挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題教師版2017年版

..目錄第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題21.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題21.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題111.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題191.4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題311.5因動點產(chǎn)生的面積問題411.6因動點產(chǎn)生的線段和差問題51第二部分函數(shù)圖象中點的存在性問題562.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題562.2由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題58第三部分圖形運動中的計算說理問題673.1代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題673.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題71第四部分圖形的平移翻折與旋轉(zhuǎn)75第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例12015年上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題如圖1,在平面直角坐標系中,雙曲線〔k≠0與直線y＝x＋2都經(jīng)過點A<2,m>．〔1求k與m的值；〔2此雙曲線又經(jīng)過點B<n,2>,過點B的直線BC與直線y＝x＋2平行交y軸于點C,聯(lián)結(jié)AB、AC,求△ABC的面積；〔3在〔2的條件下,設(shè)直線y＝x＋2與y軸交于點D,在射線CB上有一點E,如果以點A、C、E所組成的三角形與△ACD相似,且相似比不為1,求點E的坐標．圖1滿分解答〔1將點A<2,m>代入y＝x＋2,得m＝4．所以點A的坐標為<2,4>．將點A<2,4>代入,得k＝8．〔2將點B<n,2>,代入,得n＝4．所以點B的坐標為<4,2>．設(shè)直線BC為y＝x＋b,代入點B<4,2>,得b＝－2．所以點C的坐標為<0,－2>．由A<2,4>、B<4,2>、C<0,－2>,可知A、B兩點間的水平距離和豎直距離都是2,B、C兩點間的水平距離和豎直距離都是4．所以AB＝,BC＝,∠ABC＝90°．圖2所以S△ABC＝＝＝8．〔3由A<2,4>、D<0,2>、C<0,－2>,得AD＝,AC＝．由于∠DAC＋∠ACD＝45°,∠ACE＋∠ACD＝45°,所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE與△ACD相似,分兩種情況：①如圖3,當時,CE＝AD＝．此時△ACD≌△CAE,相似比為1．②如圖4,當時,．解得CE＝．此時C、E兩點間的水平距離和豎直距離都是10,所以E<10,8>．圖3圖4考點伸展第〔2題我們在計算△ABC的面積時,恰好△ABC是直角三角形．一般情況下,在坐標平面內(nèi)計算圖形的面積,用割補法．如圖5,作△ABC的外接矩形HCNM,MN//y軸．由S矩形HCNM＝24,S△AHC＝6,S△AMB＝2,S△BCN＝8,得S△ABC＝8．圖5例220XXXX市中考第24題如圖1,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6cm,BC＝8cm,動點P從點B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動,同時動點Q從點C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動,運動時間為t秒〔0＜t＜2,連接PQ．〔1若△BPQ與△ABC相似,求t的值；〔2如圖2,連接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值；〔3試證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．圖1圖2滿分解答〔1Rt△ABC中,AC＝6,BC＝8,所以AB＝10．△BPQ與△ABC相似,存在兩種情況：①如果,那么．解得t＝1．②如果,那么．解得．圖3圖4〔2作PD⊥BC,垂足為D．在Rt△BPD中,BP＝5t,cosB＝,所以BD＝BPcosB＝4t,PD＝3t．當AQ⊥CP時,△ACQ∽△CDP．所以,即．解得．圖5圖6〔3如圖4,過PQ的中點H作BC的垂線,垂足為F,交AB于E．由于H是PQ的中點,HF//PD,所以F是QD的中點．又因為BD＝CQ＝4t,所以BF＝CF．因此F是BC的中點,E是AB的中點．所以PQ的中點H在△ABC的中位線EF上．考點伸展本題情景下,如果以PQ為直徑的⊙H與△ABC的邊相切,求t的值．如圖7,當⊙H與AB相切時,QP⊥AB,就是,．如圖8,當⊙H與BC相切時,PQ⊥BC,就是,t＝1．如圖9,當⊙H與AC相切時,直徑,半徑等于FC＝4．所以．解得,或t＝0〔如圖10,但是與已知0＜t＜2矛盾．圖7圖8圖9圖10例320XXXX市中考第29題如圖1,已知拋物線〔b是實數(shù)且b＞2與x軸的正半軸分別交于點A、B〔點A位于點B是左側(cè),與y軸的正半軸交于點C．〔1點B的坐標為______,點C的坐標為__________〔用含b的代數(shù)式表示；〔2請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在,求出點P的坐標；如果不存在,請說明理由；〔3請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似〔全等可看作相似的特殊情況？如果存在,求出點Q的坐標；如果不存在,請說明理由．圖1滿分解答〔1B的坐標為<b,0>,點C的坐標為<0,>．〔2如圖2,過點P作PD⊥x軸,PE⊥y軸,垂足分別為D、E,那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設(shè)點P的坐標為<x,x>．如圖3,聯(lián)結(jié)OP．所以S四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以點P的坐標為<>．圖2圖3〔3由,得A<1,0>,OA＝1．①如圖4,以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA．當,即時,△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合題意的點Q為<>．②如圖5,以O(shè)C為直徑的圓與直線x＝1交于點Q,那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．當時,△BQA∽△QOA．此時∠OQB＝90°．所以C、Q、B三點共線．因此,即．解得．此時Q<1,4>．圖4圖5考點伸展第〔3題的思路是,A、C、O三點是確定的,B是x軸正半軸上待定的點,而∠QOA與∠QOC是互余的,那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況．這樣,先根據(jù)△QOA與△QOC相似把點Q的位置確定下來,再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置．如圖中,圓與直線x＝1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話,那么點B的位置距離點A很近,這與OB＝4OC矛盾．例420XX黃岡市中考模擬第25題如圖1,已知拋物線的方程C1：<m＞0>與x軸交于點B、C,與y軸交于點E,且點B在點C的左側(cè)．〔1若拋物線C1過點M<2,2>,求實數(shù)m的值；〔2在〔1的條件下,求△BCE的面積；〔3在〔1的條件下,在拋物線的對稱軸上找一點H,使得BH＋EH最小,求出點H的坐標；〔4在第四象限內(nèi),拋物線C1上是否存在點F,使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在,求m的值；若不存在,請說明理由．圖1滿分解答〔1將M<2,2>代入,得．解得m＝4．〔2當m＝4時,．所以C<4,0>,E<0,2>．所以S△BCE＝．〔3如圖2,拋物線的對稱軸是直線x＝1,當H落在線段EC上時,BH＋EH最?。O(shè)對稱軸與x軸的交點為P,那么．因此．解得．所以點H的坐標為．〔4①如圖3,過點B作EC的平行線交拋物線于F,過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC,所以當,即時,△BCE∽△FBC．設(shè)點F的坐標為,由,得．解得x＝m＋2．所以F′<m＋2,0>．由,得．所以．由,得．整理,得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4,作∠CBF＝45°交拋物線于F,過點F作FF′⊥x軸于F′,由于∠EBC＝∠CBF,所以,即時,△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中,由FF′＝BF′,得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2,．由,得．解得．綜合①、②,符合題意的m為．考點伸展第〔4題也可以這樣求BF的長：在求得點F′、F的坐標后,根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長．例520XX義烏市中考第24題如圖1,已知梯形OABC,拋物線分別過點O〔0,0、A〔2,0、B〔6,3．〔1直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；〔2將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移,分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1,得到如圖2的梯形O1A1B1C1．設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S,A1、B1的坐標分別為<x1,y1>、<x2,y2>．用含S的代數(shù)式表示x2－x1,并求出當S〔3在圖1中,設(shè)點D的坐標為<1,3>,動點P從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動,動點Q從點D出發(fā),以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發(fā),當點Q到達點M時,P、Q兩點同時停止運動．設(shè)P、Q兩點的運動時間為t,是否存在某一時刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在,請求出t的值；若不存在,請說明理由．圖1圖2滿分解答〔1拋物線的對稱軸為直線,解析式為,頂點為M〔1,．〔2梯形O1A1B1C1的面積,由此得到．由于,所以．整理,得．因此得到．當S=36時,解得此時點A1的坐標為〔6,3．〔3設(shè)直線AB與PQ交于點G,直線AB與拋物線的對稱軸交于點E,直線PQ與x軸交于點F,那么要探求相似的△GAF與△GQE,有一個公共角∠G．在△GEQ中,∠GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角,為定值．在△GAF中,∠GAF是直線AB與x軸的夾角,也為定值,而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能,△GQE∽△GAF．這時∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于,,所以．解得．圖3圖4考點伸展第〔3題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4,假如存在,說理過程相同,求得的t的值也是相同的．事實上,圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖,實際的圖形更接近圖3．例620XXXX市中考第26題如圖1,拋物線經(jīng)過點A<4,0>、B〔1,0>、C〔0,－2三點．〔1求此拋物線的解析式；〔2P是拋物線上的一個動點,過P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點P,使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在,請求出符合條件的點P的坐標；若不存在,請說明理由；〔3在直線AC上方的拋物線是有一點D,使得△DCA的面積最大,求出點D的坐標．,圖1滿分解答〔1因為拋物線與x軸交于A<4,0>、B〔1,0>兩點,設(shè)拋物線的解析式為,代入點C的坐標〔0,－2,解得．所以拋物線的解析式為．〔2設(shè)點P的坐標為．①如圖2,當點P在x軸上方時,1＜x＜4,,．如果,那么．解得不合題意．如果,那么．解得．此時點P的坐標為〔2,1．②如圖3,當點P在點A的右側(cè)時,x＞4,,．解方程,得．此時點P的坐標為．解方程,得不合題意．③如圖4,當點P在點B的左側(cè)時,x＜1,,．解方程,得．此時點P的坐標為．解方程,得．此時點P與點O重合,不合題意．綜上所述,符合條件的點P的坐標為〔2,1或或．圖2圖3圖4〔3如圖5,過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設(shè)點D的橫坐標為m,那么點D的坐標為,點E的坐標為．所以．因此．當時,△DCA的面積最大,此時點D的坐標為〔2,1．圖5圖6考點伸展第〔3題也可以這樣解：如圖6,過D點構(gòu)造矩形OAMN,那么△DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去△CDN和△ADM的面積．設(shè)點D的橫坐標為〔m,n,那么．由于,所以．1.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例12015年XX市中考第25題如圖1,在△ABC中,ACB＝90°,∠BAC＝60°,點E是∠BAC的平分線上一點,過點E作AE的垂線,過點A作AB的垂線,兩垂線交于點D,連接DB,點F是BD的中點,DH⊥AC,垂足為H,連接EF,HF．〔1如圖1,若點H是AC的中點,AC＝,求AB、BD的長；〔2如圖1,求證：HF＝EF．〔3如圖2,連接CF、CE,猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是,請證明；若不是,請說明理由．圖1圖2滿分解答〔1如圖3,在Rt△ABC中,∠BAC＝60°,AC＝,所以AB＝．在Rt△ADH中,∠DAH＝30°,AH＝,所以DH＝1,AD＝2．在Rt△ADB中,AD＝2,AB＝,由勾股定理,得BD＝．〔2如圖4,由∠DAB＝90°,∠BAC＝60°,AE平分∠BAC,得∠DAE＝60°,∠DAH＝30°．在Rt△ADE中,AE＝．在Rt△ADH中,DH＝．所以AE＝DH．因為點F是Rt△ABD的斜邊上的中線,所以FA＝FD,∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．圖3圖4圖5〔3如圖5,作FM⊥AB于M,聯(lián)結(jié)CM．由FM//DA,F是DB的中點,得M是AB的中點．因此FM＝,△ACM是等邊三角形．又因為AE＝,所以FM＝EA．又因為CM＝CA,∠CMF＝∠CAE＝30°,所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE,CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等邊三角形．考點伸展我們再看幾個特殊位置時的效果圖,看看有沒有熟悉的感覺．如圖6,如圖7,當點F落在BC邊上時,點H與點C重合．圖6圖7如圖8,圖9,點E落在BC邊上．如圖10,圖11,等腰梯形ABEC．圖8圖9圖10圖11例220XXXX市中考第26題如圖1,拋物線y＝ax2＋bx＋c〔a、b、c是常數(shù),a≠0的對稱軸為y軸,且經(jīng)過<0,0>和兩點,點P在該拋物線上運動,以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點A<0,2>．〔1求a、b、c的值；〔2求證：在點P運動的過程中,⊙P始終與x軸相交；〔3設(shè)⊙P與x軸相交于M<x1,0>、N<x2,0>兩點,當△AMN為等腰三角形時,求圓心P的縱坐標．圖1滿分解答〔1已知拋物線的頂點為<0,0>,所以y＝ax2．所以b＝0,c＝0．將代入y＝ax2,得．解得〔舍去了負值．〔2拋物線的解析式為,設(shè)點P的坐標為．已知A<0,2>,所以＞．而圓心P到x軸的距離為,所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點P運動的過程中,⊙P始終與x軸相交．〔3如圖2,設(shè)MN的中點為H,那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中,,,所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4,為定值．等腰△AMN存在三種情況：①如圖3,當AM＝AN時,點P為原點O重合,此時點P的縱坐標為0．圖2圖3②如圖4,當MA＝MN時,在Rt△AOM中,OA＝2,AM＝4,所以O(shè)M＝2．此時x＝OH＝2．所以點P的縱坐標為．③如圖5,當NA＝NM時,點P的縱坐標為也為．圖4圖5考點伸展如果點P在拋物線上運動,以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點B<0,1>,那么在點P運動的過程中,⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因為：設(shè)點P的坐標為．已知B<0,1>,所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為,所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點P運動的過程中,⊙P始終與直線y＝－1相切．例320XX上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝6,AC＝8,點D為邊BC的中點,DE⊥BC交邊AC于點E,點P為射線AB上的一動點,點Q為邊AC上的一動點,且∠PDQ＝90°．〔1求ED、EC的長；〔2若BP＝2,求CQ的長；〔3記線段PQ與線段DE的交點為F,若△PDF為等腰三角形,求BP的長．圖1備用圖滿分解答〔1在Rt△ABC中,AB＝6,AC＝8,所以BC＝10．在Rt△CDE中,CD＝5,所以,．〔2如圖2,過點D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分別為M、N,那么DM、DN是△ABC的兩條中位線,DM＝4,DN＝3．由∠PDQ＝90°,∠MDN＝90°,可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以,．圖2圖3圖4①如圖3,當BP＝2,P在BM上時,PM＝1．此時．所以．②如圖4,當BP＝2,P在MB的延長線上時,PM＝5．此時．所以．〔3如圖5,如圖2,在Rt△PDQ中,．在Rt△ABC中,．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°,∠CDE＝90°,可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當△PDF是等腰三角形時,△CDQ也是等腰三角形．①如圖5,當CQ＝CD＝5時,QN＝CQ－CN＝5－4＝1〔如圖3所示．此時．所以．②如圖6,當QC＝QD時,由,可得．所以QN＝CN－CQ＝〔如圖2所示．此時．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因為∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ〔如圖5,圖6所示．圖5圖6考點伸展如圖6,當△CDQ是等腰三角形時,根據(jù)等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．例420XXXX市中考第27題如圖1,拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A<－1,0>、B<3,0>、C<0,3>三點,直線l是拋物線的對稱軸．〔1求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2設(shè)點P是直線l上的一個動點,當△PAC的周長最小時,求點P的坐標；〔3在直線l上是否存在點M,使△MAC為等腰三角形,若存在,直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在,請說明理由．圖1滿分解答〔1因為拋物線與x軸交于A<－1,0>、B<3,0>兩點,設(shè)y＝a<x＋1><x－3>,代入點C<0,3>,得－3a＝3．解得a所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－<x＋1><x－3>＝－x2＋2x＋3．〔2如圖2,拋物線的對稱軸是直線x＝1．當點P落在線段BC上時,PA＋PC最小,△PAC的周長最?。O(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由,BO＝CO,得PH＝BH＝2．所以點P的坐標為<1,2>．圖2〔3點M的坐標為<1,1>、<1,>、<1,>或<1,0>．考點伸展第〔3題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標為<1,m>．在△MAC中,AC2＝10,MC2＝1＋<m－3>2,MA2＝4＋m2．①如圖3,當MA＝MC時,MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋<m－3>2,得m＝1．此時點M的坐標為<1,1>．②如圖4,當AM＝AC時,AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10,得．此時點M的坐標為<1,>或<1,>．③如圖5,當CM＝CA時,CM2＝CA2．解方程1＋<m－3>2＝10,得m＝0或6．當M<1,6>時,M、A、C三點共線,所以此時符合條件的點M的坐標為<1,0>．圖3圖4圖5例520XXXX市中考第26題如圖1,點A在x軸上,OA＝4,將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．〔1求點B的坐標；〔2求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；〔3在此拋物線的對稱軸上,是否存在點P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在,求點P的坐標；若不存在,請說明理由．圖1滿分解答〔1如圖2,過點B作BC⊥y軸,垂足為C．在Rt△OBC中,∠BOC＝30°,OB＝4,所以BC＝2,．所以點B的坐標為．〔2因為拋物線與x軸交于O、A<4,0>,設(shè)拋物線的解析式為y＝ax<x－4>,代入點B,．解得．所以拋物線的解析式為．〔3拋物線的對稱軸是直線x＝2,設(shè)點P的坐標為<2,y>．①當OP＝OB＝4時,OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當P在時,B、O、P三點共線〔如圖2．②當BP＝BO＝4時,BP2＝16．所以．解得．③當PB＝PO時,PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③,點P的坐標為,如圖2所示．圖2圖3考點伸展如圖3,在本題中,設(shè)拋物線的頂點為D,那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三角形．由,得拋物線的頂點為．因此．所以∠DOA＝30°,∠ODA＝120°．例620XXXX市中考第28題如圖1,已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點A,且與x軸交于點B．求點A和點B的坐標〔2過點A作AC⊥y軸于點C,過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長的速度,沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā),以相同速度向左平移,在平移過程中,直線l交x軸于點R,交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時,點P和直線l都停止運動．在運動過程中,設(shè)動點P運動的時間為t秒．①當t為何值時,以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在,求t的值；若不存在,請說明理由．圖1滿分解答〔1解方程組得所以點A的坐標是<3,4>．令,得．所以點B的坐標是<7,0>．〔2①如圖2,當P在OC上運動時,0≤t＜4．由,得．整理,得．解得t＝2或t＝6〔舍去．如圖3,當P在CA上運動時,△APR的最大面積為6．因此,當t＝2時,以A、P、R為頂點的三角形的面積為8．圖2圖3圖4②我們先討論P在OC上運動時的情形,0≤t＜4．如圖1,在△AOB中,∠B＝45°,∠AOB＞45°,OB＝7,,所以O(shè)B＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如圖4,點P由O向C運動的過程中,OP＝BR＝RQ,所以PQ//x軸．因此∠AQP＝45°保持不變,∠PAQ越來越大,所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．此時點A在PQ的垂直平分線上,OR＝2CA＝6．所以BR＝1,t＝1．我們再來討論P在CA上運動時的情形,4≤t＜7．在△APQ中,為定值,,．如圖5,當AP＝AQ時,解方程,得．如圖6,當QP＝QA時,點Q在PA的垂直平分線上,AP＝2<OR－OP>．解方程,得．如7,當PA＝PQ時,那么．因此．解方程,得．綜上所述,t＝1或或5或時,△APQ是等腰三角形．圖5圖6圖7考點伸展當P在CA上,QP＝QA時,也可以用來求解．1.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例12015年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝13,CD//AB,點E為射線CD上一動點〔不與點C重合,聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F,∠BAE的平分線交BC于點G．〔1當CE＝3時,求S△CEF∶S△CAF的值；〔2設(shè)CE＝x,AE＝y(tǒng),當CG＝2GB時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3當AC＝5時,聯(lián)結(jié)EG,若△AEG為直角三角形,求BG的長．圖1滿分解答〔1如圖2,由CE//AB,得．由于△CEF與△CAF是同高三角形,所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．〔2如圖3,延長AG交射線CD于M．圖2由CM//AB,得．所以CM＝2AB＝26．由CM//AB,得∠EMA＝∠BAM．又因為AM平分∠BAE,所以∠BAM＝∠EAM．所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．圖3圖4〔3在Rt△ABC中,AB＝13,AC＝5,所以BC＝12．①如圖4,當∠AGE＝90°時,延長EG交AB于N,那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中點．所以G是BC的中點,BG＝6．②如圖5,當∠AEG＝90°時,由△CAF∽△EGF,得．由CE//AB,得．所以．又因為∠AFG＝∠BFA,所以△AFG∽△BFA．所以∠FAG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH,那么BH＝AH＝．在Rt△GBH中,由cos∠B＝,得BG＝÷＝．圖5圖6考點伸展第〔3題的第②種情況,當∠AEG＝90°時的核心問題是說理GA＝GB．如果用四點共圓,那么很容易．如圖6,由A、C、E、G四點共圓,直接得到∠2＝∠4．上海版教材不學(xué)習(xí)四點共圓,比較麻煩一點的思路還有：如圖7,當∠AEG＝90°時,設(shè)AG的中點為P,那么PC和PE分別是Rt△ACG和Rt△AEG斜邊上的中線,所以PC＝PE＝PA＝PG．所以∠1＝2∠2,∠3＝2∠5．如圖8,在等腰△PCE中,∠CPE＝180°－2<∠4＋∠5>,又因為∠CPE＝180°－<∠1＋∠3>,所以∠1＋∠3＝2<∠4＋∠5>．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．圖7圖8例220XXXX市中考第29題如圖1,二次函數(shù)y＝a<x2－2mx－3m2>〔其中a、m是常數(shù),且a＞0,m＞0的圖像與x軸分別交于A、B〔點A位于點B的左側(cè),與y軸交于點C<0,－3>,點D在二次函數(shù)的圖像上,CD//AB,聯(lián)結(jié)AD．過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E,AB平分∠〔1用含m的式子表示a；〔2求證：為定值；〔3設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點為F．探索：在x軸的負半軸上是否存在點G,聯(lián)結(jié)GF,以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在,只要找出一個滿足要求的點G即可,并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在,請說明理由．圖1滿分解答〔1將C<0,－3>代入y＝a<x2－2mx－3m2>,得－3＝－3am2．因此〔2由y＝a<x2－2mx－3m2>＝a<x＋m><x－3m>＝a<x－m>2－4axm2＝a<x－m>得A<－m,0>,B<3m,0>,F<m,－4>,對稱軸為直線x＝m所以點D的坐標為<2m設(shè)點E的坐標為<x,a<x＋m><x－3m>>如圖2,過點D、E分別作x軸的垂線,垂足分別為D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′,所以．因此．所以am<x－3m>＝1．結(jié)合,于是得到x＝4m當x＝4m時,y＝a<x＋m><x－3m>＝5am2＝5．所以點E的坐標為<所以．圖2圖3〔3如圖3,由E<4m,5>、D<2m,－3>、F<可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3．那么過點F作AD的平行線與x軸的負半軸的交點,就是符合條件的點G．證明如下：作FF′⊥x軸于F′,那么．因此．所以線段GF、AD、AE的長圍成一個直角三角形．此時GF′＝4m．所以GO＝3m,點G的坐標為<－考點伸展第〔3題中的點G的另一種情況,就是GF為直角三角形的斜邊．此時．因此．所以．此時．例320XXXX省中考第26題如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點〔點B在點A的右側(cè),與y軸交于點C,連結(jié)BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為<m,0>,過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．〔1求點A、B、C的坐標；〔2當點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD、BC于點M、N．試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由；〔3當點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使△BDQ為直角三角形,若存在,請直接寫出點Q的坐標；若不存在,請說明理由．圖1滿分解答〔1由,得A<－2,0>,B<8,0>,C<0,－4>．〔2直線DB的解析式為．由點P的坐標為<m,0>,可得,．所以MQ＝．當MQ＝DC＝8時,四邊形CQMD是平行四邊形．解方程,得m＝4,或m＝0〔舍去．此時點P是OB的中點,N是BC的中點,N<4,－2>,Q<4,－6>．所以MN＝NQ＝4．所以BC與MQ互相平分．所以四邊形CQBM是平行四邊形．圖2圖3〔3存在兩個符合題意的點Q,分別是<－2,0>,<6,－4>．考點伸展第〔3題可以這樣解：設(shè)點Q的坐標為．①如圖3,當∠DBQ＝90°時,．所以．解得x＝6．此時Q<6,－4>．②如圖4,當∠BDQ＝90°時,．所以．解得x＝－2．此時Q<－2,0>．圖3圖4例420XXXX市中考第24題如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C．〔1求點A、B的坐標；〔2設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點,當△ACD的面積等于△ACB的面積時,求點D的坐標；〔3若直線l過點E<4,0>,M為直線l上的動點,當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時,求直線l的解析式．圖1滿分解答〔1由,得拋物線與x軸的交點坐標為A<－4,0>、B<2,0>．對稱軸是直線x＝－1．〔2△ACD與△ACB有公共的底邊AC,當△ACD的面積等于△ACB的面積時,點B、D到直線AC的距離相等．過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D,在AC的另一側(cè)有對應(yīng)的點D′．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G,與AC交于點H．由BD//AC,得∠DBG＝∠CAO．所以．所以,點D的坐標為．因為AC//BD,AG＝BG,所以HG＝DG．而D′H＝DH,所以D′G＝3DG．所以D′的坐標為．圖2圖3〔3過點A、B分別作x軸的垂線,這兩條垂線與直線l總是有交點的,即2個點M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交,那么就有2個點M；如果圓與直線l相切,就只有1個點M了．聯(lián)結(jié)GM,那么GM⊥l．在Rt△EGM中,GM＝3,GE＝5,所以EM＝4．在Rt△EM1A中,AE＝8,,所以M1A所以點M1的坐標為<－4,6>,過M1、E的直線l為．根據(jù)對稱性,直線l還可以是．考點伸展第〔3題中的直線l恰好經(jīng)過點C,因此可以過點C、E求直線l的解析式．在Rt△EGM中,GM＝3,GE＝5,所以EM＝4．在Rt△ECO中,CO＝3,EO＝4,所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM＝∠CEO．所以直線CM過點C．例520XXXX市中考第22題在平面直角坐標系中,反比例函數(shù)與二次函數(shù)y＝k<x2＋x－1>的圖象交于點A<1,k>和點B<－1,－k>．〔1當k＝－2時,求反比例函數(shù)的解析式；〔2要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大,求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；〔3設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為Q,當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時,求k的值．滿分解答〔1因為反比例函數(shù)的圖象過點A<1,k>,所以反比例函數(shù)的解析式是．當k＝－2時,反比例函數(shù)的解析式是．〔2在反比例函數(shù)中,如果y隨x增大而增大,那么k＜0．當k＜0時,拋物線的開口向下,在對稱軸左側(cè),y隨x增大而增大．拋物線y＝k<x2＋x＋1>＝的對稱軸是直線．圖1所以當k＜0且時,反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．〔3拋物線的頂點Q的坐標是,A、B關(guān)于原點O中心對稱,當OQ＝OA＝OB時,△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．由OQ2＝OA2,得．解得〔如圖2,〔如圖3．圖2圖3考點伸展如圖4,已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線〔k＞0交于A、B和C、D,那么AB與CD互相平分,所以四邊形ACBD是平行四邊形．問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5,當A、C關(guān)于直線y＝x對稱時,AB與CD互相平分且相等,四邊形ABCD是矩形．因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上,所以O(shè)A與OC無法垂直,因此四邊形ABCD不能成為正方形．圖4圖5例620XXXX省中考第23題設(shè)直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2,若l1⊥l2,垂足為H,則稱直線l1與l2是點H的直角線．〔1已知直線①；②；③；④和點C<0,2>,則直線_______和_______是點C的直角線〔填序號即可；〔2如圖,在平面直角坐標系中,直角梯形OABC的頂點A<3,0>、B<2,7>、C<0,7>,P為線段OC上一點,設(shè)過B、P兩點的直線為l1,過A、P兩點的直線為l2,若l1與l2是點P的直角線,求直線l1與l2的解析式．圖1答案〔1直線①和③是點C的直角線．〔2當∠APB＝90°時,△BCP∽△POA．那么,即．解得OP＝6或OP＝1．如圖2,當OP＝6時,l1：,l2：y＝－2x＋6．如圖3,當OP＝1時,l1：y＝3x＋1,l2：．圖2圖3例720XX北京市中考第24題在平面直角坐標系xOy中,拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A,點B<2,n>在這條拋物線上．〔1求點B的坐標；〔2點P在線段OA上,從點O出發(fā)向點A運動,過點P作x軸的垂線,與直線OB交于點E,延長PE到點D,使得ED＝PE,以PD為斜邊,在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD〔當點P運動時,點C、D也隨之運動．①當?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時,求OP的長；②若點P從點O出發(fā)向點A作勻速運動,速度為每秒1個單位,同時線段OA上另一個點Q從點A出發(fā)向點O作勻速運動,速度為每秒2個單位〔當點Q到達點O時停止運動,點P也停止運動．過Q作x軸的垂線,與直線AB交于點F,延長QF到點M,使得FM＝QF,以QM為斜邊,在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN〔當點Q運動時,點M、N也隨之運動．若點P運動到t秒時,兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上,求此刻t的值．圖1滿分解答<1>因為拋物線經(jīng)過原點,所以．解得,〔舍去．因此．所以點B的坐標為〔2,4．<2>①如圖4,設(shè)OP的長為t,那么PE＝2t,EC＝2t,點C的坐標為<3t,2t>．當點C落在拋物線上時,．解得．②如圖1,當兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時,點P、Q重合．此時3t＝10．解得．如圖2,當兩條直角邊PC與MN在同一條直線上,△PQN是等腰直角三角形,PQ＝PE．此時．解得．如圖3,當兩條直角邊DC與QN在同一條直線上,△PQC是等腰直角三角形,PQ＝PD．此時．解得．圖1圖2圖3例820XXXX市中考第24題如圖1,已知A、B是線段MN上的兩點,,,．以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M,以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N,使M、N兩點重合成一點C,構(gòu)成△ABC,設(shè)．〔1求x的取值范圍；〔2若△ABC為直角三角形,求x的值；〔3探究：△ABC的最大面積？圖1滿分解答〔1在△ABC中,,,,所以解得．〔2①若AC為斜邊,則,即,此方程無實根．②若AB為斜邊,則,解得,滿足．③若BC為斜邊,則,解得,滿足．因此當或時,△ABC是直角三角形．〔3在△ABC中,作于D,設(shè),△ABC的面積為S,則．①如圖2,若點D在線段AB上,則．移項,得．兩邊平方,得．整理,得．兩邊平方,得．整理,得所以〔．當時〔滿足,取最大值,從而S取最大值．圖2圖3②如圖3,若點D在線段MA上,則．同理可得,〔．易知此時．綜合①②得,△ABC的最大面積為．考點伸展第〔3題解無理方程比較煩瑣,迂回一下可以避免煩瑣的運算：設(shè),例如在圖2中,由列方程．整理,得．所以．因此．1.4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例12015年XX市中考第28題如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y＝ax2－2ax－3a〔a＜0與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè),經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD＝4AC．〔1直接寫出點A的坐標,并求直線l的函數(shù)表達式〔其中k、b用含a的式子表示；〔2點E是直線l上方的拋物線上的動點,若△ACE的面積的最大值為EQ\F<5,4>,求a的值；〔3設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能,求出點P的坐標；若不能,請說明理由．圖1備用圖滿分解答〔1由y＝ax2－2ax－3a＝a<x＋1><x－3>,得A<－1,0>．由CD＝4AC,得xD＝4．所以D<4,5a>．由A<－1,0>、D<4,5a>,得直線l的函數(shù)表達式為y＝ax＋a．〔2如圖1,過點E作x軸的垂線交AD于F．設(shè)E<x,ax2－2ax－3a>,F<x,ax＋a>,那么EF＝y(tǒng)E－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝,得△ACE的面積的最大值為．解方程,得．〔3已知A<－1,0>、D<4,5a>,xP＝1,以AD為分類標準,分兩種情況討論：①如圖2,如果AD為矩形的邊,那么AD//QP,AD＝QP,對角線AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ,得xQ＝－4．當x＝－4時,y＝a<x＋1><x－3>＝21a．所以Q<－4,21a>．由yD－yA＝y(tǒng)P－yQ,得yP＝26a．所以P<1,26a>．由AP2＝QD2,得22＋<26a>2＝82＋<16a>2．整理,得7a2＝1．所以．此時P．②如圖3,如果AD為矩形的對角線,那么AD與PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ,得xQ＝2．所以Q<2,－3a>．由yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ,得yP＝8a．所以P<1,8a>．由AD2＝PQ2,得52＋<5a>2＝12＋<11a>2．整理,得4a2＝1．所以．此時P．圖1圖2圖3考點伸展第〔3題也可以這樣解．設(shè)P<1,n>．①如圖2,當AD時矩形的邊時,∠QPD＝90°,所以,即．解得．所以P．所以Q．將Q代入y＝a<x＋1><x－3>,得．所以．②如圖3,當AD為矩形的對角線時,先求得Q<2,－3a>．由∠AQD＝90°,得,即．解得．例220XXXX省中考第24題如圖1,已知拋物線C：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A<－3,0>和B<0,3>兩點．將這條拋物線的頂點記為M,它的對稱軸與x軸的交點記為N．〔1求拋物線C的表達式；〔2求點M的坐標；〔3將拋物線C平移到拋物線C′,拋物線C′的頂點記為M′,它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形,那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1滿分解答〔1將A<－3,0>、B<0,3>分別代入y＝－x2＋bx＋c,得解得b＝－2,c＝3．所以拋物線C的表達式為y＝－x2－2x＋3．〔2由y＝－x2－2x＋3＝－<x＋1>2＋4,得頂點M的坐標為<－1,4>．〔3拋物線在平移過程中,M′N′與MN保持平行,當M′N′＝MN＝4時,以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．因為平行四邊形的面積為16,所以MN邊對應(yīng)的高NN′＝4．那么以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′〔如圖2；拋物線C直接向左平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′〔如圖2；拋物線C先向右平移4個單位,再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′〔如圖3；拋物線C先向左平移4個單位,再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′〔如圖3．圖2圖3考點伸展本題的拋物線C向右平移m個單位,兩條拋物線的交點為D,那么△MM′D的面積S關(guān)于m有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4,△MM′D是等腰三角形,由M<－1,4>、M′<－1＋m,4>,可得點D的橫坐標為．將代入y＝－<x＋1>2＋4,得．所以DH＝．所以S＝．圖4例320XX上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1,已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A<0,1>、B<4,3>兩點．〔1求拋物線的解析式；〔2求tan∠ABO的值；〔3過點B作BC⊥x軸,垂足為C,在對稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點N,交拋物線于點M,若四邊形MNCB為平行四邊形,求點M的坐標．圖1滿分解答〔1將A<0,1>、B<4,3>分別代入y＝－x2＋bx＋c,得解得,c＝1．所以拋物線的解析式是．〔2在Rt△BOC中,OC＝4,BC＝3,所以O(shè)B＝5．如圖2,過點A作AH⊥OB,垂足為H．在Rt△AOH中,OA＝1,,所以．圖2所以,．在Rt△ABH中,．〔3直線AB的解析式為．設(shè)點M的坐標為,點N的坐標為,那么．當四邊形MNCB是平行四邊形時,MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3,得x＝1或x＝3．因為x＝3在對稱軸的右側(cè)〔如圖4,所以符合題意的點M的坐標為〔如圖3．圖3圖4考點伸展第〔3題如果改為：點M是拋物線上的一個點,直線MN平行于y軸交直線AB于N,如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形,求點M的坐標．那么求點M的坐標要考慮兩種情況：MN＝y(tǒng)M－yN或MN＝y(tǒng)N－yM．由yN－yM＝4x－x2,解方程x2－4x＝3,得〔如圖5．所以符合題意的點M有4個：,,,．圖5例420XXXX市中考第21題如圖1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝6,BC＝8,動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動,動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動,過點P作PD//BC,交AB于點D,聯(lián)結(jié)PQ．點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動的時間為t秒〔t≥0．〔1直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______,PD＝_______；〔2是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形？若存在,求出t的值；若不存在,說明理由,并探究如何改變點Q的速度〔勻速運動,使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形,求點Q的速度；〔3如圖2,在整個運動過程中,求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長．圖1圖2滿分解答〔1QB＝8－2t,PD＝．〔2如圖3,作∠ABC的平分線交CA于P,過點P作PQ//AB交BC于Q,那么四邊形PDBQ是菱形．過點P作PE⊥AB,垂足為E,那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中,AC＝6,BC＝8,所以AB＝10．圖3在Rt△APE中,,所以．當PQ//AB時,,即．解得．所以點Q的運動速度為．〔3以C為原點建立直角坐標系．如圖4,當t＝0時,PQ的中點就是AC的中點E<3,0>．如圖5,當t＝4時,PQ的中點就是PB的中點F<1,4>．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖6,PQ的中點M的坐標可以表示為〔,t．經(jīng)驗證,點M〔,t在直線EF上．所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長,EF＝．圖4圖5圖6考點伸展第〔3題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當t＝2時,PQ的中點為<2,2>．設(shè)點M的運動路徑的解析式為y＝ax2＋bx＋c,代入E<3,0>、F<1,4>和<2,2>,得解得a＝0,b＝－2,c＝6．所以點M的運動路徑的解析式為y＝－2x＋6．例520XXXX市中考第26題如圖1,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B<1,0>、C<3,0>、D<3,4>．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發(fā),沿線段AB向點B運動,同時動點Q從點C出發(fā),沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位,運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．〔1直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式；〔2過點E作EF⊥AD于F,交拋物線于點G,當t為何值時,△ACG的面積最大？最大值為多少？〔3在動點P、Q運動的過程中,當t為何值時,在矩形ABCD內(nèi)〔包括邊界存在點H,使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．圖1滿分解答〔1A<1,4>．因為拋物線的頂點為A,設(shè)拋物線的解析式為y＝a<x－1>2＋4,代入點C<3,0>,可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－<x－1>2＋4＝－x2＋2x＋3．〔2因為PE//BC,所以．因此．所以點E的橫坐標為．將代入拋物線的解析式,y＝－<x－1>2＋4＝．所以點G的縱坐標為．于是得到．因此．所以當t＝1時,△ACG面積的最大值為1．〔3或．考點伸展第〔3題的解題思路是這樣的：因為FE//QC,FE＝QC,所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點F關(guān)于PE軸對稱的點H′,那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關(guān)于t的方程,檢驗四邊形FECQ是否為菱形,根據(jù)EQ＝CQ列關(guān)于t的方程,檢驗四邊形EH′CQ是否為菱形．,,,．如圖2,當FQ＝CQ時,FQ2＝CQ2,因此．整理,得．解得,〔舍去．如圖3,當EQ＝CQ時,EQ2＝CQ2,因此．整理,得．．所以,〔舍去．圖2圖3例620XX上海市中考第24題已知平面直角坐標系xOy〔如圖1,一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A,點M在正比例函數(shù)的圖象上,且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A、M．〔1求線段AM的長；〔2求這個二次函數(shù)的解析式；〔3如果點B在y軸上,且位于點A下方,點C在上述二次函數(shù)的圖象上,點D在一次函數(shù)的圖象上,且四邊形ABCD是菱形,求點C的坐標．圖1滿分解答〔1當x＝0時,,所以點A的坐標為<0,3>,OA＝3．如圖2,因為MO＝MA,所以點M在OA的垂直平分線上,點M的縱坐標為．將代入,得x＝1．所以點M的坐標為．因此．〔2因為拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A<0,3>、M,所以解得,．所以二次函數(shù)的解析式為．〔3如圖3,設(shè)四邊形ABCD為菱形,過點A作AE⊥CD,垂足為E．在Rt△ADE中,設(shè)AE＝4m,DE＝3m,那么AD＝因此點C的坐標可以表示為<4m,3－2m>．將點C<4m,3－2m>代入,得．解得或者m因此點C的坐標為〔2,2．圖2圖3考點伸展如果第〔3題中,把"四邊形ABCD是菱形"改為"以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形",那么還存在另一種情況：如圖4,點C的坐標為．圖4例720XXXX省中考第24題將拋物線c1：沿x軸翻折,得到拋物線c2,如圖1所示．〔1請直接寫出拋物線c2的表達式；〔2現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度,平移后得到新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度,平移后得到新拋物線的頂點為N,與x軸的交點從左到右依次為D、E．①當B、D是線段AE的三等分點時,求m的值；②在平移過程中,是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在,請求出此時m的值；若不存在,請說明理由．圖1滿分解答〔1拋物線c2的表達式為．〔2拋物線c1：與x軸的兩個交點為<－1,0>、<1,0>,頂點為．拋物線c2：與x軸的兩個交點也為<－1,0>、<1,0>,頂點為．拋物線c1向左平移m個單位長度后,頂點M的坐標為,與x軸的兩個交點為、,AB＝2．拋物線c2向右平移m個單位長度后,頂點N的坐標為,與x軸的兩個交點為、．所以AE＝<1＋m>－<－1－m>＝2<1＋m>．①B、D是線段AE的三等分點,存在兩種情況：情形一,如圖2,B在D的左側(cè),此時,AE＝6．所以2<1＋m>＝6．解得m＝2．情形二,如圖3,B在D的右側(cè),此時,AE＝3．所以2<1＋m>＝3．解得．圖2圖3圖4②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形,那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3,所以4<1＋m>2＝4<m2＋3>．解得m＝1〔如圖4．考點伸展第〔2題②,探求矩形ANEM,也可以用幾何說理的方法：在等腰三角形ABM中,因為AB＝2,AB邊上的高為,所以△ABM是等邊三角形．同理△DEN是等邊三角形．當四邊形ANEM是矩形時,B、D兩點重合．因為起始位置時BD＝2,所以平移的距離m＝1．1.5因動點產(chǎn)生的面積問題例12015年XX省中考第23題如圖1,邊長為8的正方形ABCD的兩邊在坐標軸上,以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A,點P是拋物線上A、C兩點間的一個動點〔含端點,過點P作PF⊥BC于點F．點D、E的坐標分別為<0,6>、<－4,0>,聯(lián)結(jié)PD、PE、DE．〔1直接寫出拋物線的解析式；〔2小明探究點P的位置發(fā)現(xiàn)：當點P與點A或點C重合時,PD與PF的差為定值．進而猜想：對于任意一點P,PD與PF的差為定值．請你判斷該猜想是否正確,并說明理由；〔3小明進一步探究得出結(jié)論：若將"使△PDE的面積為整數(shù)"的點P記作"好點",則存在多個"好點",且使△PDE的周長最小的點P也是一個"好點"．請直接寫出所有"好點"的個數(shù),并求出△PDE周長最小時"好點"的坐標．圖1備用圖滿分解答〔1拋物線的解析式為．〔2小明的判斷正確,對于任意一點P,PD－PF＝2．說理如下：設(shè)點P的坐標為,那么PF＝y(tǒng)F－yP＝．而FD2＝,所以FD＝．因此PD－PF＝2為定值．〔3"好點"共有11個．在△PDE中,DE為定值,因此周長的最小值取決于FD＋PE的最小值．而PD＋PE＝<PF＋2>＋PE＝<PF＋PE>＋2,因此當P、E、F三點共線時,△PDE的周長最小〔如圖2．此時EF⊥x軸,點P的橫坐標為－4．所以△PDE周長最小時,"好點"P的坐標為<－4,6>．圖2圖3考點伸展第〔3題的11個"好點"是這樣求的：如圖3,聯(lián)結(jié)OP,那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE．因為S△POD＝,S△POE＝,S△DOE＝12,所以S△PDE＝＝＝．因此S是x的二次函數(shù),拋物線的開口向下,對稱軸為直線x＝－6．如圖4,當－8≤x≤0時,4≤S≤13．所以面積的值為整數(shù)的個數(shù)為10．當S＝12時,方程的兩個解－8,－4都在－8≤x≤0范圍內(nèi)．所以"使△PDE的面積為整數(shù)"的"好點"P共有11個．圖4例220XXXX市中考第23題如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y＝ax2＋bx－3〔a≠0與x軸交于A<－2,0>、B<4,0>兩點,與y軸交于點C．〔1求拋物線的解析式；〔2點P從點A出發(fā),在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向點B運動,同時點Q從點B出發(fā),在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個點到達終點時,另一個點也停止運動．當△PBQ存在時,求運動多少秒時△PBQ的面積最大,最大面積是多少？〔3當△PBQ的面積最大時,在BC下方的拋物線上存在點K,使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2,求點K的坐標．圖1滿分解答〔1因為拋物線與x軸交于A<－2,0>、B<4,0>兩點,所以y＝a<x＋2><x－4>．所以－8a＝－3．解得．所以拋物線的解析式為．〔2如圖2,過點Q作QH⊥x軸,垂足為H．在Rt△BCO中,OB＝4,OC＝3,所以BC＝5,sinB＝．在Rt△BQH中,BQ＝t,所以QH＝BQsinB＝t．所以S△PBQ＝．因為0≤t≤2,所以當t＝1時,△PBQ的面積最大,最大面積是。〔3當△PBQ的面積最大時,t＝1,此時P是AB的中點,P<1,0>,BQ＝1。如圖3,因為△PBC與△PBQ是同高三角形,S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。當S△CBK∶S△PBQ＝5∶2時,S△PBC∶S△CBK＝2∶1。因為△PBC與△CBK是同底三角形,所以對應(yīng)高的比為2∶1。如圖4,過x軸上的點D畫CB的平行線交拋物線于K,那么PB∶DB＝2∶1。因為點K在BC的下方,所以點D在點B的右側(cè),點D的坐標為．過點K作KE⊥x軸于E．設(shè)點K的坐標為．由,得．整理,得x2－4x＋3＝0．解得x＝1,或x＝3．所以點K的坐標為或．圖2圖3圖4考點伸展第〔3題也可以這樣思考：由S△CBK∶S△PBQ＝5∶2,S△PBQ＝,得S△CBK＝．如圖5,過點K作x軸的垂線交BC于F．設(shè)點K的坐標為．由于點F在直線BC：上．所以點F的坐標為．所以KF＝．△CBK被KF分割為△CKF和△BKF,他們的高的和為OB＝4．所以S△CBK＝．解得x＝1,或x＝3．圖5例320XXXX市中考第29題如圖1,已知拋物線〔b、c是常數(shù),且c＜0與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè),與y軸的負半軸交于點C,點A的坐標為<－1,0>．〔1b＝______,點B的橫坐標為_______〔上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示；〔2連結(jié)BC,過點A作直線AE//BC,與拋物線交于點E．點D是x軸上一點,坐標為<2,0>,當C、D、E三點在同一直線上時,求拋物線的解析式；〔3在〔2的條件下,點P是x軸下方的拋物線上的一動點,連結(jié)PB、PC．設(shè)△PBC的面積為S．①求S的取值范圍；②若△PBC的面積S為正整數(shù),則這樣的△PBC共有_____個．圖1滿分解答〔1b＝,點B的橫坐標為－2c．〔2由,設(shè)E．過點E作EH⊥x軸于H．由于OB＝2OC,當AE//BC時,AH＝2EH．所以．因此．所以．當C、D、E三點在同一直線上時,．所以．整理,得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或〔舍去所以拋物線的解析式為．〔3①當P在BC下方時,過點P作x軸的垂線交BC于F．直線BC的解析式為．設(shè),那么,．所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．因此當P在BC下方時,△PBC的最大值為4．當P在BC上方時,因為S△ABC＝5,所以S△PBC＜5．綜上所述,0＜S＜5．②若△PBC的面積S為正整數(shù),則這樣的△PBC共有11個．考點伸展點P沿拋物線從A經(jīng)過C到達B的過程中,△PBC的面積為整數(shù),依次為〔5,4,3,2,1,〔0,1,2,3,4,3,2,1,〔0．當P在BC下方,S＝4時,點P在BC的中點的正下方,F是BC的中點．例420XXXX市中考第21題如圖1,在平面直角坐標系中放置一直角三角板,其頂點為A<0,1>、B<2,0>、O<0,0>,將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到三角形A′B′O．〔1一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B,求該拋物線的解析式；〔2設(shè)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點,是否存在點P,使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在,請求出點P的坐標；若不存在,請說明理由；〔3在〔2的條件下,試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質(zhì)．圖1滿分解答〔1△AOB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點A′、B′的坐標分別為<－1,0>、<0,2>．因為拋物線與x軸交于A′<－1,0>、B<2,0>,設(shè)解析式為y＝a<x＋1><x－2>,代入B′<0,2>,得a＝1．所以該拋物線的解析式為y＝－<x＋1><x－2>＝－x2＋x＋2．〔2S△A′B′O＝1．如果S四邊形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4,那么S四邊形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如圖2,作PD⊥OB,垂足為D．設(shè)點P的坐標為<x,－x2＋x＋2>．．．所以．解方程－x2＋2x＋2＝3,得x1＝x2＝1．所以點P的坐標為<1,2>．圖2圖3圖4〔3如圖3,四邊形PB′A′B是等腰梯形,它的性質(zhì)有：等腰梯形的對角線相等；等腰梯形同以底上的兩個內(nèi)角相等；等腰梯形是軸對稱圖形,對稱軸是經(jīng)過兩底中點的直線．考點伸展第〔2題求四邊形PB′OB的面積,也可以如圖4那樣分割圖形,這樣運算過程更簡單．．．所以．甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對稱性直接得到點P：作△A′OB′關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的△BOE,那么點E的坐標為<1,2>．而矩形EB′OD與△A′OB′、△BOP是等底等高的,所以四邊形EB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．因此點E就是要探求的點P．例520XXXX省中考第23題如圖1,在平面直角坐標系中,直線與拋物線y＝ax2＋bx－3交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點〔不與點A、B重合,過點P作x軸的垂線交直線AB于點C,作PD⊥AB于點D．〔1求a、b及sin∠ACP的值；〔2設(shè)點P的橫坐標為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長,并求出線段PD長的最大值；②連結(jié)PB,線段PC把△PDB分成兩個三角形,是否存在適合的m的值,使這兩個三角形的面積比為9∶10？若存在,直接寫出m的值；若不存在,請說明理由．圖1思路點撥1．第〔1題由于CP//y軸,把∠ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角．2．第〔2題中,PD＝PCsin∠ACP,第〔1題已經(jīng)做好了鋪墊．3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形,面積比等于對應(yīng)高DN與BM的比．4．兩個三角形的面積比為9∶10,要分兩種情況討論．滿分解答〔1設(shè)直線與y軸交于點E,那么A<－2,0>,B<4,3>,E<0,1>．在Rt△AEO中,OA＝2,OE＝1,所以．所以．因為PC//EO,所以∠ACP＝∠AEO．因此．將A<－2,0>、B<4,3>分別代入y＝ax2＋bx－3,得解得,．〔2由,,得．所以．所以PD的最大值為．〔3當S△PCD∶S△PCB＝9∶10時,；當S△PCD∶S△PCB＝10∶9時,．圖2考點伸展第〔3題的思路是：△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形,面積比等于對應(yīng)高DN與BM的比．而,BM＝4－m．①當S△PCD∶S△PCB＝9∶10時,．解得．②當S△PCD∶S△PCB＝10∶9時,．解得．例620XXXX市中考第28題如圖1,直線l經(jīng)過點A<1,0>,且與雙曲線<x＞0>交于點B<2,1>．過點<p＞1>作x軸的平行線分別交曲線<x＞0>和<x＜0>于M、N兩點．〔1求m的值及直線l的解析式；〔2若點P在直線y＝2上,求證：△PMB∽△PNA；〔3是否存在實數(shù)p,使得S△AMN＝4S△AMP？若存在,請求出所有滿足條件的p的值；若不存在,請說明理由．圖1滿分解答〔1因為點B<2,1>在雙曲線上,所以m＝2．設(shè)直線l的解析式為,代入點A<1,0>和點B<2,1>,得解得所以直線l的解析式為．〔2由點<p＞1>的坐標可知,點P在直線上x軸的上方．如圖2,當y＝2時,點P的坐標為<3,2>．此時點M的坐標為<1,2>,點N的坐標為<－1,2>．由P<3,2>、M<1,2>、B<2,1>三點的位置關(guān)系,可知△PMB為等腰直角三角形．由P<3,2>、N<－1,2>、A<1,0>三點的位置關(guān)系,可知△PNA為等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．圖2圖3圖4〔3△AMN和△AMP是兩個同高的三角形,底邊MN和MP在同一條直線上．當S△AMN＝4S△AMP時,MN＝4MP．①如圖3,當M在NP上時,xM－xN＝4<xP－xM>．因此．解得或〔此時點P在x軸下方,舍去．此時．②如圖4,當M在NP的延長線上時,xM－xN＝4<xM－xP>．因此．解得或〔此時點P在x軸下方,舍去．此時．考點伸展在本題情景下,△AMN能否成為直角三角形？情形一,如圖5,∠AMN＝90°,此時點M的坐標為〔1,2,點P的坐標為〔3,2．情形二,如圖6,∠MAN＝90°,此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半．不存在∠ANM＝90°的情況．圖5圖6例720XXXX市中考第25題如圖1,四邊形OABC是矩形,點A、C的坐標分別為<3,0>,<0,1>．點D是線段BC上的動點〔與端點B、C不重合,過點D作直線交折線OAB于點E．〔1記△ODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；〔2當點E在線段OA上時,若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1,試探究四邊形O1A1B1C圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名"10XX25”,拖動點D由C向B運動,觀察S隨b變化的函數(shù)圖象,可以體驗到,E在OA上時,S隨b的增大而增大；E在AB上時,S隨b的增大而減?。p擊按鈕"第〔3題",拖動點D由C向B運動,可以觀察到,E在OA滿分解答<1>①如圖2,當E在OA上時,由可知,點E的坐標為<2b,0>,OE＝2b．此時S＝S△ODE＝．②如圖3,當E在AB上時,把y＝1代入可知,點D的坐標為<2b－2,1>,CD＝2b－2,BD＝5－2b．把x＝3代入可知,點E的坐標為,AE＝,BE＝．此時S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝．<2>如圖4,因為四邊形O1A1B1C1與矩形OABC關(guān)于直線DE對稱,因此DM＝DN,那么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形,即四邊形作DH⊥OA,垂足為H．由于CD＝2b－2,OE＝2b,所以EH＝2．設(shè)菱形DMEN的邊長為m．在Rt△DEH中,DH＝1,NH＝2－m,DN＝m,所以12＋<2－m>2＝m2．解得．所以重疊部分菱形DMEN的面積為．圖2