(詳細(xì)解析、評注)帶電粒子在有界磁場中運動的臨界(極限)問題

..帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題當(dāng)某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或物體從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)時,發(fā)生這種質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)通常稱為臨界狀態(tài)。粒子進(jìn)入有邊界的磁場,由于邊界條件的不同,而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問題,如帶電粒子恰好不能從某個邊界射出磁場,可以根據(jù)邊界條件確定粒子的軌跡、半徑、在磁場中的運動時間等。如何分析這類相關(guān)的問題是本文所討論的內(nèi)容。一、帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法1．圓心的確定方法一:洛倫茲力F指向圓心,根據(jù)F⊥v,畫出粒子運動軌跡中任意兩點〔一般是射入和射出磁場兩點,先作出切線找出v的方向,再確定F的方向,沿兩個洛倫茲力F的方向畫其延長線,兩延長線的交點即為圓心,方法二:或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上,作出圓心位置,如圖1所示。2．半徑的確定和計算利用平面幾何關(guān)系!!!!,求出該圓的可能半徑〔或圓心角,并注意以下兩個重要的幾何特點：①粒子速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于轉(zhuǎn)過的粒子軌跡圓心角α,并等于AB弦與切線的夾角〔弦切角θ的2倍,如圖2所示,即φ=α=2θ。②相對的弦切角θ相等,與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ),即θ+θ′=180°。3．粒子在磁場中運動時間的確定若要計算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時間,則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對的圓心角,利用圓心角α與弦切角的關(guān)系,或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°計算出圓心角α的大小,并由表達(dá)式,確定通過該段圓弧所用的時間,其中T即為該粒子做圓周運動的周期,轉(zhuǎn)過的圓心角越大,所用時間t越長,注意t與運動軌跡的長短無關(guān)。4．帶電粒子在兩種典型有界磁場中運動情況的分析①穿過矩形磁場區(qū)：如圖3所示,一定要先畫好輔助線〔半徑、速度及延長線。a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角由sinθ=L/R求出；〔θ、L和R見圖標(biāo)b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2-〔R-y2解出；〔y見所圖標(biāo)c、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。②穿過圓形磁場區(qū)：如圖4所示,畫好輔助線〔半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線。a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角可由求出；〔θ、r和R見圖標(biāo)b、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。二、帶電粒子在有界磁場中運動類型的分析1．給定有界磁場B〔1給定入射速度的大小和方向,判斷帶電粒子出射點或其它[例1]〔20XXXX省高考試題如圖5所示,在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點射入磁場,入射方向在xy平面內(nèi),與x軸正向的夾角為θ。若粒子射出磁場時的位置與O點的距離為l,求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。解析：帶正電粒子射入磁場后,由于受到洛侖茲力的作用,粒子將沿圖6所示的軌跡運動,從A點射出磁場,O、A間的距離為l,射出時速度的大小仍為v0,射出方向與x軸的夾角仍為θ。由洛侖茲力公式和牛頓定律可得,〔我的點評----確定粒子初射方向的方法：抗磁原理,即粒子轉(zhuǎn)動對應(yīng)電流的磁場方向,與已存在的空間磁場方向相反,〔式中R為圓軌道的半徑解得R=mv0/qB①圓軌道的圓心位于OA的中垂線上,由幾何關(guān)系可得l/2=Rsinθ②聯(lián)立①、②兩式,解得。原文點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射點和出射點,求該粒子的電量和質(zhì)量之比,也可以倒過來分析,求出射點的位置。在處理這類問題時重點是畫出軌跡圖,根據(jù)幾何關(guān)系確定軌跡半徑。我的點評:磁場中粒子圓周運動計算題的核心是運用公式,由題目給出的已知量求未知量.原則上,高考題中關(guān)于磁場中粒子圓周運動的計算都是根據(jù)此公式或此公式的變形式展開的.本題中所求的荷質(zhì)比,也同樣通過上面公式的變形式進(jìn)行計算,。本題中已知V、B,需要求r,而確定r需要畫出粒子的軌跡圓。軌跡圓確定有幾種方法〔與具體的已知條件有關(guān),見另一文檔,確定軌跡圓后,要注意結(jié)合平面幾何、三角知識,計算r?！?給定入射速度的方向,而大小變化,判定粒子的出射范圍[例2]如圖7所示,矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的長為L,寬為L/2。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,質(zhì)量為m,電荷量為e的電子沿著矩形磁場的上方邊界射入磁場,欲使該電子由下方邊界穿出磁場,求：電子速率v的取值范圍？解析：〔1帶電粒子射入磁場后,由于速率大小的變化,導(dǎo)致粒子軌跡半徑的改變,如圖所示。當(dāng)速率最小時,粒子恰好從d點射出,由圖可知其半徑R1=L/4,再由R1=mv1/eB,得當(dāng)速率最大時,粒子恰好從c點射出,由圖可知其半徑R2滿足,即R2=5L/4,再由R2=mv2/eB,得電子速率v的取值范圍為：。點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的方向,由于入射速度的大小發(fā)生改變,從而改變了該粒子運動軌跡半徑,導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態(tài)粒子運動的軌跡圖,再根據(jù)幾何關(guān)系確定對應(yīng)的軌跡半徑,最后求解臨界狀態(tài)的速率?！?給定入射速度的大小,而方向變化,判定粒子的出射范圍[例3]〔20XXXX省高考試題如圖8所示,真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直于紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0．60T,磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab,板面與磁場方向平行,在距ab的距離l=16cm處,有一個點狀的α放射源S,它向各個方向發(fā)射α粒子,α粒子的速度都是v=3．0×106m/s,已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=5．0×107C/kg,現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運動的α粒子,求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度。解析：α粒子帶正電〔我的點評—需要知道的原子物理基礎(chǔ)知識,故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動,用R表示軌道半徑,有qvB=mv2/R,由此得R=mv/qB,代入數(shù)值得R=10cm?！参业狞c評------為什么必須先算出半徑,然后再在此基礎(chǔ)上分析？？？？------如果比計算出r,就無從知道軌跡圓與ab板的碰撞情況?？梢?2R>l>R,如圖9所示,因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S,由此可知,某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切,則此切點P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點。為定出P1點的位置〔我的點評-----根據(jù)粒子在磁場中做圓周運動的特點,做輔助線！?。〈缶€段長度轉(zhuǎn)換?。?！----構(gòu)成三角形?。?！,可作平行于ab的直線cd,cd到ab的距離為R,以S為圓心,R為半徑,作弧交cd于Q點,過Q作ab的垂線,它與ab的交點即為P1。,再考慮N的右側(cè)。任何α粒子在運動中離S的距離不可能超過2R,以2R為半徑、S為圓心作圓,交ab于N右側(cè)的P2點,此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點。由圖中幾何關(guān)系得,所求長度為P1P2=NP1+NP2,代入數(shù)值得P1P2=20cm。點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小,其對應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變,從而改變了該粒子運動軌跡圖,導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態(tài)粒子運動的軌跡圖〔對應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向,再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射范圍。2．給定動態(tài)有界磁場〔1給定入射速度的大小和方向,判定粒子出射點的位置[例4]〔20XX天津市理綜試題在以坐標(biāo)原點O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi),存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,如圖10所示。一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿-x方向射入磁場,恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿+y方向飛出?！?請判斷該粒子帶何種電荷,并求出其比荷q/m；〔2若磁場的方向和所在空間范圍不變,而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場,但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角,求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′多大？此次粒子在磁場中運動所用時間t是多少？解析：〔1由粒子的飛行軌跡,利用左手定則可知,該粒子帶負(fù)電荷。如圖11所示,粒子由A點射入,由C點飛出,其速度方向改變了90°,則粒子軌跡半徑r=R,又,〔核心公式！?。。。。。?！則粒子的荷質(zhì)比為?！?粒子從D點飛出磁場速度方向改變了60°角,故AD弧所對圓心角60°,粒子做圓周運動的半徑,又〔核心公式的變形?。?！,所以,粒子在磁場中飛行時間：?！参业闹庇^理解----速度不變,轉(zhuǎn)角減小,表明向心力減小,磁場強(qiáng)度降低。另一種直觀快速理解----速度相同時,磁場減小,轉(zhuǎn)角減小磁場為零時,直線運動,方向不變。點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小和方向,但由于有界磁場發(fā)生改變〔包括磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小或方向的改變,從而改變了該粒子在有界磁場中運動的軌跡圖,導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運動的軌跡圖,再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射點的位置。〔2給定入射速度和出射速度的大小和方向,判定動態(tài)有界磁場的邊界位置〔另一文檔由此題?。。?！[例5]〔1994年全國高考試題如圖12所示,一帶電質(zhì)點,質(zhì)量為m,電量為q,以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出,可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi),試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。解析：質(zhì)點在磁場中作半徑為R的圓周運動,qvB=〔Mv2/R,得R=〔MV/〔qB。根據(jù)題意,質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周〔由入射、出射角度得到,而且粒子經(jīng)過的空間一定有磁場,這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示,過a點作平行于x軸的直線,過b點作平行于y軸的直線,則與這兩直線均相距R的O′點就是圓周的圓心。質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道就是以O(shè)′為圓心、R為半徑的圓〔圖中虛線圓上的圓弧MN,M點和N點應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。在通過M、N兩點的不同的圓周中,最小的一個是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：,所求磁場區(qū)域如圖13所示中實線圓所示。點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度和出射速度的大小和方向,但由于有界磁場發(fā)生改變〔磁感應(yīng)強(qiáng)度不變,但磁場區(qū)域在改變,從而改變了該粒子在有界磁場中運動的軌跡圖,導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運動的軌跡圖,確定臨界狀態(tài)的粒子運動軌跡圖,再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的磁場區(qū)域的位置。[鞏固練習(xí)]1．〔20XX理綜I如圖14所示,在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,磁場方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域。不計重力,不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域,其中。哪個圖是正確的？A．B．C．D．答案：A分析思路-----〔1已知條件特點,V相同,且垂直平面軌跡圓半徑相同；〔2O點左面、右面的軌跡不對稱〔不對稱為一般結(jié)論,前面已做題目,由此判斷答案B、D錯誤,在A、B中B是負(fù)電荷軌跡,由此判斷A對。。圖形不對稱的具體分析------由V與MN成零度開始分析,逐漸增加角度；陰影邊緣的分析-----極限角度、特殊角度,軌跡圓特性〔半徑均為為R〔aV與MN夾角為零度---粒子與O點的垂直距離最大〔紅色圓〔bV與MN夾角為90-----粒子與O點的水平距離最大〔藍(lán)色圓〔c其他陰影部分的獲得方法---紅色、藍(lán)色圓通過0點,其他速度對的圓也都通過0點,O點是這些圓的公共點,將紅色圓向左旋轉(zhuǎn),保持0點在圓上,即得到包絡(luò)線。另一方法：通過用圓規(guī)畫一系列的半徑相同的圓〔用硬幣一元更快捷?。?！,且通過0點,這些圓離開O點的最遠(yuǎn)距離為2R?？焖俜治龇椒ǎ鹤プ√攸c---這些圓過0點,離O點的最遠(yuǎn)距離為2R。2.〔一個省的高考題不會突變,增加新型難題如圖4所示,在xOy平面內(nèi)有許多電子〔質(zhì)量為m,電量為e,從坐標(biāo)原點O不斷的以相同大小的速度沿不同方向射入I象限,現(xiàn)加一個垂直于xOy平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場,要求這些電子穿過該磁場后都能平行于x軸向＋x方向運動,試求符合該條件的磁場的最小面積。解析：設(shè)磁場B的方向垂直紙面向里〔評注:必須先假設(shè),否則無法確定電子環(huán)繞方向,而且要注意電子入射速速的的角度分布:在第一象限.首先確定電子可以到達(dá)的極限位置,這對應(yīng)沿正y軸入射進(jìn)入第一象限的電子。當(dāng)電子在磁場沿圓周轉(zhuǎn)向,速度平行正x軸時,電子軌跡為四分之一圓弧。當(dāng)電子速度平行正x軸時,電子到達(dá)圓的最高點。當(dāng)電子速度偏離正y方向,速度角度與負(fù)y軸的夾角為。對應(yīng)的軌跡圓半徑與前面的相同,軌跡圓整體向下偏轉(zhuǎn)。在此圓上,電子速度與正x軸平行時,電子在圓周上的形成小于電子軌跡為四分之一圓弧。本題要求最小磁場面積,必須先得到磁場形狀,而磁場形狀由題目條件所限制,關(guān)鍵的條件是出射點出電子的速度平行正x軸。在出射點后,磁場可以為零,因此速度平行正x軸的出射點過程磁場的邊界,入射角度改變,出射位置也改變。欲求該點的軌跡方程,一般方法是：求出該點坐標(biāo)滿足的制約方程。該點的坐標(biāo)可以由速度平行正x軸求出,該點坐標(biāo)滿足的制約方程為半徑為R。在該問題中,從A點出磁場時其速度方向平行于x軸,也就是圓弧在y軸正向的最高點,如圖5所示,所有滿足題意的點可看作是過定點O,以半徑為的圓在紙面內(nèi)繞O轉(zhuǎn)動90°角過程中圓弧最高點的集合,如圖5所示。〔A為其上一點。設(shè)A點坐標(biāo)為〔x,y,對應(yīng)于圓心為,由幾何關(guān)系知：,可得由圓的知識得,滿足題意要求的磁場區(qū)域邊界是一段圓弧,對應(yīng)圓心為,坐標(biāo)〔O,R。最小磁場區(qū)域的面積即為圖中陰影部分面積邊長為R的正方形面積-2*〔邊長為R的正方形面積-半徑為R的四分之一圓面積=綜上所述,運動的帶電粒子垂直進(jìn)入有界的勻強(qiáng)磁場,若僅受洛侖茲力作用時,它一定做勻速圓周運動,這類問題雖然比較復(fù)雜,但只要準(zhǔn)確地畫出運動軌跡圖,并靈活運用幾何知識和物理規(guī)律,找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系,求出粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運動時間不太難。此類題的一般性規(guī)律:都是有界的均勻磁場;粒子在某一定點射入磁場,通常速度為定值,一定角度有分布.由此圓的半徑一樣,任意軌跡圓為某一圓繞固定點<就是入射點>旋轉(zhuǎn)得到。速度相同,圓的半徑一樣,注意該結(jié)果的引深結(jié)論---粒子離開入射點的最大距離直線距離為直徑。不盲目畫軌跡圓,而是注意粒子入射、出射的極限〔最大、最