高考數(shù)學(xué)專題《三角函數(shù)與解三角形》解讀

重難點(diǎn)0重難點(diǎn)02三角函數(shù)與解三角形新高考中，三角函數(shù)與解三角形依然會(huì)作為一個(gè)重點(diǎn)參與到高考試題中，熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式及正、余弦定理，在此基礎(chǔ)上掌握一些三角恒變換的技巧，如角的變換，函數(shù)名稱的變換等，此外，還要注意題目中隱含的各種限制條件，選擇合理的解決方法，靈活實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間．①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．2、求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過(guò)恒等變形化為y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分別應(yīng)用公式T=，T=，T=求解．3、對(duì)于函數(shù)y=Asin（ωx＋φ），其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x=x0或點(diǎn)（x0，0）是否為函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f（x0）的值進(jìn)行判斷．4、若f（x）=Asin（ωx＋φ）為偶函數(shù)，則φ=kπ＋（kZ），同時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）為奇函數(shù)，則φ=kπ（k∈Z），同時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0.2、利用正、余弦定理求邊和角的方法（1）根據(jù)題目給出的條件(即邊和角)作出相應(yīng)的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的位置．（2）選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問(wèn)題．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.3、求三角形面積的方法：1）若三角形中已知一個(gè)角(角的大小，或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求夾這個(gè)角的兩邊或該兩邊之積，套公式求解．2）若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．幾何中的長(zhǎng)度、角度的計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為三角形中邊長(zhǎng)和角的計(jì)算，這樣就可以利用正、余弦定理解決問(wèn)題.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，把已知和所求的量盡量放在同一個(gè)三角形中.熱點(diǎn)1、新題型的考查（1）以數(shù)學(xué)文化和實(shí)際為背景的題型；（2）多選題的題型；（3）多條件的解答題題型。熱點(diǎn)2、與其它知識(shí)交匯的考查（1）與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的結(jié)合；（2）與平面向量的結(jié)合；（3）與不等式的結(jié)合；（4）與幾何的結(jié)合。A卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2021·上海虹口·一模）設(shè)函數(shù)，其中，，若對(duì)任意的恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增 D．過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像必有公共點(diǎn)2．（2021·廣東·珠海市模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角的內(nèi)角，滿足，則（）A． B．， C．， D．，3．（2021·江蘇鹽城·高三期中）若函數(shù)與在上的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2021·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）（）A．2 B．－2 C．1 D．－15．（2021·山東·嘉祥縣第一中學(xué)高三期中）對(duì)于角的正切的倒數(shù)，記作，稱其為角的余切．在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，，，若滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．6．（2021·四川·綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）某城市要在廣場(chǎng)中央的圓形地面設(shè)計(jì)一塊浮雕，彰顯城市積極向上的活力.某公司設(shè)計(jì)方案如圖，等腰的頂點(diǎn)P在半徑為20m的大⊙O上，點(diǎn)M，N在半徑為10m的小⊙O上，點(diǎn)O，點(diǎn)P在弦MN的同側(cè).設(shè)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，對(duì)于其它區(qū)域中的某材料成本最省，則此時(shí)（）A． B． C． D．7．（2021·河南平頂山·高二期中）在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（2019·全國(guó)高考真題）設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④二、多選題9．（2021·江蘇·海門中學(xué)高三期中）已知某物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，位移函數(shù)為，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A．該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若，則D．若對(duì)于任意，，有，則10．（2021·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在區(qū)間上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)共有6個(gè)，下列說(shuō)法正確的是（）A．在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)B．在上有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)C．的取值范圍是D．的取值范圍是11．（2021·江蘇淮安·高三期中）在△中，角的對(duì)邊分別為，則下列的結(jié)論中正確的是（）A．若，則△一定是等腰三角形B．若，則C．若△是銳角三角形，則D．已知△不是直角三角形，則12．（2021·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）在三角函數(shù)部分，我們研究過(guò)二倍角公式，實(shí)際上類似的還有三倍角公式，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．B．存在時(shí)，使得C．給定正整數(shù)，若，，且，則D．設(shè)方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根為，，，并且，則三、填空題13．（2021·福建省泉州第一中學(xué)高三期中）拿破侖是十九世紀(jì)法國(guó)偉大的軍事家、政治家，對(duì)數(shù)學(xué)也很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破倉(cāng)定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的中心怡為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”，在△ABC中，以AB，BC，CA為邊向外構(gòu)造的三個(gè)等邊三角形的中心依次為D，E，F(xiàn)，若∠BAC=60°，DF=，利用拿破侖定理可求得AB+AC的最大值_____14．（2021·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所一模）如圖，某小區(qū)有一塊扇形OPQ空地，現(xiàn)打算在上選取一點(diǎn)C，按如圖方式規(guī)劃一塊矩形ABCD土地用于建造文化景觀．已知扇形OPQ的半徑為6米，圓心角為60°，則矩形ABCD土地的面積（單位：平方米）的最大值是______．15．（2021·上?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)，若對(duì)任意，，方程有解，方程也有解，則的值的集合為______.16．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，與BC交于點(diǎn)D，M是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BM交AC于點(diǎn)H，，，則___________，___________.四、解答題17．（2021·黑龍江·高三期中）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足.（1）求角A；（2）若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值.18．（2021·廣西玉林·高三期中）已知函數(shù).（1）若，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f（x）在[0，m]上的最小值為2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（2021·上海普陀·一模）設(shè)函數(shù)，該函數(shù)圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，且為偶函數(shù).（1）求和的值；（2）在中，角的對(duì)邊分別為，若，求的取值范圍.20．（2021·江蘇·無(wú)錫市教育科學(xué)研究院高三期中）在①?②兩個(gè)條件中任取一個(gè)填入下面的橫線上，并完成解答.①在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)；②在上有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn).設(shè)函數(shù)，且滿足___________.（1）求ω的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求在（0，2π）上的單調(diào)遞減區(qū)間.21．（2021·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，對(duì)角線平分的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.（1）求；（2）若，且________，求線段的長(zhǎng).從下面①②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的空格中進(jìn)行求解.①的面積；②.注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．（2021·上海金山·一模）落戶上海的某休閑度假區(qū)預(yù)計(jì)于2022年開工建設(shè).如圖，擬在該度假園區(qū)入口處修建平面圖呈直角三角形的迎賓區(qū)，，迎賓區(qū)的入口設(shè)置在點(diǎn)A處，出口在點(diǎn)B處，游客可從入口沿著觀景通道A-C-B到達(dá)出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到達(dá)出口（P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)）.（1）若△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結(jié)果精確到1分鐘）（2）園區(qū)計(jì)劃將△PBC區(qū)域修建成室外游樂(lè)場(chǎng)，若，該如何設(shè)計(jì)使室外游樂(lè)場(chǎng)的面積最大，請(qǐng)說(shuō)明理由.B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2021·湖北·高三期中）已知，則的可能值為（）A．B．C．D．2．（2020·江蘇·一模）已知，，則（）A． B． C． D．3．（2021·上海金山·一模）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．4．（2021·山東聊城一中模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)魏晉時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了“割圓術(shù)——割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”.也就是利用圓的內(nèi)接多邊形逐步逼近圓的方法來(lái)近似計(jì)算圓的面積.如圖的半徑為1，用圓的內(nèi)接正六邊形近似估計(jì)，則的面積近似為，若我們運(yùn)用割圓術(shù)的思想進(jìn)一步得到圓的內(nèi)接正二十四邊形，以此估計(jì)，的面積近似為（）A． B． C． D．5．（2021·山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三期中）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．（2021·江蘇·高三期中）關(guān)于函數(shù)y=sin（2x+φ）（）有如下四個(gè)命題：甲：該函數(shù)在上單調(diào)遞增；乙：該函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到一個(gè)奇函數(shù)；丙：該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為；?。涸摵瘮?shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（2021·黑龍江·大慶中學(xué)高三期中）已知為常數(shù)，在某個(gè)相同的閉區(qū)間上，若為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，則稱此區(qū)間為函數(shù)的“”區(qū)間.若函數(shù)，則此函數(shù)的“”區(qū)間為（）A． B．C． D．8．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．是周期為的偶函數(shù)B．函數(shù)的圖象有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸C．函數(shù)的最大值為，最小值為，則D．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)二、多選題9．（2021·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，其外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，滿足，的面積，則（）A．B．C．D．10．（2021·重慶一中模擬預(yù)測(cè)）如圖所示為函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，0<φ<π)圖象的一部分，對(duì)任意的，且，若，有，則φ的值可能為（）A． B． C． D．11．（2021·湖北·石首市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下述結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在[0，2π]有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)B．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在上單調(diào)遞增C．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則ω的范圍是D．若f（x）圖象關(guān)于對(duì)稱，且在單調(diào)，則ω的最大值為1112．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，面積為，有以下四個(gè)命題中正確的是（）A．的最大值為B．當(dāng)，時(shí)，不可能是直角三角形C．當(dāng)，，時(shí)，的周長(zhǎng)為D．當(dāng)，，時(shí)，若為的內(nèi)心，則的面積為三、填空題13．（2021·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三期中）函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知分別是最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則__________．14．（2021·上海市七寶中學(xué)高三期中）已知中的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，且．則的面積是_______．15．（2021·河南·高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，若為的面積，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為______.16．（2021·浙江省諸暨市第二高級(jí)中學(xué)高三期中）在ABC中，，，則ABC的外接圓面積___________，ABC周長(zhǎng)的最大值為___________.四、解答題17．（2021·浙江高考真題）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.18．（2021·全國(guó)新高考1卷真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.19．（2020·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）在非直角三角形ABC中，角的對(duì)邊分別為，（1）若，求角B的最大值；（2）若，（i）證明：；（可能運(yùn)用的公式有）（ii）是否存在函數(shù)，使得對(duì)于一切滿足條件的m，代數(shù)式恒為定值？若存在，請(qǐng)給出一個(gè)滿足條件的，并證明之；若不存在，請(qǐng)給出一個(gè)理由.20．（2021·上海·華師大二附中高三階段練習(xí)）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉，“日行一萬(wàn)步，健康一輩子”.通過(guò)“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線.如圖，為某市的一條健康步道，，為線段，是以為直徑的半圓，，，.（1）求的長(zhǎng)度；（2）為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃新增健康步道（，在兩側(cè)），，為線段.若，