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必要性充分性2!n!ex

1

x1

x2

…

1

xn

…

x(,

)3!1

x

35!1

x

5…

1

nx2n12n

1!

sin

x

x

…x(,

)x(1,1)

(1

x)牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式

…

(1)…(n

1)

xn

…注意:1

0時(shí),收斂區(qū)間(-1,1]

0時(shí),收斂區(qū)間[-1,1]2!n!1

x(1)

x2雙階乘3113!5!x

5…

(1)nx2n1∵

sin

x

x

x

(2n

1)!

…x1.f(x)

39

1

(2)9

x21

xx解：f(x)9n

x

2nn0

1

x(1)

(

)33n

x2n12(n1)(1)n032nn1

x2n1(1),

3,3n11x2

3x

23.f(x)

在x1處2.f(x)

ln

x

在x1處解：f(x)

ln

x

ln[1(x1)]nx1nx(0,

2]

(1)n1

n11x2f(x)

3x

21

1x1

x

22111

1x12

x12

x1

122

n0

1

1n(x1)n2n1

1n

(x1)

n1,3;n0n

(x1)n2n13n1

1n

(x1)

nn0故

f(x)

1n01

1x

2

3

x11

13

1

x13n11n

(x1)n32,

4

n01,3.

1n(

1

1

)(x1)nn02n13n1x2n4

求

的和函數(shù).n0

2n!解：易求收斂域?yàn)?，+.3!

5!s(x)

xx2n12n1!n0

2n!x3

x52n!2!

4!

1

x2x2n

x4

x2n

令s(x)x2

x3

x2

x52!

3!

4!

5!x2n2n!s(x)

s(x)

1

xx2n12n1!2

ex即s(x)

s(x)

ex,一階線性方程,其通解:s(x)

Cex

1

ex.2s(0)

1,代入上式,得C

1

.1212e.xx2nexn0

2n!故冪級(jí)數(shù)題型總結(jié)求出給定級(jí)數(shù)的收斂域.通過(guò)逐項(xiàng)積分或微分給定的冪級(jí)數(shù)化為常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式的形式，從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù).

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