實(shí)數(shù)理論精選課件

第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論郇中丹2019-2019年度第一學(xué)期2因小區(qū)外側(cè)已沿河鋪設(shè)有市政主管網(wǎng)，因此小區(qū)內(nèi)污水管設(shè)置為支狀網(wǎng)，并就近接入D400市政主管，匯入市政主管網(wǎng)，最終進(jìn)入污水廠處理達(dá)標(biāo)排放。本工程共設(shè)置D300HDPE污水管長(zhǎng)198m，預(yù)留D200HDPE污水管長(zhǎng)200m，圓形混凝土檢查井12座，預(yù)留圓形混凝土檢查井6座。第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論郇中丹2019-2019年度第一學(xué)期2第二章實(shí)數(shù)理論郇中丹2為什么要講實(shí)數(shù)理論以往教材上關(guān)于實(shí)數(shù)處理的方式:以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定義以公理化方式定義實(shí)數(shù)來回避直接定義實(shí)數(shù)上述處理方式的缺陷:分割和基本列的方式定義需要引入一系列的工具，并且與中小學(xué)教材脫節(jié)公理化的方式使得學(xué)生困惑:實(shí)數(shù)變的難以理解了應(yīng)當(dāng)與中小學(xué)教材銜接并講清實(shí)數(shù):講清十進(jìn)小數(shù)3為什么要講實(shí)數(shù)理論以往教材上關(guān)于實(shí)數(shù)處理的方式:3實(shí)數(shù)理論§1數(shù)系理論發(fā)展簡(jiǎn)史§2定義實(shí)數(shù)遇到的困難§3我們?nèi)绾味x實(shí)數(shù)§4有理數(shù)系的性質(zhì)§5實(shí)數(shù)定義§6實(shí)數(shù)的完備性§7實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)§8記號(hào)和實(shí)數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì)4實(shí)數(shù)理論§1數(shù)系理論發(fā)展簡(jiǎn)史4§1數(shù)系理論發(fā)展簡(jiǎn)史有趣的現(xiàn)象實(shí)數(shù)理論簡(jiǎn)史引入實(shí)數(shù)的方法數(shù)系理論5§1數(shù)系理論發(fā)展簡(jiǎn)史有趣的現(xiàn)象5有趣的現(xiàn)象數(shù)的使用幾乎與人類的歷史一樣長(zhǎng),有人通過觀察推斷:動(dòng)物有數(shù)感.在人類文明史中,數(shù)的概念是逐步擴(kuò)展開來的.然而數(shù)的嚴(yán)格意義上的理論直到在十九世紀(jì)后半葉才完成.雖然歐幾里德幾何原本中已經(jīng)討論了可公度比和無公度比,但沒有定義什么叫無公度比的相等建立數(shù)系理論為了完善數(shù)學(xué)分析理論建立數(shù)系理論是要保證數(shù)學(xué)的真實(shí)性,非歐幾何的出現(xiàn),幾何失去了其真實(shí)性;數(shù)學(xué)在哲學(xué)意義上的真實(shí)性應(yīng)當(dāng)建立在算術(shù)基礎(chǔ)上(Gauss1817)6有趣的現(xiàn)象數(shù)的使用幾乎與人類的歷史一樣長(zhǎng),有人通過觀察推斷實(shí)數(shù)理論是指以有理數(shù)系為基礎(chǔ)建立實(shí)數(shù)理論以往的直觀想法:有理數(shù)的極限,然而必須先存在才能談極限WilliamR.Hamilton,1833,1835提出無理數(shù)的第一個(gè)處理,以時(shí)間作為實(shí)數(shù)的基礎(chǔ).提出用將有理數(shù)分成兩類的方法定義無理數(shù)Weierstrass(1857),Méray(1869)Dedekind(1872),Cantor(1873)(來源于KlineIVP46-47)7實(shí)數(shù)理論是指以有理數(shù)系為基礎(chǔ)建立實(shí)數(shù)理論7引入實(shí)數(shù)的方法Weierstrass:有自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù),然后用無窮多個(gè)有理數(shù)集合定義實(shí)數(shù)Dedekind:有理數(shù)分割Canter:有理數(shù)基本列等價(jià)類8引入實(shí)數(shù)的方法Weierstrass:有自然數(shù)出發(fā)定義正有數(shù)系理論歐幾里德的《幾何原本》中的比例理論以及討論了現(xiàn)在有理數(shù)中的相關(guān)結(jié)果,但是在比例線段的術(shù)語下討論的.Muller1855《一般算術(shù)》和Grassmann1861《算術(shù)》中有討論,但是講得不清楚Peano1889《算術(shù)原理新方法》引入Peano公理系統(tǒng)解決了這個(gè)問題。他用了許多符號(hào):,和N0表示自然數(shù)集。9數(shù)系理論歐幾里德的《幾何原本》中的比例理論以及討論了現(xiàn)在有理§2定義實(shí)數(shù)遇到的困難如何從有限小數(shù)過渡到無限小數(shù)基本想法都是利用有理數(shù)序列逼近(極限),這就有兩個(gè)問題引入序列和極限等相關(guān)的概念即便如此,也要先定義清楚作為極限的實(shí)數(shù)雖然知道實(shí)數(shù)的眾多性質(zhì),如何寫出一個(gè)邏輯上正確、清晰和不難接受的實(shí)數(shù)理論仍然有待努力10§2定義實(shí)數(shù)遇到的困難如何從有限小數(shù)過渡到無限小數(shù)10§3我們?nèi)绾味x實(shí)數(shù)與中學(xué)實(shí)數(shù)定義銜接，用十進(jìn)小數(shù)定義實(shí)數(shù)系，然后建立相關(guān)的性質(zhì)建立實(shí)數(shù)的序建立實(shí)數(shù)的完備性利用有理數(shù)的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的完備性定義實(shí)數(shù)的運(yùn)算11§3我們?nèi)绾味x實(shí)數(shù)與中學(xué)實(shí)數(shù)定義銜接，用十進(jìn)小數(shù)定義實(shí)數(shù)§4有理數(shù)系的性質(zhì)自然數(shù)系及其運(yùn)算有理數(shù)系的建立有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有理數(shù)的序性質(zhì)和稠密性質(zhì)有理數(shù)的不完備性12§4有理數(shù)系的性質(zhì)自然數(shù)系及其運(yùn)算12自然數(shù)系及其運(yùn)算已經(jīng)完成了邏輯地引入自然數(shù)系N={0,1,2,…}的過程(上一章引入的)加法運(yùn)算就是數(shù)數(shù),乘法運(yùn)算就是一類特殊數(shù)數(shù)的方法.減法:對(duì)小的數(shù)加多少的到大的數(shù)除法:分組帶余除法:確定組數(shù)和余數(shù)歸納法是論證工具13自然數(shù)系及其運(yùn)算已經(jīng)完成了邏輯地引入自然數(shù)系N={0,1,有理數(shù)系Q的建立有理數(shù)可以看成是由為了在自然數(shù)系中加、減、乘和除封閉而得到的最小集合自然數(shù)到有理數(shù)的邏輯擴(kuò)展:由自然數(shù)及其笛卡爾積建立整數(shù)使得加、減、乘封閉;由整數(shù)及其笛卡爾積建立有理數(shù)使得加、減、乘和除封閉自然數(shù)到有理數(shù)的直觀擴(kuò)展:引入負(fù)數(shù)和所有正整數(shù)份數(shù)14有理數(shù)系Q的建立有理數(shù)可以看成是由為了在自然數(shù)系中加、減、乘有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律:a+b=b+a,ab=ba與結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c乘法與加法之間滿足分配律:a(b+c)=ab+ac0是加法零元:a:a+0=a1是乘法單位元:a:a1=a每個(gè)數(shù)a有負(fù)數(shù)-a:a+(-a)=0每個(gè)非零數(shù)a有倒數(shù)1/a:a(1/a)=115有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律:a+b=b+a,a有理數(shù)序的三歧性和稠密性有理數(shù)序的三歧性:a,bQ,則a<b,a=b,a>b中有且僅有一種情形成立序與加法和乘法的關(guān)系:a,b,cQ,a>ba+c>b+ca,b,cQ且c>0,a>bac>bc記號(hào):ab表示a<b或a=b;ab表示a>b或a=b有理數(shù)的稠密性:a,bQ,a<b,cQ:a<c<b16有理數(shù)序的三歧性和稠密性有理數(shù)序的三歧性:a,bQ,有理數(shù)的不完備性上界:設(shè)AQ,A,若bQ使得aA,ab,就稱b為A的一個(gè)上界,并且說A是有上界的上確界:設(shè)AQ,A,bQ叫做A的上確界,如果(1)b是A的上界,(2)c<b,aA,a>c上確界的惟一性序的完備性:任何有上界的集合都有上確界有理數(shù)的不完備性:存在有理數(shù)有上界而沒有上確界的非空子集:例如{aQ|a>0,a^2<2}(習(xí)題)17有理數(shù)的不完備性上界:設(shè)AQ,A,若bQ使得§5實(shí)數(shù)定義實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義有理數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示實(shí)數(shù)的序18§5實(shí)數(shù)定義實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義18實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義:實(shí)數(shù)集合R定義為:{x:NZ|n>0,x(n){0,…,9};k>0,n>k,x(n)<9}為了回歸中學(xué)的習(xí)慣,引入下列術(shù)語:x(0)叫作實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分,記作[x];k>0,x(k)叫作x的第k位小數(shù),記作xk;x也寫成:x=[x]+0.x1x2…記{x}=0.x1x2…叫作x的小數(shù)部分n>0,sn(x)=[x]+0.x1x2…xn叫作x的n位小數(shù)(舍值)近似,也記s0(x)=[x]19實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義:實(shí)數(shù)集合R定義為:有理數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示如果aZ,自然地對(duì)應(yīng)x:x(0)=a,k>0,x(k)=0aQ,如果a有十進(jìn)小數(shù)表示:a=p+0.a1…an,對(duì)應(yīng)的x:x(0)=p,0kn,x(k)=ak,k>n,x(k)=0.稱之為有限小數(shù),用Qf表示R中所有有限小數(shù)的集合.R中的其他數(shù)叫無限小數(shù).aQ,其十進(jìn)小數(shù)是無限的,則其十進(jìn)小數(shù)是循環(huán)小數(shù),有引入有理數(shù)十進(jìn)小數(shù)方式,其十進(jìn)小數(shù)不會(huì)有9循環(huán)(習(xí)題),如此a=p+0.a1…an…自然對(duì)應(yīng)x:x(0)=p,k>0,x(k)=ak注意這里用到整數(shù)部分而可能引起的與中學(xué)十進(jìn)小數(shù)表示的差異20有理數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示如果aZ,自然地對(duì)應(yīng)x:x(0)=實(shí)數(shù)的序?qū)崝?shù)序的定義:x,yR,x<y,如果nN:x(n)<y(n),當(dāng)n>0時(shí),k<n,x(k)=y(k).也叫y>x注:當(dāng)x,y是有限小數(shù)時(shí),與有理數(shù)中的序一致實(shí)數(shù)的序具有三歧性:x,yR,則x<y,x=y,x>y中有且僅有一種情形成立證明:任取x,yR,若x=y,由整數(shù)序的三歧性,不會(huì)有x<y或x>y成立;若xy,則nN:x(n)y(n),有歸納法,可設(shè)n是滿足這一性質(zhì)的最小自然數(shù),因而由實(shí)數(shù)序的定義和整數(shù)序的三歧性可得有且僅有x<y或x>y中的一個(gè)成立.21實(shí)數(shù)的序?qū)崝?shù)序的定義:x,yR,x<y,如果n§6實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)集的上界和上確界實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)完備性的推論常用記號(hào)和名詞22§6實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)集的上界和上確界22實(shí)數(shù)集的上界和上確界上界:設(shè)AR,A,若bR使得aA,ab,就稱b為A的一個(gè)上界,并且說A是上有界的上確界:設(shè)AR,A,bR叫做A的上確界,如果(1)b是A的上界,(2)c<b,aA,a>c事實(shí)1:確界的惟一性事實(shí)2:整數(shù)子集具有完備性，并且上確界在所討論的集合中23實(shí)數(shù)集的上界和上確界上界:設(shè)AR,A,若bR實(shí)數(shù)的完備性(I)R的非空有上界的子集必有上確界.證明:設(shè)AR非空且有上界.取定A的一個(gè)上界z.下面歸納地構(gòu)造A的上確界b.1.考慮整數(shù)集合A0={x(0)|xA},則x(0)z(0).由整數(shù)序的完備性,A0有在其中的上確界b0.即存在xA,x(0)=b0.很自然地,b0R.若b0是A的上界,取b=b0就得到了上確界.否則考慮整數(shù)集A0={x(1)|xA,x>b0}且A0有上界924實(shí)數(shù)的完備性(I)R的非空有上界的子集必有上確界.24實(shí)數(shù)的完備性(II)2.然后重復(fù)上面的步驟做下去，在第k步得到b0+0.b1…bk滿足下列性質(zhì):xA,x(0)b0,xA滿足x(0)=b0;h=0,…,k-1,Ah={x(h+1)|xA,x>b0+0.b1…bh}h=1,…,k-1,bh+1是Ah的上確界并且xA滿足x(n)=bn,n=0,…,h若b0+0.b1…bk是A的上界,令b=b0+0.b1…bk.就得到了上確界,否則考慮整數(shù)集Ak={x(k+1)|xA,x>b0+0.b1…bk}其有上界9,設(shè)bk+1為Ak的上確界,則xA滿足x(h)=bh,h=1,…,k+1.由歸納法就得到25實(shí)數(shù)的完備性(II)2.然后重復(fù)上面的步驟做下去，在第k步得實(shí)數(shù)的完備性(III)3.下列兩種可能性之一必成立:(1)A有有限小數(shù)上確界b=b0+0.b1…bn;(2)得到b:NZ,b(0)=b0Z,k>0,b(k)=bk{0,…,9},有無限多個(gè)bk0,滿足xA,x(0)b0,xA滿足x(0)=b0;hN,Ah={x(h+1)|xA,x>b0+0.b1…bh}hN,bh+1是Ah的上確界并且xA滿足x(n)=bn,n=0,…,h下面證明,由b可以構(gòu)造出A的上確界.26實(shí)數(shù)的完備性(III)3.下列兩種可能性之一必成立:(1實(shí)數(shù)的完備性(IV)4.考慮兩種情形:(1)存在k>0,nk,bk=9,如果k>1,bk-1<9;(2)有無限多個(gè)bk9.下面分別討論這兩種情況:5.假設(shè)(1)成立.若k=1,令b=b0+1(為整數(shù));若k>1,取b=b0+0.b1…bk-1+1.為簡(jiǎn)單這里僅給出k=1時(shí)的證明,k>1情形的證明留作習(xí)題.由xA,x(0)b0<b=b(0)可得b是A的上界.下面證明b是A的上確界,任取cR,c<b,如果c(0)<b0,由b0的定義,xR有x(0)=b0>c(0),則x>c.如果c(0)=b0,由m>0,c(m)<9.由b的定義,xR,x(0)=b0,j=1,…,m,x(j)=9,則x>c.因此b是A的上確界.27實(shí)數(shù)的完備性(IV)4.考慮兩種情形:(1)存在k>0實(shí)數(shù)的完備性(V)6.假設(shè)(2)成立,則bR.令b=b.首先說明b是上界.用反證法,若b不是A的上界,則xA,x>b,這就存在k0,j<k,x(j)=b(j)=bj,x(k)>b(k)=bk,這與bk的取法矛盾.證明b是A的上確界:任取cR,c<b,則存在k0,j<k,c(j)=b(j)=bj,c(k)<b(k)=bk,由bk的取法,xA滿足jk,x(j)=b(j)=bj,由實(shí)數(shù)序的定義,x>c.這就得到b是A的上確界.這樣實(shí)數(shù)的完備性就建立了.#28實(shí)數(shù)的完備性(V)6.假設(shè)(2)成立,則bR.令b=實(shí)數(shù)完備性的推論實(shí)數(shù)集的下界和下確界:設(shè)AR,A,若bR使得aA,ab,就稱b為A的一個(gè)下界,并且說A是下有界的設(shè)bR是AR的下界,如果c>b,aA,a<c,就稱b為A的下確界推論1.R的非空有下界的子集必有下確界.推論2.R的非空子集的上確界和下確界是惟一的(即至多只有一個(gè)).上述兩個(gè)推論的證明留作習(xí)題.29實(shí)數(shù)完備性的推論實(shí)數(shù)集的下界和下確界:29常用記號(hào)和名詞集合A的上,下確界分別記為supA和infA,有時(shí)也分別叫作A的最小上界和最大下界如果supAA,稱supA為A的最大數(shù),記supA為maxA;類似地,當(dāng)infAA時(shí),稱之為A的最小數(shù),記為minA.當(dāng)集合A沒有上界時(shí),記supA=+(或),也說A的上確界是正無窮;類似地,若集合A無下界,記infA=-,說A的下確界是負(fù)無窮如果A上下都有界,就說A是有界的.否則就說A無界.30常用記號(hào)和名詞集合A的上,下確界分別記為supA和inf上確界的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)A,B是R的非空子集.則1.若AB,則supAsupB;2.若xA,yB滿足xy,則supAsupB;特別若A={xa|aI}和B={ya|aI}滿足xaya,則supAsupB;3.xR,x=sup{sn(x)|nN}.31上確界的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)A,B是R的非空子集.則31§7實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法定義負(fù)元和減法實(shí)數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值乘法定義倒數(shù)和除法32§7實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法定義32加法定義定義:設(shè)x,yR.定義x與y的和為x+y=sup{sn(x)+sn(y)|nN}這個(gè)定義是有意義的:集合{sn(x)+sn(y)|nN},且有上界[x]+[y]+2.當(dāng)x,yQ為有限小數(shù)時(shí),上述加法與有理數(shù)的加法一致.33加法定義定義:設(shè)x,yR.定義x與y的和為33負(fù)元和減法負(fù)元:設(shè)xR.若x為有限小數(shù),即存在k:x(k)>0,而n>k,x(n)=0.負(fù)元-x定義為:k=0時(shí),(-x)(0)=-x(0),(-x)(n)=0k>0時(shí),(-x)(0)=-x(0)-1,(-x)(k)=10-x(k);n{1,…,k-1},(-x)(n)=9-x(n);n>k,x(n)=0;即k=0時(shí)-x=-[x];k>0時(shí)-x=-[x]-1+0.(9-x1)…(9-xk-1)(10-xk)若x為無窮小數(shù),負(fù)元-x定義為:(-x)(0)=-x(0)-1,n>0,(-x)(n)=9-x(n).定義:設(shè)x,yR.定義x與y的差x-y為x+(-y).命題1:xR,-(-x)=x,x+(-x)=0.34負(fù)元和減法負(fù)元:設(shè)xR.34實(shí)數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值符號(hào)函數(shù)sgn:xR,若x>0,sgn(x)=1;若x<0,sgn(x)=-1,sgn(0)=0.絕對(duì)值函數(shù):xR,如果x0,x的絕對(duì)值|x|=x,否則|x|=-x定義:1x=x1=x,(-1)x=x(-1)=-x,0x=x0=0命題:(1)|x|=xsgn(x)=xsgn(x);(2)x=|x|sgn(x)=xsgn(x)sn(x)AA若bR35實(shí)數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值符號(hào)函數(shù)sgn:xR,若x>0,乘法定義非負(fù)實(shí)數(shù)的乘法:x,yR,x0,y0,定義x與y的乘積為:xy=xy=sup{sn(x)sn(y)|nN}這個(gè)定義是有意義的:集合{sn(x)sn(y)|nN},且有上界([x]+1)([y]+1).一般情形:xy=xy=sgn(x)sgn(y)|x||y|當(dāng)x,yQ為有限小數(shù)時(shí),上述乘法與有理數(shù)的乘法一致.36乘法定義非負(fù)實(shí)數(shù)的乘法:x,yR,x0,y0倒數(shù)和除法倒數(shù):對(duì)于xR,x0.當(dāng)x>0時(shí),x的倒數(shù)定義為:1/x=sup{sn[1/(sn(x)+10^{-n})]|nN};當(dāng)x<0時(shí),x的倒數(shù)為:1/x=-1/|x|.除法:對(duì)于x,yR,y0,定義x與y的商為xy=x1/y.命題2:xR,x0,x1/x=1.37倒數(shù)和除法倒數(shù):對(duì)于xR,x0.當(dāng)x>0時(shí),x的實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律:a+b=b+a,ab=ba與結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c乘法與加法之間滿足分配律:a(b+c)=ab+ac0是加法零元:a:a+0=a1是乘法單位元:a:a1=a每個(gè)數(shù)a有負(fù)數(shù)-a:a+(-a)=0每個(gè)非零數(shù)a有倒數(shù)1/a:a(1/a)=138實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律:a+b=b+a,a實(shí)數(shù)序的三歧性和稠密性實(shí)數(shù)序的三歧性:a,bR,則a<b,a=b,a>b中有且僅有一種情形成立序與加法和乘法的關(guān)系:a,b,cR,a>ba+c>b+ca,b,cR且c>0,a>bac>bc記號(hào):ab表示a<b或a=b;ab表示a>b或a=b實(shí)數(shù)的稠密性:a,bR,a<b,cR\Q,dQ,a<c<d<b.39實(shí)數(shù)序的三歧性和稠密性實(shí)數(shù)序的三歧性:a,bR,則a實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的證明系統(tǒng)的證明留作討論班的內(nèi)容,作為同學(xué)有余力時(shí)研究的一個(gè)問題實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的證明(附錄)實(shí)數(shù)序性質(zhì)的證明(附錄)40實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的證明系統(tǒng)的證明留作討論班的內(nèi)容,作為同學(xué)有余習(xí)題三(I)1.證明:{aQ|a>0,a^2<2}是Q中的有上界的非空集合,但在Q中沒有上確界.2.設(shè)x,yR.證明{sn(x)+sn(y)|nN},且有上界[x]+[y]+2.3.證明:xR,-(-x)=x,x+(-x)=0.4.證明實(shí)數(shù)的稠密性:a,bR,a<b,cR\Q,dQ,a<c<d<b.5.證明有上界的非空整數(shù)子集有在其中的上確界.41習(xí)題三(I)1.證明:{aQ|a>0,a^2<習(xí)題三(II)6.設(shè)xR,x0.證明:x(1/x)=1.7.證明確界的惟一性、上確界是最小上界和下確界是最大下界.8.設(shè)A,B是R的非空子集.證明:(1)若AB,則supAsupB;(2)若xA,yB滿足xy,則supAsupB;特別若A={xa|aI}和B={ya|aI}滿足xaya|,則supAsupB;42習(xí)題三(II)6.設(shè)xR,x0.證明:x習(xí)題三(III)(3)infA=-sup(-A),supA=-inf(-A),其中-A={-x|xA};(4)inf{xa|aI}+inf{ya|aI}inf{xa+ya|aI}sup{xa+ya|aI}sup{xa|aI}+sup{ya|aI}9.xR,x=sup{sn(x)|nN}.10.證明:a,bR,如果ab與ab同時(shí)成立,則a=b.11.給出循環(huán)小數(shù)的定義.證明:循環(huán)小數(shù)自然地等于一個(gè)有理數(shù);反之亦然.43習(xí)題三(III)(3)infA=-sup(-A),supA§8記號(hào)和實(shí)數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì)確界的e刻劃記號(hào)實(shí)數(shù)集的分離性閉區(qū)間套收縮閉區(qū)間套44§8記號(hào)和實(shí)數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì)確界的e刻劃44確界的e刻劃上確界:bR為集合A的上確界當(dāng)且僅當(dāng):e>0,xA,使得x>b-e.下確界:aR為集合A的下確界當(dāng)且僅當(dāng):e>0,xA,使得x<a+e.無上界:非空集合A無上界當(dāng)且僅當(dāng):M>0,xA,使得x>M.無下界:非空集合A無下界當(dāng)且僅當(dāng):M>0,xA,使得x<-M.45確界的e刻劃上確界:bR為集合A的上確界當(dāng)且僅當(dāng):記號(hào)區(qū)間:a,bR,a<b,有限開區(qū)間:(a,b)={xR|a<x<b}有限閉區(qū)間:[a,b]={xR|axb}有限半開區(qū)間:[a,b)={xR|ax<b},(a,b]b-a稱為有限區(qū)間(a,b),[a,b],[a,b)和(a,b]的長(zhǎng)度無限區(qū)間:(a,+)={xR|x>a},(-,a)={xR|x<a},R=(-,+),[a,+)={xR|xa},(-,a]鄰域:aR,(a-e,a+e)={xR||x-a|<e}稱為a的e鄰域(簡(jiǎn)稱鄰域)空心鄰域:aR,(a-e,a+e)\{a}={xR|0<|x-a|<e}稱為a的e空心鄰域(簡(jiǎn)稱空心鄰域)46記號(hào)區(qū)間:a,bR,a<b,46實(shí)數(shù)集的分離性命題1.設(shè)A,BR非空.如果aA,bB,都有ab,則c滿足:aA,bB,acb.證明:取定bB,由aA,ab可知A有上界,由完備性,c=supAR.在利用B的每個(gè)點(diǎn)都是A的上界和c是A的最小上界,就有bB,cb.#47實(shí)數(shù)集的分離性命題1.設(shè)A,BR非空.如果aA閉區(qū)間套閉區(qū)間套:非空閉區(qū)間族M叫作閉區(qū)間套,如果D1,D2M,D1D2與D2D1中必有一個(gè)成立.閉區(qū)間套引理:任何閉區(qū)間套的所有閉區(qū)間一定有公共點(diǎn),即這些閉區(qū)間的交集不空.證明:設(shè)M是個(gè)閉區(qū)間套.1.先證明M中的任何閉區(qū)間的左端點(diǎn)小于M中任何閉區(qū)間的右端點(diǎn).任取[a,b],[c,d]M,要證a<d.若[a,b][c,d],a<bd;若[c,d][a,b],ac<d.2.取A={a|DM,D=[a,b]}和B={b|DM,D=[a,b]}.A,B滿足命題1的條件,由此引理得證.#48閉區(qū)間套閉區(qū)間套:非空閉區(qū)間族M叫作閉區(qū)間套,如果D1收縮閉區(qū)間套定義:設(shè)M是個(gè)閉區(qū)間套.如果e>0,[a,b]M,b-a<e,就稱M為收縮閉區(qū)間套.收縮閉區(qū)間套引理:收縮閉區(qū)間套(的所有閉區(qū)間)只有一個(gè)公共點(diǎn)證明:用反證法證明,如果存在兩個(gè)不同的公共點(diǎn)x,y,設(shè)x<y.令e=y-x(>0).由收縮閉區(qū)間套定義,[a,b]M,b-a<e,由x,y[a,b],e=y-xb-a<e,#命題:任何閉區(qū)間套的閉區(qū)間都能利用其端點(diǎn)定義一個(gè)序,使得序號(hào)小的包含序號(hào)大的.49收縮閉區(qū)間套定義:設(shè)M是個(gè)閉區(qū)間套.如果e>0,[習(xí)題四(I)1.證明:任何閉區(qū)間套的閉區(qū)間都能利用其端點(diǎn)定義一個(gè)序,使得序號(hào)小的包含序號(hào)大的.2.證明確界的惟一性、上確界是最小上界和下確界是最大下界.3.證明:a,bR,如果ab與ab同時(shí)成立,則a=b.50習(xí)題四(I)1.證明:任何閉區(qū)間套的閉區(qū)間都能利用其端點(diǎn)習(xí)題四(II)4.設(shè)A,B是R的非空子集.證明:(1)若AB,則supAsupB;(2)若xA,yB滿足xy,則supAsupB;特別若A={xa|aI}和B={ya|aI}滿足xaya,則supAsupB;(3)infA=-sup(-A),supA=-inf(-A),其中-A={-x|xA};(4)inf{xa|aI}+inf{ya|aI}{xa+ya|aI}sup{xa|aI}+sup{ya|aI}.5.xR,x=sup{sn(x)|nN}.sn(x)AA若bR51習(xí)題四(II)4.設(shè)A,B是R的非空子集.證明:51THANKYOU!THANKYOU!第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論郇中丹2019-2019年度第一學(xué)期2因小區(qū)外側(cè)已沿河鋪設(shè)有市政主管網(wǎng)，因此小區(qū)內(nèi)污水管設(shè)置為支狀網(wǎng)，并就近接入D400市政主管，匯入市政主管網(wǎng)，最終進(jìn)入污水廠處理達(dá)標(biāo)排放。本工程共設(shè)置D300HDPE污水管長(zhǎng)198m，預(yù)留D200HDPE污水管長(zhǎng)200m，圓形混凝土檢查井12座，預(yù)留圓形混凝土檢查井6座。第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論-精選第二章實(shí)數(shù)理論郇中丹2019-2019年度第一學(xué)期54第二章實(shí)數(shù)理論郇中丹2為什么要講實(shí)數(shù)理論以往教材上關(guān)于實(shí)數(shù)處理的方式:以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定義以公理化方式定義實(shí)數(shù)來回避直接定義實(shí)數(shù)上述處理方式的缺陷:分割和基本列的方式定義需要引入一系列的工具，并且與中小學(xué)教材脫節(jié)公理化的方式使得學(xué)生困惑:實(shí)數(shù)變的難以理解了應(yīng)當(dāng)與中小學(xué)教材銜接并講清實(shí)數(shù):講清十進(jìn)小數(shù)55為什么要講實(shí)數(shù)理論以往教材上關(guān)于實(shí)數(shù)處理的方式:3實(shí)數(shù)理論§1數(shù)系理論發(fā)展簡(jiǎn)史§2定義實(shí)數(shù)遇到的困難§3我們?nèi)绾味x實(shí)數(shù)§4有理數(shù)系的性質(zhì)§5實(shí)數(shù)定義§6實(shí)數(shù)的完備性§7實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)§8記號(hào)和實(shí)數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì)56實(shí)數(shù)理論§1數(shù)系理論發(fā)展簡(jiǎn)史4§1數(shù)系理論發(fā)展簡(jiǎn)史有趣的現(xiàn)象實(shí)數(shù)理論簡(jiǎn)史引入實(shí)數(shù)的方法數(shù)系理論57§1數(shù)系理論發(fā)展簡(jiǎn)史有趣的現(xiàn)象5有趣的現(xiàn)象數(shù)的使用幾乎與人類的歷史一樣長(zhǎng),有人通過觀察推斷:動(dòng)物有數(shù)感.在人類文明史中,數(shù)的概念是逐步擴(kuò)展開來的.然而數(shù)的嚴(yán)格意義上的理論直到在十九世紀(jì)后半葉才完成.雖然歐幾里德幾何原本中已經(jīng)討論了可公度比和無公度比,但沒有定義什么叫無公度比的相等建立數(shù)系理論為了完善數(shù)學(xué)分析理論建立數(shù)系理論是要保證數(shù)學(xué)的真實(shí)性,非歐幾何的出現(xiàn),幾何失去了其真實(shí)性;數(shù)學(xué)在哲學(xué)意義上的真實(shí)性應(yīng)當(dāng)建立在算術(shù)基礎(chǔ)上(Gauss1817)58有趣的現(xiàn)象數(shù)的使用幾乎與人類的歷史一樣長(zhǎng),有人通過觀察推斷實(shí)數(shù)理論是指以有理數(shù)系為基礎(chǔ)建立實(shí)數(shù)理論以往的直觀想法:有理數(shù)的極限,然而必須先存在才能談極限WilliamR.Hamilton,1833,1835提出無理數(shù)的第一個(gè)處理,以時(shí)間作為實(shí)數(shù)的基礎(chǔ).提出用將有理數(shù)分成兩類的方法定義無理數(shù)Weierstrass(1857),Méray(1869)Dedekind(1872),Cantor(1873)(來源于KlineIVP46-47)59實(shí)數(shù)理論是指以有理數(shù)系為基礎(chǔ)建立實(shí)數(shù)理論7引入實(shí)數(shù)的方法Weierstrass:有自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù),然后用無窮多個(gè)有理數(shù)集合定義實(shí)數(shù)Dedekind:有理數(shù)分割Canter:有理數(shù)基本列等價(jià)類60引入實(shí)數(shù)的方法Weierstrass:有自然數(shù)出發(fā)定義正有數(shù)系理論歐幾里德的《幾何原本》中的比例理論以及討論了現(xiàn)在有理數(shù)中的相關(guān)結(jié)果,但是在比例線段的術(shù)語下討論的.Muller1855《一般算術(shù)》和Grassmann1861《算術(shù)》中有討論,但是講得不清楚Peano1889《算術(shù)原理新方法》引入Peano公理系統(tǒng)解決了這個(gè)問題。他用了許多符號(hào):,和N0表示自然數(shù)集。61數(shù)系理論歐幾里德的《幾何原本》中的比例理論以及討論了現(xiàn)在有理§2定義實(shí)數(shù)遇到的困難如何從有限小數(shù)過渡到無限小數(shù)基本想法都是利用有理數(shù)序列逼近(極限),這就有兩個(gè)問題引入序列和極限等相關(guān)的概念即便如此,也要先定義清楚作為極限的實(shí)數(shù)雖然知道實(shí)數(shù)的眾多性質(zhì),如何寫出一個(gè)邏輯上正確、清晰和不難接受的實(shí)數(shù)理論仍然有待努力62§2定義實(shí)數(shù)遇到的困難如何從有限小數(shù)過渡到無限小數(shù)10§3我們?nèi)绾味x實(shí)數(shù)與中學(xué)實(shí)數(shù)定義銜接，用十進(jìn)小數(shù)定義實(shí)數(shù)系，然后建立相關(guān)的性質(zhì)建立實(shí)數(shù)的序建立實(shí)數(shù)的完備性利用有理數(shù)的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的完備性定義實(shí)數(shù)的運(yùn)算63§3我們?nèi)绾味x實(shí)數(shù)與中學(xué)實(shí)數(shù)定義銜接，用十進(jìn)小數(shù)定義實(shí)數(shù)§4有理數(shù)系的性質(zhì)自然數(shù)系及其運(yùn)算有理數(shù)系的建立有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有理數(shù)的序性質(zhì)和稠密性質(zhì)有理數(shù)的不完備性64§4有理數(shù)系的性質(zhì)自然數(shù)系及其運(yùn)算12自然數(shù)系及其運(yùn)算已經(jīng)完成了邏輯地引入自然數(shù)系N={0,1,2,…}的過程(上一章引入的)加法運(yùn)算就是數(shù)數(shù),乘法運(yùn)算就是一類特殊數(shù)數(shù)的方法.減法:對(duì)小的數(shù)加多少的到大的數(shù)除法:分組帶余除法:確定組數(shù)和余數(shù)歸納法是論證工具65自然數(shù)系及其運(yùn)算已經(jīng)完成了邏輯地引入自然數(shù)系N={0,1,有理數(shù)系Q的建立有理數(shù)可以看成是由為了在自然數(shù)系中加、減、乘和除封閉而得到的最小集合自然數(shù)到有理數(shù)的邏輯擴(kuò)展:由自然數(shù)及其笛卡爾積建立整數(shù)使得加、減、乘封閉;由整數(shù)及其笛卡爾積建立有理數(shù)使得加、減、乘和除封閉自然數(shù)到有理數(shù)的直觀擴(kuò)展:引入負(fù)數(shù)和所有正整數(shù)份數(shù)66有理數(shù)系Q的建立有理數(shù)可以看成是由為了在自然數(shù)系中加、減、乘有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律:a+b=b+a,ab=ba與結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c乘法與加法之間滿足分配律:a(b+c)=ab+ac0是加法零元:a:a+0=a1是乘法單位元:a:a1=a每個(gè)數(shù)a有負(fù)數(shù)-a:a+(-a)=0每個(gè)非零數(shù)a有倒數(shù)1/a:a(1/a)=167有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律:a+b=b+a,a有理數(shù)序的三歧性和稠密性有理數(shù)序的三歧性:a,bQ,則a<b,a=b,a>b中有且僅有一種情形成立序與加法和乘法的關(guān)系:a,b,cQ,a>ba+c>b+ca,b,cQ且c>0,a>bac>bc記號(hào):ab表示a<b或a=b;ab表示a>b或a=b有理數(shù)的稠密性:a,bQ,a<b,cQ:a<c<b68有理數(shù)序的三歧性和稠密性有理數(shù)序的三歧性:a,bQ,有理數(shù)的不完備性上界:設(shè)AQ,A,若bQ使得aA,ab,就稱b為A的一個(gè)上界,并且說A是有上界的上確界:設(shè)AQ,A,bQ叫做A的上確界,如果(1)b是A的上界,(2)c<b,aA,a>c上確界的惟一性序的完備性:任何有上界的集合都有上確界有理數(shù)的不完備性:存在有理數(shù)有上界而沒有上確界的非空子集:例如{aQ|a>0,a^2<2}(習(xí)題)69有理數(shù)的不完備性上界:設(shè)AQ,A,若bQ使得§5實(shí)數(shù)定義實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義有理數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示實(shí)數(shù)的序70§5實(shí)數(shù)定義實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義18實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義:實(shí)數(shù)集合R定義為:{x:NZ|n>0,x(n){0,…,9};k>0,n>k,x(n)<9}為了回歸中學(xué)的習(xí)慣,引入下列術(shù)語:x(0)叫作實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分,記作[x];k>0,x(k)叫作x的第k位小數(shù),記作xk;x也寫成:x=[x]+0.x1x2…記{x}=0.x1x2…叫作x的小數(shù)部分n>0,sn(x)=[x]+0.x1x2…xn叫作x的n位小數(shù)(舍值)近似,也記s0(x)=[x]71實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)定義:實(shí)數(shù)集合R定義為:有理數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示如果aZ,自然地對(duì)應(yīng)x:x(0)=a,k>0,x(k)=0aQ,如果a有十進(jìn)小數(shù)表示:a=p+0.a1…an,對(duì)應(yīng)的x:x(0)=p,0kn,x(k)=ak,k>n,x(k)=0.稱之為有限小數(shù),用Qf表示R中所有有限小數(shù)的集合.R中的其他數(shù)叫無限小數(shù).aQ,其十進(jìn)小數(shù)是無限的,則其十進(jìn)小數(shù)是循環(huán)小數(shù),有引入有理數(shù)十進(jìn)小數(shù)方式,其十進(jìn)小數(shù)不會(huì)有9循環(huán)(習(xí)題),如此a=p+0.a1…an…自然對(duì)應(yīng)x:x(0)=p,k>0,x(k)=ak注意這里用到整數(shù)部分而可能引起的與中學(xué)十進(jìn)小數(shù)表示的差異72有理數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示如果aZ,自然地對(duì)應(yīng)x:x(0)=實(shí)數(shù)的序?qū)崝?shù)序的定義:x,yR,x<y,如果nN:x(n)<y(n),當(dāng)n>0時(shí),k<n,x(k)=y(k).也叫y>x注:當(dāng)x,y是有限小數(shù)時(shí),與有理數(shù)中的序一致實(shí)數(shù)的序具有三歧性:x,yR,則x<y,x=y,x>y中有且僅有一種情形成立證明:任取x,yR,若x=y,由整數(shù)序的三歧性,不會(huì)有x<y或x>y成立;若xy,則nN:x(n)y(n),有歸納法,可設(shè)n是滿足這一性質(zhì)的最小自然數(shù),因而由實(shí)數(shù)序的定義和整數(shù)序的三歧性可得有且僅有x<y或x>y中的一個(gè)成立.73實(shí)數(shù)的序?qū)崝?shù)序的定義:x,yR,x<y,如果n§6實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)集的上界和上確界實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)完備性的推論常用記號(hào)和名詞74§6實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)集的上界和上確界22實(shí)數(shù)集的上界和上確界上界:設(shè)AR,A,若bR使得aA,ab,就稱b為A的一個(gè)上界,并且說A是上有界的上確界:設(shè)AR,A,bR叫做A的上確界,如果(1)b是A的上界,(2)c<b,aA,a>c事實(shí)1:確界的惟一性事實(shí)2:整數(shù)子集具有完備性，并且上確界在所討論的集合中75實(shí)數(shù)集的上界和上確界上界:設(shè)AR,A,若bR實(shí)數(shù)的完備性(I)R的非空有上界的子集必有上確界.證明:設(shè)AR非空且有上界.取定A的一個(gè)上界z.下面歸納地構(gòu)造A的上確界b.1.考慮整數(shù)集合A0={x(0)|xA},則x(0)z(0).由整數(shù)序的完備性,A0有在其中的上確界b0.即存在xA,x(0)=b0.很自然地,b0R.若b0是A的上界,取b=b0就得到了上確界.否則考慮整數(shù)集A0={x(1)|xA,x>b0}且A0有上界976實(shí)數(shù)的完備性(I)R的非空有上界的子集必有上確界.24實(shí)數(shù)的完備性(II)2.然后重復(fù)上面的步驟做下去，在第k步得到b0+0.b1…bk滿足下列性質(zhì):xA,x(0)b0,xA滿足x(0)=b0;h=0,…,k-1,Ah={x(h+1)|xA,x>b0+0.b1…bh}h=1,…,k-1,bh+1是Ah的上確界并且xA滿足x(n)=bn,n=0,…,h若b0+0.b1…bk是A的上界,令b=b0+0.b1…bk.就得到了上確界,否則考慮整數(shù)集Ak={x(k+1)|xA,x>b0+0.b1…bk}其有上界9,設(shè)bk+1為Ak的上確界,則xA滿足x(h)=bh,h=1,…,k+1.由歸納法就得到77實(shí)數(shù)的完備性(II)2.然后重復(fù)上面的步驟做下去，在第k步得實(shí)數(shù)的完備性(III)3.下列兩種可能性之一必成立:(1)A有有限小數(shù)上確界b=b0+0.b1…bn;(2)得到b:NZ,b(0)=b0Z,k>0,b(k)=bk{0,…,9},有無限多個(gè)bk0,滿足xA,x(0)b0,xA滿足x(0)=b0;hN,Ah={x(h+1)|xA,x>b0+0.b1…bh}hN,bh+1是Ah的上確界并且xA滿足x(n)=bn,n=0,…,h下面證明,由b可以構(gòu)造出A的上確界.78實(shí)數(shù)的完備性(III)3.下列兩種可能性之一必成立:(1實(shí)數(shù)的完備性(IV)4.考慮兩種情形:(1)存在k>0,nk,bk=9,如果k>1,bk-1<9;(2)有無限多個(gè)bk9.下面分別討論這兩種情況:5.假設(shè)(1)成立.若k=1,令b=b0+1(為整數(shù));若k>1,取b=b0+0.b1…bk-1+1.為簡(jiǎn)單這里僅給出k=1時(shí)的證明,k>1情形的證明留作習(xí)題.由xA,x(0)b0<b=b(0)可得b是A的上界.下面證明b是A的上確界,任取cR,c<b,如果c(0)<b0,由b0的定義,xR有x(0)=b0>c(0),則x>c.如果c(0)=b0,由m>0,c(m)<9.由b的定義,xR,x(0)=b0,j=1,…,m,x(j)=9,則x>c.因此b是A的上確界.79實(shí)數(shù)的完備性(IV)4.考慮兩種情形:(1)存在k>0實(shí)數(shù)的完備性(V)6.假設(shè)(2)成立,則bR.令b=b.首先說明b是上界.用反證法,若b不是A的上界,則xA,x>b,這就存在k0,j<k,x(j)=b(j)=bj,x(k)>b(k)=bk,這與bk的取法矛盾.證明b是A的上確界:任取cR,c<b,則存在k0,j<k,c(j)=b(j)=bj,c(k)<b(k)=bk,由bk的取法,xA滿足jk,x(j)=b(j)=bj,由實(shí)數(shù)序的定義,x>c.這就得到b是A的上確界.這樣實(shí)數(shù)的完備性就建立了.#80實(shí)數(shù)的完備性(V)6.假設(shè)(2)成立,則bR.令b=實(shí)數(shù)完備性的推論實(shí)數(shù)集的下界和下確界:設(shè)AR,A,若bR使得aA,ab,就稱b為A的一個(gè)下界,并且說A是下有界的設(shè)bR是AR的下界,如果c>b,aA,a<c,就稱b為A的下確界推論1.R的非空有下界的子集必有下確界.推論2.R的非空子集的上確界和下確界是惟一的(即至多只有一個(gè)).上述兩個(gè)推論的證明留作習(xí)題.81實(shí)數(shù)完備性的推論實(shí)數(shù)集的下界和下確界:29常用記號(hào)和名詞集合A的上,下確界分別記為supA和infA,有時(shí)也分別叫作A的最小上界和最大下界如果supAA,稱supA為A的最大數(shù),記supA為maxA;類似地,當(dāng)infAA時(shí),稱之為A的最小數(shù),記為minA.當(dāng)集合A沒有上界時(shí),記supA=+(或),也說A的上確界是正無窮;類似地,若集合A無下界,記infA=-,說A的下確界是負(fù)無窮如果A上下都有界,就說A是有界的.否則就說A無界.82常用記號(hào)和名詞集合A的上,下確界分別記為supA和inf上確界的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)A,B是R的非空子集.則1.若AB,則supAsupB;2.若xA,yB滿足xy,則supAsupB;特別若A={xa|aI}和B={ya|aI}滿足xaya,則supAsupB;3.xR,x=sup{sn(x)|nN}.83上確界的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)A,B是R的非空子集.則31§7實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法定義負(fù)元和減法實(shí)數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值乘法定義倒數(shù)和除法84§7實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法定義32加法定義定義:設(shè)x,yR.定義x與y的和為x+y=sup{sn(x)+sn(y)|nN}這個(gè)定義是有意義的:集合{sn(x)+sn(y)|nN},且有上界[x]+[y]+2.當(dāng)x,yQ為有限小數(shù)時(shí),上述加法與有理數(shù)的加法一致.85加法定義定義:設(shè)x,yR.定義x與y的和為33負(fù)元和減法負(fù)元:設(shè)xR.若x為有限小數(shù),即存在k:x(k)>0,而n>k,x(n)=0.負(fù)元-x定義為:k=0時(shí),(-x)(0)=-x(0),(-x)(n)=0k>0時(shí),(-x)(0)=-x(0)-1,(-x)(k)=10-x(k);n{1,…,k-1},(-x)(n)=9-x(n);n>k,x(n)=0;即k=0時(shí)-x=-[x];k>0時(shí)-x=-[x]-1+0.(9-x1)…(9-xk-1)(10-xk)若x為無窮小數(shù),負(fù)元-x定義為:(-x)(0)=-x(0)-1,n>0,(-x)(n)=9-x(n).定義:設(shè)x,yR.定義x與y的差x-y為x+(-y).命題1:xR,-(-x)=x,x+(-x)=0.86負(fù)元和減法負(fù)元:設(shè)xR.34實(shí)數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值符號(hào)函數(shù)sgn:xR,若x>0,sgn(x)=1;若x<0,sgn(x)=-1,sgn(0)=0.絕對(duì)值函數(shù):xR,如果x0,x的絕對(duì)值|x|=x,否則|x|=-x定義:1x=x1=x,(-1)x=x(-1)=-x,0x=x0=0命題:(1)|x|=xsgn(x)=xsgn(x);(2)x=|x|sgn(x)=xsgn(x)sn(x)AA若bR87實(shí)數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值符號(hào)函數(shù)sgn:xR,若x>0,乘法定義非負(fù)實(shí)數(shù)的乘法:x,yR,x0,y0,定義x與y的乘積為:xy=xy=sup{sn(x)sn(y)|nN}這個(gè)定義是有意義的:集合{sn(x)sn(y)|nN},且有上界([x]+1)([y]+1).一般情形:xy=xy=sgn(x)sgn(y)|x||y|當(dāng)x,yQ為有限小數(shù)時(shí),上述乘法與有理數(shù)的乘法一致.88乘法定義非負(fù)實(shí)數(shù)的乘法:x,yR,x0,y0倒數(shù)和除法倒數(shù):對(duì)于xR,x0.當(dāng)x>0時(shí),x的倒數(shù)定義為:1/x=sup{sn[1/(sn(x)+10^{-n})]|nN};當(dāng)x<0時(shí),x的倒數(shù)為:1/x=-1/|x|.除法:對(duì)于x,yR,y0,定義x與y的商為xy=x1/y.命題2:xR,x0,x1/x=1.89倒數(shù)和除法倒數(shù):對(duì)于xR,x0.當(dāng)x>0時(shí),x的實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律:a+b=b+a,ab=ba與結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c乘法與加法之間滿足分配律:a(b+c)=ab+ac0是加法零元:a:a+0=a1是乘法單位元:a:a1=a每個(gè)數(shù)a有負(fù)數(shù)-a:a+(-a)=0每個(gè)非零數(shù)a有倒數(shù)1/a:a(1/a)=190實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律:a+b=b+a,a實(shí)數(shù)序的三歧性和稠密性實(shí)數(shù)序的三歧性:a,bR,則a<b,a=b,a>b中有且僅有一種情形成立序與加法和乘法的關(guān)系:a,b,cR,a>ba+c>b+ca,b,cR且c>0,a>bac>bc記號(hào):ab表示a<b或a=b;ab表示a>b或a=b實(shí)數(shù)的稠密性:a,bR,a<b,cR\Q,dQ,a<c<d<b.91實(shí)數(shù)序的三歧性和稠密性實(shí)數(shù)序的三歧性:a,bR,則a實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的證明系統(tǒng)的證明留作討論班的內(nèi)容,作為同學(xué)有余力時(shí)研究的一個(gè)問題實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的證明(附錄)實(shí)數(shù)序性質(zhì)的證明(附錄)92實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的證明系統(tǒng)的證明留作討論班的內(nèi)容,作為同學(xué)有余習(xí)題三(I)1.證明:{aQ|a>0,a^2<2}是Q中的有上界的非空集合,但在Q中沒有上確界.2.設(shè)x,yR.證明{sn(x)+sn(y)|nN},且有上界[x]+[y]+2.3.證明:xR,-(-x)=x,x+(-x)=0.4.證明實(shí)數(shù)的稠密性:a,bR,a<b,cR\Q,dQ,a<c<d<b.5.證明有上界的非空整數(shù)子集有在其中的上確界.93習(xí)題三(I)1.證明:{aQ|a>0,a^2<習(xí)題三(II)6.設(shè)xR,x0.證明:x(1/x)=1.7.證明確界的惟一性、上確界是最小上界和下確界是最大下界.8.設(shè)A,B是R的非空子集.證明:(1)若AB,則supAsupB;(2)若xA,yB滿足xy,則supAsupB;特別若A={xa|aI}和B={ya|aI}滿足xaya|,則supAsupB;94習(xí)題三(II)6.設(shè)xR,x0.證明:x習(xí)題三(III)(3)infA=-sup(-A),supA=-inf(-A),其中-A={-x|xA};(4)inf{xa|aI}+inf{ya|aI}inf{xa+ya|aI}sup{x