第2版《線性代數(shù)》綜合卷1期末考試試題及參考答案

第8頁/共8頁《線性代數(shù)》期末試卷(綜合卷)一、填空與選擇題（本題滿分30分，每空3分）1.如果矩陣正定，則的取值范圍是.2.設(shè)階方陣，若存在階非零方陣，使得，則，方陣的秩，.3.行列式.4.已知線性方程組無解，則.5.設(shè)階方陣相似于方陣，若有特征值，則.6.已知線性相關(guān)，而線性無關(guān)，則中不能用另外3個(gè)向量線性表示.7.如果是向量組的極大無關(guān)組，則：也是向量組的極大無關(guān)組.（A）（B）（C）（D）8.線性無關(guān),而線性相關(guān),則.A)線性相關(guān).(B)線性無關(guān).(C)線性相關(guān).(D線性無關(guān).二、(本題滿分10分)已知矩陣，階方陣滿足，求.三、（本題滿分15分）已知向量組以及向量，討論參數(shù)取何值時(shí)，(1)向量不能由向量組線性表示；(2)向量能由向量組線性表示，且表示式唯一；(3)向量能由向量組線性表示，且表示式不唯一，并求出一般表示式.四、（本題滿分15分）已知二次型通過正交變換可以化為標(biāo)準(zhǔn)型.（1）求常數(shù).（2）求所用的正交變換.五．（本題滿分15分）已知與分別是的兩組基，（1）求從基到基的過渡矩陣.（2）分別求向量在基下的坐標(biāo)和在基下的坐標(biāo).六、證明題(1)(本小題滿分7分)已知為3階方陣，為的三個(gè)不同的特征值，分別為相應(yīng)的特征向量，又，試證：線性無關(guān).(2)(本小題滿分8分)設(shè)為階方陣，且，為的伴隨矩陣，證明：.《線性代數(shù)》期末試卷(綜合卷)一、填空與選擇題（本題滿分30分，每空3分）1.如果矩陣正定，則的取值范圍是.2.設(shè)階方陣，若存在階非零方陣，使得，則，方陣的秩，.3.行列式.4.已知線性方程組無解，則.5.設(shè)階方陣相似于方陣，若有特征值，則.6.已知線性相關(guān)，而線性無關(guān)，則中不能用另外3個(gè)向量線性表示.7.如果是向量組的極大無關(guān)組，則：（A）也是向量組的極大無關(guān)組.（A）（B）（C）（D）8.線性無關(guān),而線性相關(guān),則(D.A)線性相關(guān).(B)線性無關(guān).(C)線性相關(guān).(D線性無關(guān).二、(本題滿分10分)已知矩陣，階方陣滿足，求.解，，，，，又，于是，，從而。三、（本題滿分15分）已知向量組以及向量，討論參數(shù)取何值時(shí)，(1)向量不能由向量組線性表示；(2)向量能由向量組線性表示，且表示式唯一；(3)向量能由向量組線性表示，且表示式不唯一，并求出一般表示式.解上面三個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為討論線性方程組在參數(shù)取何值時(shí)無解、有唯一解、有無窮多解。先討論(2).當(dāng)，即時(shí)，方程組有唯一解，即向量能由向量組線性表示，且表示式唯一。當(dāng)時(shí)，對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，，當(dāng)時(shí)，方程組無解，從而向量不能由向量組線性表示。當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解，通解為，從而向量能由向量組線性表示，且表示式不唯一，一般表示式為。四、（本題滿分15分）已知二次型通過正交變換可以化為標(biāo)準(zhǔn)型.（1）求常數(shù).（2）求所用的正交變換.解(1)二次型的矩陣為，由已知條件知矩陣的特征值為，于是由，即，得。(2)時(shí)，解方程組，得特征向量為，令。時(shí)，解方程組，得特征向量為令，。將、正交化，得，。再將、單位化，得，。令，則由正交變換，二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。五．（本題滿分15分）已知與分別是的兩組基，（1）求從基到基的過渡矩陣.（2）分別求向量在基下的坐標(biāo)和在基下的坐標(biāo).解(1)由，得從基到基的過渡矩陣為。(2)由及得。六、證明題(1)(本小題滿分7分)已知為3階方陣，為的三個(gè)不同的特征值，分別為相應(yīng)的特征向量，又，試證：線性無關(guān).(2)(本