ΨQ電荷分布系統(tǒng)也沒有電偶極矩，沒有更高階極矩。

電四極矩反映了電荷分布對(duì)球?qū)ΨQ的偏離。（應(yīng)用：核物理中，可通過測(cè)量遠(yuǎn)場(chǎng)電四極矩項(xiàng)推算原子核形變。）Ex.球?qū)ΨQ電荷分布系統(tǒng)。Ex.在z軸方向拉長(zhǎng)的橢球（電荷分布均勻）。第43頁(yè)/共47頁(yè)44對(duì)于非對(duì)角項(xiàng)作變換，可知球?qū)ΨQ電荷分布系統(tǒng)也沒有電偶極矩45

旋轉(zhuǎn)橢球體，其半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，橢球方程為橢球體積為電荷密度為由令同樣可得第44頁(yè)/共47頁(yè)45旋轉(zhuǎn)橢球體，其半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，橢球方程46在遠(yuǎn)處的總電勢(shì)小區(qū)域電荷系統(tǒng)與外界的相互作用能,

五、電荷體系在外場(chǎng)中的能量第45頁(yè)/共47頁(yè)46在遠(yuǎn)處的總電勢(shì)小區(qū)域電荷系統(tǒng)與外界的相互作用能,五、電471）展開式中三項(xiàng)分別是點(diǎn)電荷、電偶極子、電四極子在外場(chǎng)中的能量。2）電四極子只有在非均勻外場(chǎng)中才有不為零的相互作用能。3）關(guān)于電偶極子偶極子在外場(chǎng)中所受力利用公式

電偶極子在外場(chǎng)中所受力矩:設(shè)偶極矩和外場(chǎng)夾角為q一般地，第46頁(yè)/共47頁(yè)471）展開式中三項(xiàng)分別是點(diǎn)電荷、電偶極子、電四極子在外場(chǎng)中48感謝您的觀看！第47頁(yè)/共47頁(yè)48感謝您的觀看！第47頁(yè)/共47頁(yè)靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程4950§1靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)對(duì)于靜電場(chǎng)引入標(biāo)勢(shì)（標(biāo)量函數(shù)）第1頁(yè)/共47頁(yè)2§1靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)對(duì)于靜電51

靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的積分與路徑無(wú)關(guān)，只取決于初末位置。標(biāo)勢(shì)就是電磁學(xué)中的靜電勢(shì)。

某點(diǎn)電勢(shì)值與參照點(diǎn)的選擇有關(guān)，常選無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為0，P點(diǎn)的電勢(shì)為對(duì)于空間中兩點(diǎn)第2頁(yè)/共47頁(yè)3靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的積分與路徑無(wú)關(guān)，只取決于初末位置。52

對(duì)于單個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：

對(duì)于多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：

對(duì)于電荷連續(xù)分布的帶電體：二、靜電勢(shì)的計(jì)算三、靜電勢(shì)滿足的微分方程及邊值關(guān)系1.靜電勢(shì)滿足的微分方程對(duì)線性均勻介質(zhì)這稱為Poisson方程。第3頁(yè)/共47頁(yè)4對(duì)于單個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：對(duì)于多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：對(duì)于電荷532.靜電勢(shì)滿足的邊值關(guān)系設(shè)P1和P2為介質(zhì)界面兩側(cè)鄰近兩點(diǎn)由于電場(chǎng)有限，兩點(diǎn)的距離趨于零這一關(guān)系與等價(jià)

在介質(zhì)分界面處選擇四個(gè)點(diǎn)，P1與P2鄰近，P1′與P2′鄰近。P1到P1‘的距離△l足夠小，故Dl取向具有任意性，故在界面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量相等。解釋：第4頁(yè)/共47頁(yè)52.靜電勢(shì)滿足的邊值關(guān)系設(shè)P1和P2為介質(zhì)界面兩側(cè)鄰54j為導(dǎo)體外表面附近的電勢(shì)，法向由導(dǎo)體內(nèi)指向?qū)w外對(duì)于導(dǎo)體電勢(shì)的另一邊值關(guān)系由電場(chǎng)法向分量邊值關(guān)系得到，第5頁(yè)/共47頁(yè)6j為導(dǎo)體外表面附近的電勢(shì)，法向由導(dǎo)體內(nèi)指向?qū)w外對(duì)于導(dǎo)55線性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量上式還可以表為四、靜電場(chǎng)能量第6頁(yè)/共47頁(yè)7線性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量上式還可以表為四、靜電場(chǎng)能量第56

不應(yīng)視為電場(chǎng)的能量密度。對(duì)于靜電場(chǎng)，也不能認(rèn)為電場(chǎng)能量只是存儲(chǔ)于電荷分布的空間，更不能認(rèn)為存儲(chǔ)于電荷；只是對(duì)于靜電場(chǎng)，能量才可表為這表明電場(chǎng)能量與電荷分布有關(guān)。對(duì)于隨時(shí)間變化的電場(chǎng)，磁場(chǎng)亦要激發(fā)電場(chǎng)，電場(chǎng)總能量不能完全通過電荷分布來(lái)表示。討論：第7頁(yè)/共47頁(yè)8不應(yīng)視為電場(chǎng)的能量密度。討論：第7頁(yè)/57設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢(shì)為零均勻電場(chǎng)不衰減，不宜選無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)點(diǎn)。

導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶有電荷為t,

在P點(diǎn)的電勢(shì)為解：解：Ex.2均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電勢(shì)。Ex.1均勻電場(chǎng)的電勢(shì)。第8頁(yè)/共47頁(yè)9設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢(shì)為零均勻電場(chǎng)不衰減，不宜選無(wú)窮遠(yuǎn)處為零58積分結(jié)果是發(fā)散的。這是由于電勢(shì)零點(diǎn)（無(wú)窮遠(yuǎn)處）選擇不當(dāng)造成（電荷分布至無(wú)窮遠(yuǎn)），重新選擇在面上距離導(dǎo)線R0的P0點(diǎn)為零點(diǎn)，僅考慮-M到M的有限導(dǎo)線，第9頁(yè)/共47頁(yè)10積分結(jié)果是發(fā)散的。這是由于電勢(shì)零點(diǎn)（無(wú)窮遠(yuǎn)處）選擇不當(dāng)造59對(duì)于無(wú)窮長(zhǎng)的導(dǎo)線（利用了洛比達(dá)法則）設(shè)P0點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)由高斯定理可得相同結(jié)論。第10頁(yè)/共47頁(yè)11對(duì)于無(wú)窮長(zhǎng)的導(dǎo)線（利用了洛比達(dá)法則）設(shè)P0點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)由60靜電學(xué)的基本問題：求滿足邊界條件的泊松方程的解。

在什么樣的邊界條件下，電場(chǎng)是唯一的？考察系統(tǒng)：含有介質(zhì)空間V可分為若干個(gè)均勻區(qū)域Vi，其中區(qū)域Vi

內(nèi)充滿電容率為ei的均勻介質(zhì)。

唯一性定理：給定區(qū)域內(nèi)自由電荷分布，且給定邊界面上或者，則區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)唯一確定?！?唯一性定理問題：討論：1）在數(shù)學(xué)上矢量場(chǎng)的唯一性定理：一個(gè)矢量場(chǎng)被它的散度、旋度和邊值條件唯一確定。2）上述條件決定的靜電勢(shì)可以相差一個(gè)常數(shù)，它們對(duì)應(yīng)同一個(gè)電場(chǎng)。一、絕緣介質(zhì)情形的唯一性定理第11頁(yè)/共47頁(yè)12靜電學(xué)的基本問題：求滿足邊界條件的泊松方程的解。在什么61(反證法)

假設(shè)存在兩個(gè)不同的解滿足方程和邊界條件。令，在每個(gè)均勻分區(qū)內(nèi)有在兩均勻介質(zhì)分區(qū)的分界面上證明：第12頁(yè)/共47頁(yè)13(反證法)

假設(shè)存在兩個(gè)不同的解滿足方程和邊界條件。62對(duì)第i個(gè)均勻介質(zhì)分區(qū)，運(yùn)用高斯定理，有對(duì)于上式左端積分，在分界面兩邊，有所以，在內(nèi)部分界面上的積分為0，

第一種情形：給定外表面上電勢(shì)

上式左端積分為零。

第二種情形：給定外表面處法向微商

上式左端積分也為零。第13頁(yè)/共47頁(yè)14對(duì)第i個(gè)均勻介質(zhì)分區(qū)，運(yùn)用高斯定理，有對(duì)于上式左端積63電勢(shì)附加常量對(duì)電場(chǎng)無(wú)影響，所以電場(chǎng)是唯一確定的。

第一類：給定導(dǎo)體表面上的

第二類：給定導(dǎo)體上的電荷

對(duì)于第一類邊界條件，只要把導(dǎo)體存在的空間扣除，即可證明電場(chǎng)被唯一確定。

對(duì)于第二類邊界條件，在導(dǎo)體外，電荷分布給定，大區(qū)域表面上電勢(shì)或電勢(shì)的法向?qū)?shù)給定；每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷給定。

二、有導(dǎo)體存在情形的唯一性定理1.兩類邊界條件第14頁(yè)/共47頁(yè)15電勢(shì)附加常量對(duì)電場(chǎng)無(wú)影響，所以電場(chǎng)是唯一確定的。第一64對(duì)于第i個(gè)導(dǎo)體，選擇包裹該導(dǎo)體的封閉曲面為高斯面，法線方向由導(dǎo)體內(nèi)指向外。（反證法）設(shè)有兩個(gè)不同電勢(shì)均滿足Poisson方程，令對(duì)于每個(gè)導(dǎo)體證明：第15頁(yè)/共47頁(yè)16對(duì)于第i個(gè)導(dǎo)體，選擇包裹該導(dǎo)體的封閉曲面為高斯面，法線方65對(duì)于扣除導(dǎo)體的空間體積

導(dǎo)體表面電勢(shì)是常數(shù)，

（不能寫為零）在區(qū)域外表面，

。所以，

電場(chǎng)唯一確定。

可以猜想，電場(chǎng)強(qiáng)度

這樣的電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的電勢(shì)滿足Poisson方程。這樣的解在介質(zhì)分界面處滿足邊值關(guān)系：電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)，電位移矢量法向分量連續(xù)；導(dǎo)體表面是等勢(shì)面。Ex.第16頁(yè)/共47頁(yè)17對(duì)于扣除導(dǎo)體的空間體積導(dǎo)體表面電勢(shì)是常數(shù)，（不能寫為66只要滿足導(dǎo)體球上帶電量為Q的條件，由唯一性定理，猜想的電場(chǎng)就是要求的解。作一包裹導(dǎo)體球的Gauss面，第17頁(yè)/共47頁(yè)18只要滿足導(dǎo)體球上帶電量為Q的條件，由唯一性定理，猜想的67如果在考察的空間內(nèi)沒有電荷分布，電勢(shì)滿足Laplase方程它可以用分離變量法求解。在球坐標(biāo)下

其解為

為締合勒讓德（Legendre）函數(shù)。靜電場(chǎng)問題變?yōu)楦鶕?jù)邊值關(guān)系確定式中待定系數(shù)的問題。

§3拉普拉斯方程分離變量法第18頁(yè)/共47頁(yè)19如果在考察的空間內(nèi)沒有電荷分布，電勢(shì)滿足Laplase方68軸對(duì)稱情形：

為L(zhǎng)egendre函數(shù)。

第19頁(yè)/共47頁(yè)20軸對(duì)稱情形：為L(zhǎng)egendre函數(shù)。第19頁(yè)/共4769

由于系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以電勢(shì)應(yīng)該與q

無(wú)關(guān)，有n=0內(nèi)部導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體殼是個(gè)等勢(shì)體，選擇包含球殼的面為高斯面（有兩個(gè)球面）Ex.1接地導(dǎo)體球與帶電導(dǎo)體球殼第20頁(yè)/共47頁(yè)21由于系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以電勢(shì)應(yīng)該與q無(wú)關(guān)，有70無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，現(xiàn)求解導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷，選擇包裹導(dǎo)體球的球面為高斯面，第21頁(yè)/共47頁(yè)22無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，現(xiàn)求解導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷，選擇包裹導(dǎo)體球71

極化電荷是有限的，對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處的電場(chǎng)無(wú)影響。所以，在無(wú)窮遠(yuǎn)處

Ex.2均勻外電場(chǎng)中的介質(zhì)球。

在坐標(biāo)原點(diǎn)，電勢(shì)應(yīng)有限，第22頁(yè)/共47頁(yè)23極化電荷是有限的，對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處的Ex.2均勻外電場(chǎng)72

在介質(zhì)球表面處，電勢(shì)滿足

勒讓德函數(shù)是相互正交獨(dú)立的函數(shù)，所以對(duì)于不同的n值，它們的系數(shù)應(yīng)該相等。

比較P1的系數(shù)，

第23頁(yè)/共47頁(yè)24在介質(zhì)球表面處，電勢(shì)滿足勒讓德函數(shù)是相互正交獨(dú)立的函73比較Pn(n不為1)的系數(shù)，所以第24頁(yè)/共47頁(yè)25比較Pn(n不為1)的系數(shù)，所以第24頁(yè)/共47頁(yè)741）球內(nèi)電場(chǎng)如右圖所示，

球內(nèi)電場(chǎng)比原電場(chǎng)弱。

討論：第25頁(yè)/共47頁(yè)261）球內(nèi)電場(chǎng)如右圖所示，球內(nèi)電場(chǎng)比原電場(chǎng)弱。討論：752）介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度

介質(zhì)球的總電偶極矩

電偶極矩激發(fā)電場(chǎng)的電勢(shì)

這正好是球外電勢(shì)中的第二項(xiàng)。

實(shí)際運(yùn)用：靜電選礦

礦石粉碎為小顆粒，每個(gè)顆粒電偶極矩在外場(chǎng)中，電偶極子所受力為

電偶極矩與電容率有關(guān)，不同礦物質(zhì)所受外電場(chǎng)的作用力不同，可以根據(jù)這一原理挑選出不同的礦物質(zhì)。第26頁(yè)/共47頁(yè)272）介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度介質(zhì)球的總電偶極矩電偶極矩激發(fā)76

無(wú)窮大尖劈具有平移不變性，根據(jù)幾何特征，選柱坐標(biāo)是方便的。在尖劈以外

由于電勢(shì)與Z無(wú)關(guān)，

設(shè)當(dāng)n=0時(shí)，當(dāng)n不為零時(shí)，Ex.4導(dǎo)體劈尖。第27頁(yè)/共47頁(yè)28無(wú)窮大尖劈具有平移不變性，根據(jù)幾何特征，選柱坐標(biāo)是方77現(xiàn)利用邊界條件求待定系數(shù)：1）在q=0表面，電勢(shì)為常數(shù)且與r無(wú)關(guān)，2）當(dāng)r趨于零時(shí)，電勢(shì)有限

所以，電勢(shì)為

3）在q=2p-a表面，電勢(shì)亦為常數(shù)，且與r無(wú)關(guān)，

要唯一確定電場(chǎng)，還需要另外的邊界條件。

第28頁(yè)/共47頁(yè)29現(xiàn)利用邊界條件求待定系數(shù)：2）當(dāng)r趨于零時(shí)，電勢(shì)有限78利用電場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系，若a很小，。對(duì)于尖劈的兩個(gè)表面，均有可見電荷在尖角附近分布很密集，尖角附近存在很強(qiáng)的電場(chǎng)。在尖角附近（r趨于零）

。注意到柱坐標(biāo)下

討論：第29頁(yè)/共47頁(yè)30利用電場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系，若a很小，。對(duì)于尖劈的兩個(gè)表面79

在有的情況下，可以用“假想”的點(diǎn)電荷去“等效”替代感應(yīng)電荷（或束縛電荷），這種方法就是鏡像法。用鏡像法求解電場(chǎng)，應(yīng)遵循的原則：

在考察空間（無(wú)自由電荷分布），電勢(shì)滿足Laplace方程；電勢(shì)在邊界面滿足邊界條件。用鏡像法求解電場(chǎng)的理論根據(jù)是唯一性定理?？疾炜臻g：導(dǎo)體板上部空間（導(dǎo)體板接地，所以電場(chǎng)僅存在于導(dǎo)體板上部空間。

鏡像電荷：用等效電荷代替導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。且分布在對(duì)稱位置。

在導(dǎo)體板上部空間，電勢(shì)為

§4鏡象法Ex.1求導(dǎo)體板上部空間中的電場(chǎng)。第30頁(yè)/共47頁(yè)31在有的情況下，可以用“假想”的點(diǎn)電荷去“等效”替80考察空間：導(dǎo)體球外部空間。鏡像電荷：用位于對(duì)稱軸上的等效代替導(dǎo)體球面上的感應(yīng)電荷。

球面上任意點(diǎn)P的電勢(shì)

鏡像電荷不應(yīng)隨P變化，。若鏡像位置滿足由三角形相似，Ex.2接地導(dǎo)體球外空間的電場(chǎng)。第31頁(yè)/共47頁(yè)32考察空間：導(dǎo)體球外部空間。球面上任意點(diǎn)P的電勢(shì)鏡像電81導(dǎo)體球外部空間的電勢(shì)為

討論：取包裹導(dǎo)體球的球面為Gauss面。對(duì)原系統(tǒng)，面內(nèi)包含全部感應(yīng)電荷；對(duì)等效系統(tǒng)，高斯面上電場(chǎng)與原系統(tǒng)一致。所以感應(yīng)電荷的總電量就是鏡像電荷。因?yàn)閨Q'|<Q，僅有部分電力線終止于球表面，另外的電力線終止于無(wú)窮遠(yuǎn)。第32頁(yè)/共47頁(yè)33導(dǎo)體球外部空間的電勢(shì)為討論：取包裹導(dǎo)體球的球面為Ga82從導(dǎo)體球發(fā)出的總電通量為

在上題的系統(tǒng)中，在球心處再放一鏡像電荷Q''（等效系統(tǒng)由Q、Q'、Q''組成），球面上仍是等勢(shì)面。由電通量條件，

電荷Q所受作用力為

Q'和Q"對(duì)它的作用力。

Ex.3導(dǎo)體球外空間的電場(chǎng)。第33頁(yè)/共47頁(yè)34從導(dǎo)體球發(fā)出的總電通量為在上題的系統(tǒng)中，在球心處再放一83函數(shù)展開:展開適用條件:對(duì)于小區(qū)域分布的電荷系統(tǒng)，，展開電勢(shì)§6電多極矩一、電勢(shì)的展開第34頁(yè)/共47頁(yè)35函數(shù)展開:展開適用條件:對(duì)于小區(qū)域分布的電荷系統(tǒng)，，展開84令電偶極矩電四極矩

對(duì)于多點(diǎn)電荷系統(tǒng)，電偶極矩

對(duì)于電荷連續(xù)分布帶電體，電偶極矩

電四極矩可用張量（并矢）表示

兩個(gè)三維矢量可以構(gòu)成并矢說明：關(guān)于并矢：第35頁(yè)/共47頁(yè)36令電偶極矩電四極矩對(duì)于多點(diǎn)電荷系統(tǒng)，電偶極矩對(duì)85它有9個(gè)分量，可以用3×3矩陣表示

另一個(gè)并矢

并矢的標(biāo)積：。對(duì)于各個(gè)分量都要計(jì)算。

第36頁(yè)/共47頁(yè)37它有9個(gè)分量，可以用3×3矩陣表示另一個(gè)并矢并矢的標(biāo)86電勢(shì)展開:

電勢(shì)展開式第一項(xiàng)