新滬教版初中數(shù)學中考總復習（知識點考點梳理、重點題型分類鞏固練習）（提高版）（家教、補習、復習用）

滬教版初中數(shù)學中考總復習知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習中考總復習：實數(shù)—知識講解（提高）【考綱要求】1.了解有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)的概念；借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對值的概念及意義，會比較實數(shù)的大??；2.知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，會用科學記數(shù)法表示有理數(shù)，會求近似數(shù)和有效數(shù)字；了解乘方與開方、平方根、算術平方根、立方根的概念，并理解這兩種運算之間的關系，了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質；3.掌握實數(shù)的運算法則，并能靈活運用；4.逐步形成數(shù)形結合、分類討論、建模思想.【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、實數(shù)的分類1.按定義分類：2.按性質符號分類：有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或者“形如（m，n是整數(shù)n≠0）”的數(shù)叫有理數(shù)．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．要點詮釋：常見的無理數(shù)有以下幾種形式：（1）字母型：如π是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分數(shù)；（2）構造型：如2.10100100010000…（每兩個1之間依次多一個0）就是一個無限不循環(huán)的小數(shù)；（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數(shù)；（4）三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.考點二、實數(shù)的相關概念1.相反數(shù)（1)代數(shù)意義：只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)．0的相反數(shù)是0；（2)幾何意義：在數(shù)軸上原點的兩側，與原點距離相等的兩個點表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)；（3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.2.絕對值（1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．可用式子表示為：（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離．距離是一個非負數(shù)，所以絕對值的幾何意義本身就揭示了絕對值的本質，即絕對值是一個非負數(shù)．用式子表示：若a是實數(shù)，則|a|≥0．3.倒數(shù)（1)實數(shù)的倒數(shù)是；0沒有倒數(shù)；（2)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．a(chǎn)、b互為倒數(shù).4.平方根（1)如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根．一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，它是0本身；負數(shù)沒有平方根．a(chǎn)（a≥0）的平方根記作．（2)一個正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根．a(chǎn)（a≥0）的算術平方根記作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；0的立方根仍是0．要點詮釋：若則則表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點之間的距離.考點三、實數(shù)與數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可．每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．要點詮釋：（1）數(shù)軸的三要素：原點、正方向和單位長度.（2）實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的.考點四、實數(shù)大小的比較1.對于數(shù)軸上的任意兩個點，靠右邊的點所表示的數(shù)較大.2.正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)；絕對值大的反而小.3.對于實數(shù)a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.對于實數(shù)a，b，c，若a>b，b>c，則a>c.5.無理數(shù)的比較大小：利用平方轉化為有理數(shù)：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒數(shù)轉化：如比較與.要點詮釋：實數(shù)大小的比較方法：（1）直接比較法：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.（2）數(shù)軸法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.考點五、實數(shù)的運算1.加法同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．滿足運算律：加法的交換律a+b=b+a，加法的結合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.減法減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．3.乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.幾個非零實數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負．幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．乘法運算的運算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)．（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0．5.乘方與開方（1)求n個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，a所表示的意義是n個a相乘.正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負數(shù)的奇次冪是負數(shù)．（2)正數(shù)和0可以開平方，負數(shù)不能開平方；正數(shù)、負數(shù)和0都可以開立方．（3)零指數(shù)與負指數(shù)要點詮釋：（1）加和減是一級運算，乘和除是二級運算，乘方和開方是三級運算．這三級運算的順序是三、二、一．如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，同一級運算中要從左至右依次運算．（2）實數(shù)的運算律

加法交換律：a+b=b+a

加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：(a+b)c=ac+bc考點六、有效數(shù)字和科學記數(shù)法1.近似數(shù)

一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位．精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位；（2）保留幾個有效數(shù)字.2.有效數(shù)字

一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字．3.科學記數(shù)法把一個數(shù)用±a×10（其中1≤＜10，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫科學記數(shù)法．要點詮釋：（1）當要表示的數(shù)的絕對值大于1時，用科學記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為正整數(shù)，其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的數(shù)位減去1；（2）當要表示的數(shù)的絕對值小于1時，用科學記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為負整數(shù)，其值等于原數(shù)中第一個非零數(shù)字前面所用零的個數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點前面的零）.考點七、數(shù)形結合、分類討論、建模思想1.數(shù)形結合思想

實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，絕對值的幾何意義等，數(shù)軸在很多時候可以幫助我們更直觀地分析題目，從而找到解決問題的突破口；2.分類討論思想（算術）平方根，絕對值的化簡都需要有分類討論的思想，考慮問題要全面，做到既不重復又不遺漏；3.從實際問題中抽象出數(shù)學模型以現(xiàn)實生活為背景的題目，我們要抓住問題的實質，明確該用哪一個考點來解決問題，然后有的放矢.

【典型例題】類型一、實數(shù)的有關概念 1．（2015春?杭錦后旗校級期末）在下列各數(shù)中，無理數(shù)有（）.，，，﹣π，﹣，，，0，0.5757757775…（相鄰兩個5之間的7的個數(shù)逐次加1）．A．2個B．3個C．4個D．5個【答案】D；【解析】無理數(shù)有：，，﹣π，，0.5757757775…（相鄰兩個5之間的7的個數(shù)逐次加1）共有5個．故答案是：D．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內學習的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．舉一反三：【高清課程名稱：實數(shù)高清：369214：經(jīng)典例題2-4】【變式】（2015?安徽）與1+最接近的整數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B.∵4＜5＜9，∴2＜＜3．又5和4比較接近，∴最接近的整數(shù)是2，∴與1+最接近的整數(shù)是3，故選：B．類型二、實數(shù)有關的計算【高清課程名稱：實數(shù)高清：369214：經(jīng)典例題8-9】2．(1)有一列數(shù)，…，那么依此規(guī)律，第7個數(shù)是______；（2）已知依據(jù)上述規(guī)律，則．【答案】(1)；（2）.【解析】(1)符號：單數(shù)為負，雙數(shù)為正，所以第7個為負.分子規(guī)律：第幾個數(shù)就是幾，即第7個數(shù)分子就是7，分母規(guī)律：分子的平方加1，第7個數(shù)分母就是50.所以第7個數(shù)是.（2）【點評】(1)規(guī)律：（n為正整數(shù)）；（2）規(guī)律：（n為正整數(shù)）.舉一反三：【變式】a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，依此類推，則．【答案】因為，……..三個一循環(huán)，因此類型三、實數(shù)大小的比較3．若，，試不用將分數(shù)化小數(shù)的方法比較a、b的大?。敬鸢概c解析】a=，b，，∴a<b．【點評】通過通分進行比較.舉一反三：【變式】當時，比較1＋b與1的大小.【答案】（1）∵b≠0時，∴b＞0或b＜0．當b＞0時，1＋b＞1，當b＜0時，1＋b＜1.類型四、平方根的應用4．已知，求的值.【答案與解析】∵≥0，≥0，≥0，.∴解得則.【點評】利用≥0，≥0，≥0（為自然數(shù)）等常見的三種非負數(shù)及其性質，分別令它們?yōu)榱?，得一個三元一次方程組，解得、、的值，代入后本題得以解決。舉一反三：【變式】已知x、y是實數(shù)，且+（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，則實數(shù)a的值是（）A．B．－C．D．－【答案】A.∵+（y－3）2=0，∴3x+4=0，y－3=0，∴x=－，y=3．∵axy－3x=y，∴－×3a－3×（－）=3，∴a=∴答案選A.類型五、實數(shù)運算中的規(guī)律探索5．在快速計算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的，后面的就改用手勢了．下面兩個圖框是用法國“小九九”計算8×9和6×7的兩個示例．

（1）用法國“小九九”計算7×8，左、右手依次伸出手指的個數(shù)是多少？

（2）設a、b都是大于5且小于10的整數(shù)，請你說明用題中給出的規(guī)則計算a×b的正確性？【答案與解析】（1）按照題中示例可知：要計算7×8，左手應伸出7-5=2個手指，右手應伸出8-5=3個手指；

（2）按照題中示例可知：要計算a×b，左手應伸出（a-5）個手指，未伸出的手指數(shù)為5-（a-5）=10-a；右手應伸出（b-5）個手指，未伸出的手指數(shù)為5-（b-5）=10-b

兩手伸出的手指數(shù)的和為（a-5）+（b-5）=a+b-10，

未伸出的手指數(shù)的積為（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b

根據(jù)題中的規(guī)則，a×b的結果為10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）

而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b

所以用題中給出的規(guī)則計算a×b是正確的．【點評】此題是定義新運算題型．通過閱讀規(guī)則，得出一般結論．解題關鍵是對號入座不要找錯對應關系．6．探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它的體積小，密度大，吸引力強，任何物體到它那里都別想再“爬出來”，無獨有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運算，都能被它“吸”進去，無一能逃脫它的魔掌．譬如：任意找一個3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個數(shù)的每個數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個新的數(shù)，然后把這個新數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字再立方，求和…，重復運算下去，就能得到一個固定的數(shù)T=_________，我們稱它為數(shù)字“黑洞”，T為何具有如此魔力通過認真的觀察、分析，你一定能發(fā)現(xiàn)它的奧秘！此短文中的T是（）A．363B．153C．159D．456【答案】B；【解析】把6代入計算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；開始重復，則T=153．故選B．【點評】此題只需根據(jù)題意，任意找一個符合條件的數(shù)進行計算，直至計算得到重復的數(shù)值，即是所求的黑洞數(shù)．可以任意找一個3的倍數(shù)，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；開始重復，則可知T=153．舉一反三：【變式1】下面由火柴棒拼出的一系列圖形中，第個圖形是由個正方形組成的，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：（1）第四個圖形中火柴棒的根數(shù)是；（2）第個圖形中火柴棒的根數(shù)是.【答案】（1）13；（2）.【變式2】有一列數(shù)1、2、3、4、5、6、…，當按順序從第2個數(shù)到第6個數(shù)時，共數(shù)了個數(shù)；當按順序從第個數(shù)到第個數(shù)（＜）時，共數(shù)了個數(shù)。【答案】5；.滬教版初中數(shù)學中考總復習知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習中考總復習：實數(shù)—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1.在實數(shù)π、、、sin30°,無理數(shù)的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.42.對于實數(shù)、，給出以下三個判斷：①若，則．②若，則．③若，則．其中正確的判斷的個數(shù)是（）A．3B．2C．1D．03．（2015?河南一模）據(jù)統(tǒng)計，2014年河南省機動車保有量突破280萬輛，對數(shù)據(jù)“280萬”的理解錯誤的是（）A．精確到萬位B．有三個有效數(shù)字C．這是一個精確數(shù)D．用科學記數(shù)法表示為2.80×1064．如圖，矩形OABC的邊OA長為2，邊AB長為1，OA在數(shù)軸上，以原點O為圓心，對角線OB的長為半徑畫弧，交正半軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是（）A．2.5B．2eq\r(,2)C．eq\r(,3)D．eq\r(,5)5．填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，m的值是（）A．38 B．52 C．66 D．746.若a、b兩數(shù)滿足3＝103，a103＝b，則之值為（）A．B．C．D．二、填空題7．（1）先找規(guī)律，再填數(shù)：（2）對實數(shù)a、b，定義運算★如下：a★b=，例如2★3=2-3=.計算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=.8．已知：,,觀察前面的計算過程，尋找計算規(guī)律計算（直接寫出計算結果），并比較（填“”或“”或“=”）9．右圖為手的示意圖，在各個手指間標記字母A，B，C，D．請你按圖中箭頭所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)從A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，當數(shù)到12時，對應的字母是；當字母C第201次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是；當字母C第2n+1次出現(xiàn)時(n為正整數(shù))，恰好數(shù)到的數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）．10．根據(jù)如圖所示的程序計算，若輸入x的值為1，則輸出y的值為___________.

11．已知，當n=1時，a1=0；當n=2時，a2=2；當n=3時，a3=0；…則a1+a2+a3+a4+a5+a6的值為___________．12．（2014秋?石家莊期末）觀察圖形：請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出圖4中y的值．三、解答題13．對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是：=．按照這個規(guī)定請你計算：當時，的值．14.（2014?營口模擬）小彬在做數(shù)學題時，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結果：3﹣2=18+7﹣6﹣5=415+14+13﹣12﹣11﹣10=924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16…根據(jù)以上規(guī)律可知第99行左起第一個數(shù)是．15．根據(jù)以下10個乘積，回答問題：

11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；

16×24；17×23；18×22；19×21；20×20.

(1)試將以上各乘積分別寫成一個“□2-○2”(兩數(shù)平方差)的形式，并寫出其中一個的思考過程；

(2)將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；

(3)試由(1)、(2)猜想一個一般性的結論.(不要求證明)

16.已知等邊△OAB的邊長為a，以AB邊上的高OA1為邊，按逆時針方向作等邊△OA1B1，A1B1與OB相交于點A2.

(1)求線段OA2的長；

(2)若再以OA2為邊按逆時針方向作等邊△OA2B2，A2B2與OB1相交于點A3，按此作法進行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…，△OAnBn(如圖).求△OA6B6的周長.

【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】π、是無理數(shù).2.【答案】C；【解析】通過舉反例說明①②是不對的，只有③是正確的.3.【答案】C；【解析】A、280萬精確到萬位是正確的，此選項不合題意；B、280萬有三個有效數(shù)字是正確的，此選項不合題意；C、280萬是一個近似數(shù)，不是精確數(shù)，此選項符合題意；D、280萬用科學記數(shù)法表示為2.80×106是正確的，此選項不合題意．故選：C．4.【答案】D；【解析】用勾股定理求得OB=eq\r(,5)即可.5.【答案】D；【解析】先分析出陰影方格的數(shù)，如圖，找出規(guī)律：m=左下角方格的數(shù)的平方加上右上角方格的數(shù).6.【答案】C；二、填空題7．【答案】（1）；（2）1；【解析】（1）規(guī)律為：（n為正整數(shù)）.（2）[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2-4×（-4）2=1.8．【答案】42；.【解析】7×6=42；∵=9×8×7×6×5，=10×9×8，∴.9．【答案】B；603；6n＋3；【解析】字母C第“奇數(shù)”次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是這個“奇數(shù)”的3倍。10．【答案】4；【解析】第一次結果是-2，繼續(xù)輸入得到結果是4，符合題意.11．【答案】6；【解析】a1=a3=a5=…=0，a2=a4=a6=…=2，所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=6.12．【答案】12.【解析】∵12=5×2﹣1×（﹣2），20=8×1﹣（﹣3）×4，﹣13=（﹣7）×4﹣5×（﹣3），∴y=3×0﹣6×（﹣2）=12．故答案為：12．三、解答題13.【答案與解析】14.【答案與解析】解：∵3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，24=52﹣1，…∴第99行左起第一個數(shù)是：（99+1）2﹣1=9999．故答案為：9999．15.【答案與解析】

(1)11×29=202-92；12×28=202-82；

13×27=202-72；14×26=202-62；

15×25=202-52；16×24=202-42；

17×23=202-32；18×22=202-22；

19×21=202-12；20×20=202-02；

例如：11×29；假設11×29=□2-○2；

因為□2-○2=(□+○)(□-○)

所以，可以令□-○=11，□+○=29

解得，□=20，○=9，故11×29=202-92

(或11×29=(20-9)(20+9)=202-92)

(2)這10個乘積按照從小到大的順序依次是：

11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.

(3)①若a+b=40,a,b是自然數(shù)，則ab≤202=400.

②若a+b=40，則ab≤202=400.

③若a+b=m，a，b是自然數(shù)，則

④若a+b=m，則

⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，

則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.

⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，

則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.

16.【答案與解析】

(1)

(2)依題意，

以此類推，

，即△OA6B6的周長為滬教版初中數(shù)學中考總復習知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習中考總復習：整式與因式分解—知識講解（提高）【考綱要求】1.整式部分主要考查冪的性質、整式的有關計算、乘法公式的運用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.因式分解是中考必考內容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡中進行考查.【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、整式

1.單項式

數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項式．單項式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點是對字母來說只含有乘法的運算，不含有加減運算．在含有除法運算時，除數(shù)(分母)只能是一個具體的數(shù)，可以看成分數(shù)因數(shù)．單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式．要點詮釋：（1）單項式的系數(shù)是指單項式中的數(shù)字因數(shù)．（2）單項式的次數(shù)是指單項式中所有字母的指數(shù)和．2.多項式

幾個單項式的代數(shù)和叫做多項式．也就是說，多項式是由單項式相加或相減組成的．要點詮釋：（1）在多項式中，不含字母的項叫做常數(shù)項．（2）多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)．（3）多項式的次數(shù)是n次，有m個單項式，我們就把這個多項式稱為n次m項式．（4）把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列．另外，把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母升冪排列．3.整式

單項式和多項式統(tǒng)稱整式．

4.同類項

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類項．

5.整式的加減

整式的加減其實是去括號法則與合并同類項法則的綜合運用．

把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變.

如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反.

整式加減的運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.

6.整式的乘除

①冪的運算性質：

②單項式相乘：兩個單項式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．

③單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表達：

④多項式與多項式相乘：一般地，多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表達：

平方差公式：完全平方公式：

在運用乘法公式計算時，有時要在式子中添括號，添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.

⑤單項式相除：兩個單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．

⑥多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．

要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.（4）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（5）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.（6）公式的推廣：(為正整數(shù)).（7）逆用公式：逆用算式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：（8）多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘，.考點二、因式分解1.因式分解

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解．

2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：（2）運用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解.（5）添、拆項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.（6）運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：.3.因式分解的一般步驟（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考慮用分組分解法及添、拆項法.要點詮釋：（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結果要徹底，即分解到每個因式都不能再分解為止．（4）十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.（5）分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數(shù)分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式【典型例題】類型一、整式的有關概念及運算1．（2014春?余姚市校級期末）若多項式x2+ax+8和多項式x2﹣3x+b相乘的積中不含x2、x3項，求（a﹣b）3﹣（a3﹣b3）的值．【思路點撥】多項式與多項式相乘結果中不含二次項和三次項，則說明這兩項的系數(shù)為0，建立關于a，b等式，求出后再求代數(shù)式值．【答案與解析】解：∵（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）=x4+（﹣3+a）x3+（b﹣3a+8）x2﹣（ab+24）x+8b，又∵不含x2、x3項，∴﹣3+a=0，b﹣3a+8=0，解得a=3，b=1，∴（a﹣b）3﹣（a3﹣b3）=（3﹣1）3﹣（33﹣13）=8﹣26=﹣18．【總結升華】解此類問題的常規(guī)思路是：將兩個多項式依據(jù)乘法法則展開，合并同類項，根據(jù)不含某一項就是這一項的系數(shù)等于0再通過解方程（組）求解．2．（2015春?達州校級期中）已知a﹣b=5，ab=3，求代數(shù)式a3b﹣2a2b2+ab3的值．【思路點撥】首先把代數(shù)式a3b﹣2a2b2+ab3分解因式，然后盡可能變?yōu)楹蚢﹣b、ab相關的形式，然后代入已知數(shù)值即可求出結果．【答案與解析】解：∵a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2而a﹣b=5，ab=3，∴a3b﹣2a2b2+ab3=3×25=75．【總結升華】本題主要運用完全平方公式對所給代數(shù)式進行因式分解，然后利用所給條件代入即可求出結果．3．已知，求的值．【答案與解析】∵，∴．【點評】（1）逆用冪的乘方法則：．（2）本題培養(yǎng)了學生的整體思想和逆向思維能力．舉一反三：【變式】已知，．求的值．【答案】．類型二、因式分解4．多項式的最小值是____________.【答案】4；【解析】，所以最小值為4.【點評】通過因式分解化為完全平方式，分析得出多項式的最小值.5．把分解因式．【答案與解析】解法一：．解法二：．【點評】此題多項式的四項中沒有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中兩項合為一組，如把第一、三兩項和第二、四兩項分為兩組，可以分別提取公因式和，并且另一個因式都是()，因此可繼續(xù)分解．把一個多項式的項分組后能運用提取公因式法進行分解，并且各組在分解后它們的另一個因式正好相同，還能用提取公因式法繼續(xù)分解，那么這個多項式就可以用分組法來分解因式．舉一反三：【變式1】分解因式：【答案】原式.【高清課程名稱：整式與因式分解高清：399488：例3（3）-（4）】【變式2】(1)16x2－(x2＋4)2；(2)【答案】(1)原式＝(4x)2－(x2＋4)2＝[4x＋(x2＋4)][4x－(x2＋4)]＝－(x2＋4x＋4)(x2－4x＋4)＝－(x＋2)2(x－2)2．(2)原式類型三、因式分解與其他知識的綜合運用6．若、、為三角形的三邊邊長，試判斷的正負狀況．【思路點撥】將原式用公式法分解因式，再由三角形三邊的關系確定每個因式的符號，最后就能得出結果的符號.【答案與解析】．依三角形兩邊之和大于第三邊，知，，，故．【點評】將原式分解因式，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊來判斷每個因式的正負.舉一反三：【變式1】若△ABC的三邊長分別為、、,且滿足，求證：.【答案】所以所以所以因為△ABC的三邊長分別為、、，，所以，矛盾，舍去.所以.【高清課程名稱：整式與因式分解高清：399488：例4】【變式2】已知，求的值．【答案】＝102－2＝98．滬教版初中數(shù)學中考總復習知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習中考總復習：整式與因式分解—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題

1.若能被60或70之間的兩個整數(shù)所整除，這兩個數(shù)應當是（）A．61，63B．63，65C．61，65D．63，672.乘積應等于（）A．B．C．D．3．（2015?十堰模擬）已知x2﹣x﹣1=0，則x3﹣2x+1的值為（）A．﹣1 B．2 C．﹣1 D．﹣24．的個位數(shù)字是()A．2B．4C．6D．85．若為任意實數(shù)時，二次三項式的值都不小于0，則常數(shù)滿足的條件是（）A.B.C.D.6．如圖，從邊長為（a+1）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則該矩形的面積是（） A．2cm2 B． 2acm2 C． 4acm2 D． （a2﹣1）cm2二、填空題7．已知，，那么P，Q的大小關系是．8．已知，則＝．9．若n是正整數(shù)，且，則＝__________.10.（1）如果，那.（2）已知，則.11．對于任意的正整數(shù)，能整除代數(shù)式的最小正整數(shù)是_______.12.（2015秋?巴中期中）圖1可以用來解釋：（2a）2=4a2，則圖2可以用來解釋：．三、解答題13.（2014秋?靜寧縣校級期中）若關于x的多項式﹣5x3+（2m﹣1）x2+（3n﹣2）x﹣1不含二次項和一次項，求m，n的值．14．將下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）.15.若二次三項式能被整除，試求的值．16.已知：求的值.【答案與解析】1.【答案】B；【解析】2.【答案】D；【解析】3.【答案】B；【解析】∵x2+x﹣1=0，∴x2+x=1，∴x3﹣2x+1=x（x2﹣x）+x2﹣2x+1=x+x2﹣2x+1=（x2﹣x）+1=1+1=2．故選：B．4.【答案】C；【解析】的個位數(shù)字等于的個位數(shù)字．∵;．∴的個位數(shù)字等于9＋7的個位數(shù)字．則的個位數(shù)字是6．5.【答案】B；【解析】，由題意得，，所以.6.【答案】C；【解析】矩形的面積是（a+1）2﹣（a﹣1）2，=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1），=4a（cm2），故選C．二、填空題7．【答案】P＝Q；【解析】∵∴P＝Q.8．【答案】－5；【解析】原式∵∴原式＝＝－5.9．【答案】200；【解析】.10.【答案】（1）－4；（2）1；【解析】（1）原式.（2）∵∴；∴；∴，.11.【答案】10；【解析】利用平方差公式化簡得10，故能被10整除.12.【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2；【解析】如圖2：整體來看：可看做是邊長為（a+b）的正方形，面積為：（a+b）2；從部分看，可看作是有四個不同的長方形構成的圖形，其中兩個帶陰影的長方形面積是相同的，面積為：a2+2ab+b2；∴a2+2ab+b2=（a+b）2．故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2三、解答題13.【答案與解析】解：∵多項式﹣5x3+（2m﹣1）x2+（3n﹣2）x﹣1不含二次項和一次項，∴2m﹣1=0，3n﹣2=0，解得m=，n=，∴m=，n=．14.【答案與解析】（1）；（2）；（3）；（4）.15.【答案與解析】因為所以，解得.16.【答案與解析】∵∴∵∴∴∴∴∴.滬教版初中數(shù)學中考總復習知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習中考總復習：分式與二次根式—知識講解（提高）【考綱要求】1.了解分式的概念，會利用分式的基本性質進行約分和通分，會進行分式的加、減、乘、除、乘方運算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關系列出簡單的分式方程，會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性質進行二次根式的化簡，運用二次根式的加、減、乘、除法的法則進行二次根式的運算．【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、分式的有關概念及性質

1．分式

設A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.

2.分式的基本性質

（M為不等于零的整式）.

3．最簡分式

分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進行約分化簡.

要點詮釋：分式的概念需注意的問題：

(1)分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分數(shù)線則可以理解為除號，還含有括號的作用；

（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；

（3）判斷一個代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進行判斷．

（4）分式有無意義的條件：在分式中，

①當B≠0時，分式有意義；當分式有意義時，B≠0．

②當B=0時，分式無意義；當分式無意義時，B=0．

③當B≠0且A=0時，分式的值為零．考點二、分式的運算

1．基本運算法則

分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:

（1）加減運算±=同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算.（2）乘法運算兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.

（4）乘方運算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方．

2．零指數(shù).

3．負整數(shù)指數(shù)

4．分式的混合運算順序

先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的．

5．約分

把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．約分需明確的問題：

(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；

(2)約分的關鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．

6．通分

根據(jù)分式的基本性質，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分．通分注意事項：

(1)通分的關鍵是確定最簡公分母；最簡公分母應為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．

(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉．

(3)確定最簡公分母的方法：

最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.

要點詮釋：分式運算的常用技巧（1）順序可加法：有些異分母式可加,最簡公分母很復雜,如果采用先通分再可加的方法很繁瑣.如果先把兩個分式相加減,把所得結果與第三個分式可加減,順序運算下去,極為簡便.(2)整體通分法：當整式與分式相加減時,一般情況下,常常把分母為1的整式看做一個整體進行通分,依此方法計算,運算簡便.(3)巧用裂項法：對于分子相同、分母是相鄰兩個連續(xù)整數(shù)的積的分式相加減，分式的項數(shù)是比較多的，無法進行通分，因此，常用分式進行裂項.(4)分組運算法:當有三個以上的異分母分式相加減時,可考慮分組,原則是使各組運算后的結果能出現(xiàn)分子為常數(shù),且值相同或為倍數(shù)關系,這樣才能使運算簡便.(5)化簡分式法：有些分式的分子、分母都異常時如果先通分，運算量很大.應先把每一個分別化簡，再相加減.（6）倒數(shù)法求值（取倒數(shù)法）.（7）活用分式變形求值.(8)設k求值法(參數(shù)法)(9)整體代換法.(10)消元代入法.考點三、分式方程及其應用

1．分式方程的概念

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程．

3．分式方程的增根問題

(1)增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當把分式方程轉化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根---增根；

(2)驗根：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．

4．分式方程的應用列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些．解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數(shù)、確定主要等量關系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進行求解．另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結果的合理性．

要點詮釋：

解分式方程注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應用題的基本步驟：

(1)審——仔細審題，找出等量關系；

(2)設——合理設未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗——檢驗增根；

(6)答——答題．考點四、二次根式的主要性質1.；2.；3.；4.積的算術平方根的性質：；5.商的算術平方根的性質：.6.若，則.要點詮釋：與的異同點：（1）不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)．但與都是非負數(shù)，即，．因而它的運算的結果是有差別的，

，而（2）相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而.考點五、二次根式的運算1．二次根式的乘除運算(1)運算結果應滿足以下兩個要求：①應為最簡二次根式或有理式；②分母中不含根號.(2)注意知道每一步運算的算理；(3)乘法公式的推廣：2．二次根式的加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質；3．二次根式的混合運算(1)對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應先算括號里面的；(2)二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.要點詮釋：怎樣快速準確地進行二次根式的混合運算.1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進行約分，達到化簡的目的，但最后結果一定要化簡.例如，沒有必要先對進行化簡，使計算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進行乘法運算，，通過約分達到化簡目的；(2)多項式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.4．分母有理化把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；（2）互為有理化因式；一般地互為有理化因式；（3）互為有理化因式；一般地互為有理化因式.【典型例題】類型一、分式的意義 1．若分式的值為0，則x的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值為零的條件得﹣1=0，x+1≠0，由﹣1=0，得x=﹣1或x=1，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴x=1，故答案為1．【總結升華】若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．舉一反三：【變式1】如果分式的值為0，則x的值應為.【答案】由分式的值為零的條件得3x2-27=0且x-3≠0，

由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，

∴x=-3或x=3，

由x-3≠0，得x≠3．

綜上，得x=-3，分式的值為0．故答案為：-3．【高清課程名稱：分式與二次根式高清：399347：例1】【變式2】若分式不論x取何實數(shù)總有意義，則m的取值范圍是．【答案】若分式不論x取何實數(shù)總有意義，則分母≠0，設，當△＜0即可，.答案m＞1.類型二、分式的性質2．已知求的值.【答案與解析】設,所以所以所以即或當,所求代數(shù)式,當,所求代數(shù)式.即所求代數(shù)式等于或.【總結升華】當已知條件以此等式出現(xiàn)時，可用設k法求解.舉一反三：【變式】已知求的值.【答案】因為各式可加得所以，所以類型三、分式的運算3．已知且,求的值.【答案與解析】因為,所以原等式兩邊同時乘以,得:即所以所以【總結升華】條件分式的求值，如需把已知條件或所示條件分式變形，必須依據(jù)題目自身的特點，這樣才能到事半功倍的效果，條件分式的求值問題體現(xiàn)了整體的數(shù)學思想和轉化的數(shù)學思想.舉一反三：【變式1】已知且,求的值.【答案】由已知得所以即,所以,同理所以.【高清課程名稱：分式與二次根式高清：399347：例2】【變式2】已知x＋y=－4，xy=－12，求的值．【答案】原式=將x＋y＝－4，xy＝－12代入上式，∴原式類型四、分式方程及應用4．a(chǎn)何值時,關于x的方程會產(chǎn)生增根?【答案與解析】方程兩邊都乘以,得整理得.當a=1時,方程無解.當時,.如果方程有增根,那么,即或.當時,,所以;當時,,所以a=6.所以當或a=6原方程會產(chǎn)生增根.【總結升華】因為所給方程的增根只能是或，所以應先解所給的關于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.5．甲．乙兩人準備整理一批新到的實驗器材．若甲單獨整理需要40分鐘完工：若甲．乙共同整理20分鐘后，乙需再單獨整理20分鐘才能完工．（1）問乙單獨整理多少分鐘完工？（2）若乙因工作需要，他的整理時間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【答案與解析】（1）設乙單獨整理x分鐘完工，根據(jù)題意得：解得x＝80，經(jīng)檢驗x＝80是原分式方程的解．答：乙單獨整理80分鐘完工．（2）設甲整理y分鐘完工，根據(jù)題意，得解得：y≥25答：甲至少整理25分鐘完工．【總結升華】分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．此題等量關系比較多，主要用到公式：工作總量＝工作效率×工作時間．（1）將總的工作量看作單位1，根據(jù)本工作分兩段時間完成列出分式方程解之即可；（2）設甲整理y分鐘完工，根據(jù)整理時間不超過30分鐘，列出一次不等式解之即可．舉一反三：【變式】小明乘出租車去體育場，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達．若設走路線一時的平均速度為x千米/小時，根據(jù)題意，得（）A． B． C． D．【答案】設走路線一時的平均速度為x千米/小時，故選A．類型五、二次根式的定義及性質6．要使式子有意義，則a的取值范圍為．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根據(jù)題意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案為：a≥－2且a≠0．【總結升華】本題考查的考點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．可以求出x的范圍．類型六、二次根式的運算【高清課程名稱：分式與二次根式高清：399347：例3】7．（2015春?泗陽縣期末）已知m是的小數(shù)部分．（1）求m2+2m+1的值；（2）求的值．【答案與解析】解：依題意得，則（1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=||=|﹣1﹣（）|=2．【總結升華】此題考查二次根式的化簡求值，掌握完全平方公式和無理數(shù)的估算是解決問題的關鍵．舉一反三：【變式】（2015?蘇州模擬）計算：．【答案與解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．滬教版初中數(shù)學中考總復習知識點梳理重點題型（常考知識點）鞏固練習中考總復習：分式與二次根式—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題

1.（2015春?合水縣期末）二次根式、、、、、中，最簡二次根式有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．分式有意義的條件是（）A．x≠2B.x≠1C.x≠1或x≠2D.x≠1且x≠23．使分式等于0的x的值是（）A.2B.-2C.±2D.不存在4．計算的結果是（）5．小玲每天騎自行車或步行上學，她上學的路程為2800米，騎自行車的平均速度是步行平均速度的4倍，騎自行車比步行上學早到30分鐘．設小玲步行的平均速度為x米/分，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（） A． B． C． D．6．化簡甲，乙兩同學的解法如下：

甲：=

乙：=

對他們的解法，正確的判斷是（）

A．甲、乙的解法都正確B．甲的解法正確，乙的解法不正確

C．乙的解法正確，甲的解法不正確D．甲、乙的解法都不正確

二、填空題7．若a2-6a+9與│b-1│互為相反數(shù)，則式子÷（a+b）的值為_______________.8．若m=，則的值是.9.下列各式：①；②；③；④其中正確的是（填序號）.10．當x=__________時，分式的值為0.11．（1）若，則的值為.（2）若則的值為.12．（2015?科左中旗校級一模）觀察下列等式：①==﹣1②==﹣③==﹣…回答下列問題：（1）化簡：=；（n為正整數(shù)）（2）利用上面所揭示的規(guī)律計算：+++…++=．三、解答題13．（1）已知,求的值.（2）已知和,求的值.14.（2015春?東莞期末）設a=，b=2，c=．（1）當a有意義時，求x的取值范圍．（2）若a、b、c為Rt△ABC三邊長，求x的值．15．一項工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，共需付工費102000元；如果甲、乙兩公司單獨完成此項公程，乙公司所用時間甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元.（1）甲、乙公司單獨完成此項工程，各需多少天？（2）若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司施工費較少？16.閱讀下列材料，然后回答問題.在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們可以將其進一步化簡.；（一）；（二）；（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.還可以用以下方法化簡：（四）；（1）請用不同的方法化簡①參照（三）式得=；②參照（四）式得=；（2）化簡【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】C；【解析】二次根式、、、、、中，最簡二次根式有、、共3個．故選：C．2.【答案】D；【解析】分式有意義，則且.3.【答案】D；【解析】令得，而當時，，所以該分式不存在值為0的情形.4.【答案】D；【解析】本題可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，將原式化為故選D.5.【答案】A；【解析】設小玲步行的平均速度為x米/分，則騎自行車的速度為4x米/分，依題意，得．故選A．6.【答案】A；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化為了.二、填空題7．【答案】；【解析】由已知得且，解得，，再代入求值.8．【答案】0；【解析】此題主要考查了二次根式的化簡，得出m=+1，以及是解決問題的關鍵．∵m==+1，

∴，故答案為：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①，；②無意義.10．【答案】3；【解析】由得±3.當時，，當時，，所以當時，分式的值為0.11．【答案】（1）2；（2）；【解析】（1）由，知x=1，∴(x+y)2=0，∴y=-1，∴x-y=2.（2）12．【答案】；【解析】（1）=；故答案為：；.（2）+++…++=…+=.三、解答題13.【答案與解析】（1）因為，所以用除所求分式的分子、分母.原式.（2）由和,提,所以14.【答案與解析】解：（1）∵a有意義，∴8﹣x≥0，∴x≤8；（2）方法一：分三種情況：①當a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②當a2+c2=b2，即8﹣x+6=4，得x=10，③當b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜邊為最長的邊，c＞b∴存在兩種情況，①當a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②當b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案與解析】（1）設甲公司單獨完成此工程x天，則乙公司單獨完成此項工程1.5x天，根據(jù)題意，得，解之得，x=20,經(jīng)檢驗知x=20是方程的解且符合題意，1.5x=30,答：甲乙兩公司單獨完成此工程各需要20天，30天.（2）設甲公司每天的施工費y元，則乙公司每天的施工費（y-1500）元，根據(jù)題意，得12（y+y-1500）=102000,解之得，y=5000.甲公司單獨完成此工程所需施工費：20×5000=100000（元），乙公司單獨完成此工程所需施工費：30×（5000-1500）=105000（元），故甲公司的施工費較少.16.【答案與解析】（1）①②（2）.滬教版初中數(shù)學中考總復習知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習中考總復習：數(shù)與式綜合復習—知識講解（提高）【考綱要求】(1)借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)與絕對值．理解有理數(shù)的運算律，并能運用運算律簡化運算；（2）了解平方根、算術平方根、立方根的概念，了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；會用根號表示數(shù)的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關實數(shù)的簡單四則運算；（3）了解整式、分式的概念，會進行簡單的整式加、減運算；會進行簡單的整式乘法運算．會利用分式的基本性質進行約分和通分，會進行簡單的分式加、減、乘、除運算．【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、實數(shù)的有關概念、性質1．實數(shù)及其分類實數(shù)可以按照下面的方法分類：實數(shù)還可以按照下面的方法分類：要點詮釋：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．2．數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的關系．要點詮釋：實數(shù)和數(shù)軸上的點的這種一一對應的關系是數(shù)學中把數(shù)和形結合起來的重要基礎．3．相反數(shù)實數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù)．零的相反數(shù)是零．一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點，分別在原點的兩旁，并且離原點的距離相等．要點詮釋：兩個互為相反數(shù)的數(shù)的運算特征是它們的和等于零，即如果a和b互為相反數(shù)，那么a+b＝0；反過來，如果a+b＝0，那么a和b互為相反數(shù)．4．絕對值一個實數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離．一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零，即如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．要點詮釋：從絕對值的定義可以知道，一個實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)．5．實數(shù)大小的比較（1）在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點所表示的數(shù)較大．（2）正數(shù)都大于0；負數(shù)都小于0，兩個負數(shù)絕對值大的那個負數(shù)反而小.（3）對于實數(shù)要點詮釋：常用方法：①數(shù)軸圖示法；②作差法；③作商法；④平方法等.6．有理數(shù)的運算(1)運算法則(略)．(2)運算律：加法交換律a+b＝b+a；加法結合律(a+b)+c＝a+(b+c)；乘法交換律ab＝ba；乘法結合律(ab)c＝a(bc)；分配律a(b+c)＝ab+ac．(3)運算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算中，加、減是第一級運算，乘、除是第二級運算，乘方、開方是第三級運算．在沒有括號的算式中，首先進行第三級運算，然后進行第二級運算，最后進行第一級運算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減．算式里如果有括號，先進行括號內的運算．如果只有同一級運算，從左到右依次運算．7．平方根如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．要點詮釋：正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根．8．算術平方根正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根．零的算術平方根是零．要點詮釋：從算術平方根的概念可以知道，算術平方根是非負數(shù)．9．近似數(shù)及有效數(shù)字近似地表示某一個量準確值的數(shù)，叫做這個量準確值的近似數(shù)．一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位．這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字．10．科學記數(shù)法把一個數(shù)記成±a×的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱為用科學記數(shù)法表示這個數(shù)．考點二、二次根式、分式的相關概念、性質1．二次根式的概念形如(a≥0)的式子叫做二次根式．2．最簡二次根式和同類二次根式的概念最簡二次根式是指滿足下列條件的二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式．要點詮釋：把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；（2）互為有理化因式；一般地互為有理化因式；（3）互為有理化因式；一般地互為有理化因式.3．二次根式的主要性質（1）；（2）；（3）；（4）積的算術平方根的性質：；（5）商的算術平方根的性質：.4．二次根式的運算(1)二次根式的加減二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并．(2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變．要點詮釋：二次根式的混合運算：1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.5．代數(shù)式的有關概念(1)代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式．用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結果，叫做代數(shù)式的值．代數(shù)式的分類：(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運算(包含數(shù)字開方運算)的代數(shù)式，叫做有理式．(3)整式：沒有除法運算或者雖有除法運算但除式里不含字母的有理式叫做整式．整式包括單項式和多項式．(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有意義．6．整式的運算(1)整式的加減：整式的加減運算，實際上就是合并同類項．在運算時，如果遇到括號，根據(jù)去括號法則，先去括號，再合并同類項．(2)整式的乘法：①正整數(shù)冪的運算性質：；；；(a≠0，m＞n)．其中m、n都是正整數(shù)．②整式的乘法：單項式乘單項式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同字母，用它們的指數(shù)的和作為積里這個字母的指數(shù)，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式．單項式乘多項式，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．多項式乘多項式，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．③乘法公式：；．④零和負整數(shù)指數(shù)：在(a≠0，m，n都是正整數(shù))中，當m＝n時，規(guī)定；當m＜n時，如m-n＝-p(p是正整數(shù))，規(guī)定．7．因式分解（1）因式分解的概念把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解．在因式分解時，應注意：①在指定數(shù)(有理數(shù)、實數(shù))的范圍內進行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，應寫成冪的形式，并且要把各個因式化簡．（2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．②運用公式法：；；③十字相乘法：．④運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：.（3）因式分解的步驟①多項式的各項有公因式時，應先提取公因式；②考慮所給多項式是否能用公式法分解．要點詮釋：因式分解時應注意:①在指定數(shù)（有理數(shù)、實數(shù)）的范圍內進行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，若題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，應寫成冪的形式，并且要把各個因式化簡，同時每個因式的首項不含負號；③多項式的因式分解是多項式乘法的逆變形.8．分式（1）分式的概念形如的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零．（2）分式的基本性質分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變．，．(其中M是不等于零的整式)要點詮釋：分式有意義分母≠0；分式無意義分母=0；分式值為0分式值為1分式值為正分子、分母同號.分式值為負分子、分母異號.（3）分式的運算①加減法：，．②乘法：．③除法：．④乘方：（n為正整數(shù)）．要點詮釋：

解分式方程的注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應用題的基本步驟：

(1)審——仔細審題，找出等量關系；

(2)設——合理設未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗——檢驗增根；

(6)答——答題．【典型例題】類型一、實數(shù)的概念、運算及因式分解1．在數(shù)軸上表示a、b、c三個數(shù)的點的位置如圖所示．化簡：|a-b|+|a-c|-|b+c|．【思路點撥】通過觀察數(shù)軸得到a、b、c的符號，通過確定絕對值里的式子的符號，來去掉絕對值符號.【答案與解析】由上圖可得b＜c＜0＜a，∴a-b＞0，a-c＞0，b+c＜0．∴|a-b|+|a-c|-|b+c|＝(a-b)+(a-c)-(-b-c)＝2a．【總結升華】由絕對值的定義我們知道：如果m＞0，那么|m|＝m；如果m＜0，那么|m|＝-m；如果m＝0，那么|m|＝0．要去掉絕對值符號，首先要弄清m的值是正、是負，還是零． 舉一反三：【變式】閱讀下面的材料，回答問題：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為．當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1-1，；當A、B兩點都不在原點時：（1）如圖1-2，點A、B都在原點的右邊，；OO0bB圖1-2aA（2）如圖1-3，點A、B都在原點的左邊，；（3）如圖1-4，點A、B在原點的兩邊，．bbaA圖1-4O0綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示1和－3的兩點之間的距離是．（2）數(shù)軸上表示x和－1的兩點A和B之間的距離是．如果，那么x=．【答案】（1）3，3，4；（2）或．依據(jù)閱讀材料，所獲得的結論為，結合各問題分別代入求解．（1）；（2）；因為，所以，所以或．所以或．2．（2014春?當涂縣校級期中）分解因式．（1）﹣18x2y2+9x4﹣6x3y．（2）1﹣m2﹣n2+2mn．（3）﹣a+2a2﹣a3．【思路點撥】如果多項式各項含有公因式，就先提出這個公因式，再進一步分解因式．分解因式必須進行到每一個因式都不能再分解為止．【答案與解析】解：（1）﹣18x2y2+9x4﹣6x3y=﹣3x2（6y2﹣3x2+2xy）；（2）1﹣m2﹣n2+2mn=1﹣（m﹣n）2=（1+m﹣n）（1﹣m+n）；（3）﹣a+2a2﹣a3=﹣a（1﹣2a+a2）=﹣a（1﹣a）2．【總結升華】(1)如果多項式的第一項系數(shù)是負數(shù)，一般要提出負號，使括號內的第一項系數(shù)是正數(shù)，以便于觀察是否可以進一步分解因式．(2)在提取公因式時，一是要真確確定公因式，二是要注意一步到位；分解因式一定要徹底．舉一反三：【變式】分解因式：=．【答案】本題是四項，應采用分組分解法，分組分解法主要有兩種，一是二二分組，另一種是一三分組，本題應采用一三分組法進行分解．原式．類型二、分式的有關運算3．我們把分子為1的分數(shù)叫做單位分數(shù)．如，，…，任何一個單位分數(shù)都可以拆分成兩個不同的單位分數(shù)的和，如，，，…（1）根據(jù)對上述式子的觀察，你會發(fā)現(xiàn)，請寫出□，○所表示的數(shù)；（2）進一步思考，單位分數(shù)（n是不小于2的正整數(shù)）＝，請寫出△，⊙所表示的式，并加以驗證．【思路點撥】等式右邊的第一個分母是左邊的分母加1，第二個分母是前兩個分母的乘積，如果設左邊的分母為n，則右邊第一個分母為（n＋1），第二個分母為n（n＋1）．【答案與解析】（1）□表示的數(shù)為6，○表示的數(shù)為30；（2）△表示的式為，⊙表示的式為．驗證：，所以上述結論成立．【總結升華】通過對三組式子的觀察，不難找出規(guī)律．舉一反三：【高清課程名稱：數(shù)與式綜合復習高清：402392：例