曲線的凹凸性和漸近線

關(guān)于曲線的凹凸性和漸近線第1頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五一、曲線的凹凸性問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1*:第5頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五對(duì)于曲線的彎曲方向，我們換一個(gè)角度來(lái)看曲線上任一點(diǎn)的切線位于曲線的上方曲線上任一點(diǎn)的切線位于曲線的下方機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束我們可以證明：定義1和定義2是等價(jià)的。第8頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五定理1（凹凸性的充分條件）：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明1：用定義1證第10頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由定義2，(1)成立。同理可以證明(2)。證明2：用定義2證第12頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五推論：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五例1：解：注意到,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五例2解：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)(2)第15頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五二、曲線的拐點(diǎn)1、定義注意:

拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線。2、拐點(diǎn)的求法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五例3：解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五注意:例4：解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)的步驟：注意：例第20頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五定理4證明：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五例5：解：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五三、漸近線定義:1.鉛直漸近線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第23頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五例如有鉛直漸近線兩條:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第25頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五3.斜漸近線斜漸近線求法:顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第26頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五證明：由漸近線的定義，有要使此時(shí)成立，必須機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第27頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五注意:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第28頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6解第29頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第30頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五例7：

確定常數(shù)a,b,

使解:由條件知，第31頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五四、函數(shù)作圖利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束步驟：第32頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五第五步第四步

求曲線的漸近線；第七步第六步

作圖。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第33頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五例8解非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第34頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第35頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五作圖機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第36頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第37頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五例9解無(wú)奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)沒(méi)有漸近線。第38頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五拐點(diǎn)極大值極小值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第39頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第40頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五1、凹凸性的定義：兩種定義；

用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)在各個(gè)區(qū)間的凹凸性，再由凹凸性的改變判別拐點(diǎn);2、凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法：3、漸近線的求法：水平漸近線和斜漸近線；機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束五、小結(jié)4、函數(shù)作圖。第41頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五作業(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束習(xí)題3-4(P188)1(3)(6)；2(2)；3；5；

7(2)(6)；8；11(2)；12

第42頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五解：例機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)第43頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五解：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第44頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五

;

.的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及

;第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.

曲線第45頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五4.曲線(A)沒(méi)有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第46頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五5.求證曲線有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).證明：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第47頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五令得從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)樗匀齻€(gè)拐點(diǎn)共線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第48頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五6、解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第49頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第50頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第51頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)44分，星期五備用題求笛卡兒葉形線的漸近線.解:

令

y=t

x

,代入原方程得曲線的參數(shù)方程: