幾何與代數(shù)：第一章 行列式和線性方程組的求解3

第一章

行列式和線性方程組的求解

第一節(jié)

二階,三階行列式

第二節(jié)

n階行列式的概念

第三節(jié)

行列式的性質(zhì)

第四節(jié)

線性方程組的求解

本次課內(nèi)容概要含有n個(gè)未知元n個(gè)方程的方程組：

Cramer

法則含有n個(gè)未知元m個(gè)方程的方程組：

Gauss

消元法第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

§1.4線性方程組的求解

一.克拉默(Cramer)法則G.Cramer[瑞士](1704.7.31~1752.1.4)

C.Maclaurin[英](1698.2.?~1746.6.14)

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…an1x1+an2x2+…+annxn=bn

當(dāng)D

0時(shí)有唯一解:定理1.3.線性方程組

(i=1,…,n),xi=Di

D

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………an1

an2…ann,其中D

=

b1

a12…a1nb2

a22…a2n

…………bn

an2…ann,D1

=

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…an1x1+an2x2+…+annxn=bn

當(dāng)D

0時(shí)有唯一解:定理1.3.線性方程組

(i=1,…,n),xi=Di

D

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………an1

an2…ann,其中D

=

a11

b1…a1na21

b2…a2n

…………an1

bn…ann,D2

=

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…an1x1+an2x2+…+annxn=bn

當(dāng)D

0時(shí)有唯一解:定理1.3.線性方程組

(i=1,…,n),xi=Di

D

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………an1

an2…ann,其中D

=

…

a11…a1,n1b1a21…a2,n1b2

…………an1…an,n1bn.Dn

=

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

…an1x1+an2x2+…+annxn=0a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………an1

an2…ann=0.D

=

齊次線性方程組推論1.4.若齊次線性方程組

零解

非

有非零解(非零解指的是至少有一個(gè)分量xi不為0),則

例.

用Cramer法則求解下述線性方程組

x1+3x2

-2x3

+4x4

=12x1

-x2

+x3+3x4

=0-2x1+3x2+x3+4x4

=-1x1+3x2-x3+2x4

=1第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

例.

根據(jù)參數(shù)討論下述線性方程組的解

x

+

y=1x

+

y=1第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

Cramer法則的缺陷不方便求解，因?yàn)樯婕靶辛惺降挠?jì)算對(duì)于n個(gè)未知量，需要n個(gè)方程當(dāng)系數(shù)行列式D=0時(shí)，如何求解？第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

二.高斯(Gauss)消元法線性方程組的一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs1.相容,不相容,解集合,同解.

x1

+3x2

+2x3

=-1

3x2

-

2x3

=

5

x3=2x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=32.線性方程組的初等變換與Gauss消元法先看一種簡(jiǎn)單的情形第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

4x1+2x2+2x3

=6

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4

1/22x1+x2

+

x3

=3

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4

x1

+3x2

+2x3

=-12x1+x2

+

x3

=3-

x1+2x2

+

3x3=4(2)例

解線性方程組

x1

+3x2

+2x3

=-12x1+x2

+

x3

=3-

x1+2x2

+

3x3=4

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5-

x1+2x2

+

3x3=4(2)++

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

5x2

+

5x3=3

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8+x1=6/5，x2=-17/5，x3

=4第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

(1)(對(duì)換變換)互換兩個(gè)方程的位置；(2)

(倍乘變換)用一個(gè)不等于零的數(shù)乘以某個(gè)方程；(3)

(倍加變換)將一個(gè)方程的某個(gè)倍數(shù)加到另一個(gè)方程。線性方程組的初等變換：(1)反復(fù)運(yùn)用初等變換將原方程組變成階梯形方程組；(2)用回代的方式求得階梯形方程組的解。Gauss

消元法：第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

注:可以證明

(1)初等變換不改變線性方程組的解；

(2)任意線性方程組都可經(jīng)過若干次初等變換化成同解的階梯形方程組。第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

4x1+2x2+2x3

=6

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4

1/22x1+x2

+

x3

=3

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4

x1

+3x2

+2x3

=-12x1+x2

+

x3

=3-

x1+2x2

+

3x3=4(2)例

解線性方程組

1/2(2)4

2

2

6132

-1-1

2

342

1

13

132

-1-1

2

3432

-12

1

13

-1

2

34

x1

+3x2

+2x3

=-12x1+x2

+

x3

=3-

x1+2x2

+

3x3=4

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5-

x1+2x2

+

3x3=4(2)+

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

5x2

+

5x3=3+第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

+32

-12

1

13

-1

2

3432

-10

-5

-35

-1

2

3432

-10

-5

-35

0

5

53

(2)++第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8x1=6/5，x2=-17/5，x3

=432

-10

-5

-35

0

0

28

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

5x2

+

5x3=3++32

-10

-5

-35

0

5

53第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

1.

sn矩陣

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2

…

asn注意矩陣與行列式的區(qū)別.對(duì)于矩陣An×n,對(duì)應(yīng)的行列式記為det

A

或者|A|.行

列

元素

aij(1i

s,1

j

n)通常，上述矩陣記為

A,As×n,(aij),或

(aij)s×n三.矩陣及其初等行變換第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

3.向量n–維行向量

[a1,a2,…,an]n–維列向量

a1a2…an第i分量

ai(i=1,…,n)n階方陣:nn矩陣2.方陣

一個(gè)11的矩陣就是一個(gè)數(shù)

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

4.同型:行數(shù)相等,列數(shù)也相等5.兩個(gè)矩陣相等205030162016與a

b

c123同型205030162016

與不同型201650203016A=[aij]mn與B=[bij]mn相等:1im,1jn,aij

=bij

記為A=B.大前提:同型

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs6.——系數(shù)矩陣

——增廣矩陣

(A,b)=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………as1

as2…asnbsa11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asnA=第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

4x1+2x2+

2x3

=6

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=42232-123——系數(shù)矩陣

22632-1-1234——增廣矩陣

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

7.矩陣的初等行變換

(1)對(duì)換變換:ri

rj,

(2)倍乘變換:ri

k,其中k

0,

(3)倍加變換:ri+krj.第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

8.階梯形矩陣與簡(jiǎn)化階梯形矩陣1100401022000230000411204013220002300000,A是階梯形矩陣，如果A滿足：假如A有零行，則零行全位于A的下方；

A的每個(gè)非零行的非零首元必位于上一行的非零首元的右邊。注意不是階梯形矩陣!11004010220202300004第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

4x1+2x2+2x3

=6

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4用Gauss消元法求解下述線性方程組例解4

2

2

6132

-1-

1

2

342

1

13

132

-1-1

2

3432

-12

1

13

-1

2

34

r1(1/2)

r2-2r1

r1

r2r3+r132

-10

-5

-35

0

5

5332

-10

-5

-35

0

0

2830

-90

-5

017

0

0

1430

-9

0

1

0-17/5

0

0

14階梯形

r3+r2

r3(1/2)32

-10

-5

-35

0

0

14

r2+3r3r1-2r3

r2(-1/5)00

6/5

0

1

0-17/5

0

0

14

r1-3r2第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

32

-10

-5

-35

0

5

53x1=6/5，x2=-17/5，x3

=4最簡(jiǎn)形第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

則稱A為簡(jiǎn)化階梯形矩陣(或最簡(jiǎn)形)。如果階梯陣A還滿足如下條件各非零首元全為1,非零行首元所在列的除非零首元其余元素全為0,1

0

201013020001000000例如注:用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:任何一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣.例.設(shè)有線性方程組請(qǐng)根據(jù)a的取值討論方程組的解的情況，有解時(shí)求其解。

2x3

8x4

=6

x1+2x2+x3+x4

=22x1+4x2+2x3+2x4

=a

第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

Skip第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

解:002

8

6121122422

a(1/2)(2)

001

4

3

121120000

a4

12112001

4

3

0000

a4(1)

120

31001

4

3

0000

a4第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

(1)a=4時(shí),該方程組有無窮多解.此時(shí),x1+2x2

3x4

=1x3+4x4=

3120

31001

4

3

0000

a4x1=2x2+3x4

1x3=4x4+

3x1=2x2+3x4

1,x3=4x2+

3.其中x2

,

x4是自由未知量(2)a4時(shí),該方程組無解.四.階梯形線性方程組的三種基本類型

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

例如:x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

0

有唯一解有無數(shù)解無解第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8有唯一解

(A,b)的非零行數(shù)記為r(A,b);~~

A的非零行數(shù)記為r(A);~~~~1

32-1

0-5-3

50028=[A,b]其增廣矩陣為~~則有r(A,b)=r(A)=3=未知元的個(gè)數(shù)~~~第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

0

有無數(shù)解其增廣矩陣為12

1

1

2

0014300000=[A,b]~~則有r(A,b)=r(A)=2<未知元的個(gè)數(shù)~~~第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

其增廣矩陣為12

1

1

2

0014300001=[A,b]~~x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

無解則有r(A,b)≠r(A)~~~第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0有唯一解有無數(shù)解1

32-1

0-5-3

5002812

1

1

2

0014300000解的數(shù)目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r(A)=r(A,b)=3r(A)=r(A,b)<4無解1

2

1

1

20014300001r(A)r(A,b)r(A)+1=r(A,b)~~~~~~~~~~~~

x1+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

考察一般的n元方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs其增廣矩陣經(jīng)過若干次初等行變換一定可以化成一個(gè)（簡(jiǎn)化）階梯形矩陣(A,b)。(A,b)=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………as1

as2…asnbss<,=,or,>n~~第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

………————————————————………(A,b)

~~(A,b)………………00…01第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

思考：在最后的階梯形矩陣中,r(A)和r(A,b)的關(guān)系如何？（A,b）~~~~~r(A,b）≠r(A)~~~r(A,b）=

r(A)~~~答案:(1)(2)r(A,b）=

r(A)+1

~~~只可能是只可能是r(A,b）=

r(A)<n

~~~r(A,b）=

r(A)=n

~~~第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

矛盾方程出現(xiàn)，方程組無解；方程組有無窮多解方程組有唯一解第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

特殊情形:(齊次線性方程組有非零解的一個(gè)充分條件)定理1.4.當(dāng)s<n時(shí),齊次線性方程組有非零解,且通解中至少含有ns個(gè)自由未知量.a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…as1x1+