數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)診斷性檢測(cè)題

20/20成都市高2010屆畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）解析：四川省成都市新都一中肖宏第一卷一、選擇題（每小題5分，12個(gè)小題共計(jì)60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是題目要求的，將所選答案的編號(hào)涂在機(jī)讀卡相應(yīng)位置上）不等式的解集為（）

(A){x|－1≤x≤2} (B){x|－1＜x≤2} (C){x|－1≤x＜2} (D){x|－1＜x＜2}

解析：原不等式等價(jià)于，

解得－1＜x≤2

答案：B計(jì)算的結(jié)果是()

(A) (B)3 (C) (D)2

解析：因?yàn)?/p>

因此＝3

答案：B若復(fù)數(shù)z＝(m2－1)＋(m＋1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值等于()

(A)1 (B)0 (C)－1 (D)±1

解析：由題意m＝1答案：A已知向量a＝(－3,2),b＝(2,1),則|a＋2b|的值為()

(A)3 (B)7(C) (D)解析：因?yàn)閍＋2b＝(1,4)

故|a＋2b|＝

答案：C設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋2(－2≤x＜0)，其反函數(shù)為f－1(x)，則f－1(3)＝()

(A)－1 (B)1 (C)0或1 (D)1或－1

解析：令f(t)＝3，則t＝f－1(3)(－2≤t＜0)

有t2＋2＝3t＝±1

但－2≤t＜0，故t＝－1

答案：A計(jì)算cot15°－tan15的結(jié)果是()

(A)EQ\f(\r(3),2) (B)EQ\f(\r(6),2) (C)3 (D)2

解法一：cot15－tan15

＝cot(45－30)－tan(45－30)

＝

＝

＝(2＋)－(2－)

＝2

解法二：cot15－tan15

＝

＝

＝

答案：Dαmn設(shè)m、n為不重合的兩條直線，α、β為不重合的兩個(gè)平面，下列命題為真命題的是()

(A)假如m、n是異面直線，mα，nα，那么n∥α；

(B)假如m、n是異面直線，mα，nα，那么n與α相交；

(C)假如m、n共面，mα，n∥α，那么m∥n；

(D)假如mβ，m∥α，nα，n∥β，那么m∥n.

解析：如圖，可知(A)不正確

關(guān)于(B)，當(dāng)n與α平行時(shí)，也能夠滿足m與n異面的條件，故(B)不正確

關(guān)于(C)，因?yàn)閙、n共面，可設(shè)那個(gè)平面為γ，又因?yàn)閙α，故m是平面α與γ的交線

依照線面平行的性質(zhì)定理，當(dāng)n∥α?xí)r，必定有m∥n。(C)正確

關(guān)于(D)，當(dāng)α與β相交時(shí)命題正確，但當(dāng)α∥β時(shí)，m、n可能是異面直線。故(D)錯(cuò)誤

αmn某物流公司有6輛甲型卡車和4輛乙型卡車，此公司承接了每天至少運(yùn)送280t物資的業(yè)務(wù)，已知每輛甲型卡車每天的運(yùn)輸量為30t，運(yùn)輸成本費(fèi)用為0.9千元；每輛乙型卡車每天的運(yùn)輸量為40t，運(yùn)輸成本為1千元，則當(dāng)每天運(yùn)輸成本費(fèi)用最低時(shí)，所需甲型卡車的數(shù)量是()

(A)6 (B)5 (C)4 (D)3

解析：設(shè)需要甲型卡車x輛，乙型卡車y輛

由題意且x、y∈Z

運(yùn)輸成本目標(biāo)函數(shù)z＝0.9x＋y

畫(huà)出可行域(如圖)可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)通過(guò)A(4,4)時(shí)，z最小7.6千元

及需要甲型卡車和乙型卡車各4輛。

答案：C設(shè)數(shù)列{an}是項(xiàng)數(shù)為20的等差數(shù)列，公差d∈N*，且關(guān)于x的方程x2＋2dx－4＝0的兩個(gè)實(shí)根x1、x2滿足x1＜1＜x2，則數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和的結(jié)果為()

(A)15 (B)10 (C)5 (D)－20

解析：記f(x)＝x2＋2dx－4

則函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分不在1的兩側(cè)

注意到f(x)開(kāi)口向上，

故f(1)＜0d＜EQ\f(3,2)

又d∈N*，故d＝1

又a2n－a2n－1＝d

因此(a20＋a18＋a16＋……＋a2)－(a19＋a17＋a15＋……＋a1)

＝(a20－a19)＋(a18－a17)－……－(a2－a1)

＝10d＝10

答案：B10.設(shè)A、B為雙曲線EQ\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)同一條漸近線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，已知向量m＝(1,0)，|AB|＝6，＝3，則雙曲線的離心率e等于()

(A)2 (B) (C)2或 (D)2或

解析：注意到向量m＝(1,0)是x軸上的單位向量，＝3表示向量在x軸上的射影長(zhǎng)為3

而|AB|＝6，因此A、B點(diǎn)所在的漸近線與x軸的夾角為60.

(1)當(dāng)λ＞0時(shí)，有＝tan60b＝

因此c2＝a2＋b2＝4a2e＝＝2

(2)當(dāng)λ＜0時(shí)，有＝tan60a＝b

因此c2＝a2＋b2＝4b2e＝

答案：DACB11.如圖為12個(gè)單位正方形組成的長(zhǎng)方形圖形，若沿格線從左下角頂點(diǎn)A走到右上角頂點(diǎn)B，每步只走一個(gè)單位長(zhǎng)度，則所有最短路線的走法中，通過(guò)點(diǎn)C的走法種數(shù)是()

(A)42 (B)35

(C)20 (D)15

解析：從A到C的最短路線只有2種

從C到B橫向有3段路，縱向有2段路，共5段路，其最短路線走法有C52＝10種，

故共有2×10＝20種

ACB12.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝()x－1，若在區(qū)間(－2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是()

(A)(1,2) (B)(2，＋∞) (C)(1,) (D)(,2)

解析：由f(x－2)＝f(x＋2)，知f(x)是周期為4的周期函數(shù)

因此可得f(x)在(－2,6]上的草圖如圖中實(shí)線所示

而函數(shù)g(x)＝loga(x＋2)(a＞1)的圖象如圖中虛線所示

結(jié)合圖象可知，要使得方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)

在區(qū)間(－2，6]內(nèi)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

必需且只需

因此

解得：＜a＜2

答案：Dw－20246－20246xy3y＝loga(x＋2)13.假如直線l1：3x－4y－3＝0與直線l2關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則直線l2的方程為_(kāi)_____________.

解法一：l1與l2關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，

由于x＝1斜率不存在，故l1與l2斜率互為相反數(shù)，且它們與x＝1交于同一點(diǎn)(1,1)

可得直線l2的方程為3x＋4y－3＝0。

解法二：設(shè)P(x,y)是l2上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于x＝1的對(duì)稱點(diǎn)Q(2－x,y)在l1上

因此3(2－x)－4y－3＝0

整理得：3x＋4y－3＝0，此即l2的方程。

答案：3x＋4y－3＝014.已知sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝，則cos2β的值為_(kāi)_______________.

解析：因?yàn)閟in(α＋β)cosα－cos(α＋β)sin

＝sin[(α＋β)－α]

＝sinβ＝

因此cos2β＝1－2sin22β＝1－

答案：15.如圖，ABCD為菱形，CEFB為正方形，平面ABCD⊥平面CEFB，CE＝1，

∠AED＝30，則異面直線BC與AE所成角的大小為_(kāi)_________________.

解析：由題意，正方形和菱形變成均為1，

又平面ABCD⊥平面CEFB，因此CE⊥平面ABCD

因此CE⊥CD，從而DE＝

在△ADE中，AD＝1,DE＝,∠AED＝30

由正弦定理得：

因此sin∠DAE＝＝

故∠DAE＝45

又BC∥AD，故異面直線BC與AE所成角等于∠DAE

答案：4516.假如函數(shù)f(x)同時(shí)滿足下列條件：①在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù)，②在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a＜ξ＜b)，使得f(b)－f(a)＝f'(ξ)(b－a)成立，我們把這一規(guī)律稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，并把其中的ξ稱為中值。有下列命題：

①若函數(shù)f(x)在(a,b)具有“Lg”性質(zhì)，ξ為中值，點(diǎn)A(a,f(a)),B(b,f(b))，則直線AB的斜率為f'(ξ)；

②函數(shù)y＝在(0,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，且中值ξ＝,f'(ξ)＝－;

③函數(shù)f(x)＝x3在(－1,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，但中值ξ不唯一；

④若定義在[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)對(duì)任意的x1、x2∈[a,b],x1＜x2，有[f(x1)＋f(x2)]＜f()恒成立，則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì)，且必有中值ξ＝.

其中你認(rèn)為正確的所有命題序號(hào)是___________________.

解析：關(guān)于①，依照導(dǎo)函數(shù)的幾何意義立即可得正確；

關(guān)于②，函數(shù)y在(0,2)上連續(xù)且可導(dǎo)，代值計(jì)算可得兩端點(diǎn)連線的斜率為－

又y'＝，當(dāng)x＝時(shí)，y'＝－，故②正確。

關(guān)于③，兩端點(diǎn)連線斜率為3

而f'(x)＝3x2，令3x2＝3x＝±1，在(－1,2)內(nèi)只有一個(gè)中值ξ＝1，故③錯(cuò)誤；

關(guān)于④，[f(x1)＋f(x2)]＜f()只能保證f(x)是上凸函數(shù)，不能保證中值一定在中點(diǎn)處。④錯(cuò)誤

答案：①②三、解答題：本大題共6小題。共74分．解承諾寫(xiě)出文字講明。證明過(guò)程或演算步驟．（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，設(shè)內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分不是，若的面積，求的大小。（18）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰為線段的中點(diǎn)，直線與底面所成的角為。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大小。(19)(本小題滿分12分)某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬試驗(yàn)，預(yù)備用A、B、C三種人工降雨方式分不對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨，其試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下方式實(shí)施地點(diǎn)大雨中雨小雨模擬實(shí)驗(yàn)總次數(shù)A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假定對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不阻礙，請(qǐng)你依照人工降雨模擬試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(I)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；(Ⅱ)考慮到旱情和水土流失，假如甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀態(tài)，乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài)，丙地只能是小雨或中雨即達(dá)到理想狀態(tài)，記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個(gè)數(shù)”為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．(20)(本小題滿分12分)設(shè)動(dòng)圓M滿足條件p：通過(guò)點(diǎn)F(，0)，且與直線l：相切；記動(dòng)圓圓心M的軌跡為C．(Ⅰ)求軌跡C的方程；(Ⅱ)已知點(diǎn)為軌跡C上縱坐