(新高考數(shù)學)高考一輪復習核心考點講與練考點18《 空間中的角度和距離問題》解析版

考點18空間中的角度和距離問題（核心考點講與練）1.異面直線所成的角設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍(0，π)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))求法cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)2.直線和平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面內的射影所成的角叫做斜線和平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是0°的角.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.求直線與平面所成的角設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).4.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：[0，π].5.求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝__〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).6.點到平面的距離用向量方法求點B到平面距離基本思路：確定平面法向量，在平面內取一點A，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))到法向量的投影向量，投影向量的長度即為所要求的距離.如圖平面α的法向量為n，點B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).1.異面直線所成的角，若向量a、b分別是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向向量，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.2.設直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.3.設向量為m平面SKIPIF1<0的一個法向量，向量n為平面SKIPIF1<0的一個法向量，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所稱的二面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.4.點到平面的距離的求法如圖，設AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點B到平面α的距離d＝.5.求參數(shù)的值與范圍是高中數(shù)學中的常見題型.立體幾何中含參數(shù)的問題，解決起來既有常規(guī)的函數(shù)和不等式法，亦有具有立體幾何特征的極限位置、幾何直觀、化曲為直等一些特殊方法.6.存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在．解決存在性問題應注意以下幾點：(1)當條件和結論不唯一時要分類討論；(2)當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；(3)當條件和結論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑．線線、線面、面面角1.（2021貴州省遵義航天高級中學高三月考）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，SKIPIF1<0，，是等腰三角形，點是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．B．C．SKIPIF1<0D．【答案】B【分析】以為坐標原點，建立坐標系，寫出點的坐標，以及直線的方向向量，即可用向量法求得結果.【詳解】因為，，兩兩垂直，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系.又因為，SKIPIF1<0，所以，，，，因為是棱的中點，所以，所以，，所以，故選：B.2．（2022·湖南衡陽·二模）如圖，已知圓臺SKIPIF1<0的下底面半徑為2，上底面半徑為1，母線與底面所成的角為SKIPIF1<0為母線，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)當點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點時，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）過點SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，原題即得證；（2）以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.(1)證明：過點SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，如圖，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形.因為點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.3．（2022·河南河南·三模（理））如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面的內接正三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點．(1)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0為何值時，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大.【分析】（1）通過勾股定理列方程，化簡求得SKIPIF1<0.（2）建立空間直角坐標系，利用利用向量法求得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值，結合基本不等式求得SKIPIF1<0時，此正弦值最大.(1)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于三角形SKIPIF1<0是等邊三角形，圓SKIPIF1<0是其外接圓，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，所以SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以三角形SKIPIF1<0是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.(2)由（1）得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結合圓錐的幾何性質，建立如圖所示空間直角坐標系，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故可設SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大.4.（2022新高考地區(qū)專用）如圖，在四棱錐中，底面中，SKIPIF1<0，側面平面，且，點在棱上，且．則二面角的余弦值為____________【答案】．【分析】建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量二面角的余弦值.【詳解】如圖，取的中點，連接，．由條件可知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，因為，所以．所以，，，設平面的法向量為，則即令，則．設平面的法向量為，則即令，則=，，結合圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．故答案為：5．（2022·遼寧鞍山·二模）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=SKIPIF1<0，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．(1)求證：EF⊥平面BCF；(2)點M在線段EF上運動，當點M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大？并求此時銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)M與F重合時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，余弦值為SKIPIF1<0【分析】（1）在梯形ABCD中，由分析知，AC⊥BC，因為CF⊥平面ABCD，所以AC⊥CF，進一步得AC⊥平面BCF，又因為AC∥EF，因此EF⊥平面BCF.（2）因為CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以點C為坐標原點，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面SKIPIF1<0和平面FCB的法向量，然后結合二次函數(shù)求最值的方法求解平面SKIPIF1<0和平面FCB所成的銳二面角的最大值.(1)證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD為等腰梯形，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴AC⊥BC，因為CF⊥平面ABCD，ACSKIPIF1<0平面ABCD，∴AC⊥CF

∵SKIPIF1<0，

∴AC⊥平面BCF，因為四邊形ACFE為矩形，則AC∥EF，因此，EF⊥平面BCF(2)因為CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以點C為坐標原點，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，．則A(SKIPIF1<0，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(SKIPIF1<0，0，1)，設點M(t，0，1)，其中SKIPIF1<0設平面MAB的法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，．易知平面FCB的一個法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0，即M與F重合時，SKIPIF1<0取最小值，此時平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，此時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角的余弦值為SKIPIF1<06．（2022·重慶八中模擬預測）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.(1)證明:AC1⊥A1B；(2)設直線AA1與平面BCC1B1的距離為SKIPIF1<0，求二面角A1－AB－C的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)二面角A1-AB--C的余弦值為SKIPIF1<0.【分析】(1)由條件證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由線面垂直的判定定理證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由此證明SKIPIF1<0；(2)建立空間直角坐標系，結合條件直線AA1與平面BCC1B1的距離為SKIPIF1<0，確定相關點的坐標，利用向量方法求二面角A1－AB－C的余弦值.(1)∵點A1在平面ABC內的射影D在AC上，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴

SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴四邊形SKIPIF1<0為菱形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴

SKIPIF1<0；(2)以C為坐標原點，以SKIPIF1<0為x軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的正方向建立空間直角坐標系，設SKIPIF1<0，由題設有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設平面BCC1B1的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又依題設，直線AA1與平面BCC1B1的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.代入①得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，故SKIPIF1<0，所以二面角A1-AB--C的余弦值為SKIPIF1<0.7．（2022·山東淄博·模擬預測）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的棱長均為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)設M為側棱SKIPIF1<0上的點，若平面SKIPIF1<0與平面ABC夾角的余弦值為SKIPIF1<0，求點M到直線SKIPIF1<0距離．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）取AC的中點O，連接SKIPIF1<0，利用勾股定理證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0從而證得SKIPIF1<0平面ABC，然后利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸，以SKIPIF1<0所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，設SKIPIF1<0得到點M的坐標，求出平面SKIPIF1<0與平面ABC的法向量，由余弦值可確定SKIPIF1<0值，然后利用點到直線的距離公式計算即可.(1)取AC的中點O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由題設可知，SKIPIF1<0為邊長為2的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面ABC；SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸，以SKIPIF1<0所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0設SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0為平面ABC的一個法向量，設平面SKIPIF1<0與平面ABC夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以點M到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0空間距離1.（2022江蘇省南通市海安市高三學業(yè)質量監(jiān)測）與正方體ABCD－A1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線的距離相等的點共有（）A．1個B．2個C．3個D．無數(shù)個【答案】D【分析】首先以為SKIPIF1<0原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，設，得到，設SKIPIF1<0為上一點，得到到棱的距離是，同理得到到棱的距離也是，即可得到答案.【詳解】以為SKIPIF1<0原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：設，則，，，設SKIPIF1<0為上一點，作平面，垂足為，過作，垂足為，所以為點到棱的距離.又因為，，則，同理到棱的距離也是，所以上任意一點到棱的距離都相等，所以與三條棱所在直線的距離相等的點共有無數(shù)個.故選：D2.（2021山東省東營市廣饒縣第一中學高三上學期10月月考）如圖，在四棱臺SKIPIF1<0中，底面為矩形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）通過面面垂直的性質定理證得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由此證得SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0證得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）建立空間直角坐標系，由SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角計算出SKIPIF1<0，利用向量法計算出點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【詳解】（1）在梯形SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0，由（1）可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸正半軸，過SKIPIF1<0作垂線為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，如圖：∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，∴SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.與參數(shù)有關的問題1.（2021廣東省茂名市五校聯(lián)盟第三次聯(lián)考）如圖所示，點P在圓柱的上底面圓周上，四邊形為圓柱的下底面的內接四邊形，且為圓柱下底而的直徑，為圓柱的母線，且，圓柱的底面半徑為1.（1）證明：；（2），B為的中點，點Q在線段上，記，當二面角的余弦值為時，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據為直徑，得到，再根據為母線，易得，然后利用線面垂直的判定定理證明；（2）分別以向量為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量和平面的法向量可取為，然后由求解.【詳解】（1）因為為直徑，點D在圓上且不同于A，C點，所以，又因為為母線，所以平面，又平面，從而，又，所以平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0，所以.（2）由（1）知兩兩相互垂直，所以分別以向量為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，因為，圓柱的底面直徑為2，所以，所以，又B為的中點，所以，即為正方形，所以，由，得，所以，設平面的一個法向量為，則，即，取，又因為平面的法向量可取為，所以，由題知，所以，解得（舍）或，所以的值為探究性問題1.（2021廣東省深圳市光明區(qū)高三第一調研）如圖，在四棱錐中，，，，，.（1）求證：；（2）在棱上是否存在點G，使得二面角的大小為30°？若存在，確定點G的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）點G為的中點時，二面角的大小為30°，證明見解析.【分析】（1）需要勾股定理證明AD⊥PD，利用線面垂直的判定定理得到⊥面ABCD，即可證明；（2）以D為原點，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求解.【詳解】（1）因為，，所以，△ADP為直角三角形，所以AD⊥PD.又，，面ABCD，面ABCD，所以⊥面ABCD，所以.（2）由題意可知：ABCD為一個等腰梯形.過D作DE⊥AB于E，則.以D為原點，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.則：顯然即為平面ABC的一個法向量.假設在棱上存在點G，使得二面角的大小為30°.不妨設，則，.設為面GAB的有一個法向量，則，即，不妨設x=1，則有：.因為二面角的大小為30°，所以，即，即，解得：.即點G為的中點時，二面角的大小為30°.1.（2021年全國高考乙卷）在正方體SKIPIF1<0中，P為SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】平移直線SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角轉化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或其補角為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設正方體棱長為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D2.（2021年全國高考乙卷）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，設SKIPIF1<0，由已知條件得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，即可得出SKIPIF1<0的長；（2）求出平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的法向量，利用空間向量法結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得結果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標系+空間向量法SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，不妨以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標系SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．從而SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．[方法三]：幾何法+三角形面積法如圖，聯(lián)結SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點N．由[方法二]知SKIPIF1<0．在矩形SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，因為M為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標系+空間向量法設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0.[方法二]：構造長方體法+等體積法如圖，構造長方體SKIPIF1<0，聯(lián)結SKIPIF1<0，交點記為H，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．過H作SKIPIF1<0的垂線，垂足記為G．聯(lián)結SKIPIF1<0，由三垂線定理可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角．易證四邊形SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，聯(lián)結SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由等積法解得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由勾股定理求得SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0．【整體點評】（1）方法一利用空坐標系和空間向量的坐標運算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結合三角形相似進行計算求解，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構造長方體方法+等體積轉化法，技巧性較強，需注意進行嚴格的論證.一、單選題1．（2022·山西太原·二模（文））在三棱柱SKIPIF1<0中，各棱長都相等，側棱垂直于底面，點D是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，則AD與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，通過證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0是AD與平面SKIPIF1<0所成的角，在直角三角形SKIPIF1<0中可求出結果.【詳解】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如圖：依題意三棱柱SKIPIF1<0為正三棱柱，設棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是AD與平面SKIPIF1<0所成的角，所以SKIPIF1<0.所以AD與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0.故選：C2．（2022·全國·模擬預測（理））如圖為一個四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點共線，已知三棱錐P－ADE四個面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】本題利用空間向量處理線面夾角問題，SKIPIF1<0．【詳解】如圖建立空間直角坐標系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設平面PAE的法向量SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即直線PC與平面PAE所成角的正弦值為SKIPIF1<0．故選：C．3．（2022·全國·三模（理））在三棱錐SKIPIF1<0中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以AB為直徑的球的表面被△PAC截得的曲線長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用已知條件求得SKIPIF1<0，利用等體積法求得以AB為直徑的球的球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，設SKIPIF1<0交球SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，由此可找到以AB為直徑的球SKIPIF1<0的表面被△PAC截得的曲線即為SKIPIF1<0，最后利用弧長公式即可求解.【詳解】設SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,設點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，以AB為直徑的球，球心為AB的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0與球SKIPIF1<0相交得截面SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0交球SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,截面SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則設SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,即球SKIPIF1<0的表面被△PAC截得的曲線長度為SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.二、多選題4．（2022·山東濟南·一模）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，O為正方形SKIPIF1<0的中心，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．點B到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0 D．直線BO與直線SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】根據線面垂直的判定定理證明SKIPIF1<0平面，可判斷A;連接BD,交AC于E,連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，根據線面平行的判定定理，可判斷B;利用等體積法，求得點B到平面SKIPIF1<0的距離，判斷C;采用作平行線的方法，求出直線BO與直線SKIPIF1<0的夾角，可判斷D.【詳解】對于A，如圖，連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0交于點O,正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正確；對于B，連接BD,交AC于E,連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不在平面ACD1,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B正確；對于C，設點B到平面SKIPIF1<0的距離為d,因為SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正確；對于D,連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0即為直線BO與直線SKIPIF1<0的夾角或其補角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故D錯誤，故選：ABC5．（2022·重慶·模擬預測）如圖，在圓錐SO中，AC為底面圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結論中一定正確的是（

）A．圓錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0B．圓錐SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值為SKIPIF1<0D．存在點B使得直線SB與平面SAC所成角為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根據錐體的體積、表面積公式判斷A、B、C，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，求出SKIPIF1<0的最大值，即可判斷D；【詳解】解：圓錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故A正確，圓錐的母線長為SKIPIF1<0，所以圓錐的側面積為SKIPIF1<0，底面面積為SKIPIF1<0，故圓錐的表面積為SKIPIF1<0，故B錯誤，當SKIPIF1<0時，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大，此時為SKIPIF1<0，故C正確，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，由SKIPIF1<0為定值，∴當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角最大，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D錯誤．故選：AC6．（2022·廣東汕頭·二模）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點P在線段SKIPIF1<0上運動，則（

）A．直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．異面直線AP與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為SKIPIF1<0【答案】AB【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量垂直的坐標表示公式、空間向量夾角公式、三棱錐的體積性質逐一判斷即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.A：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此本選項結論正確；B：側面SKIPIF1<0的對角線交點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為定值，因此本選項結論正確；C：SKIPIF1<0，設異面直線AP與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKI