結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)介解析課件

第10章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)介山東農(nóng)業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第10章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)介山東農(nóng)業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組1學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)應(yīng)該較扎實(shí)地掌握結(jié)構(gòu)靜力分析、微積分和常微分方程等相關(guān)知識(shí)，主要是如下相關(guān)內(nèi)容：1）能熟練的分析計(jì)算并繪制結(jié)構(gòu)的彎矩圖或內(nèi)力圖（靜定結(jié)構(gòu)利用平衡、區(qū)段疊加、微分關(guān)系等；超靜定結(jié)構(gòu)用力法、位移法或力矩分配法等計(jì)算分析并作圖）；2）能熟練地計(jì)算結(jié)構(gòu)的指定位移δij、△ip；3）能熟練地計(jì)算結(jié)構(gòu)的指定反力rij、RiP；4）要能熟練掌握常用的微積分知識(shí)和常微分方程知識(shí)（由加慣性力等之后的動(dòng)靜法可知，動(dòng)力學(xué)問(wèn)題將是微分方程的求解問(wèn)題，就本書(shū)內(nèi)容屬于常系數(shù)常微分方程）；

5）要熟練的掌握線性代數(shù)（矩陣的表達(dá)、運(yùn)算和矩陣方程的求解）。學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)應(yīng)該較扎實(shí)地掌握結(jié)構(gòu)靜力分析、微積分2如果對(duì)上述內(nèi)容掌握的不好或已經(jīng)有所遺忘，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)（不一定系統(tǒng)復(fù)習(xí)，可以涉及什么問(wèn)題時(shí)復(fù)習(xí)什么內(nèi)容），要力爭(zhēng)達(dá)到上述要求?！扒谒?、多練”，這是學(xué)習(xí)任何理工科課程共同的學(xué)習(xí)方法。勤思——要抓住基本思想、基本方法將書(shū)讀??；多練——由于涉及數(shù)學(xué)知識(shí)比靜力分析稍難，多數(shù)內(nèi)容不自行動(dòng)手推一推，最多僅僅能達(dá)到牢記，而不能達(dá)到掌握。通過(guò)一定的習(xí)題練習(xí)，進(jìn)一步理解和鞏固理論知識(shí)，從中總結(jié)解決問(wèn)題的技巧、經(jīng)驗(yàn)，這是“熟能生巧”必不可少的。如果對(duì)上述內(nèi)容掌握的不好或已經(jīng)有所遺忘，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)?結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與工程實(shí)際有著十分密切的關(guān)系，它在結(jié)構(gòu)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)、結(jié)構(gòu)健康檢測(cè)和診治、結(jié)構(gòu)工程、地震工程、風(fēng)工程、動(dòng)力基礎(chǔ)工程、海洋工程、船舶工程、航空工程和汽車工程等實(shí)際工程領(lǐng)域都得到十分廣泛的應(yīng)用。實(shí)際工程不同，動(dòng)力分析的內(nèi)容也可能有所不同，但最基本的力學(xué)原理和方法（當(dāng)然包括動(dòng)力學(xué)原理、方法）是普遍適用的，因此學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意深刻理解和掌握原理和方法，以便能用它解決各種工程問(wèn)題。本課內(nèi)容包括：由直接平衡法建立有限自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程，單自由度體系的振動(dòng)分析，多自由度體系的振動(dòng)分析，頻率和振型的實(shí)用計(jì)算方法，結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析等內(nèi)容。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與工程實(shí)際有著十分密切的關(guān)系，它在結(jié)構(gòu)4參考書(shū)目1.楊弗康等編，結(jié)構(gòu)力學(xué)（下冊(cè)），高教出版社2.楊天祥編，結(jié)構(gòu)力學(xué)（下冊(cè)），高教出版社3.龍馭求等編，結(jié)構(gòu)力學(xué)（下冊(cè)），高教出版社參考書(shū)目1.楊弗康等編，結(jié)構(gòu)力學(xué)（下冊(cè)），高教出版社2.楊天5動(dòng)力計(jì)算概述單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)頻率的近似計(jì)算知識(shí)點(diǎn)動(dòng)力計(jì)算概述知識(shí)點(diǎn)6教學(xué)基本要求了解結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)，能夠判斷動(dòng)力計(jì)算自由度；掌握單體系振動(dòng)微分方程的建立方法。掌握單自由度體系在不同的動(dòng)荷載作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的分析方法以及動(dòng)力特性。掌握阻尼對(duì)單自由度體系動(dòng)力特性的影響。理解柔度法和剛度法建立振動(dòng)微分方程的思路。掌握兩個(gè)自由度體系的頻率方程和自振頻率的求解，理解主振型和主振型正交性，掌握振型分解法。了解計(jì)算頻率的幾種近似法能夠正確計(jì)算單自由度體系的固有頻率和周期。教學(xué)基本要求了解結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)，能夠判斷動(dòng)力計(jì)算自由度；7重點(diǎn)簡(jiǎn)諧動(dòng)荷載作用產(chǎn)生的最大動(dòng)位移和最大動(dòng)內(nèi)力的計(jì)算。小阻尼對(duì)體系動(dòng)力特性的影響。求解體系的自振頻率和主振型。振型分解法求多自由度體系在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)重點(diǎn)簡(jiǎn)諧動(dòng)荷載作用產(chǎn)生的最大動(dòng)位移和最大動(dòng)內(nèi)力小阻尼對(duì)8難點(diǎn)一般動(dòng)荷載作用下單自由度體系產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)。求解體系的自振頻率和主振型振型分解法求多自由度體系在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)難點(diǎn)一般動(dòng)荷載作用下單自由度體系產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)。求解體系91、動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、目的和內(nèi)容1)特點(diǎn)：靜力荷載與動(dòng)力荷載的特點(diǎn)及其效應(yīng)。

靜力荷載是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計(jì)，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的。

動(dòng)力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略，因動(dòng)力荷載將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相當(dāng)大的加速度，由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。

與靜力計(jì)算的對(duì)比：兩者都是建立平衡方程，但動(dòng)力計(jì)算，利用動(dòng)靜法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷載、內(nèi)力都是時(shí)間的函數(shù)。建立的平衡方程是微分方程。

§10.1-10.2動(dòng)力計(jì)算概述1、動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、目的和內(nèi)容1)特點(diǎn)：靜力荷載與動(dòng)力荷載的102)目的和內(nèi)容目的：計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)—內(nèi)力、位移、速度與加速度，使結(jié)構(gòu)在動(dòng)內(nèi)力與靜內(nèi)力共同作用下滿足強(qiáng)度和變形的要求。

動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容：研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算原理和方法。涉及到內(nèi)外兩方面的因素：(1）確定動(dòng)力荷載（外部因素，即干擾力）；(2）確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（內(nèi)部因素，如結(jié)構(gòu)的自振頻率、周期、振型和阻尼等等），類似靜力學(xué)中的I、S等；計(jì)算動(dòng)位移及其幅值；計(jì)算動(dòng)內(nèi)力及其幅值。2)目的和內(nèi)容目的：計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)—內(nèi)力、位移、11FP(t)tFP(t)t簡(jiǎn)諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）一般周期荷載2、動(dòng)力荷載分類

按變化規(guī)律及其作用特點(diǎn)可分為：

1）周期荷載：隨時(shí)間作周期性變化。（轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)的偏心力）2）沖擊荷載：短時(shí)內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載）FP(t)tFP(t)ttrFPtrFPFP(t)tFP(t)t簡(jiǎn)諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）一般周123）隨機(jī)荷載：(非確定性荷載)荷載在將來(lái)任一時(shí)刻的數(shù)值無(wú)法事先確定。（如地震荷載、風(fēng)荷載）3）隨機(jī)荷載：(非確定性荷載)荷載在將來(lái)任一時(shí)刻的數(shù)值無(wú)法133、結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載下的響應(yīng)規(guī)律，與結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度分布和能量耗散等有關(guān)。由結(jié)構(gòu)自身上述物理量所確定的、表征結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性的一些固有量，稱為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。對(duì)于動(dòng)力特性相同的不同結(jié)構(gòu)，在相同的動(dòng)荷載作用下，它們?cè)谫|(zhì)量處的動(dòng)力響應(yīng)（位移、速度和加速度等等）是一樣的。因此，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的重要研究?jī)?nèi)容。結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性包括以下三方面。

1）結(jié)構(gòu)的自振頻率

當(dāng)結(jié)構(gòu)受到某種外界干擾后會(huì)產(chǎn)生位移或速度，但外界干擾消失后結(jié)構(gòu)將在平衡位置附近繼續(xù)振動(dòng)，這種振動(dòng)稱為結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)。

自振頻率結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)的頻率稱為結(jié)構(gòu)的自振頻率或固有頻率。

3、結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載下的響應(yīng)規(guī)律，與結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛14自振頻率個(gè)數(shù)：對(duì)多數(shù)工程結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，自振頻率的個(gè)數(shù)與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力自由度數(shù)目相等。頻率譜：結(jié)構(gòu)自振頻率按從小到大順序排列，稱為結(jié)構(gòu)的頻率譜。不同類型的結(jié)構(gòu)，頻率譜具有不同的特點(diǎn)。對(duì)于單跨梁、懸臂梁和不考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的房屋建筑等結(jié)構(gòu)，頻率譜中頻率的間隔較大，此類頻率譜稱為稀疏型的。對(duì)于連續(xù)梁、板、空間結(jié)構(gòu)、考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的房屋建筑等結(jié)構(gòu)，頻率譜存在密集區(qū)，此類頻率譜稱為密集型的。

基頻：頻率譜中最小的頻率稱為結(jié)構(gòu)的基本頻率，簡(jiǎn)稱為基頻。其余依次稱為第二頻率、第三頻率等

2）結(jié)構(gòu)的振型當(dāng)結(jié)構(gòu)按頻率譜中某一自振頻率作自由振動(dòng)時(shí),其變形形狀保持不變，這種變形形狀稱為結(jié)構(gòu)的主振型，簡(jiǎn)稱為振型。結(jié)構(gòu)有多少個(gè)自振頻率，就有多少個(gè)相應(yīng)的振型。自振頻率個(gè)數(shù)：對(duì)多數(shù)工程結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，自振頻率的個(gè)數(shù)與結(jié)構(gòu)的動(dòng)頻15

基本振型：與結(jié)構(gòu)基本頻率對(duì)應(yīng)的振型稱為結(jié)構(gòu)的基本振型，其余依次稱為第二、第三振型等。結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)：對(duì)線性（線彈性）系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)可用結(jié)構(gòu)振型的線性組合來(lái)表示，3）結(jié)構(gòu)的阻尼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)其實(shí)是勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程。如果在這一過(guò)程中沒(méi)有能量的耗散，則根據(jù)能量守恒定律，自由振動(dòng)將是無(wú)衰減的等幅振動(dòng)。但實(shí)際上，結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)總是衰減的，直到最后恢復(fù)平衡（靜止）。這說(shuō)明在結(jié)構(gòu)的振動(dòng)過(guò)程中存在著能量耗散，這種能量的耗散作用通常稱為阻尼。

產(chǎn)生能量耗散的因素很多，例如結(jié)構(gòu)材料的內(nèi)摩擦，各構(gòu)件連接處的摩擦以及周圍介質(zhì)的阻力等。有關(guān)阻尼作用機(jī)理的研究，目前尚未完全搞清楚。在動(dòng)力分析中，為了便于數(shù)學(xué)處理，并盡可能符合實(shí)際，目前通常采用等效粘滯阻尼理論（就目前來(lái)說(shuō)，阻尼理論只是一種假設(shè)）。它假設(shè)能量耗散是由阻尼力引起，作用于質(zhì)量的阻尼力與質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)速度成比例，反映阻尼大小的參數(shù)由結(jié)構(gòu)的動(dòng)力試驗(yàn)確定。

基本振型：與結(jié)構(gòu)基本頻率對(duì)應(yīng)的振型稱為結(jié)構(gòu)的基本振型，結(jié)16

4、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度與靜力計(jì)算一樣，在動(dòng)力計(jì)算中，也需要事先選擇一個(gè)合理的計(jì)算簡(jiǎn)圖。二者選取的原則基本相同，但在動(dòng)力計(jì)算中，由于要考慮慣性力的作用，因此，還需要研究質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)中的自由度問(wèn)題。

實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，嚴(yán)格地說(shuō)來(lái)都是無(wú)限自由度體系。計(jì)算困難，常作簡(jiǎn)化如下：

1)集中質(zhì)量法把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將一個(gè)無(wú)限自由度的問(wèn)題簡(jiǎn)化成有限自由度問(wèn)題。確定體系運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻全部質(zhì)量位置所需確定的獨(dú)立幾何參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為體系的振動(dòng)自由度。4、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)172個(gè)自由度y2y12個(gè)自由度自由度與質(zhì)量數(shù)不一定相等mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱廠房排架水平振時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖單自由度體系單自由度體系2個(gè)自由度y2y12個(gè)自由度自由度與質(zhì)量數(shù)不一定相等mm>>18水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系多自由度體系構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡(jiǎn)化成剛性塊θ(t)v(t)u(t)m1m2m32個(gè)自由度水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系多自由度體系構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡(jiǎn)化成剛性塊θ19動(dòng)力自由度數(shù)的確定1)

平面上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)W=22)W=2彈性支座不減少動(dòng)力自由度3)計(jì)軸變時(shí)W=2不計(jì)軸變時(shí)W=1為減少動(dòng)力自由度，梁與剛架不計(jì)軸向變形。4)W=15)W=2自由度數(shù)與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，但不大于質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍。6)W=27)W=1動(dòng)力自由度數(shù)的確定1)平面上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)W=22201）與幾何組成分析中的自由度不同。

M=ml分布質(zhì)量，有無(wú)限自由度ml有關(guān)自由度的幾點(diǎn)說(shuō)明：2）一般采用“集中質(zhì)量法”，將連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)研究。1）與幾何組成分析中的自由度不同。M=213）并非一個(gè)質(zhì)量集中點(diǎn)一個(gè)自由度（分析下例）。

4）結(jié)構(gòu)的自由度與是否超靜定無(wú)關(guān)。2個(gè)自由度2個(gè)自由度4個(gè)自由度靜定結(jié)構(gòu)6次超靜定結(jié)構(gòu)3次超靜定結(jié)構(gòu)3）并非一個(gè)質(zhì)量集中點(diǎn)一個(gè)自由度（分析下例）。225）可用加鏈桿的方法確定動(dòng)力自由度數(shù)。加入最少數(shù)量的鏈桿可以固定結(jié)構(gòu)上所有質(zhì)點(diǎn)的位置時(shí)，則該結(jié)構(gòu)的動(dòng)力自由度數(shù)目即等于所加入鏈桿的數(shù)目。5）可用加鏈桿的方法確定動(dòng)力自由度數(shù)。加入最少數(shù)23y(x,t)x無(wú)限自由度體系2)廣義座標(biāo)法：如簡(jiǎn)支梁的變形曲線可用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示

用幾條函數(shù)曲線來(lái)描述體系的振動(dòng)曲線就稱它是幾個(gè)自由度體系，其中 ——是根據(jù)邊界約束條件選取的函數(shù)，稱為形狀函數(shù)。ak(t)——稱廣義座標(biāo)，為一組待定參數(shù)，其個(gè)數(shù)即為自由度數(shù)，用此法可將無(wú)限自由度體系簡(jiǎn)化為有限自由度體系。xyxa1，a2，……..any(x,t)y(x,t)x無(wú)限自由度體系2)廣義座標(biāo)法：如簡(jiǎn)支梁的變形曲245、動(dòng)力計(jì)算的方法m…………..運(yùn)動(dòng)方程m設(shè)其中FP(t)＝FI(t)…………..平衡方程FI(t)－慣性力，與加速度成正比，方向相反改寫(xiě)成虛功原理（拉格朗日方程）哈米頓原理（變分方程）都要用到抽象的虛位移概念根據(jù)達(dá)朗伯爾原理和所采用的阻尼理論，將慣性力、阻尼力假想地作用于質(zhì)量上，再考慮作用于結(jié)構(gòu)上的動(dòng)荷載，結(jié)果使動(dòng)力問(wèn)題轉(zhuǎn)化成任一時(shí)刻都動(dòng)平衡的靜力問(wèn)題，此即理論力學(xué)中的動(dòng)靜法。動(dòng)力平衡法(直接平衡法)

（達(dá)朗伯爾原理）5、動(dòng)力計(jì)算的方法m…………..運(yùn)動(dòng)方程m設(shè)其中FP(t)＝25

自由振動(dòng)（固有振動(dòng)）：靜平衡位置m獲得初位移ym獲得初速度自由振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（t=0）受到外界的干擾。研究單自由度體系的自由振動(dòng)重要性在于：1)它代表了許多實(shí)際工程問(wèn)題，如水塔、單層廠房等。2)它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性。要解決的問(wèn)題包括：建立運(yùn)動(dòng)方程、計(jì)算自振頻率、周期和阻尼……….

§10.3單自由度體系的振動(dòng)分析振動(dòng)過(guò)程中僅受彈性恢復(fù)力而不受外界干擾力作用的振動(dòng)。

一、單自由度體系的自由振動(dòng)自由振動(dòng)靜平衡位置m獲得初位移ym獲得初速度自由振動(dòng)產(chǎn)26

1、運(yùn)動(dòng)微分方程的建立方法：達(dá)朗伯爾原理應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)（線性微分方程）1)剛度法：研究作用于被隔離的質(zhì)量上的力，建立平衡方程。m..yj.yd靜平衡位置質(zhì)量m在任一時(shí)刻的位移

y(t)=yj+ydk11力學(xué)模型.ydmmWFe(t)FI(t)+重力W=mg彈性力

恒與位移反向慣性力……………(a)恒與加速度反向1、運(yùn)動(dòng)微分方程的建立方法：達(dá)朗伯爾原理應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)27其中

k11yj=W上式可以簡(jiǎn)化為或由平衡位置計(jì)量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。……………(a)2)柔度法：研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。..m靜平衡位置FI(t)可得與(b)相同的方程剛度法常用于剛架類結(jié)構(gòu)，柔度法常用于梁式結(jié)構(gòu)。其中k11yj=W上式可以簡(jiǎn)化282、自由振動(dòng)微分方程的解改寫(xiě)為其中它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定設(shè)t=0

時(shí)（d）式可以寫(xiě)成由上式可知，位移是由初位移y引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度v引起的正弦運(yùn)動(dòng)的合成.2、自由振動(dòng)微分方程的解改寫(xiě)為其中它是二階線性齊次微分方程，29

由上式可知，位移是由初位移y引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度v引起的正弦運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng),令(e)式改寫(xiě)成它表示合成運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其中A（表示質(zhì)點(diǎn)m的最大動(dòng)位移）和可由下式確定振幅初相角由上式可知，位移是由初位移y引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速30y0ty-yTTTyt0yt0A-Ay0ty-yTTTyt0yt0A-A313、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率由式及圖可見(jiàn)位移方程是一個(gè)周期函數(shù)。Tyt0A-A周期工程頻率園頻率(角頻率、簡(jiǎn)稱為頻率）計(jì)算頻率和周期的幾種形式3、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率由式及圖可見(jiàn)位移方程是一個(gè)周期函數(shù)。32其中δ11——是沿質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)，它表示在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向加單位荷載使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的位移。k11——使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，須在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加的力。

yj=Wδ11——在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加數(shù)值為W的荷載時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的位移。計(jì)算時(shí)可根據(jù)體系的具體情況，視δ11、k11、yj三參數(shù)中哪一個(gè)最便于計(jì)算來(lái)選用。其中33一些重要性質(zhì)：（1）自振周期與且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。干擾力只影響振幅。（2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，質(zhì)量越大，周期越大（頻率越?。?；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，周期越?。l率越大）；要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度著手。（3）兩個(gè)外形相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差懸殊，則動(dòng)力性能相差很大。反之，兩個(gè)外形看來(lái)并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力性能基本一致,是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要數(shù)量標(biāo)志。一些重要性質(zhì)：34例1.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。mEIl/2l/21例2.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動(dòng)頻率。mlA,E,IE,I1E,A111IIEI1=mhk11例3.計(jì)算圖示剛架的頻率和周期。由截面平衡例1.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。mEIl/2l/235例4、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m，不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。解：1）求δP=15l/32P=1l/2據(jù)此可得：ω1?ω2?ω3=1?1.512

?

2結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng),其剛度越大;剛度越大,其自振動(dòng)頻率也越大。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm例4、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m，不考361θ例5、求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率。解法2：求

k11θ=1/hMBA=k11h=MBCk11lhmI→∞EIBAC1h解法1：求

δ111θ例5、求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率。解法2：求k11θ=1/37例6、求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。lEImk1k11k11k解：求

k11對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)一般計(jì)算柔度系數(shù)方便。如果讓振動(dòng)體系沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，所有剛節(jié)點(diǎn)都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)（如橫梁剛度為∞剛架)計(jì)算剛度系數(shù)方便。一端鉸結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：兩端剛結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：例6、求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。lEImk1k11k11k解：求384、簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性由式可得，加速度為：

在無(wú)阻尼自由振動(dòng)中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運(yùn)動(dòng)，即它們?cè)谕粫r(shí)刻均達(dá)極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。它們的幅值產(chǎn)生于時(shí)，其值分別為：

既然在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時(shí)間也一樣，于是可在幅值處建立運(yùn)動(dòng)方程，此時(shí)方程中將不含時(shí)間t，結(jié)果把微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程了，使計(jì)算得以簡(jiǎn)化。慣性力為：4、簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性由式可得，加速度為：在無(wú)阻尼自39例7.計(jì)算圖示體系的自振頻率(不考慮重力)。ABCDEI=l/2l/2lkBCk..A1..A2

解：?jiǎn)巫杂啥润w系，以表示位移參數(shù)的幅值,各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為：建立力矩平衡方程化簡(jiǎn)后得例7.計(jì)算圖示體系的自振頻率(不考慮重力)。ABCDEI=40m

受迫振動(dòng)（強(qiáng)迫振動(dòng)）：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)。k11y(t)ymk11yFP(t)mFP(t)FP(t)彈性力－ky、慣性力和荷載FP(t)之間的平衡方程為:1、簡(jiǎn)諧荷載：mtFPyyqwsin2=+&&單自由度體系受迫振動(dòng)的微分方程

二、單自由度體系的受迫振動(dòng)m受迫振動(dòng)（強(qiáng)迫振動(dòng)）：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)。k141

tmFPtAtAqqwqqsinsinsin22=+-mtFPyyqwsin2=+&&設(shè)特解：二階線性非齊次常微分方程通解其中tytmFPystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=tmFPtAtAqqwqqsinsinsin22=+-m42最大靜位移yst：是把荷載最大值當(dāng)作靜荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的位移。特解可寫(xiě)為：---荷載幅值作為靜荷載所引起的靜位移---動(dòng)力系數(shù)---穩(wěn)態(tài)振幅---頻比最大靜位移yst：是把荷載最大值當(dāng)作靜荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的43通解可寫(xiě)為：設(shè)t=0時(shí)的初始位移和初始速度均為零，在求出y的一階導(dǎo)數(shù)后聯(lián)合上式：過(guò)渡階段：振動(dòng)開(kāi)始兩種振動(dòng)同時(shí)存在的階段；平穩(wěn)階段：后來(lái)只按荷載頻率振動(dòng)的階段。（由于阻尼的存在）按自振頻率振動(dòng)按荷載頻率振動(dòng)通解可寫(xiě)為：設(shè)t=0時(shí)的初始位移和初始速度均為零，在求出y的44平穩(wěn)階段任意時(shí)刻位移：最大動(dòng)位移（振幅）為：動(dòng)力系數(shù)μ為：1023123wqμ重要的特性：當(dāng)θ/ω→0時(shí),μ→1，荷載變化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。當(dāng)0<θ/ω

<1時(shí),μ>1，并且隨θ/ω的增大而增大。當(dāng)θ/ω→1時(shí),μ→∞。即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時(shí)，振幅會(huì)無(wú)限增大。稱為“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25稱為共振區(qū)。當(dāng)θ/ω

>1時(shí),μ的絕對(duì)值隨θ/ω的增大而減小。當(dāng)θ很大時(shí)，荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來(lái)不及反應(yīng)。平穩(wěn)階段任意時(shí)刻位移：最大動(dòng)位移（振幅）為：動(dòng)力系數(shù)μ為：145若要使振幅降低,應(yīng)采取何種措施?通過(guò)改變頻比可增加或減小振幅.應(yīng)使頻比減小.增加結(jié)構(gòu)自頻.增加剛度、減小質(zhì)量.應(yīng)使頻比增大.減小結(jié)構(gòu)自頻.減小剛度、增大質(zhì)量.若要使振幅降低,應(yīng)采取何種措施?通過(guò)改變頻比可增加或減小振幅46例8求圖示體系振幅和動(dòng)彎矩幅值圖，已知?jiǎng)游灰啤?dòng)內(nèi)力幅值計(jì)算計(jì)算步驟:1.計(jì)算荷載幅值作為靜荷載所引起的位移、內(nèi)力；2.計(jì)算動(dòng)力系數(shù)；3.將得到的位移、內(nèi)力乘以動(dòng)力系數(shù)即得動(dòng)位移幅值、動(dòng)內(nèi)力幅值。mEIEIlFPl/4解.FPl/3動(dòng)彎矩幅值圖例8求圖示體系振幅和動(dòng)彎矩幅值圖，已知?jiǎng)游灰?、?dòng)內(nèi)力幅值47例9求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4例9求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移解.Ql/2l48解.Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4動(dòng)振幅幅值動(dòng)彎矩幅值跨中最大彎矩跨中最大位移解.Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4動(dòng)振49當(dāng)動(dòng)荷載作用在單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，由于體系上各截面的內(nèi)力、位移都與質(zhì)點(diǎn)處的位移成正比，故各截面的最大動(dòng)內(nèi)力和最大動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動(dòng)力系數(shù)按靜力方法來(lái)計(jì)算即可。當(dāng)動(dòng)荷載作用在單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，由于體系上各截面的內(nèi)力50例10已知m=300kg，EI=90×105N.m2

,k=48EI/l3

,FP=20kN,θ=80s-1

求梁中點(diǎn)的動(dòng)位移幅值及最大動(dòng)力彎矩。2mEImkFPsinθt2m解：1)求ω2)求μ3)求ymax，Mmax如何求最大位移和最大彎矩？例10已知m=300kg，EI=90×105N.m2,51動(dòng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算m=1=1令FP仍是位移動(dòng)力系數(shù)是內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)嗎?運(yùn)動(dòng)方程穩(wěn)態(tài)解振幅不是！動(dòng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算m=1=1令FP仍是位移動(dòng)力系數(shù)是52[列幅值方程求內(nèi)力幅值]解:例11求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖.同頻同步變化mEIl/2l/2FP=1[列幅值方程求內(nèi)力幅值]解:例11求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅53FP動(dòng)彎矩幅值圖解:例12求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅mlmkllAFPoFPFP動(dòng)彎矩幅值圖解:例12求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅mlmk542、一般荷載由于運(yùn)動(dòng)微分方程是線性的，疊加原理可以應(yīng)用。體系在隨時(shí)間任意變化的動(dòng)力荷載作用下的響應(yīng)，可視作在一系列獨(dú)立瞬時(shí)沖量連續(xù)作用下響應(yīng)的總和。因此只需對(duì)瞬時(shí)沖量作用所引起的微分響應(yīng)進(jìn)行積分，便可得到體系在一般動(dòng)力荷載作用下的響應(yīng)。一般荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)可分兩步討論：首先討論瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)，然后在此基礎(chǔ)上討論一般荷載的動(dòng)力反應(yīng)。即可利用瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)來(lái)推導(dǎo)一般荷載的的動(dòng)力反應(yīng)。2、一般荷載由于運(yùn)動(dòng)微分方程是線性的，疊加原551)瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)FP(t)tFP瞬時(shí)沖量dS引起的振動(dòng)可視為由初始條件引起的微幅自由振動(dòng)。dt

cossin)(00www+=tvtytyt=0時(shí)作用瞬時(shí)沖量dS所引起的動(dòng)力反應(yīng)設(shè)t=0時(shí)體系處于靜止?fàn)顟B(tài)，然后有瞬時(shí)沖量ds作用由動(dòng)量定理：dv為瞬時(shí)沖量引起的速度增量。此時(shí)質(zhì)體的位移增量可由上式積分求得，它是時(shí)間微段dt的二階微量，可以略去。1)瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)FP(t)tFP瞬時(shí)沖量dS引起的振動(dòng)562)任意荷載FP(t)的動(dòng)力反應(yīng)FP(t)tττ時(shí)刻的微分沖量對(duì)t瞬時(shí)(t>τ)引起的動(dòng)力微分響應(yīng):初始靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下的位移響應(yīng)公式:當(dāng)初始位移y0和初始速度v0不為零在任意荷載作用下的位移公式:t(Duhamel

積分，在數(shù)學(xué)上稱為卷積或褶積，這是單自由度體系受迫振動(dòng)微分方程的一個(gè)特解。這是單自由度體系受迫振動(dòng)微分方程的全解。2)任意荷載FP(t)的動(dòng)力反應(yīng)FP(t)tττ時(shí)刻的微分沖573)幾種典型荷載的動(dòng)力反應(yīng)(1）突加荷載

FP(t)tFP0yst=FP0δ11=FP0

/mω2ysty(t)ωt0π2π3π質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)3)幾種典型荷載的動(dòng)力反應(yīng)(1）突加荷載FP(t)t58(2）短時(shí)荷載

FP(t)tFP0u階段Ⅰ(0<t<u)：與突加荷載相同。階段Ⅱ(t>u)：無(wú)荷載，體系以t=u時(shí)刻的位移

和速度為初始條件作自由振動(dòng)。sincos)(00www+=tvtyty或者直接由Duhamel積分作(2）短時(shí)荷載FP(t)tFP0u階段Ⅰ(0<t<u59另解：短時(shí)荷載可認(rèn)為由兩個(gè)突加荷載疊加而成。FP(t)tFPFP(t)tFPuFP(t)tFPu當(dāng)0<t<u當(dāng)t>u另解：短時(shí)荷載可認(rèn)為由兩個(gè)突加荷載疊加而成。FP(t)tFP60最大動(dòng)反應(yīng)1）當(dāng)

u>T/2

最大動(dòng)位移發(fā)生在階段Ⅰ2）當(dāng)u<T/2

最大動(dòng)位移發(fā)生在階段Ⅱμ=2μ1/611/22動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜(μ與u/T之間的關(guān)系曲線)這也就是工程上之所以可將吊車制動(dòng)力對(duì)廠房的水平作用視為突加荷載處理的原因最大動(dòng)反應(yīng)1）當(dāng)u>T/2最大動(dòng)位移發(fā)生在階段Ⅰ2）61(3）線性漸增荷載

FP(t)tFP0tr這種荷載引起的動(dòng)力反應(yīng)同樣可由Duhamel積分來(lái)求解:

對(duì)于這種線性漸增荷載,其動(dòng)力反應(yīng)與升載時(shí)間的長(zhǎng)短有很大關(guān)系。其動(dòng)力系數(shù)的反應(yīng)譜如下：(3）線性漸增荷載FP(t)tFP0tr這種荷載引起6201.02.03.04.0μtrFP0動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜動(dòng)力系數(shù)μ介于1與2之間。如果升載很短，tr<T/4,則μ接近于2,即相當(dāng)于突加荷載情況。如果升載很長(zhǎng)，tr>4T,則μ接近于1,即相當(dāng)于靜荷載情況。常取外包虛線作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。01.02.03.04.03三、阻尼對(duì)振動(dòng)的影響

實(shí)驗(yàn)證明，振動(dòng)中的結(jié)構(gòu)，不僅產(chǎn)生與變形成比例的彈性內(nèi)力，還產(chǎn)生非彈性的內(nèi)力，非彈性力起阻尼作用。在不考慮阻尼的情況下所得出的某些結(jié)論也反應(yīng)了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，如：

事實(shí)上，由于非彈性力的存在，自由振動(dòng)會(huì)衰減直到停止；共振時(shí)振幅也不會(huì)無(wú)限增大，而是一個(gè)有限值。非彈性力起著減小振幅的作用，使振動(dòng)衰減，因此，為了進(jìn)一步了解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，就要研究阻尼。1)阻尼的存在忽略阻尼的振動(dòng)規(guī)律考慮阻尼的振動(dòng)規(guī)律結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，與外因無(wú)關(guān)。簡(jiǎn)諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。自由振動(dòng)的振幅永不衰減。自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減。共振時(shí)的振幅趨于無(wú)窮大。共振時(shí)的振幅較大但為有限值。三、阻尼對(duì)振動(dòng)的影響實(shí)驗(yàn)證明，振動(dòng)中的結(jié)構(gòu)，不僅產(chǎn)生642)在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素(1）結(jié)構(gòu)在變形過(guò)程中材料內(nèi)部有摩擦，稱“內(nèi)摩擦”，耗散能量；(2）建筑物基礎(chǔ)的振動(dòng)引起土壤發(fā)生振動(dòng)，此振動(dòng)以波的形式向周圍擴(kuò)散，振動(dòng)波在土壤中傳播而耗散能量；(3）土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結(jié)點(diǎn)上的摩擦和空氣阻尼等等。

振動(dòng)的衰減和能量的耗散都通過(guò)非彈性力來(lái)考慮，由于對(duì)非彈性力的描述不同，目前主要有兩種阻尼理論：*粘滯阻尼理論——非彈性力與變形速度成正比：*滯變阻尼理論關(guān)于阻尼，有兩種定義或理解：(1）使振動(dòng)衰減的作用；(2）使能量耗散。3)阻尼力的確定：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向；大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系：(1）與質(zhì)點(diǎn)速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。(2）與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。(3）與質(zhì)點(diǎn)速度無(wú)關(guān)（如摩擦力）。其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來(lái)分析。2)在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素(1）結(jié)構(gòu)在變形過(guò)程中65yk11yk11my4)有阻尼的自由振動(dòng)，動(dòng)平衡方程：(阻尼比）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety設(shè)解為：特征方程為：c令根據(jù)三種情況，可得出三種運(yùn)動(dòng)形態(tài)。yk11yk11my4)有阻尼的自由振動(dòng)，動(dòng)平衡方程：(阻66)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety設(shè)解為：特征方程為：(1)ξ<1（低阻尼）情況低阻尼體系的自振圓頻率由初始條件)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltC67Ae-ξωttyty低阻尼y-t曲線無(wú)阻尼y-t曲線①阻尼對(duì)自振頻率的影響.

當(dāng)ξ<0.2，則存在0.96<ωr/ω<1。在工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題中，0.01<ξ<0.2，可近似取:Ae-ξωttyty低阻尼y-t曲線無(wú)阻尼y-t曲線①阻68等式左邊稱為振幅的對(duì)數(shù)遞減率.設(shè)An和An+m

是相隔m個(gè)周期的兩個(gè)振幅則:工程中常用此方法測(cè)定阻尼②阻尼對(duì)振幅的影響.振幅Ae-ξω

t

隨時(shí)間衰減，相鄰兩個(gè)振幅的比:振幅按等比級(jí)數(shù)遞減.經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后，相鄰兩振幅An和An+1的比值的對(duì)數(shù)為:等式左邊稱為振幅的對(duì)數(shù)遞減率.設(shè)An和An+m是相隔m個(gè)周69臨界阻尼常數(shù)ccr為ξ=1時(shí)的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點(diǎn)）阻尼比,反映阻尼情況的基本參數(shù)。(3)ξ>1強(qiáng)阻尼：不出現(xiàn)振動(dòng)，實(shí)際問(wèn)題不常見(jiàn)。(2)ξ=1（臨界阻尼）情況)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動(dòng)性。臨界阻尼常數(shù)ccr為ξ=1時(shí)的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點(diǎn)）70EI=∞m例13圖示一單層建筑物的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計(jì)為m9.8kN

，加一水平力FP=9.8kN，測(cè)得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動(dòng)。在測(cè)得周期T=1.5s及一個(gè)周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。解：=wxk112=wxmc2=wwxm22EI=∞m例13圖示一單層建筑物的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子71例14.對(duì)圖示剛架進(jìn)行自由振動(dòng)以測(cè)動(dòng)力特性。加力20kN時(shí)頂部側(cè)移2cm，振動(dòng)一周T=1.4s后，回?cái)[1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)大梁的重量,由(2)自振頻率(3)阻尼特性例14.對(duì)圖示剛架進(jìn)行自由振動(dòng)以測(cè)動(dòng)力特性。加力20kN時(shí)72k2k2W=mg(4)6周后的振幅kkW=mg(4)6周后的振幅735）有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)①單獨(dú)由v0引起的自由振動(dòng)：②瞬時(shí)沖量ds=FPdt=mv0所引起的振動(dòng)，可視為以v0=FPdt/m，y0=0為初始條件的自由振動(dòng)：③將荷載FP(t)的加載過(guò)程看作一系列瞬時(shí)沖量：FP(t)tτt5）有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)①單獨(dú)由v0引起的自由振動(dòng)：②瞬時(shí)沖量d74③將荷載FP(t)的加載過(guò)程看作一系列瞬時(shí)沖量：④總反應(yīng)FP(t)tτt這就是開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意荷載FP(t)作用下所引起的有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)的位移特解。③將荷載FP(t)的加載過(guò)程看作一系列瞬時(shí)沖量：④總反應(yīng)75如果還有初始y0和初始速度v0,則總位移為：這就單自由度體系在任意荷載FP(t)作用下所引起的有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)的位全解。如果還有初始y0和初始速度v0,則總位移為：這就單自由度體系76（1）突加荷載FP0低阻尼y-t曲線無(wú)阻尼y-t曲線ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π靜力平衡位置具有阻尼的體系在突加荷載作用下，最初所引起的最大位移接近于靜位移yst=FP0/mω2的兩倍，然后逐漸衰減，最后停留在靜力平衡位置。（1）突加荷載FP0低阻尼y-t曲線無(wú)阻尼y-t曲線ys77（2）簡(jiǎn)諧荷載FP(t)=Fsinθt設(shè)特解為：y=Asin

θt+Bcosθt代入得：+{Asinθt

+Bcosθt}齊次解加特解得到通解：自由振動(dòng)，因阻尼作用，逐漸衰減、消失。純強(qiáng)迫振動(dòng)，平穩(wěn)振動(dòng)，振幅和周期不隨時(shí)間而變化。結(jié)論：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，無(wú)論是否計(jì)入阻尼的作用，純強(qiáng)迫振動(dòng)部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，稱為平穩(wěn)振動(dòng)。（2）簡(jiǎn)諧荷載FP(t)=Fsinθt設(shè)特解為：y=Asi78（2）簡(jiǎn)諧荷載FP(t)=Fsinθt設(shè)特解為：y=Asin

θt+Bcosθt代入得：+{Asinθt

+Bcosθt}齊次解加特解得到通解：y=Asinθt

+Bcosθt=yPsin(θt

－α)動(dòng)振幅：yp，最大靜力位移：yst=F/k11=F/mω2（2）簡(jiǎn)諧荷載FP(t)=Fsinθt設(shè)特解為：y=Asi79動(dòng)力系數(shù)μ與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關(guān)4.03.02.01.001.02.03.0μθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點(diǎn)注意：①阻尼對(duì)簡(jiǎn)諧荷載下的動(dòng)力系數(shù)影響較大。動(dòng)力系數(shù)μ隨阻尼比ξ的增大而迅速減小。特別是在θ/ω=1附近μ的峰值下降的最為顯著。②當(dāng)θ接近ω時(shí)，μ增加很快，ξ對(duì)μ的數(shù)值影響也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振區(qū))內(nèi)，阻尼大大減小了受迫振動(dòng)的位移，因此,為了研究共振時(shí)的動(dòng)力反映,阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對(duì)μ的影響較小，可按無(wú)阻尼計(jì)算。動(dòng)力系數(shù)μ與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關(guān)4.03.02.01.80③μ

max并不發(fā)生在共振θ/ω=1時(shí)，而發(fā)生在，但因ξ很小，實(shí)際工程中可近似地認(rèn)為：③μmax并不發(fā)生在共振θ/ω=1時(shí)，而發(fā)生在，81④由y=yPsin(θt－α

)可見(jiàn)，阻尼體系的位移比荷載FP=Fsinθt

滯后一個(gè)相位角α，

彈性恢復(fù)力力Fe(t)，慣性力FI(t)，阻尼力FR分別為：FP(t)=Fsinθt④由y=yPsin(θt－α)可見(jiàn)，阻尼體系的位移比荷82FP(t)=Fsinθt當(dāng)→0，

θ<<ω時(shí),α→0°，說(shuō)明y(t)和FP（t）趨于同步，體系振動(dòng)得很慢，慣性力FI(t)和阻尼力FR(t)

較小，動(dòng)荷主要與彈性力Fe(t)

平衡，F(xiàn)e(t)

與位移y反向，荷載可作靜荷載處理。當(dāng)→∝，θ>>ω時(shí),α→180°，說(shuō)明y(t)和FP（t）趨于反向，動(dòng)力系數(shù)u→0，即體系的動(dòng)位移趨向于零。體系振動(dòng)得很快，慣性力FI(t)很大，動(dòng)荷主要由慣性力FI(t)平衡，體系的動(dòng)內(nèi)力趨向于零。FP(t)=Fsinθt當(dāng)→0，θ<<ω時(shí),α→0°，83tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω2=mθ2FP(t)=Fsinθt當(dāng)θ=ω時(shí),α→90°tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω84tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω2=mθ2當(dāng)θ=ω時(shí),α→90°由此可見(jiàn)：共振時(shí)（θ=ω），慣性力與恢復(fù)力平衡；而動(dòng)力荷載與阻尼力平衡。因此，在頻率比的共振區(qū)內(nèi)，阻尼對(duì)體系的動(dòng)力影響將其重要作用。動(dòng)荷恰與阻尼力平衡，故運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)不會(huì)出現(xiàn)內(nèi)力為無(wú)窮大的情況。而在無(wú)阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，因不存在阻尼力與動(dòng)荷載平衡，才出現(xiàn)位移為無(wú)限大的現(xiàn)象。tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω85例15圖示塊式基礎(chǔ).機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為;地基豎向剛度為;豎向振動(dòng)時(shí)的阻尼比為機(jī)器轉(zhuǎn)速為N=800r/min,其偏心質(zhì)量引起的離心力為FP=30kN.求豎向振動(dòng)時(shí)的振幅。解：例15圖示塊式基礎(chǔ).機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為86例16求突加荷載作用下的位移，開(kāi)始時(shí)靜止，不計(jì)阻尼。m解：動(dòng)力系數(shù)為2例16求突加荷載作用下的位移，開(kāi)始時(shí)靜止，不計(jì)阻尼。m解：87m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t)y2(t)11

§10.4兩自由度體系的自由振動(dòng)自由振動(dòng)分析的目的是確定體系的動(dòng)力特性.可不計(jì)阻尼。1.運(yùn)動(dòng)方程及其解或m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t88假設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)設(shè)方程的特解為m1m2y1(t)y2(t)上式所表示的運(yùn)動(dòng)有以下特點(diǎn)：1）在振動(dòng)過(guò)程中，兩質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角，Y1和Y2是位移幅值。2）在振動(dòng)過(guò)程中，兩質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時(shí)間而變化，但二者的比值始終保持不變，即：這種結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式稱為主振型或振型假設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)m1m2y1(t)y2(t)上式所表示89假設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)設(shè)方程的特解為代入方程,得---頻率方程—振型方程m1m2y1(t)y2(t)假設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)代入方程,得---頻率方程—振型方程m90顯然Y1=Y2=0為其解，為了求得不全為零的解，令---頻率方程—振型方程顯然Y1=Y2=0為其解，為了求得不全為零的解，令---91解頻率方程得的兩個(gè)根值小者記作稱作第一頻率也稱作基本頻率;值大者記作稱為第二頻率或高階頻率.解頻率方程得的兩個(gè)根值小者記作稱作第一頻率也稱作基本頻92將頻率代入振型方程特解2特解1由于行列式D=0，方程組中的兩個(gè)方程是線性相關(guān)的，實(shí)際上只有一個(gè)獨(dú)立方程。由其中的任一方程，可求出比值Y1/Y2,這個(gè)比值所確定的振動(dòng)形式就是與第一圓頻率相對(duì)應(yīng)的振型，稱為第一振型或基本振型。Y11、Y21分別表示第一振型中質(zhì)點(diǎn)1和2的振幅。同理，可以求出的另一個(gè)比值Y1/Y2，這個(gè)比值所確定的另一個(gè)振動(dòng)形式稱為第二振型將頻率代入振型方程特解2特解1由于行列式D=0，方程組93通解2.頻率與振型m1m2Y21Y11Y12Y22振動(dòng)過(guò)程中，結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式，稱為主振型。通解2.頻率與振型m1m2Y21Y11Y12Y22振動(dòng)過(guò)程中94體系按特解振動(dòng)時(shí)有如下特點(diǎn)1)各質(zhì)點(diǎn)同頻同步;2)任意時(shí)刻,各質(zhì)點(diǎn)位移的比值保持不變幾點(diǎn)說(shuō)明：1)按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的速度的比值也為常數(shù)，且與位移比值相同。2)發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的.體系按特解振動(dòng)時(shí)有如下特點(diǎn)1)各質(zhì)點(diǎn)同頻同步;2)任意時(shí)刻,954)N自由度體系有N個(gè)頻率和N個(gè)振型頻率方程解頻率方程得,從小到大排列依次稱作第一頻率,第二頻率...第一頻率稱作基本頻率,其它為高階頻率.將頻率代入振型方程得N個(gè)振型N個(gè)振型是線性無(wú)關(guān)的.3)振型與頻率是體系本身固有的屬性,與外界因素?zé)o關(guān).4)N自由度體系有N個(gè)頻率和N個(gè)振型頻率方程解頻率方程得965)柔度法m1m2y1(t)y2(t)設(shè)解為此時(shí)慣性力幅值在自由振動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻t，質(zhì)量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時(shí)慣性力作用下的靜力位移。5)柔度法m1m2y1(t)y2(t)設(shè)解為此時(shí)慣性力幅值在97m1m2Y1Y2

當(dāng)然解Y1=Y2=0，為了求得不全為零的解，令令主振型m1m2Y1Y2當(dāng)然解Y1=Y2=0，令主振型98m1m2振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移采用柔度矩陣時(shí)6)求振型、頻率可列幅值方程.振型方程頻率方程按振型振動(dòng)時(shí)m1m2振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，采用柔度矩陣時(shí)6)求振99例16設(shè)圖示剛架橫梁剛度為無(wú)限大，層間側(cè)移剛度分別為k1和k2，試求剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振動(dòng)頻率和主振型。m1m2k1k2解：（1）求頻率方程中的剛度系數(shù)11k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2例16設(shè)圖示剛架橫梁剛度為無(wú)限大，層間側(cè)移剛度分別為k1和100（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型（2）求頻率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振101（5）求主振型（4）求頻率若有若n=90則第一振型和第二振型分別為：可見(jiàn)當(dāng)頂端質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和剛度很小時(shí)，頂端水平側(cè)移很大。

建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，將這種因頂端質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量和剛度突變，而導(dǎo)致頂端巨大反應(yīng)的現(xiàn)象，稱為鞭梢效應(yīng)。如：屋頂消防水池、上人屋面設(shè)計(jì)的樓電梯間，女兒墻或屋頂建筑物等。（5）求主振型（4）求頻率若有若n=90則第一振型和第二振102例17質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。求自振頻率k11=4k/3解：1）求剛度系數(shù)：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

剛度矩陣[K]和質(zhì)量矩陣[M]：11例17質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。求自振頻率k11103展開(kāi)得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求頻率：代入頻率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后兩式：

（令Y3i=1）（a）展開(kāi)得：2η3－42η2＋225η－225＝02）求頻率：代10410.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動(dòng)方向與單位位移方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位位移方向相反。10.5690.16311.2270.92413.3422.1050.5a例18試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）計(jì)算頻率1a1（2）振型10.27713.61第一振型第二振型0.5a例18試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。1063、主振型及主振型的正交性

m1m2Y11Y21由功的互等定理：整理得：m1m2Y12Y22因，則存在：兩個(gè)主振型相互正交，因與質(zhì)量有關(guān)，稱為第一正交關(guān)系。3、主振型及主振型的正交性m1m2Y11Y21由功的互等定107由功的互等定理：上式分別乘以ω12、ω22，則得：第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它主振型上，不會(huì)引起其它主振型的振動(dòng)；各個(gè)主振型能單獨(dú)存在，而不相互干擾。由功的互等定理：上式分別乘以ω12、ω22，則得：第一主振型1081、柔度法（忽略阻尼）因?yàn)樵诤?jiǎn)諧荷載作用下，荷載頻率在共振區(qū)之外，阻尼影響很??；在共振區(qū)之內(nèi)時(shí)，計(jì)不計(jì)阻尼，雖對(duì)振幅影響很大，但都能反映共振現(xiàn)象。tPqsintPqsiny1y2....P（2）動(dòng)位移的解答及討論通解包含兩部分：齊次解對(duì)應(yīng)按自振頻率振動(dòng)的自由振動(dòng)，由于阻尼而很快消失；特解對(duì)應(yīng)按荷載頻率振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)是平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動(dòng)。（1）建立振動(dòng)微分方程各簡(jiǎn)諧荷載頻率相同相位相同，否則用其他方法

§10.5兩自由度體系的受迫振動(dòng)1、柔度法（忽略阻尼）tPqsintPqsiny1y2...109n各自由度體系，存在n個(gè)可能的共振點(diǎn)設(shè)純強(qiáng)迫振動(dòng)解答為：代入：n各自由度體系，存在n個(gè)可能的共振點(diǎn)設(shè)純強(qiáng)迫振動(dòng)解答為：代入110（3）動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算....

荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時(shí)達(dá)到最大。位移達(dá)到最大時(shí)，內(nèi)力也達(dá)到最大。求內(nèi)力時(shí)可將動(dòng)荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求出內(nèi)力，即為動(dòng)內(nèi)力幅值?；蛴茂B加公式求：由Y1，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：代入位移幅值方程可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）（3）動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算....荷載、位移、慣性力同頻111y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點(diǎn)也作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：Y1=D1/D0Y2=D2/D0如果荷載頻率θ與任一個(gè)自振頻率ω1、ω2重合，則D0=0,當(dāng)D1、D2不全為零時(shí)，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象....2.剛度法y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點(diǎn)也112m2m1k2k1例19質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2當(dāng)m1=m2=m，k1=k2=km2m1k2k1例19質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)1133.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移動(dòng)力系數(shù)不同。當(dāng)

趨于無(wú)窮大。可見(jiàn)在兩個(gè)自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.114kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力yst1=yst2=P/k層間剪力:

Qst1=P動(dòng)荷載產(chǎn)生的位移幅值和內(nèi)力幅值θ2mY2θ2mY1由此可見(jiàn)，在多自由度體系中，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。層間動(dòng)剪力:kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力y115例20m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2這說(shuō)明在右圖結(jié)構(gòu)上，適當(dāng)增加m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動(dòng)（動(dòng)力吸振器原理）。

吸振器不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動(dòng)時(shí)才有必要設(shè)置。設(shè)計(jì)吸振器時(shí)，先根據(jù)m2的許可振幅Y2，選定，再確定例20m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移116例21如圖示梁中點(diǎn)放一電動(dòng)機(jī)。重2500N，電動(dòng)機(jī)使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉(zhuǎn)速為300r/min，產(chǎn)生的動(dòng)荷載幅值P=1kN，問(wèn)：1）應(yīng)加動(dòng)力吸振器嗎？2）設(shè)計(jì)吸振器。(許可位移為1cm)Psinθt解：1）頻率比在共振區(qū)之內(nèi)應(yīng)設(shè)置吸振器。2）由k2m2彈簧剛度系數(shù)為：N/m=102kg例21如圖示梁中點(diǎn)放一電動(dòng)機(jī)。重2500N，電動(dòng)機(jī)使梁中點(diǎn)117tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例22圖示簡(jiǎn)支梁EI=常數(shù)，θ=0.75ω1求動(dòng)位移幅值和動(dòng)彎矩幅值。解：1)求柔度系數(shù)P2)作MP圖，求Δ1PΔ2PtPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例22118P1=1P2=1P5)計(jì)算動(dòng)內(nèi)力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd圖6)比較動(dòng)力系數(shù)因此，多自由度體系沒(méi)有統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。P1=1P2=1P5)計(jì)算動(dòng)內(nèi)力I1=0.6808PPI2=119l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下。與ω2相應(yīng)的振型是12k2211mkw--2212YY==－1當(dāng)θ=ω2

，D0=0，也有：不會(huì)趨于無(wú)窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個(gè)。

對(duì)稱體系在對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振；當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)不會(huì)發(fā)生共振。同理可知：對(duì)稱體系在反對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振。

l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對(duì)稱結(jié)構(gòu)120例23已知圖a剛架受簡(jiǎn)諧荷載作用，θ=0.6ω,繪出動(dòng)力彎矩圖Md，并求柱頂最大位移

ymax。解：利用對(duì)稱性取半邊結(jié)構(gòu)如圖所示。柱頂位移

，代入方程，得慣性力：

（注意：質(zhì)量應(yīng)減半）例23已知圖a剛架受簡(jiǎn)諧荷載作用，θ=0.6ω,繪出動(dòng)力彎121由于

，代入上式，則方程變?yōu)?/p>

只考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，設(shè)方程的特解

代入方程解得，

所以M圖如圖所示。由于，代入上式，則方程變?yōu)橹豢紤]穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，設(shè)方程的特解122例24求圖a所示體系的自振頻率及主振型。梁EI=常數(shù)。解：將原結(jié)構(gòu)化成正對(duì)稱和反對(duì)稱半結(jié)構(gòu)分別計(jì)算（圖b、c）。例24求圖a所示體系的自振頻率及主振型。梁EI=常數(shù)。123，

當(dāng)ω=ω1時(shí)，振型為正對(duì)稱，則當(dāng)ω=ω2時(shí)，振型為反對(duì)稱，則

，當(dāng)ω=ω1時(shí)，振型為正對(duì)稱，則當(dāng)ω=ω2時(shí)，振型為反對(duì)稱1241、能量法求第一頻率——Rayleigh法

根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)不考慮阻尼自由振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)體系在任何時(shí)刻的動(dòng)能T

和應(yīng)變能U

之和應(yīng)等于常數(shù)。根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)可知：在體系通過(guò)靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動(dòng)能具有最大值），動(dòng)位移為零（應(yīng)變能為零）；當(dāng)體系達(dá)到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動(dòng)能為零）。對(duì)這兩個(gè)特定時(shí)刻，根據(jù)能量守恒定律得：

Umax=Tmax

ω求Umax

，Tmax

求頻率

如梁上還有集中質(zhì)量mi，位移幅值.Yi為集中質(zhì)量mi處的位移幅值。

§10.6近似法求自振頻率1、能量法求第一頻率——Rayleigh法根據(jù)能125假設(shè)位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點(diǎn)：1)必須滿足運(yùn)動(dòng)邊界條件：（鉸支端：Y=0；固定端：Y=0，Y′=0）

盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計(jì)。2)所設(shè)位移幅值函數(shù)應(yīng)與實(shí)際振型形狀大致接近；如正好與第

n主振型相似，則可求的ωn的準(zhǔn)確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計(jì)算高頻率誤差較大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。3)相應(yīng)于第一頻率所設(shè)的振型曲線，應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小，拐點(diǎn)少。4)通常可取結(jié)構(gòu)在某個(gè)靜荷載q（x）（如自重）作用下的彈性曲線作為Y（x）的近似表達(dá)式。此時(shí)應(yīng)變能可用相應(yīng)荷載q（x）所作的功來(lái)代替，即假設(shè)位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點(diǎn)：1)必須滿足運(yùn)動(dòng)邊1262）假設(shè)均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x)例25試求等截面簡(jiǎn)支梁的第一頻率。1）假設(shè)位移形狀函數(shù)為拋物線lyx滿足邊界條件且與第一振型相近3）假設(shè)第一振型的精確解。精確解2）假設(shè)均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x)例25試127xh0l例26求楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁截面寬度為1，高度為h=h0x/l。解：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量：設(shè)位移形狀函數(shù)：滿足邊界條件：

Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設(shè)了一振型曲線代替實(shí)際振型曲線，迫使梁按照這種假設(shè)的形狀振動(dòng)，相當(dāng)于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當(dāng)所設(shè)振型越接近于真實(shí)，則相當(dāng)于對(duì)體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實(shí)，即偏高量越小。截面慣性矩：相比誤差為3%與精確解xh0l例26求楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁截面寬度為11281)假設(shè)多個(gè)近似振型都滿足前述兩個(gè)條件。2)將它們進(jìn)行線性組合（a1、a2、?????????、an是待定常數(shù)）nnaaaxY┉+++=2211)(jjj

3)確定待定常數(shù)的準(zhǔn)則是：獲得最佳的線性組合，這樣的Y（x）代入頻率計(jì)算公式中得到的ω2的值雖仍比精確解偏高，但對(duì)所有的a1，a2，…，an的可能組合，確實(shí)獲得了最小的ω2值。所選的a1，a2，…，an使ω2獲得最小值的條件是這是以a1，a2，…，an為未知量的n個(gè)奇次線性代數(shù)方程。令其系數(shù)行列式等于零，得到頻率方程，可以解出原體系最低n階頻率來(lái)。階次越低往往越準(zhǔn)。

為了使假設(shè)的振型盡可能的接近真實(shí)振型，盡可能減小假設(shè)振型對(duì)體系所附加的約束，Ritz

提出了改進(jìn)方法：1)假設(shè)多個(gè)近似振型都滿足前述兩個(gè)條件。2)將它們進(jìn)1292w2w2w2w2w2w2w2w2w2w130例27用Rayleigh—Ritz

法求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。xl解：懸臂梁的位移邊界條件為：（在左端）Y’=0Y=0只取第一項(xiàng)代入：代入頻率方程：其精確解：與精確解相比，誤差為27%。例27用Rayleigh—Ritz法求等截面懸臂梁的最131例28用Rayleigh—Ritz法求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。xl解：取兩項(xiàng)代入：代入頻率方程：求得kij，mij：求得最初兩個(gè)頻率近似值：（0.48%）（58%）說(shuō)明說(shuō)明：1)由于φ1、φ2均近似于第一振型，由它們組合的第二振型自然很差，故第二頻率不準(zhǔn)。2)Rayleigh—Ritz法所得結(jié)果仍然偏高，其原因同瑞利法。例28用Rayleigh—Ritz法求等截面懸臂梁的最初幾1322、集中質(zhì)量法

在計(jì)算無(wú)限自由度體系的自振頻率時(shí)，可以用若干個(gè)集中質(zhì)量來(lái)代替連續(xù)分布的質(zhì)量。關(guān)于質(zhì)量的集中方法有多種，最簡(jiǎn)單的是靜力等效的集中質(zhì)量法。該法既可求基本頻率，也可求較高頻率。且適用于各類結(jié)構(gòu)。集中質(zhì)量的數(shù)目越多結(jié)果越精確，但工作量也就越大。等效原則：使集中后的重力與原重力互為靜力等效，即兩者的合力相等。作法：將桿分為若干段，將每段質(zhì)量集中于其質(zhì)心或集中于兩端。l例29試用集中質(zhì)量法求簡(jiǎn)支梁自振頻率。2、集中質(zhì)量法在計(jì)算無(wú)限自由度體系的自振頻率133ll/3l/3(－0.7%）l/3l/3l/3l/3l/3l/3l/3(－0.1%）(－3.1%）(－0.05%）(－4.8%）(－0.7%）ll/3l/3(－0.7%）l/3l/3l/3l/3l/3l134

對(duì)于對(duì)稱剛架，可分別用不同的集中質(zhì)量方案求出對(duì)稱振動(dòng)和反對(duì)稱振動(dòng)的自振頻率。2ll2ll最小頻率對(duì)應(yīng)著反對(duì)稱振型對(duì)于對(duì)稱剛架，可分別用不同的集中質(zhì)量方案求出對(duì)稱振動(dòng)135第10章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)介山東農(nóng)業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第10章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)介山東農(nóng)業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組136學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)應(yīng)該較扎實(shí)地掌握結(jié)構(gòu)靜力分析、微積分和常微分方程等相關(guān)知識(shí)，主要是如下相關(guān)內(nèi)容：1）能熟練的分析計(jì)算并繪制結(jié)構(gòu)的彎矩圖或內(nèi)力圖（靜定結(jié)構(gòu)利用平衡、區(qū)段疊加、微分關(guān)系等；超靜定結(jié)構(gòu)用力法、位移法或力矩分配法等計(jì)算分析并作圖）；2）能熟練地計(jì)算結(jié)構(gòu)的指定位移δij、△ip；3）能熟練地計(jì)算結(jié)構(gòu)的指定反力rij、RiP；4）要能熟練掌握常用的微積分知識(shí)和常微分方程知識(shí)（由加慣性力等之后的動(dòng)靜法可知，動(dòng)力學(xué)問(wèn)題將是微分方程的求解問(wèn)題，就本書(shū)內(nèi)容屬于常系數(shù)常微分方程）；

5）要熟練的掌握線性代數(shù)（矩陣的表達(dá)、運(yùn)算和矩陣方程的求解）。學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)應(yīng)該較扎實(shí)地掌握結(jié)構(gòu)靜力分析、微積分137如果對(duì)上述內(nèi)容掌握的不好或已經(jīng)有所遺忘，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)（不一定系統(tǒng)復(fù)習(xí)，可以涉及什么問(wèn)題時(shí)復(fù)習(xí)什么內(nèi)容），要力爭(zhēng)達(dá)到上述要求?！扒谒肌⒍嗑殹保@是學(xué)習(xí)任何理工科課程共同的學(xué)習(xí)方法。勤思——要抓住基本思想、基本方法將書(shū)讀?。欢嗑殹捎谏婕皵?shù)學(xué)知識(shí)比靜力分析稍難，多數(shù)內(nèi)容不自行動(dòng)手推一推，最多僅僅能達(dá)到牢記，而不能達(dá)到掌握。通過(guò)一定的習(xí)題練習(xí)，進(jìn)一步理解和鞏固理論知識(shí)，從中總結(jié)解決問(wèn)題的技巧、經(jīng)驗(yàn)，這是“熟能生巧”必不可少的。如果對(duì)上述內(nèi)容掌握的不好或已經(jīng)有所遺忘，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)?38結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與工程實(shí)際有著十分密切的關(guān)系，它在結(jié)構(gòu)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)