數(shù)學(xué)分析十講習(xí)題冊(cè)、課后習(xí)題答案解析

.PAGE.習(xí)題1-11．計(jì)算下列極限〔1,解：原式===〔2；解：原式〔3解：原式〔4,解：原式〔5解：原式=〔6,為正整數(shù)；解：原式2．設(shè)在處二階可導(dǎo),計(jì)算.解：原式3．設(shè),,存在,計(jì)算.解：習(xí)題1-21.求下列極限〔1;解：原式,其中在與之間〔2;解：原式===,其中在與之間〔3解：原式,其中在與之間〔4解：原式,其中其中在與之間2．設(shè)在處可導(dǎo),,計(jì)算.解：原式習(xí)題1-31．求下列極限〔1,解：原式〔2;解：〔3;解：原式〔4;解：原式2.求下列極限〔1;解：原式〔2;解：原式習(xí)題1-41．求下列極限〔1；解：原式〔2求；解：原式〔3；解：原式〔4；解：原式此題已換3．設(shè)在處可導(dǎo),,.若在時(shí)是比高階的無(wú)窮小,試確定的值.解：因?yàn)?所以從而解得：3．設(shè)在處二階可導(dǎo),用泰勒公式求解：原式4.設(shè)在處可導(dǎo),且求和.解因?yàn)樗?即所以習(xí)題1-51.計(jì)算下列極限<1>;;解：原式<2>解：原式2．設(shè),求<1>；解：原式<2>,解：由于,所以3．設(shè),求和.解：因?yàn)?所以且從而有stolz定理,且所以,4．設(shè),其中,并且,證明：.證明：因,所以,所以,用數(shù)學(xué)歸納法易證,。又,從而單調(diào)遞減,由單調(diào)有界原理,存在,記在兩邊令,可得所以習(xí)題1-61.設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且存在.證明:證明：2.設(shè)在上可微,和存在.證明:.證明：記〔有限,〔有限,則從而所以3.設(shè)在上可導(dǎo),對(duì)任意的,,證明:.證明：因?yàn)?所以,由廣義羅必達(dá)法則得4．設(shè)在上存在有界的導(dǎo)函數(shù),證明:.證明：,有界,,所以習(xí)題2-1〔此題已換1.若自然數(shù)不是完全平方數(shù),證明是無(wú)理數(shù).1.證明是無(wú)理數(shù)證明：反證法.假若且互質(zhì),于是由可知,是的因子,從而得即,這與假設(shè)矛盾2.求下列數(shù)集的上、下確界.〔1解：〔2解：〔3解：〔4.解：3．設(shè),驗(yàn)證.證明：由得是的一個(gè)下界.另一方面,設(shè)也是的下界,由有理數(shù)集在實(shí)數(shù)系中的稠密性,在區(qū)間中必有有理數(shù),則且不是的下界.按下確界定義,.4．用定義證明上〔下確界的唯一性.證明：設(shè)為數(shù)集的上確界,即.按定義,有.若也是的上確界且.不妨設(shè),則對(duì)有即矛盾.下確界的唯一性類似可證習(xí)題2-21．用區(qū)間套定理證明：有下界的數(shù)集必有下確界.證明：設(shè)是的一個(gè)下界,不是的下界,則.令,若是的下界,則?。蝗舨皇堑南陆?則取.令,若是的下界,則?。蝗舨皇堑南陆?則??；……,按此方式繼續(xù)作下去,得一區(qū)間套,且滿足：是的下界,不是的下界.由區(qū)間套定理,且.下證：都有,而,即是的下界.由于,從而當(dāng)充分大以后,有.而不是的下界不是的下界,即是最大下界2.設(shè)在上無(wú)界.證明：存在,使得在的任意鄰域內(nèi)無(wú)界.證明：由條件知,在上或上無(wú)界,記使在其上無(wú)界的區(qū)間為；再二等分,記使在其上無(wú)界的區(qū)間為,……,繼續(xù)作下去,得一區(qū)間套,滿足在上無(wú)界.根據(jù)區(qū)間套定理,,且.因?yàn)閷?duì)任意的,存在,當(dāng)時(shí),有,從而可知在上無(wú)界3.設(shè),在上滿足,,若在上連續(xù),在上單調(diào)遞增.證明：存在,使.證明：記且二等分.若,則記若則記.類似地,對(duì)已取得的二等分,若,則記；若,則記按此方式繼續(xù)下去,得一區(qū)間套,其中根據(jù)區(qū)間套定理可知,且有.因?yàn)樵谏线B續(xù),所以注意到可得,再由可知,.習(xí)題2-31.證明下列數(shù)列發(fā)散.<1>,證因?yàn)?所以發(fā)散.<2>,證明：因?yàn)樗园l(fā)散.2．證明:單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是其存在一個(gè)收斂子列.證明：由收斂數(shù)列與子列的關(guān)系,結(jié)論顯然不妨假設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增,且存在收斂子列,由極限定義對(duì)任意給定的,總存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),,從而有；由于,對(duì)任意,存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),,取,則任意時(shí),所以,即3.設(shè)極限存在,證明：.證明：記由海茵定理,取,得取,得取,得,解得〔此題取消4.數(shù)列收斂于的充要條件是：其偶數(shù)項(xiàng)子列和奇數(shù)項(xiàng)子列皆收斂于〔此題改為45.已知有界數(shù)列發(fā)散,證明:存在兩個(gè)子列和收斂于不同的極限.證明：因?yàn)橛薪?由致密性定理,必有收斂的子列,設(shè).又因?yàn)椴皇諗?所以存在,在以外,有的無(wú)窮多項(xiàng),記這無(wú)窮多項(xiàng)所成的子列為,顯然有界.由致密性定理,必有收斂子列,設(shè),顯然.習(xí)題2-51.用柯西收斂準(zhǔn)則判定下列數(shù)列的收斂性<1>解：所以,對(duì),即為柯西列<2>.解：所以,對(duì),即為柯西列2.滿足下列條件的數(shù)列是不是柯西列?<1>對(duì)任意自然數(shù),都有解：不是柯西列,如,對(duì)任意的自然數(shù),但數(shù)列不收斂。<2>,解：所以,對(duì),即為柯西列<3>.證明：記,則單調(diào)遞增有上界,從而必有極限,記對(duì)從而故是柯西列習(xí)題3-11.設(shè)定義在上的函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且和存在<有限>.問(wèn)在上是否有界?是否能取得最值?解：在閉區(qū)間上構(gòu)造輔助函數(shù)則在上連續(xù),從而在上有界.由于,故在上也有界,即存在,使得.令,則有.條件同上,但在上卻不一定能取得極值.例如：2.設(shè)在內(nèi)連續(xù),且.證明在內(nèi)可取得最小值.證明：因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),有因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),有從而當(dāng)時(shí),有又在連續(xù),從而一定可以取到最小值,即,使當(dāng)時(shí),且；故時(shí),有所以在處取到最小值習(xí)題3-2〔此題已換1.設(shè),,,.證明:方程在和內(nèi)恰好各有一個(gè)實(shí)根.1.證明開(kāi)普勒<Kepler>方程有唯一實(shí)根證明：令,則在連續(xù)且,,由零點(diǎn)原理,使,即方程至少有一實(shí)根又,所以在單調(diào)遞增,所以方程有唯一實(shí)根〔此題已換2.設(shè)函數(shù)在〔內(nèi)連續(xù)且有極值點(diǎn).證明:存在使得2.設(shè),討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)解：step1.令,則,由零點(diǎn)原理,在至少有一實(shí)根,又,所以在單調(diào)遞增,從而方程在內(nèi)有且僅有一實(shí)根。step2.令,則,且,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)在點(diǎn)取得極小值。所以,當(dāng)時(shí),方程在無(wú)解；當(dāng)時(shí),在有一解；當(dāng)時(shí),在有兩解綜上：當(dāng)時(shí),方程有一解；當(dāng)時(shí),有兩解；當(dāng)時(shí),有三解3.設(shè)在上連續(xù),,.證明存在使.證法1因?yàn)樵谏线B續(xù),所以存在最大值和最小值,且使,從而有.由介值定理知,使.證法2因?yàn)橛薪?所以存在收斂子列.而在上連續(xù),故有習(xí)題10-21.設(shè)在上連續(xù),為自然數(shù).證明：〔1若,則存在使得證明：令,則,且,,從而若,使,取即可否則,使,由零點(diǎn)原理,或,使綜上,,使,即〔2若則存在使得解：取,方法同上2.設(shè)在上連續(xù),且證明：存在使證：由已知經(jīng)計(jì)算得1若或,由積分中值定理,,使,從而2否則,,a若,同1,由積分中值定理,使b與異號(hào),由中值定理,使,且所以,有零點(diǎn)原理,使3.設(shè),求證<1>對(duì)任意自然數(shù),方程在內(nèi)有唯一實(shí)根;證明：時(shí),在上有唯一實(shí)根時(shí),有,且,由零點(diǎn)存在原理,,使,即在上有一實(shí)根又,故嚴(yán)格單調(diào)遞減,所以方程在內(nèi)有唯一實(shí)根<2>設(shè)是的根,則.證：對(duì),,從而,有因?yàn)閲?yán)格單調(diào)遞減,故,即嚴(yán)格單調(diào)遞增。又有界,所以收斂。設(shè),由于,所以,在,令,有,所以,即4.設(shè)在上連續(xù),不恒為常數(shù),且.證明存在,使．證：令,因?yàn)樵谏线B續(xù),不恒為常數(shù),且,所以,使,于是,,由零點(diǎn)原理：證明存在,使,即．習(xí)題4-11．證明函數(shù)沒(méi)有原函數(shù).證：設(shè)存在原函數(shù),即,則且,由于,由達(dá)布定理,,使,矛盾,所以無(wú)原函數(shù)2．設(shè)在上可導(dǎo),證明：〔1若則存在使證明：若,則取或均可；否則,又達(dá)布定理,存在介于與之間,使綜上存在使〔2若則存在使證明：若,則取或均可；否則,由達(dá)布定理,存在介于與之間,使；綜上存在使習(xí)題4-21．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),并討論導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性.〔1；解：,則在連續(xù),且時(shí),,,從而時(shí),,,從而所以從而在連續(xù)。所以在連續(xù)〔2；解：顯然在連續(xù),且時(shí),,,從而；時(shí),,,從而所以從而在連續(xù)。所以在連續(xù)2.設(shè).當(dāng)分別滿足什么條件時(shí),〔1在處連續(xù)；解：,即,所以〔2在處可導(dǎo)；解：存在,即存在,所以〔3在處連續(xù)？解：,由,即,所以3．分別用兩種方法證明符號(hào)函數(shù)不存在原函數(shù).證明：法一設(shè)存在原函數(shù),即,則且,由于,由達(dá)布定理,,使,矛盾,所以無(wú)原函數(shù)法二由單側(cè)導(dǎo)數(shù)極限定理,導(dǎo)函數(shù)不存在第一類間斷點(diǎn),而有第一類間斷點(diǎn),從而無(wú)原函數(shù)習(xí)題5-1.1.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo).〔1若,.證明存在使；證明：令,則,且,,由廣義洛爾定理,使,即,所以<2>若,證明存在使得；證明：令,則,且,,由廣義洛爾定理,使,即,所以習(xí)題5-2設(shè)在上可導(dǎo),且,其中為常數(shù).證明：存在,使.證明：由積分中值定理,,使令,則,且,由洛爾定理,,使,即,從而設(shè)在上可導(dǎo),且證明：存在,使證明：由積分中值定理,,使令,則,且,由洛爾定理,,使,即,從而設(shè)在上可導(dǎo),且.證明：存在使證明：由積分中值定理,,使令,則,且,由洛爾定理,,使,即,從而習(xí)題6-11.若在區(qū)間上是凸函數(shù),證明對(duì)任意四點(diǎn),有.其逆是否成立？證明：因?yàn)樵趨^(qū)間上是凸函數(shù),由三弦不等式,且,所以成立。其逆成立2.設(shè)均為區(qū)間上的凸函數(shù),證明：也是上凸函數(shù)..證明：設(shè),則對(duì),有,且,從而,由凸函數(shù)的定義,也是上凸函數(shù)習(xí)題6-2驗(yàn)證下列函數(shù)是〔嚴(yán)格凸函數(shù).〔1解：,〔,所以是上的嚴(yán)格凸函數(shù)〔2解：,〔,所以是上的嚴(yán)格凹函數(shù)習(xí)題6-31．證明不等式〔1證：設(shè),則〔,所以是上的嚴(yán)格凸函數(shù)；從而,有,即〔2證：設(shè),則〔,所以是上的嚴(yán)格凸函數(shù)；從而,有,可得,即,又因?yàn)?所以習(xí)題9-11.求下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域<1>；解：,從而當(dāng)時(shí),,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí),,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí),發(fā)散；當(dāng)時(shí),發(fā)散,所以,級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?lt;2>.解：,所以當(dāng)時(shí),,級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí),,級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí),,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí),,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榱?xí)題9-21.證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明：,從而所以對(duì)任意的,由,得對(duì),取,當(dāng)時(shí),對(duì)任意的成立,因此,在上一致收斂到設(shè)在區(qū)間上一致收斂于,且對(duì)任意有.試問(wèn)是否存在,使當(dāng)時(shí),對(duì)任意有?解：答案不正確；例在內(nèi)一致收斂到,且,有；但,和,使習(xí)題9-31.利用定理9.3.1<1>,,證：,級(jí)數(shù)的部分和,從而,在不連續(xù),故級(jí)數(shù)不一致收斂。<2>,.證：,級(jí)數(shù)的部分和,從而,在不連續(xù),故級(jí)數(shù)不一致收斂。2.設(shè)試問(wèn)在上是否一致收斂?是否有解：對(duì),,但對(duì),,都,使,所以在上不一致收斂另外,,所以3.設(shè)試問(wèn)在上是否一致收斂?是否有?其中解：對(duì),有,從而但對(duì),,都,使所以在上不一致收斂又,,所以4.求的收斂域,并討論和函數(shù)的連續(xù)性.解：設(shè),則,有根值判別法,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?duì),總,使,從而在上連續(xù),且在一致收斂,從而在上連續(xù),故在上連續(xù),由得在上連續(xù)習(xí)題9-41.討論下列函數(shù)序列在指定區(qū)間上的一致收斂性.〔1,；解：對(duì),又在處取得最大值,從而對(duì),取,則對(duì),有,所以在一致收斂〔2；〔i,解：對(duì),對(duì),取,則對(duì),有,所以在一致收斂〔ii；解：對(duì),對(duì),,,,使,所以在不一致收斂2.討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性.〔1,；解：對(duì)任意的,,而收斂,由M判別法,原級(jí)數(shù)一致收斂?！?,.解：對(duì)任意的,,而收斂,由M判別法,原級(jí)數(shù)一致收斂。3.設(shè),.證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂,并討論其和函數(shù)在上的連續(xù)性、可積性與可微性.解：由對(duì)任意的成立,從而而收斂,由M判別法知在上一致收斂〔1,在上一致收斂,所以和函數(shù)在連續(xù)〔定理1〔2,在上一致收斂,所以和函數(shù)在可積〔定理2〔3由,收斂,由M判別法知在上一致收斂,從而和函數(shù)在可微?！捕ɡ?習(xí)題10-11．一塊金屬板平底鍋在平面上占據(jù)的區(qū)域是,已知板上點(diǎn)處的溫度為.鍋底上點(diǎn)處的螞蟻為了逃向溫度更低的地方,它的逃逸方向?yàn)?lt;D>.；；；.解：,而梯度方向是溫度降低最快的方向2．一個(gè)高為的柱體儲(chǔ)油罐,底面是長(zhǎng)軸為,短軸為的橢圓,現(xiàn)將儲(chǔ)油罐平放,當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)