2022-2023學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章統(tǒng)計學(xué)初步6.4用樣本估計總體6.4.1用樣本估計總體的集中趨學(xué)生用書湘教版必修第一冊

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！6．4用樣本估計總體6．4.1用樣本估計總體的集中趨勢最新課程標準結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．學(xué)科核心素養(yǎng)1.了解實數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．會利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)估計總體的集中趨勢．(直觀想象)教材要點要點一平均數(shù)1．樣本平均數(shù)(1)若樣本容量n，第i個個體是xi，則樣本平均數(shù)x＝________________．在隨機抽樣的前提下，當樣本容量增加時，樣本均值x會向總體均值μ接近．于是，稱x為μ的估計．(2)一般地，若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為f1，f2，…，fn，則其平均數(shù)為x1f1＋x2f2＋…＋xnfn.2．簡單估計：在分層抽樣中，用N表示總體A的個體總數(shù)，若將總體A分為L層，用Ni表示第i層(i＝1，2，…，L)的個體總數(shù)，則有N＝N1＋N2＋…＋NL.稱Wi＝NiN(i＝1，2，…，L)為第對i＝1，2，…，L，用xi表示從第i層抽出樣本的均值．稱X＝____________________是總體均值μ要點二眾數(shù)、中位數(shù)1．眾數(shù)：觀測數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)．用M0表示．2．中位數(shù)：將一組觀測數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，處于______位置的數(shù)．3．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感基礎(chǔ)自測1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．()(2)若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生改變．()(3)中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的某個數(shù)．()(4)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應(yīng)的數(shù)據(jù)．()2．高一(18)班十位同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績分別為：82，91，73，84，98，99，101，118，98，110，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A．98B．99C．98.5D．97.53．一組樣本數(shù)據(jù)為：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為()A．12B．14C．15.5D．174．已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．題型1平均數(shù)角度1平均數(shù)的計算例1已知甲、乙兩名工人在同樣條件下每天各生產(chǎn)100件產(chǎn)品，且每生產(chǎn)1件正品可獲利20元，生產(chǎn)1件次品損失30元，甲、乙兩名工人100天中出現(xiàn)次品件數(shù)的情況如表所示．甲每天生產(chǎn)的次品件數(shù)01234對應(yīng)的天數(shù)4020201010乙每天生產(chǎn)的次品件數(shù)0123對應(yīng)的天數(shù)30252520(1)將甲每天生產(chǎn)的次品件數(shù)記為x，日利潤記為y(單位：元)，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)按這100天統(tǒng)計的數(shù)據(jù)，分別求甲、乙兩名工人的平均日利潤．方法歸納利用公式x＝x1角度2利用樣本均值估計總體均值例2某中學(xué)有高中生500人，其中男生有320人，女生有180人，現(xiàn)在從男生中隨機抽取32人，測得他們的平均身高為173.5cm；從女生中隨機抽取18人，測得她們的平均身高為163.88cm.試估計總體身高的均值．方法歸納利用公式X＝W1x1＋W2x2＋…＋WL跟蹤訓(xùn)練1某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1∶2∶1，用分層抽樣方法(每個分廠的產(chǎn)品為一層)從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均數(shù)分別為980h，1020h，1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均數(shù)為________h．題型2平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實際應(yīng)用例3下面是某快餐店所有工作人員一月的收入表(單位：元)：老板大廚二廚采購員雜工服務(wù)生會計30000450035004000320032004100(1)計算所有人員的月平均收入；(2)這個平均收入能反映打工人員的月收入的一般水平嗎？為什么？(3)去掉老板收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的月收入的水平嗎？方法歸納利用樣本數(shù)字特征進行決策時的兩個關(guān)注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征．(2)當平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值．跟蹤訓(xùn)練2某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？題型3根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)例4某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；(3)求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)．方法歸納眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的聯(lián)系(1)眾數(shù)：眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的底邊中點的橫坐標．(2)中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計中位數(shù)的值．(3)平均數(shù)：用頻率分布直方圖估計平均數(shù)時，平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以每個小矩形底邊中點的橫坐標之和．跟蹤訓(xùn)練3為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖，則：(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55，75)的人數(shù)是________；(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________；(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________．易錯辨析中位數(shù)對評價的影響例5小明是班里的優(yōu)秀學(xué)生，他的歷次數(shù)學(xué)成績是96，98，95，93分，但最近的一次考試成績只有45分，原因是他帶病參加了考試．期末評價時，怎樣給小明評價？解析：小明5次考試成績，從小到大排列為45，93，95，96，98，中位數(shù)是95，應(yīng)評定為“優(yōu)秀”．【易錯警示】易錯原因糾錯心得盡管平均分是反映一組數(shù)據(jù)平均水平的重要特征，但任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起它的變化，而中位數(shù)則不受某些極端值的影響．中位數(shù)的特征是不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)，即排序靠前或靠后數(shù)據(jù)的影響，而平均數(shù)則易受個別數(shù)據(jù)影響．弄清中位數(shù)和平均數(shù)各自的特征，便于作出正確合理的判斷．課堂十分鐘1．下列數(shù)字特征一定會在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的是()A．眾數(shù)B．中位數(shù)C．平均數(shù)D．都不會2．一組觀察值4，3，5，6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3，2，4，2，則樣本平均值為()A．4.55B．4.5C．12.5D．1.643．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是()A．平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B．平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C．中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù)4．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．5．某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖．(1)求圖中x的值；(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)．6．4用樣本估計總體6．4.1用樣本估計總體的集中趨勢要點一1.x2．w1x1+w2要點二1．最多2．中間[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為73，82，84，91，98，98，99，101，110，118，則最中間的兩個數(shù)為98，98，故中位數(shù)是12×(98＋98)＝98.故選A答案：A3．解析：把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10，12，12，14，14,14，17，18，19，23，27，則可知其眾數(shù)為14.答案：B4．解析：4+6+5+8+7+66答案：6題型探究·課堂解透例1解析：(1)∵甲每天生產(chǎn)的次品件數(shù)為x，∴損失30x元，則其生產(chǎn)的正品件數(shù)為100－x，獲得的利潤為20(100－x)元，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝20(100－x)－30x＝2000－50x，其中0≤x≤4，x∈N.(2)這100天中，甲工人總利潤為2000×40＋1950×20＋1900×20＋1850×10＋1800×10＝193500(元)，∴平均日利潤為193500100這100天中，乙工人的總利潤為2000×30＋1950×25＋1900×25＋1850×20＝193250(元)，∴平均日利潤為193250100例2解析：W1＝320500＝0.64，W2＝180X＝W1x1＋W2x2＝0.64×173.5＋0.36×163.88所以總體身高均值約為170.03cm.跟蹤訓(xùn)練1解析：依題意可知平均數(shù)X＝980×1+1020×2+1032×11+2+1答案：1013例3解析：(1)月平均收入x1＝1(2)這個平均收入不能反映打工人員的月收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員．(3)去掉老板的收入后的月平均收入x2＝1這能代表打工人員的月收入水平．跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為54+3+4+4+5+5+6+6+6+5710中位數(shù)為5.5歲，眾數(shù)為6歲．由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差．例4解析：(1)由題干圖知眾數(shù)為70+802(2)由題干圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.(3)由題干圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為：40+502×0.005×10＋50+602×0.015×10＋60+702×0.02×10＋70+802×0.03×10＋80+902×0.025×10＋跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)在[55，75)的人數(shù)為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)設(shè)中位數(shù)為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.答案：(1)13(2)62.5(3)64[課堂十分鐘]1．解析：眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以一定會在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)．答案：A2．解析：由條