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文檔簡介
2023學年高考數(shù)學模擬測試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞),則"a=b"是"logA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.運行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為99,則判斷框中可以填()A. B. C. D.3.已知命題,那么為()A. B.C. D.4.棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,過正方體中兩條異面直線,的中點作直線,則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為()A. B. C. D.15.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.6.已知橢圓:的左,右焦點分別為,,過的直線交橢圓于,兩點,若,且的三邊長,,成等差數(shù)列,則的離心率為()A. B. C. D.7.在中,角所對的邊分別為,已知,.當變化時,若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù),則為A. B. C. D.9.我國著名數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”(注:如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個整數(shù)為素數(shù)),在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,則的概率是()A. B. C. D.10.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或11.已知雙曲線的左、右焦點分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M,若.則該雙曲線的離心率為A.2 B.3 C. D.12.已知,,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.過直線上一動點向圓引兩條切線MA,MB,切點為A,B,若,則四邊形MACB的最小面積的概率為________.14.某同學周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學習,拋一枚硬幣兩次,若兩次都是正面朝上,就在家學習,否則出去看電影,則該同學在家學習的概率為____________.15.如圖,橢圓:的離心率為,F(xiàn)是的右焦點,點P是上第一角限內(nèi)任意一點,,,若,則的取值范圍是_______.16.關(guān)于函數(shù)有下列四個命題:①函數(shù)在上是增函數(shù);②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱;③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線;④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.(寫出所有正確命題的序號)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點.(1)證明:平面;(2)設(shè)是直線上的動點,當點到平面距離最大時,求面與面所成二面角的正弦值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)當時,設(shè)的最小值為,若恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.19.(12分)已知數(shù)列的前n項和為,且n、、成等差數(shù)列,.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原順序組成數(shù)列,求的值.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當時,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式對任意實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在中,,是邊上一點,且,.(1)求的長;(2)若的面積為14,求的長.22.(10分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,若同時滿足下列四個條件中的三個:①;②;③;④.(1)滿足有解三角形的序號組合有哪些?(2)在(1)所有組合中任選一組,并求對應(yīng)的面積.(若所選條件出現(xiàn)多種可能,則按計算的第一種可能計分)
2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】
根據(jù)題意得到充分性,驗證a=2,b=1【題目詳解】a,b∈0,1∪1,+∞,當"a=b當logab=log故選:A.【答案點睛】本題考查了充分不必要條件,意在考查學生的計算能力和推斷能力.2、C【答案解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】運行該程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此時要輸出的值為99.此時.故選:C.【答案點睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,涉及判斷條件的選擇,屬基礎(chǔ)題.3、B【答案解析】
利用特稱命題的否定分析解答得解.【題目詳解】已知命題,,那么是.故選:.【答案點睛】本題主要考查特稱命題的否定,意在考查學生對該知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.4、C【答案解析】
連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,推導(dǎo)出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長.【題目詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.【答案點睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.5、B【答案解析】
利用復(fù)數(shù)乘法運算化簡,由此求得.【題目詳解】依題意,所以.故選:B【答案點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算,考查復(fù)數(shù)模的計算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【答案解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出,,,利用勾股定理列方程,結(jié)合橢圓的定義,求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式,化簡后求得離心率.【題目詳解】由已知,,成等差數(shù)列,設(shè),,.由于,據(jù)勾股定理有,即,化簡得;由橢圓定義知的周長為,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴離心率.故選:C【答案點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法,考查橢圓的定義,考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于中檔題.7、C【答案解析】
因為,,所以根據(jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因為存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正數(shù)的取值范圍為,故選C.8、C【答案解析】
利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出.【題目詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【答案點睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵,復(fù)數(shù)問題高考必考,常見考點有:點坐標和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,點的象限和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運算,復(fù)數(shù)的模長的計算.9、B【答案解析】
先列舉出不超過的素數(shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】不超過的素數(shù)有:、、、、、,在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【答案點睛】本題考查古典概型概率的計算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【答案解析】
因為,所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.11、D【答案解析】
本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點,然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度,的長度即點縱坐標,然后將點縱坐標帶入圓的方程即可得出點坐標,最后將點坐標帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?!绢}目詳解】根據(jù)題意可畫出以上圖像,過點作垂線并交于點,因為,在雙曲線上,所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知,,即,,因為圓的半徑為,是圓的半徑,所以,因為,,,,所以,三角形是直角三角形,因為,所以,,即點縱坐標為,將點縱坐標帶入圓的方程中可得,解得,,將點坐標帶入雙曲線中可得,化簡得,,,,故選D。【答案點睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了綜合性,提高了學生的邏輯思維能力,是難題。12、C【答案解析】
利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡可得,即可求得結(jié)果.【題目詳解】,所以,即.故選:C.【答案點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【答案解析】
先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為,求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率.【題目詳解】由圓的方程得,所以圓心為,半徑為,四邊形的面積,若四邊形的最小面積,所以的最小值為,而,即的最小值,此時最小為圓心到直線的距離,此時,因為,所以,所以的概率為.【答案點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.14、【答案解析】
采用列舉法計算古典概型的概率.【題目詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家學習只有1種情況,即(正,正),故該同學在家學習的概率為.故答案為:【答案點睛】本題考查古典概型的概率計算,考查學生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、【答案解析】
由于點在橢圓上運動時,與軸的正方向的夾角在變,所以先設(shè),又由,可知,從而可得,而點在橢圓上,所以將點的坐標代入橢圓方程中化簡可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè),,,則,由,得,代入橢圓方程,得,化簡得恒成立,由此得,即,故.故答案為:【答案點睛】此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個點的關(guān)系求離心率,綜合性強,屬于難題.16、①②③【答案解析】
由單調(diào)性、對稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進行判斷.【題目詳解】函數(shù)的定義域是,由于,在上遞增,∴函數(shù)在上是遞增,①正確;,∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱,②正確;,時取等號,∴③正確;,設(shè),則,顯然是即的極小值點,④錯誤.故答案為:①②③.【答案點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值,解題時按照相關(guān)概念判斷即可,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【答案解析】
(1)取中點,連接,根據(jù)菱形的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進行證明即可;(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可以確定點到直線的距離即為點到平面的距離,結(jié)合垂線段的性質(zhì)可以確定點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系.利用空間向量夾角公式,結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可.【題目詳解】(1)證明:取中點,連接,因為四邊形為菱形且.所以,因為,所以,又,所以平面,因為平面,所以.同理可證,因為,所以平面.(2)解:由(1)得平面,所以平面平面,平面平面.所以點到直線的距離即為點到平面的距離.過作的垂線段,在所有的垂線段中長度最大的為,此時必過的中點,因為為中點,所以此時,點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系.則所以平面的一個法向量為,設(shè)平面的法向量為,則即取,則,,所以,所以面與面所成二面角的正弦值為.【答案點睛】本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用,考查了二面角的向量求法,考查了推理論證能力和數(shù)學運算能力.18、(1)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【答案解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由于參數(shù)的范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響,對參數(shù)分類,再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)的結(jié)論,求出的表達式,由于恒成立,故求出的最大值,即得實數(shù)的取值范圍的左端點.【題目詳解】解:(1)解:,當時,,解得的增區(qū)間為,解得的減區(qū)間為.(2)解:若,由得,由得,所以函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;,因為,所以,,令,則恒成立,由于,當時,,故函數(shù)在上是減函數(shù),所以成立;當時,若則,故函數(shù)在上是增函數(shù),即對時,,與題意不符;綜上,為所求.【答案點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用,求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性,由最值的定義得出函數(shù)的最值,本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題,此類題運算量較大,轉(zhuǎn)化靈活,解題時極易因為變形與運算出錯,故做題時要認真仔細.19、(1)證明見解析,;(2)11202.【答案解析】
(1)由n,,成等差數(shù)列,可得,,兩式相減,由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列,可求數(shù)列的通項公式;(2)由(1)中的可求出,根據(jù)和求出數(shù)列,中的公共項,分組求和,結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式,可得答案.【題目詳解】(1)證明:因為n,,成等差數(shù)列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又當時,,所以,所以,故數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即.(2)根據(jù)(1)求解知,,,所以,所以數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.又因為,,,,,,,,,,,所以.【答案點睛】本題考查等比數(shù)列的定義,考查分組求和,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【答案解析】試題分析:(Ⅰ)分三種情況討論,分別求解不等式組,然后求并集即可得不等式的解集;(Ⅱ)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得,不等式對任意實數(shù)恒成立,等價于,解不等式即可求的取值范圍.試題解析:(Ⅰ)當時,即,①當時,得,所以;②當時,得,即,所以;③當時,得成立,所以.故不等式的解集為.(Ⅱ)因為,由題意得,則,解得,故
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